Zugl.: Augsburg, Universiẗat, Diss., 2008.

Es gibt wohl kaum Wissenschaftsgebiete, in denen die wechselseitige Beeinflussung stärker ist als zwischen Mathematik und Physik. Eine wichtige Frage ist dabei die nach der konkreten Ausgestaltung dieser Wechselbeziehungen, etwa an einer Universität, oder die nach prägenden Merkmalen in der Entwicklung dieser Beziehungen in einem historischen Zeitabschnitt. Im Rahmen eines mehrjährigen Akademieprojekts wurden diese Beziehungen an den Universitäten in Leipzig, Halle und Jena für den Zeitraum vom Beginn des 19. bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts untersucht und in fünf Bänden dargestellt. Der erste dieser Bände erschien in den Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, die nachfolgenden (u.a. der vorliegende) als eigenständige Reihe unter dem Titel “Studien zur Entwicklung von Mathematik und Physik in ihren Wechselwirkungen“. Ein weiterer und abschließender Band dieser Reihe beinhaltet die Beiträge einer wissenschaftshistorischen Fachtagung im Jahr 2010, die das Thema in einem internationalen Kontext einbettet. Der vorliegende Band behandelt den Zeitraum von 1816 bis 1900 an der Universität Jena. Die Entwicklung der Alma Mater Jenensis ist durch deren Stellung als Landesuniversität von kleinen, politisch unbedeutenden Herzogtümern Thüringens mit vergleichsweise geringer Finanzkraft gekennzeichnet. Dies führte u.a. zu der bis ins letzte Viertel des 19. Jahrhunderts bestehenden Repräsentanz von Mathematik und Physik durch einen gemeinsamen Lehrstuhl. Eine weitere Besonderheit an der Salana war die mehrere Jahrzehnte andauernde Verknüpfung beider Disziplinen mit der Philosophie durch Jacob Friedrich Fries und Carl Snell. Ebenso bemerkenswert ist der durch das Wirken von Ernst Abbe eingeleitete grundlegende Wandel in der Vertretung von Mathematik und Physik in Jena. Aus Abbes Zusammenarbeit mit dem Mechaniker und Firmengründer Carl Zeiss erwuchs innerhalb weniger Jahrzehnte ein Musterbeispiel für die enge, für beide Seiten vorteilhafte Verbindung zwischen Universität und Wirtschaftsunternehmen. Insbesondere erfuhren Mathematik und Physik eine stake finanzielle Förderung durch die Carl-Zeiss-Stiftung, was zugleich einen Einblick in die wachsende Bedeutung des Stiftungswesens gibt.:Karte: Die sächsisch-ernestinischen Herzogtümer nach Gebietsveränderungen 1815-1826 Vorwort 1 Einleitung 2 Thüringen und seine Universitäten am Anfang des 19. Jahrhunderts 2.1 Thüringen und die Industrielle Revolution 2.2 Die Blüte der Universität Jena um 1800 und ihr Weg ins 19. Jahrhundert 3 Die Veränderungen im Lehrkörper für Mathematik, Physik und Astronomie an der Salana 3.1 Die Verknüpfungen von Mathematik und Physik in einem Lehrstuhl 3.2 Ein Philosoph als Ordinarius für Mathematik und Physik – die Ära Fries 3.3 Von Suckow bis Apelt: Privatdozenten – wichtige Stützen des Lehrbetriebs, doch wenig gefördert 3.4 Der Nachfolger von Fries: Snell 3.5 Ein Hauch von moderner mathematischer Forschung: