In der vorliegenden Arbeit wird eine einheitliche und allumfassende Theorie der Nicht-linearen Polarisationsspektroskopie in der Frequenzdomäne (NLPF) aufgestellt. Dies Methode basiert auf der in einer isotropen Farbstofflösung durch ein polarisiertes, monochromatisches Laserfeldes (pump) erzeugten Anisotropie, die mittels eines weiteren monochromatischen Laserfeldes (probe), mit einer um 45° gegenüber dem Pumpfeld gedrehten Polarisationsrichtung geprobt wird. Ausgehend von den grundlegenden Gleichungen für den nichtlinearen Respons molekularer Systeme auf elektromagnetische Felder wird das zweidimensional NLPF-spektrum hergeleitet, und zwar sowohl in der niedrigsten Ordnung Störungstheorie als auch unter Verwendung eines selbstkonsistenten Ansatzes für beliebige Pumpfeldstärken. In der niedrigsten Ordnung Störungstheorie können drei in ihrer Frequenzabhängigkeit sich unterscheidende Arten von Ausdrücke explizit angegeben werden. Diese sind drei Areten von Peaks im NLPF-spektrum zuzuordnen: Den T2-peaks, dem T1-peaks und den Zweiphotonen-peaks. Letztere sind unter Normalbedingungen im allgemeinen nicht beobachtbar und wurden daher nicht weiter behandelt. Die in dieser Arbeit erstmals gelungene, allgemeine und einheitliche theoretische Beschreibung der T1- und T2-peaks in NLPF-spektren von Mehrniveausystemen stellt einen Durchbruch hin zu einer allumfassenden Subbandenanalyse mittels NLPF dar. Durch Einbeziehung der teilweise bereits bekannten Auswirkungen homogener und inhomogener Linienverbreiterung und spektraler Diffusion auf NLPF-spektren, sowie deren Verallgemeinerung im Ramen der Theorie nichtmarkowscher Dissipationsprozesse, konnte eine Methodik entwickelt werden, die es erlaubt, NLPF-spektren molekularer und supramolekularer Systeme in Bezug auf das ihnen zugrundeliegende Termschema mit Übergangsfrequenzen und -dipolen, die homogenen und inhomogenen Linienbreiten, sowie dem zugeordneten Energierelaxations- und -transferpfad mitsamt zugehörigen Raten zu analysieren. Die in dieser Arbeit vorgestellte und über frühere rudimentäre Ansätze weit hinausgehende Theorie der NLPF bei starken Pumpfeldern, die auf einem selbstkonsistenten Ansatz für den Fourier-transformierten statistischen Operator beruhen, eröffnet ein komplett neues Feld von Anwendungen der NLPF. Für Zweiniveausysteme konnten die selbstkonsistenten Gleichung vollständig analytisch gelöst werden. Dabei konnten die Querverbindungen zur nichtlinearen Absorption und zum optischen Starkeffekt aufgezeigt werden. Aus der resultierenden Sättigungskurve für das NLPF-signal kann die Sättigungsintensität mit hoher Genauigkeit bestimmt werden. Diese kann unter Heranziehen der aus Analyse des T1-peaks bei niedrigen Intensitäten gewonnen Energierelaxationsrate und der analog aus T2-peakanalyse erhaltenen homogenen Linienbreite zur Bestimmung der Dipolstärke des Übergangs ohne Bestimmung der Farbstoffkonzentration verwendet werden. Dies erweist sich insbesondere bei der Analyse molekularer Aggregation als vorteilhaft. Durch Abbildung auf das gelöste Zweiniveauproblem konnte die Methodik auch auf spezielle Mehrniveausysteme übertragen werden. Eine analytische Lösung für allgemeine Mehrniveausysteme scheiterte jedoch an der komplizierten Orientierungsmittelung über die isotrope Verteilung der Übergangsdipole. Beide oben beschriebenen Methoden, Subbandanalyse bei niedrigen und Bestimmung der Übergangsdipolstärke bei hohen Pumpintensitäten, wurden in der vorliegenden Arbeit zur Untersuchung der Natur der angeregten Zustände in photosynthetischen Antennen von Purpurbakterien und höheren Pflanzen eingesetzt. Für die periphere lichtsammelnde Antenne LH2 des Purpurbakteriums Rhodobacter sphaeroides ergab die T2-peakanalyse der B850-absorptionsbande überraschenderweise zwei Subbanden, die im Absorptionsspektrum selbst bei tiefsten Temperaturen nicht aufzufinden gewesen wären. Eine Erklärung für die in Bezug auf die Oszilatorstärke asymmetrische Aufspaltung der B850-bande konnte allerdings nicht gefunden werden. Für den LH2 des sehr ähnliche Purpurbakterium Rhodospirillium molischianum konnte keine Aufspaltung der B850-bande festgestellt werden. Vielmehr liegt eine überwiegend homogen verbreiterte Bande mit einer homogener Linienbreite (FWHM) von 474±10 cm-1 und einem oberen limit für die inhomogene Linienbreite von 120 cm-1 vor. Daher wurde Rhodospirillium molischianum ausgewählt, um Delokalisation der