Verbindungen zwischen Musik und Mathematik aus naturwissenschaftlicher, musiktheoretischer und pädagogischer Perspektive und deren did.-meth. Möglichkeiten im Unterricht der Grundschule

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A general class of fluctuation tests for parameter instability in an M-estimation framework is suggested. The tests are based on partial sum processes of M-estimation scores for which functional central limit theorems are derived under the null hypothesis of parameter stability and local alternatives. Special emphasis is given to parameter instability in (generalized) linear regression models and it is shown that the introduced M-fluctuation tests contain a large number of parameter instability or structural change tests known from the statistics and econometrics literature. The usefulness of the procedures is illustrated using artificial data and data for the German M1 money demand, historical demographic time series from Großarl, Austria, and youth homicides in Boston. / Series: Report Series SFB "Adaptive Information Systems and Modelling in Economics and Management Science"

Convolution and, as a special case, autoconvolution of functions are important in many branches of mathematics and have found lots of applications, such as in physics, statistics, image processing and others. While it is a relatively easy task to determine the autoconvolution of a function (at least from the numerical point of view), the inverse problem, which consists in reconstructing a function from its autoconvolution is an ill-posed problem. Hence there is no possibility to solve such an inverse autoconvolution problem with a simple algebraic operation. Instead the problem has to be regularized, which means that it is replaced by a well-posed problem, which is close to the original problem in a certain sense. The outline of this thesis is as follows: In the first chapter we give an introduction to the type of inverse problems we consider, including some basic definitions and some important examples of regularization methods for these problems. At the end of the introduction we shortly present some general results about the convergence theory of Tikhonov-regularization. The second chapter is concerned with the autoconvolution of square integrable functions defined on the interval [0, 1]. This will lead us to the classical autoconvolution problems, where the term “classical” means that no kernel function is involved in the autoconvolution operator. For the data situation we distinguish two cases, namely data on [0, 1] and data on [0, 2]. We present some well-known properties of the classical autoconvolution operators. Moreover, we investigate nonlinearity conditions, which are required to show applicability of certain regularization approaches or which lead convergence rates for the Tikhonov regularization. For the inverse autoconvolution problem with data on the interval [0, 1] we show that a convergence rate cannot be shown using the standard convergence rate theory. If the data are given on the interval [0, 2], we can show a convergence rate for Tikhonov regularization if the exact solution satisfies a sparsity assumption. After these theoretical investigations we present various approaches to solve inverse autoconvolution problems. Here we focus on a discretized Lavrentiev regularization approach, for which even a convergence rate can be shown. Finally, we present numerical examples for the regularization methods we presented. In the third chapter we describe a physical measurement technique, the so-called SD-Spider, which leads to an inverse problem of autoconvolution type. The SD-Spider method is an approach to measure ultrashort laser pulses (laser pulses with time duration in the range of femtoseconds). Therefor we first present some very basic concepts of nonlinear optics and after that we describe the method in detail. Then we show how this approach, starting from the wave equation, leads to a kernel-based equation of autoconvolution type. The aim of chapter four is to investigate the equation and the corresponding problem, which we derived in chapter three. As a generalization of the classical autoconvolution we define the kernel-based autoconvolution operator and show that many properties of the classical autoconvolution operator can also be shown in this new situation. Moreover, we will consider inverse problems with kernel-based autoconvolution operator, which reflect the data situation of the physical problem. It turns out that these inverse problems may be locally well-posed, if all possible data are taken into account and they are locally ill-posed if one special part of the data is not available. Finally, we introduce reconstruction approaches for solving these inverse problems numerically and test them on real and artificial data.