Schlömilch – ein Intermezzo 3.6 Abbe und die folgenreiche Verbindung von Physik und Instrumentenbau 3.7 Die Astronomie an der Salana 3.7.1 Die Errichtung der Sternwarte und ihre ersten Leiter bis 1823 3.7.2 Die Leitung der Sternwarte durch Schrön 3.7.3 Abbes Engagement und der Neubeginn mit Knopf 3.8 Die Trennung des Lehrstuhls für Mathematik und Physik 3.9 Die ersten Jahrzehnte des Mathematischen Seminars 3.10 Die Besetzung des physikalischen Lehrstuhls 3.11 Der Ausbau des Physikalischen Instituts bis zur Jahrhundertwende 3.12 Die Errichtung einer Professur für theoretische Physik 3.13 Die Carl-Zeiss-Stiftung 4 Das Vorlesungsangebot in Mathematik, Physik und Astronomie in Jena 4.1 Ein Überblick 4.1.1 Mathematik 4.1.2 Astronomie 4.1.3 Physik 4.2 Mechanik, mathematische und theoretische Physik 4.2.1 Erste Phase (1816 – 1863): mäßiges Angebot 4.2.2 Zweite Phase (1864 – 1893): Anstieg 4.2.3 Dritte Phase (1894 – 1900): Weitere Steigerung 4.3 Ein Vergleich des Jenenser Lehrangebots mit dem anderer Universitäten 4.4 Der Übungsbetrieb in Gesellschaften als Ergänzung zur Lehre und Vorläufer zur Seminargründung 5 Mathematische und physikalische Forschungen an der Universität Jena 5.1.1 Physik als Teil der „angewandten Mathematik“: Die Ära Voigt 5.1.2 Mathematik und Physik im Rahmen der mathematischen Naturphilosophie: Fries und seine Schüler 5.1.3 Meteorologie und Optik – Aktivitäten der Jenenser Astronomen 5.1.4 Das Verharren in alten Traditionen 5.2 Ernst Abbe und die Formung der physikalischen Forschung 5.2.1 Der Weg zur Optik als zentrales Forschungsfeld 5.2.2 Sohncke und Winkelmann – die ersten Ordinarien für Experimentalphysik in Jena 5.2.3 Die Etablierung der theoretischen Physik mit dem Fokus auf Optik und Materialforschung 5.3 Logik, elliptische Funktionen und projektive Geometrie – Schwerpunkte am Mathematischen Seminar 5.3.1 Freges Ringen um die Begründung der Arithmetik 5.3.2 Thomaes Lehrbücher und die Profilierung der mathematischen Forschung 6 Jenenser Mathematiker und Physiker und die örtlichen gelehrten Gesellschaften 6.1 Die Naturforschende Gesellschaft zu Jena 6.2 Die Medicinisch-Naturwissenschaftliche Gesellschaft zu Jena 7 Mathematik und Physik in Jena und die Besonderheit ihrer Wechselbeziehungen 7.1 Mathematik und Physik im 19. Jahrhundert 7.1.1 Der beginnende Aufschwung 7.1.2 Der weitere Ausbau der Disziplinen nach der Jahrhundertmitte 7.1.3 Neue Aspekte in den Wechselbeziehungen zwischen Mathematik und Physik nach 1850 7.2 Die Wechselbeziehungen an der Salana im Kontext 7.2.1 Die Beziehungen der in einem Lehrstuhl vereinigten Mathematik und Physik 7.2.2 Die Wechselbeziehungen im Zeichen der Optik Anhang: Verzeichnis der Vorlesungen zur mathematischen und theoretischen Physik (Sommersemester 1816 bis Wintersemester 1900/01) Literatur und Quellen Abbildungsverzeichnis Verzeichnis der Diagramme Personenverzeichnis Grafik: Vorlesungstätigkeit der in Jena im Bereich der Mathematik, Physik und Astronomie lehrenden Dozenten (1816 – 1900)

