Cette thèse est le point d’intersection entre deux facettes de l’étude des arrangements de droites : la combinatoire et la topologie. Dans une première partie nous avons étudié l’inclusion de la variété bord dans le complémentaire d’un arrangement. Nous avons ainsi généralisé le résultat d’E. Hironaka au cas de tous les arrangements complexes. Pour contourner les problèmes provenant des arrangements non réels, nous avons étudié le diagramme de câblage, dit wiring diagram, qui code la monodromie de tresses sous forme de tresse singulière. Pour pouvoir l'utiliser, nous avons implémenté un programme sur Sage permettant de calculer ce diagramme en fonction des équations de l’arrangement. Cela nous a permis de d’obtenir deux descriptions explicites de l’application induite par l’inclusion de la variété bord dans le complémentaire sur les groupes fondamentaux. Nous obtenons ainsi deux nouvelles présentations du groupe fondamental du complémentaire d’un arrangement. L’une d’entre elle généralise le théorème de R. Randell au cas des arrangements complexes. Pour continuer ces travaux, nous avons étudié l’application induite par l’inclusion sur le premier groupe d’homologie. Nous obtenons deux descriptions simples de cette application. En s’inspirant des travaux de J.I. Cogolludo, nous décrivons une décomposition canonique du premier groupe d’homologie de la variété bord comme produit de la 1-homologie et de la 2-cohomologie du complémentaire, ainsi qu'un isomorphisme entre la 2-cohomologie du complémentaire et la 1-homologie du graphe d’incidence. Dans la seconde partie de notre travail nous nous sommes intéressés à l’étude des caractères du groupe fondamental du complémentaire. Nous partons des résultats obtenus par E. Artal sur le calcul de la profondeur d’un caractère. Cette profondeur peut être décomposée en un terme projectif et un terme quasi-projectif. Un algorithme pour calculer la partie projective a été donné par A. Libgober. Les travaux de E. Artal concernent la partie quasi-projective. Il a obtenu une méthode pour la calculer en fonction de l’image de certains cycles particuliers du complémentaire par le caractère. En utilisant les résultats obtenus dans la première partie, nous avons obtenu un algorithme complet permettant le calcul de la profondeur quasi-projective d’un caractère. A travers l’étude de cet algorithme, nous avons obtenu une condition combinatoire pour admettre une profondeur quasi-projective potentiellement non combinatoire. Nous avons ainsi défini la notion de caractère inner-cyclic . Cette notion nous a permis de formuler des conditions fortes sur la combinatoire pour qu’un arrangement n’ait que des caractères de profondeur quasi-projective nulle. Enfin pour diminuer le nombre d’exemples à considérer nous avons introduit la notion de combinatoire première. Si une combinatoire ne l’est pas, alors les variétés caractéristiques de ses réalisations sont définies par celles d’un arrangement avec moins de droites. En parallèle à cette étude, nous avons observé que la composition de l’application induite par l’inclusion sur le premier groupe d’homologie avec un caractère nous fournit un invariant topologique de l'arrangement obtenu en désingularisant les points multiples (blow-up). De plus, nous montrons que cet invariant n’est pas de nature combinatoire. Il nous a ainsi permis de découvrir deux nouvelles nc-paires de Zariski. / This thesis is the intersection point between the two facets of the study of line arrangements: combinatorics and topology. In the first part, we study the inclusion of the boundary manifold in the complement of an arrangement. We generalize the results of E. Hironaka to the case of any complex line arrangement. To get around the problems due to the case of non complexified real arrangement, we study the braided wiring diagram. We develop a Sage program to compute it from the equation of the complex line arrangement. This diagram allows to give two explicit descriptions of the map induced by the inclusion on the fundamental groups. From theses descriptions, we obtain two new presentations of the fundamental group of the complement. One of them is a generalization of the R. Randell Theorem to any complex line arrangement. In the next step of this work, we study the map induced by the inclusion on the first homology group. Then we obtain two simple descriptions of this map. Inspired by ideas of J.I. Cogolludo, we give a canonical description of the homology of the boundary manifold as the product of the 1-homology with the 2-cohomology of the complement. Finally, we obtain an isomorphism between the 2-cohomology of the complement with the 1-homology of the incidence graph of the arrangement. In the second part, we are interested by the study of character on the group of the complement. We start from the results of E. Artal on the computation of the depth of a character. This depth can be decomposed into a projective term and a quasi-projective term, vanishing for characters that ramify along all the lines. An algorithm to compute the projective part is given by A. Libgober. E. Artal focuses on the quasi-projective part and gives a method to compute it from the image by the character of certain cycles of the complement. We use our results on the inclusion map of the boundary manifold to determine these cycles explicitly. Combined with the work of E. Artal we obtain an algorithm to compute the quasi-projective depth of any character. From the study of this algorithm, we obtain a strong combinatorial condition on characters to admit a quasi-projective depth potentially not determined by the combinatorics. With this property, we define the inner-cyclic characters. From their study, we observe a strong condition on the combinatorics of an arrangement to have only characters with null quasi-projective depth. Related to this, in order to reduce the number of computations, we introduce the notion of prime combinatorics. If a combinatorics is not prime, then the characteristics varieties of its realizations are completely determined by realization of a prime combinatorics with less line. In parallel, we observe that the composition of the map induced by the inclusion with specific characters provide topological invariants of the blow-up of arrangements. We show that the invariant captures more than combinatorial information. Thereby, we detect two new examples of nc-Zariski pairs.

