Die vorliegende Arbeit beschaeftigt sich mit der Herleitung, Analyse und Numerik von reduzierten Systemen gewoehnlicher Differenzialgleichungen (bezeichnet als reduzierte Modelle), die einer Familie von eindimensionalen Schmierfilmgleichungen (lubrication equations) entsprechen. Diese Familie wurde von Muench et al. 06'' hergeleitet und beschreibt den Entnetzungsprozess von nanoskopischen duennen Fluessigkeitsfilmen auf hydrophoben Polymersubstraten als Folge von anziehenden van der Waals und abstossenden Born Intermolekularkraeften. Dabei wurden verschiedene Regime von Schlupf-Laengen auf der Grenzflaeche zwischen Fluessigkeit und Polymersubstrat betrachtet. Die letzte Phase des Entnetzungsprozesses ist durch eine sehr langsame Vergroeberungsdynamik der verbleibenden Tropfen charakterisiert. Reduzierte Modelle, hergeleitet aus den zugrunde liegenden Schmierfilmgleichungen, ermoeglichen die effiziente analytische und numerische Untersuchung des Vergroeberungsprozesses. Im ersten Teil dieser Studie leiten wir unter Verwendung von asymptotischen Methoden reduzierte Modelle fuer verschiedene Schmierfilmgleichungen ab. Der zweite Teil dieser Studie widmet sich einer neuen Methode fuer die Herleitung und die Begruendung solcher reduzierter Modelle. Diese Methode basiert auf der Idee der Reduktion auf eine Zentrumsmannigfaltigkeit. Zuerst beschreiben wir eine formale Reduktion auf eine sogenannte "approximative invariante" Mannigfaltigkeit. Danach betrachten wir die Linearisierung der Schmierfilmgleichung um den stationaeren Tropfen. Hier geben wir eine rigorose Herleitung fuer das asymptotische Verhalten des Spektrums bezuglich des kleinen Parameters epsilon. Fuer das entsprechende Eigenwertproblem belegen wir die Existenz von einer von epsilon abhaengigen Luecke im Spektrum, die eine wichtige Eigenschaft fuer die strenge Begruendung unserer formalen Reduktion auf die "approximative invariante" Mannigfaltigkeit ist. / In this dissertation the topic of reduced ODE models corresponding to a family of one-dimensional lubrication equations derived by Muench et al. 06'' is addressed. This family describes the dewetting process of nanoscopic thin liquid films on hydrophobic polymer substrates due to the presence of several intermolecular forces and takes account of different ranges of slip-lengths at the polymer substrate interface. Reduced ODE models derived from underlying lubrication equations allow for an efficient analytical and numerical investigation of the latest stage of the dewetting process: coarsening dynamics of the remaining droplets. We first give an asymptotical derivation of these models and use them to investigate the influence of slip-length on the coarsening dynamics. In the second part of the talk we present a new geometric approach which can be used for an alternative derivation and justification of above reduced ODE models and is based on a center-manifold reduction recently applied by Mielke and Zelik 08'' to a certain class of semilinear parabolic equations. One of the main problems for a rigorous justification of this approach is investigation of the spectrum of a lubrication equation linearized at the stationary solution, which describes physically a single droplet. The corresponding eigenvalue problem turns out to be a singularly perturbed one with respect to a small parameter epsilon tending to zero. For this problem we show existence of an epsilon-dependent spectral gap between a unique exponentially small eigenvalue and the rest of the spectrum.

Dyson-Schwinger-Gleichungen sind Fixpunktgleichungen, die in der Quantenfeldtheorie auftauchen. Obwohl es bekannt ist, wie die Kombinatorik vor der Anwendung von Feynman-Regeln aussieht, war die Kombinatorik der resultierenden analytischen Dyson-Schwinger-Gleichungen bisher unbekannt. Wir verallgemeinern die Arbeiten von Yeats et.al. auf diesem Gebiet zu einer Klasse von unendlich vielen Dyson-Schwinger-Gleichungen mit Hilfe von Sehnen-Diagrammen. / In quantum field theory, Dyson-Schwinger equations are fixed-point equations that come from self insertion properties of Feynman graphs. While the combinatorics of these are well understood, the combinatorics are still mysterious after applying the Feynman rules. We generalize the work of Yeats et.al. in this field to an infinite number of Dyson-Schwinger equations with the help of chord diagrams.