The purpose of this paper is to compare curriculum documents for K-12 education from the state of North Carolina from two time periods, 1920s and 2003. The historical development of the mathematics curriculum in North Carolina provides a snapshot of the shifts in mathematics teaching and learning. North Carolina, a state in the southeast of the United States, has had a statewide standard course over a period spanning more than eighty years. A document analysis of printed curriculum standards from allows a description of the mathematics concepts and tasks that were expected of students in those years. The analysis revealed stark contrasts in the focus of mathematics from a very computational emphasis to one of problem solving. The analysis also highlighted the understanding of algebraic concepts and ideas as an essential outcome of current mathematics programs.

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Diese Arbeit befasst sich mit der sogenannten Doppelkopie, welche erstmals im Rahmen von Streuamaplituden formuliert wurde und eine Beziehung zwischen Yang-Mills-Theorie und der Gravitation herstellt. Yang-Mills-Streuamplituden tragen sowohl kinematische Informationen als auch Informationen, die mit einer Eigenschaft namens Farbe verbunden sind. Die Doppelkopie besagt, dass die Ersetzung der Farbinformation in Yang-Mills-Amplituden durch eine andere Kopie ihrer kinematischen Information zu Gravitationsamplituden führt, sofern bestimmte algebraische Bedingungen erfüllt sind. Die algebraischen Bedingungen, die für die Doppelkopie erforderlich sind, deuten auf die Existenz einer Algebra hin, die der Kinematik der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegt und die kinematische Algebra genannt wird. In den letzten fünfzehn Jahren hat die Doppelkopie die Art und Weise, wie Streuungsberechnungen in der Gravitation durchgeführt werden, revolutioniert, und dennoch bleibt ein grundsätzliches Verständnis der Doppelkopie und der kinematischen Algebra schwer zu fassen. In dieser Arbeit verlassen wir den Rahmen der Streuamplituden und behandeln dieses Problem mit Hilfe von Homotopie-Algebren, den mathematischen Strukturen, die perturbativen Feldtheorien, einschließlich ihrer Off-Shell Struktur, zugrunde liegen. Insbesondere die der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegende Algebra lässt sich in algebraische Strukturen für Farbe und Kinematik faktorisieren. Unter Verwendung dieser Faktorisierung konstruieren wir explizit eine kinematische Algebra für die Yang-Mills Theorie bis zur quartischen Ordnung in der Störungstheorie. Dann ersetzen wir die Farbalgebra durch eine zweite Kopie der kinematischen Algebra und erhalten eine Gravitationstheorie bis hinzu und einschließlich der quartischen Wechselwirkungen. Außerdem erklären wir, inwiefern die kinematische Algebra die Struktur ist, die für die Konsistenz der resultierenden Gravitationstheorie verantwortlich ist. Unsere algebraische Herangehensweise an die Doppelkopie ist vollständig Off-Shell, eichunabhängig und lokal und bietet eine neue Perspektive auf die algebraischen Grundlagen und Ursprünge der Doppelkopie. / This thesis deals with a relation between Yang-Mills theory and gravity called the double copy, which was first formulated in the framework of scattering amplitudes. Yang-Mills scattering amplitudes carry kinematic information as well as information associated with a property called color. The double copy states that, provided that certain algebraic conditions are met, replacing the color information of Yang-Mills amplitudes with another copy of their kinematic information yields gravitational amplitudes. The algebraic conditions required by the double copy hint at the existence of an algebra underlying the kinematics of Yang-Mills called the kinematic algebra. In the last fifteen years, the double copy has revolutionized the way that scattering computations are performed in gravity, and, yet, a first principle understanding of the double copy and the kinematic algebra remains elusive. In this thesis we divert from scattering amplitudes and address this problem in the framework of homotopy algebras, which are the mathematical structures underlying perturbative field theories, including their off-shell structure. In particular, the algebra underlying Yang-Mills theory factorizes into color and kinematic algebraic structures. Using this factorization, we construct explicitly a kinematic algebra for Yang-Mills theory to quartic order in perturbation theory. Then, following the double copy, we replace the color algebra with a second copy of the kinematic algebra and we obtain gravity up to and including quartic interactions. Moreover, we explain how the kinematic algebra is responsible for the consistency of the resulting gravity theory. Our algebraic approach to the double copy is completely off-shell, gauge independent and local, and provides a novel perspective on the algebraic foundations and origins of the double copy.

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Das theoretische Konstrukt der individuellen Curricula von Lehrkräften, operationalisiert mit Hilfe des Forschungsprogramms Subjektive Theorien (FST), wurde für die Untersuchung der individuellen Konzepte von Lehrkräften im Bereich der Algebra der Klassenstufen 7 und 8 mit dem Ziel ihre Unterrichts- und Planungsentscheidungen im Algebraunterricht nachzuvollziehen und zu verstehen und damit einen Einblick in den realen Unterrichtsalltag zu erhalten, genutzt. Untersucht wurden neun Gymnasiallehrkräfte mit Hilfe einer Interviewstudie. Weiterhin wurden die Resultate der einzelnen Fallstudien gegeneinander kontrastiert und es konnten drei Typen individueller Algebracurricula entwickelt werden. Die Ergebnisse zeigten beispielsweise, dass ein Hauptproblem für die Lehrkräfte darin besteht, dass sie in ihrem Algebraunterricht die syntaktischen und semantischen Elemente der Algebra eher voneinander trennen und dabei für sie die Frage auftaucht, in welchem Verhältnis diese unterrichtet werden sollten. Ein Vergleich der vorliegenden Untersuchung mit bestehenden Untersuchungen in den Bereichen Stochastik, Geometrie und der Analysis untermauert den Verdacht der Domänenspezifität individueller Curricula.

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Our symposium will bring together experts from the German and international 'Inverse Problems Community' and young scientists. The focus will be on ill-posedness phenomena, regularization theory and practice, and on the analytical, numerical, and stochastic treatment of applied inverse problems in natural sciences, engineering, and finance.

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