Anregung im B850-aggregat mittels pumpintensitätsabhängiger NLPF zu untersuchen. Die Frage nach der Delokalisationslänge im B850-aggregat gab und gibt teilweise immer noch Anlass zu hitzigen Debatten. Das Ergebnis einer Ausdehnung der Anregung über 3-4 Bakteriochlorophylle des B850-aggregats der vorliegenden Arbeit unterstützt die aus Exciton-Exciton gewonnen Resultate. Weder eine vollständig lokalisierte noch vollständig delokalisierte Beschreibung war mit dem hier präsentierten Ergebnis in Übereinstimmung zu bringen. Auch im Hauptlichtsammelkomplex höherer Pflanzen LHC II konnte mittels pumpintensitätsabhängiger NLPF-spektren Delokalisation der Anregung über mindestens ein Chlì¥Á / In the work be presented a standard theory of non-linear polarization spectroscopy in the frequency domain (NLPF) will be established. The NLPF technique based on anisotropy induced in a dye-solution, which is isotropic elsewhere, by a polarized monochromatic pump laser field. This is probed by a second laser field, which polarization direction is turned of 45 degree in respect to that of the pump. From the fundamental equations describing the non-linear response of molecular systems on electromagnetic fields, the two-dimensional NLPF spectrum is deduced for arbitrary pump-intensities. At low pump-intensities a subband analysis by NLPF has been established. This allows one to study the term scheme and energy relaxation path of molecular and supra-molecular systems by their NLPF-spectra. This includes the determination of transition-frequencies and -dipole orientations, homogeneous and inhomogeneous linewidths, as well as energy relaxation rates. Furthermore, using a self-connsistent approach, the pump-fieled dependence of the NLPF-spectrum has been deduced for the two-level system in general and also for specific multi-level systems. This method allows one to determine the oscillator strength without knowledge of the concentration, what is quite useful for studying molecular aggregates. Applications are presented to the peripheral light harvesting antenna LH2 of purple bacteria and the light harvesting complexes LHC II and CP 29 of higher plants.

Für zufällige dynamische Systeme mit stetiger Zeit existieren zwei wichtige Klassen von Generatoren: Zum einen stationäre zufällige ifferentialgleichungen, i.e. gewöhnliche Differentialgleichungen, die von einem stationärer zufälligen Vektorfeld getrieben werden, und zum anderen stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen mit weißem Rauschen. Während die erste Klasse sich gut in den ergodentheoretischen Rahmen der Theorie der zufälligen dynamischen Systeme einfügt, widersetzte sich die zweite Klasse lange Zeit der dynamischen Untersuchung aufgrund des "Konflikts zwischen Ergodentheorie und stochastischer Analysis". In dieser Arbeit wird gezeigt, daß beide Klassen von zufälligen dynamischen Systemen nicht wesentlich verschieden sind, genauer: Zu jeder stochastischen Stratonovichdifferentialgleichung mit weißem Rauschen (unter den üblichen Regularitätsforderungen an die Vektorfelder, die die Existenz von Flüssen garantieren) existiert eine stationäre zufällige Differentialgleichung derart, daß die erzeugten zufälligen dynamischen Systeme konjugiert sind. Als Anwendung wird eine Version des lokalen Linearisierungssatzes von Hartman/Grobman für stochastische Stratonovichdifferentialgleichungen bewiesen. / For continuous time random dynamical systems there exist two important classes of generators: on the one hand stationary random differential quations, i.e. ordinary differential equations driven by a stationary random vector field, and on the other hand stochastic Stratonovich differential equations with white noise. While the first class fits well into the framework of the theory of random dynamical systems, the second class resisted for a long time the dynamical investigation due to the "conflict between ergodic theory and stochastic analysis". The main result of this thesis is that both classes of random dynamical systems are not essentially distinct, more precisely: For each stochastic Stratonovich differential equation with white noise (under usual regularity assumptions) there exists a stationary random differential equation such that the corresponding random dynamical systems are conjugate. As an application a version of the local Hartman/Grobman theorem for stochastic differential equations is proved.