La résolution efficace de certaines questions de géométrie algorithmique, par exemple les calculs de visibilité ou l'approximation de forme, soulève de nouvelles questions de géométrie des droites, domaine classique dont l'origine remonte à la seconde moitié du 19e siècle. Ce mémoire s'inscrit dans ce cadre, et étudie les nombres de Helly de certains ensembles de droites, un indice reliée à certains théorèmes de la base apparaissant en optimimisation combinatoire. Formellement, le nombre de Helly d'une famille d'ensembles d'intersection vide est le cardinal de sa plus petite sous-famille d'intersection vide et minimale pour l'inclusion relativement à cette propriété. En 1957, Ludwig Danzer a formulé la conjecture que pour tout $d \ge 2$ il existe une constante $h_d$ telle que pour toute famille $\{B_1, \ldots, B_n\}$ de boules deux à deux disjointes et de même rayon, le nombre de Helly de $\{T(B_1), \ldots, T(B_n)\}$ est au plus $h_d$; ici, $T(B_i)$ désigne l'ensemble des droites coupant $B_i$. Danzer a, de plus, spéculé que la constante $h_d$ (minimale) croît strictement avec $d$. Nous prouvons que de telles constantes existent, et que $h_d$ est au moins $2d-1$ et au plus $4d-1$ pour tout $d \ge 2$. Cela prouve la première conjecture et étaye la seconde. Nous introduisons, pour étudier les conjectures de Danzer, un analogue local du nombre de Helly que nous appellons nombre d'épinglement et qui se rattache à la notion d'immobilisation étudiée en robotique. Nous montrons que le nombre d'épinglement est borné pour toute famille (suffisament générique) de polyèdres ou d'ovaloides de $R^3$, deux cas où les nombres de Helly peuvent être arbitrairement grands. Un théorème de Tverberg énonce que si $\{B_1, \ldots, B_n\}$ est une famille de convexes du plan disjoints et congruents par translation alors le nombre de Helly de $\{T(B_1), \ldots, T(B_n)\}$ est au plus $5$. Quoique relativement différentes, notre preuve et celle de Tverberg exploitent toutes deux le fait que toute intersection d'au moins deux $T(B_i)$ a un nombre borné de composantes connexes, chacune contractile. Par des considérations sur l'homologie de projections de complexes et d'ensembles simpliciaux, nous unifions ces deux preuves et montrons que cette condition topologique suffit à établir une borne explicite sur le nombre de Helly.