In der vorliegenden Arbeit werden lineare Systeme elliptischer partieller Differentialgleichungen in schwacher Formulierung auf konischen Gebieten untersucht. Auf einem zunächst unbeschränkten Kegelgebiet betrachten wir den Fall beschränkter und nur von den Winkelvariablen abhängiger Koeffizientenfunktionen. Die durch selbige definierte Bilinearform genüge einer Gårdingschen Ungleichung. In gewichteten Sobolevräumen werden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen geklärt, wobei das Problem mittels Fouriertransformation auf eine von einem komplexen Parameter abhängige Familie T(·) von Fredholmoperatoren zurückgeführt wird. Unter Anwendung des Residuenkalküls gewinnen wir eine Darstellung der Lösung in Form einer Zerlegung in einen glatten Anteil einerseits sowie eine endliche Summe von Singulärfunktionen andererseits. Durch Abschneidetechniken werden die gewonnenen Erkenntnisse auf den Fall schwach formulierter elliptischer Systeme auf beschränkten Kegelgebieten unter Formulierung in gewöhnlichen, nicht-gewichteten Sobolevräumen angewendet. Die für Regularitätsfragen maßgeblichen Eigenwerte der Operatorfunktion T mit minimalem positiven Imaginärteil werden im letzten Kapitel der Arbeit am Beispiel der ebenen elastischen Gleichungen numerisch bestimmt. / In the present PhD thesis we investigate systems of linear partial elliptic equations in weak formulation on conical domains. For an unbounded cone, first, we study the case of bounded and radially constant coefficient functions. The so defined bilinear form is supposed to satisfy a (local) Gårding inequality. In weighted Sobolev spaces we study questions of existence and uniqueness of solutions. In this context the problem is Fourier-transformed onto a set of smaller problems, represented by Fredholm operators T(·) that holomorphically depend on a complex parameter. Via the residual theorem we yield a decomposition of the solution into a regular part and a finite sum of singular functions. Using cut-off techniques we are able to transfer the preceeding results onto the case of weak formulated linear elliptic systems on bounded cones under restriction to usual, non weighted Sobolev spaces. In the last chapter, the eigenvalues of T with minimal positive imaginary part, which are responsible for regularity properties, are numeriaclly determined for the example of the plane Elastic Equations.

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Es werden die Parameter Summe-G2/GF und G0/G1 der hochauflösenden, zweiparametrigen Zellzyklusanalyse von Lymphozyten bei Fanconi-Anämie-Patienten, bei denen mehrere Meßwerte vorliegen, im Hinblick auf Schwankungen untersucht. Nach Auswertung der Daten stellen die Werte keine konstanten Parameter für den einzelnen Patienten dar. Die Langzeitanalyse des Zellzyklusverhaltens peripherer Blutlymphozyten reflektiert jedoch weitgehend die klinische Situation der Patienten. / Two Parameter - Sum of G2/GF and G0/G1 - of twoparametric, high definition Cellcycle Analyses from Lymphocytes of Fanconi-Anemia-Patients were examined over the time. After Evaluation of Data it became clear, that Sum G2/GF and G0/G1-Parameter are not constant for each Patient over the time. But the longtime Analyses of peripheric Lymphocytes showed that they almost represent the clinical Situation of a Patient.