Die Frage nach dem Verstäandnis der Topologie symplektischer Mannigfaltigkeiten erhielt immer größere Aufmerksamkeit, insbesondere seit den Arbeiten von A. Weinstein und V. Arnold. Ein bewährtes Mittel ist dabei die Theorie der Gromov-Witten-Invarianten. Eine Gromov-Witten-Invariante zählt Schnitte von rationalen Zyklen mit Modulräumen J-holomorpher Kurven, die eine fixierte Homologieklasse repräsentieren, für eine zahme fast komplexe Struktur. Allerdings ist es im Allgemeinen schwierig, solche Schnittzahlen zu definieren, ohne zusätzliche Annahmen an die symplektische Mannigfaltigkeit zu treffen, da mehrfach überlagerte J-holomorphe Kurven mit negativer Chernzahl vorkommen können. Die vorliegende Dissertation folgt einem alternativen Ansatz zur Definition von Gromov-Witten-Invarianten, der von K. Cieliebak und K. Mohnke eingeführt wurde. Dieser Ansatz liefert für jede fixierte Homologieklasse einen Pseudozykel für jede geschlossene glatte Mannigfaltigkeit mit einer rationalen symplektischen Form. Wir erweitern diesen Ansatz in der vorliegenden Arbeit für eine beliebige symplektische Form. Wie bereits in der ursprünglichen Arbeit betrachten wir nur den Fall holomorpher Sphären. Wir zeigen, dass für jede Klasse der zweiten Koholomogie eine offene Umgebung existiert, so dass für zwei beliebige rationale symplektische Formen, desser Klassen in der gewählten Umgebung liegen, die dazugehörigen Pseudozykel rational kobordant sind. Der Beweis basiert auf einer Modifikation der Argumente des Ansatzes von Cieliebak und Mohnke für den Fall von zwei sich transversal schneidenden Hyperflächen, die jeweils zu verschiedenen symplektischen Formen gehören. / The question of understanding the topology of symplectic manifolds has received great attention since the work of A. Weinstein and V. Arnold. One of the established tools is the theory of Gromov-Witten invariants. A Gromov-Witten invariant counts intersections of rational cycles with the moduli space of J-holomorphic curves representing a fixed class for a tame almost complex structure. However, without imposing additional assumptions on the symplectic manifold such counts are difficult to define in general due to the occurence of multiply covered J-holomorphic curves with negative Chern numbers. This thesis deals with an alternative approach to Gromov-Witten invariants introduced by K. Cieliebak and K. Mohnke. Their approach delivers a pseudocycle for any closed symplectic manfold equipped with a rational symplectic form. Here this approach is extended to the case of an arbitrary symplectic form on a closed symplectic manifold.As in the original work we consider only the case of holomorphic spheres. We show that for any second cohomology class there exists an open neighbourhood, such that for any two rational symplectic forms, whose cohomolgy classes are contained in this neighbourhood, the corresponding pseudocycles are rationally cobordant. The proof is based on an adaptation of the arguments from the original Cieliebak-Mohnke approach to a more general situation - presence of two transversely intersecting hypersurfaces coming from two different symplectic forms.

In dieser Arbeit untersuchen wir die Struktur von Gausschen Prozessen, die durch gewisse lineare Transformationen von zwei Gausschen Martingalen erzeugt werden. Die Klasse dieser Transformationen ist durch nanzmathematische Gleichgewichtsmodelle mit heterogener Information motiviert. In Kapital 2 bestimmen wir für solche Prozesse, die zunächst in einer erweiterten Filtrierung konstruiert werden, die kanonische Zerlegung als Semimartin-gale in ihrer eigenen Filtrierung. Die resultierende Drift wird durch Volterra-Kerne beschrieben. Insbesondere charakterisieren wir diejenigen Prozesse, die in ihrer eigenen Filtrierung eine Brownsche Bewegung bilden. In Kapital 3 konstruieren wir neue orthogonale Zerlegungen der Brownschen Filtrierungen. In den Kapitaln 4 bis 6 wenden wir unsere Resultate zur Charakterisierung Brownscher Bewegungen im Kontext nanzmathematischer Modelle an, in denen es Marktteilnehmer mit zusätzlicher Insider-Information gibt. Wir untersuchen Erweiterungen eines Gleichgewichtsmodells von Kyle [42] und Back [7], in denen die Insider-Information in verschiedener Weise durch Gaussche Martingale spezifiziert wird. Insbesondere klären wir die Struktur von Insider-Strategien, die insofern unaufallig bleiben, als sich die resultierende Gesamtnachfrage wie eine Brownsche Bewegung verhält. / In this thesis, we study Gaussian processes generated by certain linear transformations of two Gaussian martingales. This class of transformations is motivated by nancial equilibrium models with heterogeneous information. In Chapter 2 we derive the canonical decomposition of such processes, which are constructed in an enlarged ltration, as semimartingales in their own ltration. The resulting drift is described in terms of Volterra kernels. In particular we characterize those processes which are Brownian motions in their own ltration. In Chapter 3 we construct new orthogonal decompositions of Brownian ltrations. In Chapters 4 to 6 we are concerned with applications of our characterization results in the context of mathematical models of insider trading. We analyze extensions of the nancial equilibrium model of Kyle [42] and Back [7] where the Gaussian martingale describing the insider information is specified in various ways. In particular we discuss the structure of insider strategies which remain inconspicuous in the sense that the resulting cumulative demand is again a Brownian motion.

