Le contexte est la géométrie discrète dans Zn. Il s'agit de décrire les courbes et surfaces discrètes composées de voxels: les définitions usuelles de droites et plans discrets épais se comportent mal quand on passe à des ensembles courbes. Comment garantir un bon comportement topologique, les connexités requises, dans une situation qui généralise les droites et plans discrets?Le calcul de données sur ces courbes, normales, tangentes, courbure, ou des fonctions plus générales, fait appel à des moyennes utilisant des masques. Une question est la pertinence théorique et pratique de ces masques. Une voie explorée, est le calcul de masques fondés sur la marche aléatoire. Une marche aléatoire partant d'un centre donné sur une courbe ou une surface discrète, permet d'affecter à chaque autre voxel un poids, le temps moyen de visite. Ce noyau permet de calculer des moyennes et par là, des dérivées. L'étude du comportement de ce processus de diffusion, a permis de retrouver des outils classiques de géométrie sur des surfaces maillées, et de fournir des estimateurs de tangente et de courbure performants. La diversité du champs d'applications de ce processus de diffusion a été mise en avant, retrouvant ainsi des méthodes classiques mais avec une base théorique identique.} motsclefs{Processus Markovien, Géométrie discrète, Estimateur tangentes, normales, courbure, Noyau de diffusion, Analyse d'images / The context of discrete geometry is in Zn. We propose to discribe discrete curves and surfaces composed of voxels: how to compute classical notions of analysis as tangent and normals ? Computation of data on discrete curves use average mask. A large amount of works proposed to study the pertinence of those masks. We propose to compute an average mask based on random walk. A random walk starting from a point of a curve or a surface, allow to give a weight, the time passed on each point. This kernel allow us to compute average and derivative. The studied of this digital process allow us to recover classical notions of geometry on meshes surfaces, and give accuracy estimator of tangent and curvature. We propose a large field of applications of this approach recovering classical tools using in transversal communauty of discrete geometry, with a same theorical base.

La problématique centrale de cette thèse est l'élaboration d'un opérateur de Laplace--Beltrami discret sur les surfaces digitales. Ces surfaces proviennent de la théorie de la géométrie discrète, c’est-à-dire la géométrie qui s'intéresse à des sous-ensembles des entiers relatifs. Nous nous plaçons ici dans un cadre théorique où les surfaces digitales sont le résultat d'une approximation, ou processus de discrétisation, d'une surface continue sous-jacente. Cette méthode permet à la fois de prouver des théorèmes de convergence des quantités discrètes vers les quantités continues, mais aussi, par des analyses numériques, de confirmer expérimentalement ces résultats. Pour la discrétisation de l’opérateur, nous faisons face à deux problèmes : d'un côté, notre surface n'est qu'une approximation de la surface continue sous-jacente, et de l'autre côté, l'estimation triviale de quantités géométriques sur la surface digitale ne nous apporte pas en général une bonne estimation de cette quantité. Nous possédons déjà des réponses au second problème : ces dernières années, de nombreux articles se sont attachés à développer des méthodes pour approximer certaines quantités géométriques sur les surfaces digitales (comme par exemple les normales ou bien la courbure), méthodes que nous décrirons dans cette thèse. Ces nouvelles techniques d'approximation nous permettent d'injecter des informations de mesure sur les éléments de notre surface. Nous utilisons donc l'estimation de normales pour répondre au premier problème, qui nous permet en fait d'approximer de façon précise le plan tangent en un point de la surface et, via une méthode d'intégration, palier à des problèmes topologiques liées à la surface discrète. Nous présentons un résultat théorique de convergence du nouvel opérateur discrétisé, puis nous illustrons ensuite ses propriétés à l’aide d’une analyse numérique de l’opérateur. Nous effectuons une comparaison détaillée du nouvel opérateur par rapport à ceux de la littérature adaptés sur les surfaces digitales, ce qui nous permet, au moins pour la convergence, de montrer que seul notre opérateur possède cette propriété. Nous illustrons également l’opérateur via quelques unes de ces applications comme sa décomposition spectrale ou bien encore le flot de courbure moyenne / The central issue of this thesis is the development of a discrete Laplace--Beltrami operator on digital surfaces. These surfaces come from the theory of discrete geometry, i.e. geometry that focuses on subsets of relative integers. We place ourselves here in a theoretical framework where digital surfaces are the result of an approximation, or discretization process, of an underlying smooth surface. This method makes it possible both to prove theorems of convergence of discrete quantities towards continuous quantities, but also, through numerical analyses, to experimentally confirm these results. For the discretization of the operator, we face two problems: on the one hand, our surface is only an approximation of the underlying continuous surface, and on the other hand, the trivial estimation of geometric quantities on the digital surface does not generally give us a good estimate of this quantity. We already have answers to the second problem: in recent years, many articles have focused on developing methods to approximate certain geometric quantities on digital surfaces (such as normals or curvature), methods that we will describe in this thesis. These new approximation techniques allow us to inject measurement information into the elements of our surface. We therefore use the estimation of normals to answer the first problem, which in fact allows us to accurately approximate the tangent plane at a point on the surface and, through an integration method, to overcome topological problems related to the discrete surface. We present a theoretical convergence result of the discretized new operator, then we illustrate its properties using a numerical analysis of it. We carry out a detailed comparison of the new operator with those in the literature adapted on digital surfaces, which allows, at least for convergence, to show that only our operator has this property. We also illustrate the operator via some of these applications such as its spectral decomposition or the mean curvature flow