Sei V ein holomorphes Vektorbündel über einer q-konvexen Mannigfaltigkeit X. Die Andreotti-Grauert-Theorie sagt, dass die r-te Kohomologiegruppe holomorpher Schnitte mit Werten in V endlich-dimensional ist und dass die Kohomologie verschwindet, falls X q-vollständig ist. Ist E ein holomorphes Banachbündel über X, dann ist bekannt, dass die erste Kohomologiegruppe verschwindet, falls X Steinsch ist. Kapitel I gibt einen ausführlichen Überblick über die Arbeit. In Kapitel II wird gezeigt, dass es holomorphe Hilbertbündel über 1-konvexen Mannigfaltigkeiten gibt, für die die erste Kohomologie nicht Hausdorffsch ist. In Kapitel III wird folgender Endlichkeitssatz gezeigt: Ist E ein holomorph triviales Banachbündel oder ein holomorphes Banachbündel von kompaktem Typ mit kompakter Approximationseigenschaft über einer q-konvexen Mannigfaltigkeit X, und ist V ein holomorphes Vektorbündel über X, für das die q-te Kohomologie verschwindet, dann gilt: Die q-te Kohomologie für das Tensorprodukt von V und E ist endlich-dimensional. Ist X q-vollständig, dann verschwindet die r-te Kohomologie, falls r größer oder gleich q ist. Für r größer q kann dies auch für beliebige holomorphe Banachbündel E gezeigt werden. Im Anhang wird skizziert, wie der Ansatz der L2-Methode im Fall r gleich q für Hilbertbündel zu einem Verschwindungssatz führen könnte. / Let V be a holomorphic vector bundle over a q-convex manifold X. The Andreotti-Grauert theory says that the r-th cohomology group of holomorphic section with values in V is finite dimensional and that the cohomology is vanishing if X is q-complete. If E is a holomorphic Banach bundle over X, it is known that the first cohomology group vanishes if X is Stein. Chapter I gives a detailed overview of the work. In chapter II it is shown that there are holomorphic Hilbert bundles over 1-convex manifolds such that the first cohomology of the bundle is not Hausdorff. In chapter III the following finiteness theorem is shown: If E is a holomorphically trivial Banach bundle or a holomorphic Banach bundle of compact type with the compact approximation property over a q-convex manifold X, and if V is a holomorphic vector bundle over X such that the q-th cohomology vanishes, then the following holds true: The q-th cohomology for the tensor product of V and E is finite dimensional. If X is q-complete, then the r-th cohomology vanishes if r is greater or equal q. If r is greater than q, this is shown also for arbitrary holomorphic Banach bundles E. In the appendix it is sketched how for r equal q the L2 method could yield a vanishing theorem for Hilbert bundles.

Es werden hybride Mannigfaltigkeiten untersucht, d.h. Systeme von zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten, die durch eindimensionale Intervalle miteinander verknuepft sind. In einer solchen Struktur definieren wir einen Laplace-Operator, der sich aus den Laplace-Beltrami-Operatoren auf den glatten Teilen und Randbedingungen an den Verknuepfungspunkten zusammenstellt. Durch Verwendung der Kreinschen Theorie selbstadjungierter Erweiterungen wird es gezeigt, dass alle moeglichen Laplace-Operatoren durch hermitsche Matrizen einer speziellen Form parametrisiert werden koennen. Wir berechnen die Entwicklung der Spur der quadrirten Resolvent eines Laplace-Operators fuer grosse Spectralparameter vermittels der Randbedingungen und der Waermeleitungskoeffizienten der glatten Teilen der hybriden Mannigfaltigkeit. Unter gewissen zusaetzlichen Annahmen is es moeglich, aus dieser Entwicklung einige geometrische Invarianten und einige Information ueber den Randbedingungen zu gewinnen. / We consider a hybrid manifold (i.e. some two-dimensional manifolds connected with each other by some segments) and a Laplace operator on it. Such an operator can be constructed by using the Laplace-Beltrami operators on each part of the hybrid manifold with some boundary conditions in the points of gluing. We use the Krein theory of self-adjoint extensions to show that all possible Laplace operators are parameterized by some Hermitian matrices. We find the large spectral parameter expansion of the trace of the second power of the resolvent of a fixed Laplace operator in terms of the boundary condition matrix and heat kernel coefficients for the parts of the hybrid manifold. If we assume that we already have such an expansion for some hybrid manifold then we can find some data about this manifold (inverse spectral problem). Under some additional conditions it is possible to find some geometric invariants of the hybrid space and some information about the boundary conditions matrix. We apply the same technique also to two degenerate cases of hybrid manifolds: quantum graphs and the manifolds glued without segments.