Wir modellieren einen Finanzmarkt mit unendlich vielen Wertpapieren als stochastischen Prozeß X in stetiger Zeit mit Werten in einem separablen Hilbertraum H. In diesem Rahmen zeigen wir die Äquivalenz von Vollständigkeit des Marktes und der Eindeutigkeit des äquivalenten Martingalmaßes unter der Bedingung, daß X stetige Pfade besitzt. Weiter zeigen wir, daß (unter gewissen technischen Bedingungen) für X die Abwesenheit von asymptotischer Arbitrage der ersten/zweiten Art (im Sinne von Kabanov/Kramkov) äquivalent zur Absolutstetigkeit des Referenzmaßes zu einem eindeutigen, lokal äquivalenten Martingalmaß ist. Hat X stetige Pfade, so ist die Abwesenheit von allgemeiner asymptotischer Arbitrage äquivalent zur Existenz eines äquivalenten lokalen Martingalmaßes. Außerdem geben wir ein Kriterium für die Existenz einer optionalen Zerlegung von X an. Dies wenden wir auf das Problem der Risikominimierung bei vorgegebener Investitionsobergrenze (effizientes Hedgen (Föllmer/Leukert)) an, um dieses im unendlichdimensionalen Kontext zu behandeln. Außerdem stellen wir eine unendlichdimensionale Erweiterung des Heath-Jarrow-Morton-Modells vor und nutzen den Potentialansatz nach Rodgers, um zwei weitere Zinsstrukturmodelle zu konstruieren. Als Beitrag zur allgemeinen stochastischen Analysis in Hilberträumen beweisen wir eine pfadweise Version der Itoformel für stochastische Prozesse mit stetigen Pfaden in einem separablen Hilbertraum. Daraus läßt sich eine pfadweise Version des Satzes über die Vertauschbarkeit von stochastischem und Lebesgue-Integral ableiten. Außerdem zeigen wir eine Version der Clark-Formel für eine Brownsche Bewegung mit Werten in einem Hilbertraum. / We model a financial market with infinitely many assets as a stochastic process X with values in a separable Hilbert space H. In this setting we show the equivalence of market completeness and the uniqueness of the equivalent martingale measure, if X has continuous paths. Another result for our model is, that under some technical conditions, the absence of asymptotic arbitrage of the first/second kind (in the sense of Kabanov/Kramkov) is equivalent to the absolute continuity of the reference measure to a unique, locally equivalent, martingale measure. If X has continuous paths, the absence of general asymptotic arbitrage is equivalent to the existence of an equivalent local martingale measure. Furthermore, we give a sufficient condition for the existence of the optional decomposition of X. We apply this result to the problem of risk minimization with given upper limit for investion (efficient hedging (Föllmer/Leukert)). This allows us to solve this optimization problem in our infinite dimensional context. Another result is an infinite dimensional extension of the Heath-Jarrow-Morton term structure model. Two further term structure models are constructed, using the Markov potential approach developed by Rodgers. As a contribution to the theory of stochastic analysis in Hilbert spaces, we proof a pathwise version of the Ito formula for stochastic processes with continuous paths in a separable Hilbert space. This leads to a pathwise version of the interchangability theorem for stochastic and Lebesgue integrals. We also show a version of the Clark formula for Hilbert space valued Brownian motion.