Cette thèse a pour première vocation d'être un état de l'art sur le calcul quantique, sinon exhaustif, simple d'accès (chapitres 1, 2 et 3). La partie originale de cet essai consiste en deux approches mathématiques du calcul quantique concernant quelques systèmes quantiques : la première est de nature algébrique et fait intervenir des structures particulières : les corps et les anneaux de Galois (chapitre 4), la deuxième fait appel à la géométrie dite projective (chapitre 5). Cette étude a été motivée par le théorème de Kochen et Specker et par les travaux de Peres et Mermin qui en ont découlé

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En 1849, Arthur Cayley et George Salmon démontrent que toute surface cubique contient exactement vingt-sept droites. Résultat célèbre de la deuxième moitié du 19ème siècle, ce théorème a notamment donné lieu à des recherches sur une équation algébrique particulière appelée "équation aux vingt-sept droites". Dans notre thèse, nous étudions les rapprochements entre groupes, équations et géométrie opérés dans ces recherches. Après un travail préparatoire mettant en place certains points mathématiques et chronologiques associés aux vingt-sept droites, nous nous intéressons au Traité des substitutions et des équations algébriques de Camille Jordan, publié en 1870. Cet ouvrage contient une section consacrée à l'équation aux vingt-sept droites dont nous analysons en détail les mathématiques. Pour mettre en contexte certains points, un corpus plus large est ensuite construit autour des "équations de la géométrie", famille d'équations associées à des configurations géométriques dont les vingt-sept droites ne sont qu'un exemple. Ce corpus s'étend de 1847 à 1896, et ses principaux auteurs sont Jordan, Alfred Clebsch et Felix Klein. Dans le but de rendre compte de l'organisation particulière du savoir partagé dans le corpus, nous discutons et utilisons alors la notion de "culture". Enfin, nous étudions précisément deux textes du corpus proposant de géométriser certaines parties de l'algèbre et nous montrons en quoi les équations de la géométrie ont participé à une compréhension géométrique de la théorie des substitutions ainsi qu'à l'élaboration des idées du Programme d'Erlangen de Klein (1872). / In 1849, Arthur Cayley and George Salmon proved that every cubic surface contains exactly twenty-seven lines. A famous result in the second half of the 19th century, this theorem gave rise to research about a particular algebraic equation called the "twenty-seven lines equation." In our thesis, we study how groups, equations, and geometry interact throughout this research. After a preparatory work presenting some mathematical and chronological points about the twenty-seven lines, we look into Camille Jordan's Traité des substitutions et des équations algébriques, published in 1870. This book contained a section devoted to the twenty-seven lines equation, the mathematics of which we thoroughly study. In order to contextualize some elements, a larger corpus is then built around "geometrical equations," a family of equations linked to geometrical configurations among which the twenty-seven lines are just one example. The corpus extends from 1847 to 1896 and its main authors are Jordan, Alfred Clebsch, and Felix Klein. Aiming at describing the particular organization of the knowledge shared in the corpus, we then discuss and use the notion of "culture." Finally, we closely study two texts of the corpus, each of them presenting a geometrization of a part of algebra, and we ascertain that geometrical equations participated to a geometrical understanding of substitution theory as well as the elaboration of the ideas of Klein's Erlanger Programm (1872).

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Systématiser : tel est le leitmotiv des résultats de cette thèse portant sur trois domaines d'étude en vision et en géométrie algorithmique. Dans le premier, nous étendons toute la machinerie du modèle sténopé des appareils photos classiques à un ensemble d'appareils photo (deux fentes, à balayage, oblique, une fente) jusqu'à présent étudiés séparément suivant différentes approches. Dans le deuxième, nous généralisons avec peu d'efforts aux convexes de R3 l'étude des épinglages de droites ou de boules, menée différemment selon la nature des objets considérés. Dans le troisième, nous tentons de dégager une approche systématique pour élaborer des stratégies d'évaluation polynomiale de prédicats géométriques, les méthodes actuelles étant bien souvent spécifiques à chaque prédicat étudié. De tels objectifs ne peuvent être atteints sans un certain investissement mathématique dans l'étude des congruences linéaires de droites, de propriétés différentielles des ensembles de tangentes à des convexes et de la théorie des invariants algébriques, respectivement. Ces outils ou leurs utilisations reposent sur la géométrie de P3 (R), construite dans la seconde moitié du XIXe siècle mais pas complètement assimilée en géométrie algorithmique et dont nous proposons une synthèse adaptée aux besoins de la communauté. / Systematize is the leitmotiv of the results in this thesis. Three problems are studied in the field of computer vision and computational geometry. In the first one, we extend all the machinery of the pinhole model for classical cameras to a whole set of cameras (two-slit, pushbroom, oblique, pencil), which were separately studied with different approaches. In the second one, we generalize to convex bodies in R3 the work on pinning lines by or balls, which had so far been tackled by techniques intimately linked to the geometry of the objects. In the third one, we attempt to work out a systematic approach in place of problem-specific methods in order to build polynomial evaluation trees for geometric predicates. Such goals could not be reached without a mathematical investigation in the study of linear line congruences, differential properties of sets of tangent lines to a convex and classical invariant theory respectively. These tools or their uses are mostly based on line geometry in P3 (R). This geometry was designed in the second half of the 19th century but its full power hos not yet been used by the computational geometry community. This thesis therefore also serves as an extended tutorial.