Au cours de cette thèse nous nous intéressons à des orthogonalités asymptotiques (au sens ou le produit scalaire dans le tore discret de taille N tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini) entre certaines fonctions liées aux blocs des chiffres des entiers et la fonction de Möbius (ainsi qu’avec la fonction de von Mangoldt). Ces travaux prolongent ceux de Mauduit et Rivat et répondent partiellement à une question de Kalai posée en 2012. Au cours du Chapitre 1 nous établissons ces estimations asymptotiques dans le cas où la fonction étudiée est une fonction exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de chiffres consécutifs ou espacés de taille k fixé dans l’écriture de n en base q. Nous donnons aussi une grande classe de polynômes agissant sur les blocs de chiffres qui nous fournissent un théorème des nombres premiers et une orthogonalité asymptotique avec la fonction de Möbius. Dans le Chapitre 2, nous obtenons un principe d’aléa de Möbius avec dans le cas où notre fonction est une fonction exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de ‘1’ consécutifs dans l’écriture de n en base 2, où la taille du bloc est une application croissante tendant vers l’infini, mais avec une certaine restriction de croissance. Dans le cas extrémal, que nous ne pouvons pas traiter, ce problème est lié à l’estimation du nombre de nombres premiers dans la suite des nombres de Mersenne. Dans le Chapitre 3, nous donnons des estimations dans le cas où la fonction est l’exponentielle d’une fonction qui compte les blocs de k ‘1’ dans l’écriture de n en base 2 où k est grand par rapport à log N. Une conséquence du Chapitre 3 est que les résultats du Chapitre 1 sont quasi optimaux. / Throughout this thesis, we are interested in asymptotic orthogonality (in the sense that the scale product of the discrete torus of length N tends to zero as N tend to infinity) between some functions related to the blocks of digits of integers and the Möbius function (and also the von Mangoldt function). Our work extends previous results of Mauduit and Rivat, and gives a partial answer to a question posed by Kalai in 2012. Chapter 1 provides estimates in the case of the function is the exponential of a function taking values on the blocks (with and without wildcards) of length k (k fixed) in the digital expansion of n in base q. We also give a large class of polynomials acting on the digital blocks that allow to get a prime number theorem and asymptotic orthogonality with the Möbius function. In Chapter 2, we get an asymptotic formula in the case of our function is the exponential of the function which counts blocks of consecutive ‘1’s in the expansion of n in base 2, where the length of the block is an increasing function that tends (slowly) to infinity. In the extremal case, which we cannot handle, this problem is connected to estimating the number of primes in the sequences of Mersenne numbers. In Chapter 3, we provides estimates on the case of the function is the exponential of a function which count the blocks of k ‘1’s in the expansion of n in base 2 where k is large with respect to log N. A consequence of Chapter 3 is that the results of Chapter 1 are quasi-optimal.