Die vorliegende Arbeit beschaeftigt sich mit Gleichgewichtsproblemen unter Gleichgewichtsrestriktionen, sogenannten EPECs (Englisch: Equilibrium Problems with Equilibrium Constraints). Konkret handelt es sich um gekoppelte Zwei-Ebenen-Optimierungsprobleme, bei denen Nash- Gleichgewichte fuer die Entscheidungen der oberen Ebene gesucht sind. Ein Ziel der Arbeit besteht in der Formulierung dualer Stationaritaetsbedingungen zu solchen Problemen. Als Anwendung wird ein oligopolistisches Wettbewerbsmodell fuer Strommaerkte betrachtet. Zur Gewinnung qualitativer Hypothesen ueber die Struktur der betrachteten Modelle (z.B. Inaktivitaet bestimmter Marktteilnehmer) aber auch fuer moegliche numerische Zugaenge ist es wesentlich, EPEC-Loesungen explizit bezueglich der Eingangsdaten des Problems zu formulieren. Der Weg dorthin erfordert eine Strukturanalyse der involvierten Optimierungsprobleme (constraint qualifications, Regularitaet), die Herleitung von Stabilitaetsresultaten bestimmter mengenwertiger Abbildungen und die Nutzung von Transformationsformeln fuer die sogenannte Ko-Ableitung. Weitere Schwerpunkte befassen sich mit der Beziehung zwischen verschiedenen dualen Stationaritaetstypen (S- und M-Stationaritaet) sowie mit stochastischen Erweiterungen der betrachteten Problemklasse, sogenannten SEPECs. / This thesis is concerned with equilibrium problems with equilibrium constraints or EPECs. Concretely, we consider models composed by coupling together two-level optimization problems, the upper-level solutions to which are non-cooperative (Nash-Cournot) equilibria. One of the main goals of the thesis involves the formulation of dual stationarity conditions to EPECs. A model of oligopolistic competition for electricity markets is considered as an application. In order to profit from qualitative hypotheses concerning the structure of the considered models, e.g., inactivity of certain market participants at equilibrium, as well as to provide conditions useful for numerical procedures, the ablilty to formulate EPEC solutions in relation to the input data of the problem is of considerable importance. The way to do this requires a structural analysis of the involved optimization problems, e.g., constraints qualifications, regularity; the derivation of stability results for certain multivalued mappings, and the usage of transformation formulae for so-called coderivatives. Further important topics address the relationship between various dual stationarity types, e.g., S- and M-stationarity, as well as the extension of the considered problem classes to a stochastic setting, i.e., stochastic EPECs or SEPECs.

In dieser Arbeit werden lambda-Strukturen und s-Strukturen eingeführt, und Funktionen S und Lambda entwickelt, die lambda-Strukturen auf s-Strukturen abbilden und umgekehrt. lambda-Strukturen sind eng verwandt mit den in von Jensen untersuchten Prämäusen (iterierbare Prämäuse dieser Art sind lambda-Strukturen), und s-Strukturen wurden in Anlehnung an die von Mitchell und Steel betrachteten Prämäuse definiert. Wieder sind iterierbare Prämäuse dieser Art auch s-Strukturen. Für die Definition dieser Strukturen wurde eine neue, schwache Form der initial segment condition entwickelt (die s'-ISC), die stark genug für die Anwendungen ist. Um zu zeigen, dass die hier entwickelten Funktionen die gewünschte Korrespondenz realisieren, wurden Methoden zur Übersetzung von Formeln entwickelt, die teilweise sehr allgemein gehalten sind. So ist die Übersetzung von Sigma-1-Formeln, die in einer Nachfolgerstufe der Jensen-Hierarchie gelten, in entsprechende Sigma-omega-Formeln in der Vorgängerstufe, anwendbar auf beliebige J-Strukturen. Es werden normale s-Iterationen eingeführt, die den normalen Iterationen von Prämäusen im Sinne von Mitchell-Steel nachgebildet sind, aber auf lambda-Strukturen angewandt werden, und es wird gezeigt, dass die entwickelten Funktionen komponentenweise auf Iterationen angewandt werden können, um normale s-Iterationen von lambda-Strukturen in normale Iterationen von s-Strukturen zu übersetzen, und umgekehrt. Mit diesen Methoden lassen sich auch Iterationsstrategien übersetzen, und man erhält, dass die entwickelten Funktionen normal s-iterierbare lambda-Strukturen auf normal iterierbare s-Strukturen abbilden, und umgekehrt. Auch bleiben die wesentlichen feinstrukturellen Größen, wie bspw. Projekta, und unter