Cette thèse traite de la Vision par Ordinateur - VO - et de sa relation avec l'Intelligence Artificielle - IA. Elle est composée de trois parties. La partie I "La Vision par Ordinateur - présentation et réflexions" donne, après une définition des deux domaines, un aperçu des approches théoriques et des réalisations existantes en VO utilisant des concepts de l'IA. Nous développons ensuite notre approche qui intégre 1e concept de structures de contrôle au sens de l'IA dans un système algorithmique incrémental (à base de coroutines). Cette approche, et quelques applications du système CAIMAN qui en résulte, sont détaillées dans les parties II et III_ La partie II "De la construction d'indices visuels" analyse des problèmes algorithmiques importants pour la vision "de bas niveau", notamment celui de l'extraction de segments de droites- La partie III "Sur la reconnaissance d'objets" étudie le problème de l'interprétation d'indices visuels en termes de modèles symboliques, et analyse plusieurs méthodes d'IA <br />permettant d'en maîtriser la combinatoire, en particulier la stratégie de prédiction - vérification

Pour une variété affine S définie sur un corps k de caracteristique nulle, il y a une correspondence bijective entre les actions algébriques du groupe additif k+=(k,+) sur S et les dérivations localement nilpotentes de l'algèb re des fonctions régulières sur S. Dans cette thèse, nous transposons cette équi valence entre actions et dérivations à la situation plus générale où π:S → X est un schéma de base X donnée, admettant des actions d'un fibré en droites p:L → X sur X. Nous étudions en détail une sous-classe de schémas S de ce type, ayant la propriété d'être muni d'une structure de fibré principal homogène sous l'action d'un second fibré en droites p':L' → Y sur un X-schéma δ:Y → X, de telle sorte que l'action de δ*L sur S se factorise via celle de L'. Nous les appelons schémas de Danielewski-Fieseler. Nous donnons plusieurs procédés de construction de ces schémas. En particulier, lorsque X est affine, nous décrivons un algorithmique permettant d'obtenir des plongements explicites d'un schéma de ce type dans un espace affine relatif de base X. Dans un second temps, nous étudions la situation où le schéma de base X est une droite affine sur un corps k de caractéristique nulle. Dans ce cas, nous établissons qu'un sc héma de Danielewski-Fieseler X est déterminé de manière unique par la donnée combinatoire d'un arbre pondéré. Nous donnons une classification de ces schémas en fonction des arbres associés. Finalement, nous caractérisons les schémas de ce type qui admettent plusieurs actions du groupe additif k+ avec orbites générales distinctes.

L'objet de cette thèse est l'étude de quelques problèmes de géométrie différentielle, dans les cadres complexe et presque complexe. Nous donnons d'abord des formules de type Bochner-Kodaira-Nakano pour des fibrés hermitiens au-dessus de variétés respectivement hermitiennes, presque kählériennes et presque complexes. Puis dans un deuxième temps, à l'aide d'une des formules précédentes, nous obtenons dans le cas complexe des estimées asymptotiques d'une partie du spectre de certains opérateurs différentiels : considérant une $(1,1)$-forme réelle fermée $\alpha$ (non nécessairement entière) sur une variété complexe compacte de dimension $n$, nous construisons une suite (indexée par $k$) de fibrés en droites hermitiens dont les formes de courbure approchent $k\alpha$. Les estimées asymptotiques portent sur le bas du spectre des laplaciens antiholomorphes associés aux fibrés, et la plus significative fait intervenir l'intégrale de $\alpha^n$ au-dessus des points d'indice 0 ou 1 de la variété. Elle n'est pertinente que si cette dernière intégrale est strictement positive.