L'imagerie médicale est une ressource de données principale pour différents types d'applications. Bien que les images concrétisent beaucoup d'informations sur le cas étudié, toutes les connaissances a priori du médecin restent implicites. Elles jouent cependant un rôle très important dans l'interprétation et l'utilisation des images médicales. Dans cette thèse, des connaissances anatomiques a priori sont intégrées dans deux applications médicales. Nous proposons d'abord une chaîne de traitement automatique qui détecte, quantifie et localise des anévrismes dans un arbre vasculaire segmenté. Des lignes de centre des vaisseaux sont extraites et permettent la détection et la quantification automatique des anévrismes. Pour les localiser, une mise en correspondance est faite entre l'arbre vasculaire du patient et un arbre vasculaire sain. Les connaissances a priori sont fournies sous la forme d'un graphe. Dans le contexte de l'identification des sous-parties d'un organe représenté sous forme de maillage, nous proposons l'utilisation d'une ontologie anatomique, que nous enrichissons avec toutes les informations nécessaires pour accomplir la tâche de segmentation de maillages. Nous proposons ensuite un nouvel algorithme pour cette tâche, qui profite de toutes les connaissances a priori disponibles dans l'ontologie. / Medical imaging is a principal data source for different applications. Even though medical images represent a lot of knowledge concerning the studied case, all the a priori knowledge known by the specialist remains implicit. Nevertheless this a priori knowledge has a major role in the interpretation and the use of the images. In this thesis, anatomical a priori knowledge is integrated in two medical applications. First, an automatic processing pipeline is proposed in order to detect, quantify and localize aneurysms on a segmented cerebrovascular tree. Centerlines of blood vessels are extracted and then used to automatically detect aneurysms and quantify them. To localize aneurysm, a matching is made between the cerebrovascular tree of the patient and a healthy one. The a priori knowledge, in this case, is represented by a graph. In the context of identifying sub-parts of an organ represented by a mesh, we propose the use of an anatomical ontology. This ontology is first enhanced by all information necessary to achieve the task of mesh segmenting. A new algorithm using this ontology to accomplish the segmentation task is then proposed.

Dans cette thèse, différents problèmes de la combinatoire des mots et de géométrie discrète sont considérés. Nous étudions d'abord l'occurrence des palindromes dans les codages de rotations, une famille de mots incluant entre autres les mots sturmiens et les suites de Rote. En particulier, nous démontrons que ces mots sont pleins, c'est-à-dire qu'ils réalisent la complexité palindromique maximale. Ensuite, nous étudions une nouvelle famille de mots, appelés mots pseudostandards généralisés, qui sont générés à l'aide d'un opérateur appelé clôture pseudopalindromique itérée. Nous présentons entre autres une généralisation d'une formule décrite par Justin qui permet de générer de façon linéaire et optimale un mot pseudostandard généralisé. L'objet central, le f-palindrome ou pseudopalindrome est un indicateur des symétries présentes dans les objets géométriques. Dans les derniers chapitres, nous nous concentrons davantage sur des problèmes de nature géométrique. Plus précisément, nous don-nons la solution à deux conjectures de Provençal concernant les pavages par translation, en exploitant la présence de palindromes et de périodicité locale dans les mots de contour. À la fin de plusieurs chapitres, différents problèmes ouverts et conjectures sont brièvement présentés. / In this thesis, we explore different problems at the intersection of combinatorics on words and discrete geometry. First, we study the occurrences of palindromes in codings of rotations, a family of words including the famous Sturmian words and Rote sequences. In particular, we show that these words are full, i.e. they realize the maximal palindromic complexity. Next, we consider a new family of words called generalized pseudostandard words, which are generated by an operator called iterated pseudopalindromic closure. We present a generalization of a formula described by Justin which allows one to generate in linear (thus optimal) time a generalized pseudostandard word. The central object, the f-palindrome or pseudopalindrome, is an indicator of the symmetries in geometric objects. In the last chapters, we focus on geometric problems. More precisely, we solve two conjectures of Provençal about tilings by translation, by exploiting the presence of palindromes and local periodicity in boundary words. At the end of many chapters, different open problems and conjectures are briefly presented.

Les problèmes d’optimisation discrète sont pour beaucoup difficiles à résoudre, depar leur nature combinatoire. Citons par exemple les problèmes de programmationlinéaire en nombres entiers. Une approche couramment employée pour les résoudreexactement est l’approche de Séparation et Évaluation Progressive. Une approchedifférente appelée « Resolution Search » a été proposée par Chvátal en 1997 pourrésoudre exactement des problèmes d’optimisation à variables 0-1, mais elle restemal connue et n’a été que peu appliquée depuis.Cette thèse tente de remédier à cela, avec un succès partiel. Une première contributionconsiste en la généralisation de Resolution Search à tout problème d’optimisationdiscrète, tout en introduisant de nouveaux concepts et définitions. Ensuite,afin de confirmer l’intérêt de cette approche, nous avons essayé de l’appliquer enpratique pour résoudre efficacement des problèmes bien connus. Bien que notrerecherche n’ait pas abouti sur ce point, elle nous a amené à de nouvelles méthodespour résoudre exactement les problèmes d’affectation généralisée et de localisationsimple. Après avoir présenté ces méthodes, la thèse conclut avec un bilan et desperspectives sur l’application pratique de Resolution Search. / The combinatorial nature of discrete optimization problems often makes them difficultto solve. Consider for instance integer linear programming problems, which arecommonly solved using a Branch-and-Bound approach. An alternative approach,Resolution Search, was proposed by Chvátal in 1997 for solving 0-1 optimizationproblems, but remains little known to this day and as such has seen few practicalapplications.This thesis attempts to remedy this state of affairs, with partial success. Itsfirst contribution consists in the generalization of Resolution Search to any discreteoptimization problem, while introducing new definitions and concepts. Next, wetried to validate this approach by attempting to solve well-known problems efficientlywith it. Although our research did not succeed in this respect, it lead usto new methods for solving the generalized assignment and uncapacitated facilitylocation problems. After presenting these methods, this thesis concludes with asummary of our attempts at practical application of Resolution Search, along withfurther perspectives on this matter.