gewissen Voraussetzungen (soundness und 1-solidity) auch die Standard-Parameter, erhalten. / In this work we introduce lambda-structures and s-structures, and develop functions S and Lambda, which map lambda-structures to s-structures and vice versa. lambda-structures are closely related to the premice studied in recent work of Jensen (iterable premice of this kind are lambda-structures), and s-structures were defined with the premice developed by Mitchell and Steel in mind. Again, iterable premice of this kind are s-structures. For the definition of these structures, a new form of the initial segment condition condition, called s'-ISC, was developed, which is a common weakening of the versions used in by Steel and Jensen. It still suffices for the applications. In order to show that the functions introduced establish the desired correspondence, we developed methods for translating formulae, which in part are very generally applicable. For instance, the translation of Sigma-1-formulae which hold in a successor level of the Jensen-hierarchy into corresponding Sigma-omega-formulae in the predecessor level, can be applied to arbitrary J-structures. We introduce normal s-iterations, which have been designed so as to rebuild the iterations of premice in the sense of Mitchell-Steel but are applied to lambda-structures. It is shown that the translation functions can be applied component-wise to normal iterations, in order to translate normal s-iterations of lambda-structures into normal iterations of s-structures, and vice versa. Using these methods, we can also translate iteration strategies and the result is that the functions introduced in this work map normally s-iterable lambda-structures to normally iterable s-structures, and vice versa. Also,the fundamental fine structural notions, such as projecta, and under additional hypotheses (soundness and 1-solidity) standard-parameters, are preserved.

Wir betrachten einen Investor, der eine Option verkauft hat und den maximal erwarteten gewichteten Verlust minimieren möchte. Dabei wird das Maximum über eine Familie von Modellen, das heißt sogenannten objektiven Wahrscheinlichkeitsmaßen, gebildet. Die Minimierung erfolgt über alle zulässigen Absicherungsstrategien, welche einer vorgegebenen Kapitaleinschränkung genügen. Der Verlust wird vermöge einer strikt konvexen Verlustfunktion gewichtet. Die minimierende Strategie nennen wir robust-effizient. Das Problem, eine robust-effiziente Strategie zu bestimmen, ist eng mit dem statistischen Problem des Testens einer zusammengesetzten Hypothese gegen eine zusammengesetzte Alternative verbunden: Hat man eine Lösung für das statistische Problem, das heißt einen maximin-optimalen Test, so kann man eine modifizierte Option definieren, so daß die Superhedging-Strategie für die modifizierte Option robust-effizient ist, vgl. Theorem. Umgekehrt kann man einen maximin-optimalen Test vom Wert der robust-effizienten Strategie zum Auszahlungszeitpunkt ableiten. Das mathematische Kernstück dieser Arbeit ist die allgemeine Lösung des statistischen Testproblems mit Methoden der konvexen Dualität und Spieltheorie. Von dem bekannten klassischen Testproblem unterscheidet sich das in dieser Arbeit betrachtete Problem insofern als die Macht eines Tests anstelle durch die Identität durch eine strikt konkave zustandsabhängige Nutzenfunktion definiert ist. Zudem ist unsere einzige wesentliche Annahme, daß die Hypothese sowie die Alternative dominiert sind, das heißt die Hypothese und die Alternative sind weder stetig parametrisierbar noch notwendigerweise von der Form der Umgebungen wie sie typischerweise in der robusten Statistik verwendet werden vorausgesetzt. Die Lösung des Testproblems in dieser Arbeit erfolgt vermöge des zentralen Begriffs eines ungünstigsten Paares aus Hypothese und Alternative: Der maximin-optimale Test ist unter allen einfachen Tests für das ungünstigste Paar zu finden. Dies ist das zentrale Resultat des Kapitels über maximin-optimale Tests. Falls das ungünstigste Modell äquivalent zu der Familie aller Modelle ist, so ist der einfache Test für das ungünstigste Paar eindeutig und bereits maximin-optimal. Falls das ungünstigste Modell nicht äquivalent zur Familie ist, so approximieren wir den maximin-optimalen Test durch eine Folge von einfachen Tests, die durch eingebettete Teilprobleme definiert werden können. Die