Das Wissen über Kognition oder metakognitives Wissen ist seit den 1970er Jahren Gegenstand der entwicklungspsychologischen Forschung. Besonders umfangreich wurde Entwicklung und Bedeutung des metakognitiven Wissens im Kontext der Gedächtnisentwicklung vom Vorschul- bis ins Grundschulalter untersucht. Das metakognitive Wissen im Inhaltsbereich der mathematischen Informationsverarbeitung ist – trotz elaborierter theoretischer Modelle über Struktur und Inhalt – empirisch weitgehend unerschlossen. Die vorliegende Studie wurde durchgeführt, um systematisch zu untersuchen, wie sich das mathematische metakognitive Wissen in der Sekundarstufe entwickelt, welche Faktoren für individuelle Unterschiede in der Entwicklung verantwortlich sind und in welchem Zusammenhang die metakognitive Wissensentwicklung mit der parallel verlaufenden Entwicklung mathematischer Kompetenzen steht. Zur Klärung der Fragestellungen wurden vier Messzeitpunkte einer breiter angelegten Längsschnittuntersuchung ausgewertet. Der dabei beobachtete Zeitraum umfasste die fünfte und sechste Jahrgangsstufe. Die Stichprobe bestand aus 928 Schülern der Schularten Gymnasium, Realschule und Hauptschule. Die Messinstrumente zur Erfassung der Entwicklungsveränderungen im mathematischen metakognitiven Wissen und der Mathematikleistung wurden auf Grundlage der item response theory konstruiert und mittels vertikalem linking fortlaufend an den Entwicklungsstand der Stichprobe angepasst. Zusätzlich wurden kognitive (Intelligenz und Arbeitsgedächtniskapazität), motivationale (mathematisches Interesse und Selbstkonzept) und sozioökonomische Merkmale (sozioökonomischer Status der Herkunftsfamilie) der Schüler erhoben. Die Lesekompetenz wurde als Methodenfaktor kontrolliert. Entwicklungsunterschiede und -veränderungen im metakognitiven Wissen wurde mit Hilfe von latenten Wachstumskurvenmodellen untersucht. Im beobachteten Zeitraum zeigte sich eine stetige Zunahme des metakognitiven Wissens. Allerdings verlief die Entwicklungsveränderung nicht linear, sondern verlangsamte sich im Verlauf der sechsten Jahrgangsstufe. Individuelle Unterschiede in Ausprägung und Veränderung des metakognitiven Wissens wurden durch kognitive und sozioökonomische Schülermerkmale vorhergesagt. Die motivationalen Merkmale wirkten sich demgegenüber nicht auf den Entwicklungsprozess aus. Geschlechtsunterschiede zeigten sich im Entwicklungsverlauf als Schereneffekt zugunsten der Mädchen. Unterschiede zwischen den Schülern der drei Schularten erreichten bereits zum Eintritt in die Sekundarstufe Signifikanz. Zudem gewannen Gymnasiasten und Hauptschüler im Entwicklungsverlauf stärker an metakognitivem Wissen hinzu als Realschüler. Explorative Mischverteilungsanalysen in der Stichprobe ergaben drei latente Entwicklungsklassen mit jeweils charakteristischem Veränderungsverlauf. Die Klassenzuweisung wurde von der besuchten Schulart sowie kognitiven und sozioökonomischen Schülermerkmalen vorhergesagt. Die Entwicklungsprozesse im mathematischen metakognitiven Wissen und der mathematischen Leistung standen in einem substanziellen, wechselseitigen Zusammenhang. Geschlechts- und Schulartunterschiede blieben ebenso wie die korrelativen Zusammenhänge zwischen den Entwicklungsprozessen auch nach Kontrolle der individuellen Unterschiede in kognitiven, motivationalen und sozioökonomischen Merkmalen erhalten. Die Befunde bestätigen die konstruktivistischen Entwicklungsannahmen der gedächtnispsychologisch geprägten Grundlagenforschung zum metakognitiven Wissen. Zudem wird mit der Untersuchung des mathematischen metakognitiven Wissens in der Sekundarstufe der traditionelle Forschungsfokus inhaltlich erweitert. Das im Rahmen der Studie konstruierte Instrument zur Erfassung des mathematischen metakognitiven Wissens ermöglicht die Untersuchung weiterer, bislang offener Fragen auf dem Gebiet der metakognitiven Entwicklung. / Knowledge about cognition or metacognitive knowledge has been a subject of interest in developmental psychology since the 1970s. The main focus has been on the development and impact of metacognitive knowledge on memory development during preschool and primary school. Despite elaborated theoretical models of structure and content, there is hardly any empirical research on metacognitive knowledge on mathematical information processing. This study investigated systematically the development of mathematical metacognitive knowledge in secondary school, the impact of individual determinants on developmental differences and the relation among the developmental processes in metacognitive knowledge and in mathematical achievement. The analyses were based on data of four measurement points of a larger longitudinal study. The observed time period spanned Grades 5 and 6. The sample included 928 students in the three main tracks of the German secondary educational system (academic, intermediate and vocational track). The instruments used to assess developmental changes in mathematical metacognitive knowledge and mathematics achievement were constructed according to the item response theory. In order to consider the developmental progress of the sample, instruments were consecutively adapted by vertical linking. Additionally, cognitive (intelligence and working memory capacity), motivational (mathematical interest and self-concept) and socioeconomic (socioeconomic status of family) traits were assessed. Reading competency was controlled as method factor. Developmental differences and changes in metacognitive knowledge were analyzed by latent growth curve models. The sample showed a continuous growth in metacognitive knowledge. The developmental progress, however did not proceed linearly, but decelerated during the course of Grade 6. Cognitive and socioeconomic traits predicted developmental differences and changes in metacognitive knowledge. Motivational traits, though, had no impact on the developmental process. Gender differences showed up as differential gains in favor of female students. Right at the first measurement point, effects of school tracking were significant. Over the observed period, students of the academic and the vocational track achieved a stronger growth in metacognitive knowledge than students in the intermediate track. Explorative mixture distribution modeling resulted in three latent classes of developmental change. The class allocation was predicted by school track, cognitive and socioeconomic traits. The developmental processes of mathematical metacognitive knowledge and mathematics achievement were bidirectionally related. Developmental differences in both grouping variables, gender and school track, as well as correlational relations between the observed developmental processes remained significant under control for students´ cognitive, motivational and socioeconomic traits. These findings essentially confirm the constructivist assumption of metacognitive knowledge development as postulated in memory research. Additionally, the investigation of mathematical metacognitive knowledge in secondary school widens substantially the traditional focus of research. The instrument to assess metacognitive knowledge which was constructed as part of this study allows future research in the field of metacognitive development.

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