Un modèle numérique basé sur des techniques de dynamique moléculaire a été développé pour étudier le comportement mécanique d'ensembles de fibres enchevêtrées. Pour limiter le nombre de degrés de liberté, les fibres sont discrétisées en une suite de segments. Le modèle permet de prendre en compte des paramètres géométriques (fraction volumique, facteur de forme, distribution d'orientation...) et des paramètres « matériaux » (flexibilité, frottement aux contacts...). Les comportements macroscopiques d'ensembles de fibres orientées aléatoirement ont été identifiés en fonction de ces paramètres, enrichissant ainsi les lois d'échelles simples de la littérature. Des informations microscopiques telles que l'évolution du nombre de contacts en fonction des sollicitations (compression isostatique, cisaillement) ont également pu être obtenues numériquement. Ceci a notamment permis de valider des techniques d'analyse d'image, ensuite appliquées à des images de tomographie aux rayons X de laines d'acier.

L'objet de ce travail a principalement consisté en l'étude et la mise en oeuvre d'une méthode de calcul des gradients des fonctions aérodynamiques par rapport à des paramètres géométriques pour un système aéroélastique soumis à un écoulement lointain stationnaire. Dans un premier temps, une méthodologie de calcul de l'équilibre aéroélastique statique a tout d'abord été développée. Dans ce cadre, le comportement du fluide peut être modélisé par les équations d'Euler ou par les équations de Navier-Stokes moyennées (RANS). Celles-ci sont numériquement résolues par elsA - code de simulation numérique pour la mécanique des fluides développé à l'ONERA. Le comportement de la structure est, quant à lui, prédit par la théorie des poutres et les équations d'Euler-Bernoulli. Le chargement aérodynamique est transmis à la structure par l'intermédiaire de la matrice des coefficients d'influence également appelée matrice de flexibilité. Seuls les efforts de torsion et de flexion sont transmis de manière consistante à la structure, dont seuls les mouvements induits de torsion et de flexion sont calculés sous l'hypothèse des petits déplacements. La déformation résultante sur le maillage du domaine fluide est prédite analytiquement par analogie avec la mécanique du solide. Enfin, le système aéroélastique couplé est résolu selon un processus itératif inspiré de la méthode du point fixe. Dans un deuxième temps, un cadre de calcul, pour le système aéroélastique décrit précédemment, des gradients des fonctions d'intérêt (objectif et contraintes) par rapport à un vecteur de paramètres géométriques de la forme solide a été mis en oeuvre. Les gradients peuvent être calculés par la méthode de l'équation linéarisée discrète ou par la méthode du vecteur adjoint discret. Ces méthodes reposent sur la résolution de systèmes linéaires couplés, effectuée, dans le cadre de cette étude, par un processus itératif doublement retardé. Pour finir, ces développements ont été appliqués au calcul des gradients des coefficients aérodynamiques de traînée et de portance par rapport à un ensemble de paramètres de forme pour trois configurations aérodynamiques de complexité croissante: équations d'Euler résolues sur un maillage multibloc coïncident, équations RANS résolues sur un maillage monobloc, et, finalement, équations RANS résolues sur un maillage multibloc non-coïncident. La validité des résultats a été établie par comparaison aux gradients calculés par différences finies. Une dernière partie du travail a été consacrée à l'évaluation des performances de quatre modèles réduits non physiques dans le cadre d'un processus d'optimisation de forme d'une configuration bidimensionnelle de turbomachine.

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Ce mémoire présente quelques résultats récents sur les codes identifiants. La thèse est structurée en cinq chapitres. Le Chapitre 1 contient les définitions et présente la notion de code identifiant. Dans le Chapitre 2 nous étudions l'aspect algorithmique des codes identifiants. Le Chapitre 3 contient quelques résultats concernant des classes de graphes particulières, à savoir les hypercubes, les grilles, et les cycles. Nous étudions quelques questions extrémales au Chapitre 4. Enfin, le Chapitre 5 présente quelques résultats récents sur les codes identifiants dans les graphes aléatoires. A la fin du document nous résumons les résultats les plus importants que nous avons présentés et nous donnons quelques problèmes ouverts sur le sujet.