Anwendung unserer Resultate über maximin-optimale Tests auf den Spezialfall des zur robust-effizienten Absicherung assoziierten Testproblems erlaubt uns, die optimale modifizierte Option vermöge eines ungünstigsten Paares von Modell und Preisregel zu beschreiben. Ein ungünstigstes Modell maximiert das minimale Verlustrisiko über alle Modelle. Wir setzen Erreichbarkeit der modifizierten Option mit Äquivalenz der ungünstigsten Preisregel zum ungünstigsten Modell miteinander in Verbindung. Dies zeigt, daß die ungünstigste Preisregel im allgemeinen nicht Äquivalent zum Referenzmodell ist - ein Sachverhalt, den wir in den Anwendungen wieder aufgreifen. Im zweiten Teil dieser Arbeit konstruieren wir die robust-effiziente Strategie in verschiedenen Anwendungen. Um die allgemeinen Resultate des vorhergehenden Teils nutzen zu können, müssen wir die effiziente Strategie für jedes fixierte Modell sowie ein ungünstigstes Modell bestimmen. Nötigenfalls vergrößern wir dafür zunächst die Familie der Modelle in geeigneter Weise, um die Existenz eines ungünstigsten Modells zu garantieren. Wir wenden das Prinzip der dynamischen Programmierung in einer Weise an, die an das jeweils zugrundeliegende Modell angepasst ist und bestimmen so die effiziente Strategie. / We consider an investor who has sold a contingent claim and intends to minimize the maximal expected weighted shortfall. Here, the maximum is taken over a family of models and the minimum is taken over all admissible hedging strategies that satisfy a given cost constraint. We call the associated minimizing strategy robust-efficient. The problem to determine a robust-efficient strategy is closely related to the statistical problem of testing a composite hypothesis against a composite alternative. The hypothesis is given by the family of pricing rules and the alternative coincides with the family of models. The mathematical centerpiece of this thesis is the solution of the statistical testing problem on a general level by means of convex duality and game-theoretical methods. The problem differs from the classical testing problem in that the power of a test is defined in terms of a strictly concave state dependent utility function rather than the identity mapping. Furthermore, our only essential assumption is that the alternative and the hypothesis are dominated, i.e., the alternative and the hypothesis need neither be parameterized nor of the form of the neighborhoods typically considered in robust statistics. Similar to the classical notion of least-favorable pairs of prior-distributions on the hypothesis respectively alternative, we introduce the pivotal notion of a least-favorable pair of elements of the hypothesis respectively alternative. The main result of our analysis on maximin-optimal tests is that the maximin-optimal test can be found among the simple-optimal test for a least-favorable pair. If the least-favorable pair is equivalent to the dominating measure, the simple optimal test is the unique maximin-optimal test. If the latter condition is not fulfilled, we approximate the maximin-optimal test by a sequence of explicitly constructed simple optimal tests. These results clarify the general structure of the robust-efficient hedging strategy. We also show that a least-favorable pair can be decomposed into a worst-case model and a worst-case pricing rule for this model. The worst-case model has a very direct economic interpretation, whereas the worst-case pricing rule is a more mathematical auxiliary tool. If the worst-case model dominates all models, the efficient strategy associated to the fixed worst-case model is robust-efficient. For fixed model, the worst-case pricing rule yields the optimal modified claim and allows us to make some statements about its attainability. In the second part of this thesis, we explicitly construct the robust-efficient strategy in a series of applications. For this, the task remains to determine the efficient strategy for each fixed model and a worst-case model. First, we enlarge the family of models in order to establish existence of a worst-case model. Then we derive the dynamics of the price process, the efficient strategy and the associated risk under each (fixed) model. If the model is incomplete, we adapt the dynamic programming principle to the specific dynamics of the model to compute or approximate the efficient strategy.

Im Rahmen des TERA-Projektes (Turbo Evaluation and Rapid Algorithms) wurde ein neuartiger, hochgradig effizienter probabilistischer Algorithmus zum Lösen polynomialer Gleichungssysteme entwickelt und für den komplexen Fall implementiert. Die Geometrie polarer Varietäten gestattet es, diesen Algorithmus zu einem Verfahren zur Charakterisierung der reellen Lösungsmengen polynomialer Gleichungssysteme zu erweitern. Ziel dieser Arbeit ist es, eine Implementierung dieses Verfahrens zur Bestimmung reeller Lösungen auf eine Klasse von Beispielproblemen anzuwenden. Dabei wurde Wert darauf gelegt, dass diese Beispiele reale, praxisbezogene Anwendungen besitzen. Diese Anforderung ist z.B. für polynomiale Gleichungssysteme erfüllt, die sich aus dem Entwurf von schnellen Wavelet-Transformationen ergeben. Die hier betrachteten Wavelet-Transformationen sollen die praktisch wichtigen Eigenschaften der Orthogonalität und Symmetrie besitzen. Die Konstruktion einer solchen Wavelet-Transformation hängt von endlich vielen reellen Parametern ab. Diese Parameter müssen gewisse polynomiale Gleichungen erfüllen. In der veröffentlichten Literatur zu diesem Thema wurden bisher ausschließlich Beispiele mit endlichen Lösungsmengen behandelt. Zur Berechnung dieser Beispiele war es dabei ausreichend, quadratische Gleichungen in einer oder zwei Variablen zu lösen. Zur Charakterisierung der reellen Lösungsmenge eines polynomialen Gleichungssystems ist es ein erster Schritt, in jeder reellen Zusammenhangskomponente mindestens einen Punkt aufzufinden. Schon dies ist ein intrinsisch schweres Problem. Es stellt sich heraus, dass der Algorithmus des TERA-Projektes zur Lösung dieser Aufgabe bestens geeignet ist und daher eine größere Anzahl von Beispielproblemen lösen kann als die besten kommerziell erhältlichen Lösungsverfahren. / As a result of the TERA-project on Turbo Evaluation and Rapid Algorithms a new type, highly efficient probabilistic algorithm for the solution of systems of polynomial equations was developed and implemented for the complex case. The geometry of polar varieties allows to extend this algorithm to a method for the characterization of the real solution set of systems of polynomial equations. The aim of this work is to apply an implementation of this method for the determination of real solutions to a class of example problems. Special emphasis was placed on the fact that those example problems possess real-life, practical applications. This requirement is satisfied for the systems of polynomial equations that result from the design of fast wavelet transforms. The wavelet transforms considered here shall possess the practical important properties of symmetry and orthogonality. The specification of such a wavelet transform depends on a finite number of real parameters. Those parameters have to obey certain polynomial equations. In the literature published on this topic, only example problems with a finite solution set were presented. For the computation of those examples it was sufficient to solve quadratic equations in one or two variables. To characterize the set of real solutions of a system of polynomial equations it is a first step to find at least one point in each connected component. Already this is an intrinsically hard problem. It turns out that the algorithm of the TERA-project performes very well with this task and is able to solve a larger number of examples than the best known commercial polynomial solvers.

Es wird die Twistorgleichung auf Lorentz-Spin-Mannigfaltigkeiten untersucht. Bekanntermaßen existieren Lösungen der Twistorgleichung auf den pp-Mannigfaltigkeiten, den Lorentz-Einstein-Sasaki Mannigfaltigkeiten und den Fefferman-Räumen. Es wird gezeigt, dass in den kleinen Dimensionen 3,4 und 5 Twistor-Spinoren ohne 'Singularitäten' nur für diese genannten Lorentz-Geometrien vorkommen. Von besonderem Interesse sind Lösungen der Twistorgleichung mit Nullstellen. Es wird die Gestalt der Nullstellenmenge von konformen Vektorfeldern und Twistor-Spinoren beschrieben. Weiterhin wird die Twistorgleichung im Kontext der konformen Cartan-Geometrie formuliert. Als Anwendung werden konform-flache semi-Riemannsche Spin-Mannigfaltigkeiten mit Twistor-Spinoren unter Zuhilfenahme der Holonomiedarstellung der ersten Fundamentalgruppe charakterisiert. Abschließend wird eine Anwendung des Twistorraumes einer Lorentz-4-Mannigfaltigkeit in der Flächentheorie diskutiert. Dabei zeigen wir eine Korrespondenz zwischen holomorphen Kurven im Twistorraum und raumartig immergierten Flächen mit lichtartigem mittlerem Krümmungsvektor. Beispielhaft werden solche Flächen in den Lorentzschen Raumformen der Dimension 4 konstruiert. / The twistor equation on Lorentzian spin manifolds is investigated. Known solutions of the twistor equation exist on the pp-manifolds, the Lorentz-Einstein-Sasaki manifolds and the Fefferman spaces. It is shown that in the low dimensions 3,4 and 5 twistor spinors without 'singularities' appear only for these mentioned Lorentzian spin geometries. Solutions of the twistor equation with zeros are of particular interest. The shape of the zero set of conformal vector fields and twistor spinors is described. Moreover, the twistor equation is formulated in the context of conformal Cartan geometry. As an application the conformally flat semi-Riemannian spin spaces with twistor spinors are characterized by the holonomy representation of the first fundamental group. Finally, we discuss an application of the twistor space of a Lorentzian 4-manifold in surface theory. Thereby, we prove a correspondence between holomorphic curves in the twistor space and spacelike immersed surfaces with lightlike mean curvature vector. Exemplary, such surfaces are constructed in the Lorentzian space forms of dimension 4.