Die parallele Anfragebearbeitung für relationale Datenbankmanagementsysteme (RDBMS) ist wegen ihrer unterschiedlichen Arten der Ausführungsparallelität und den Eigenschaften der zugrunde liegenden parallelen Architektur ein äusserst komplexes Problem. Systemänderungen zur Laufzeit der Anfrage können zusätzlich ein dynamisches Verhalten der ausführenden Komponenten erfordern, um eine nahezu optimale Antwortzeit zu gewährleisten. Diese Arbeit stellt einen neuen, flexiblen Ansatz für die Optimierung und Abarbeitung von komplexen Anfragen vor, der besonders die dynamische Optimierung berücksichtigt. Insbesondere werden in der Arbeit folgende Teile präsentiert: 1. die Architektur eines neuen, verteilt-kooperierenden Komponentensystems beeinflusst von agenten-orientierten Konzepten; 2. der Entwurf und die Realisierung einer neuen Kommunikationsinfrastruktur für die identifizierten Systemkomponenten; 3. der Entwurf und die Implementierung eines flexiblen Anfrageoptimierers mit einem neuen, zufallsbasierten Algorithmus; und 4. der Entwurf und die Realisierung einer parallel arbeitenden Ausführungskomponente unter besonderer Berücksichtigung der dynamischen Anfrageoptimierung. Bei der Entwicklung der Konzepte standen neben den spezifischen Anforderungen für RDBMS besonders die Konfigurierbarkeit und die Erweiterbarkeit des verteilten Systems im Vordergrund. / Parallel query evaluation for relational database management systems (RDBSM) still remains a challenging problem. Modern systems must show near optimal performance in spite of running in a heterogeneous hardware environment, exploiting different ways of parallelism and dealing with unpredictable system load. This thesis paper presents a dynamic and flexible system addressing the issues of optimization and evaluation of relational queries for a distributed and dynamic environment. In particular, this work consists of: 1) the architecture of a distributed system which was inspired by the concepts of software agents, 2) the architecture and the implementation of a communication infrastructure for the system components, 3) the architecture and the implementation of a new query optimization algorithm, and 4) the concept and the implementation of a new query evaluation engine for parallel execution, which enables runtime optimization of queries. Furthermore, the design supports the extension and the configuration of the system and its components.

In dieser Arbeit werden Techniken beschrieben, die es erlauben (höhere) Ableitungen und Taylorapproximationen solcher Computerprogramme effizient zu berechnen. Auch inbesondere dann, wenn die Programme Algorithmen der numerischen linearen Algebra (NLA) enthalten. Im Gegensatz zur traditionellen algorithmischen Differentiation (AD), bei der die zugrunde liegenden Algorithmen um zusätzliche Befehlere erweitert werden, sind in dieser Arbeit die Zerlegungen durch definierende Gleichungen charakterisiert. Basierend auf den definierenden Gleichungen werden Strukturausnutzende Algorithmen hergeleitet. Genauer, neuartige Algorithmen für die Propagation von Taylorpolynomen durch die QR, Cholesky und reell-symmetrischen Eigenwertzerlegung werden präsentiert. Desweiteren werden Algorithmen für den Rückwärtsmodus der AD hergeleitet, welche im Wesentlichen nur die Faktoren der Zerlegungen benötigen. Im Vergleich zum traditionellen Ansatz, bei dem alle Zwischenergebnisse gespeichert werden, ist dies eine Reduktion von O(N^3) zu O(N^2) für Algorithmen mit O(N^3) Komplexität. N ist hier die Größe der Matrix. Zusätzlich kann bestehende, hoch-optimierte Software verwendet werden. Ein Laufzeitvergleich zeigt, dass dies im Vergleich zum traditionellen Ansatz zu einer Beschleunigung in der Größenordnung 100 führen kann. Da die NLA Funktionen als Black Box betrachtet werden, ist desweiteren auch der Berechnungsgraph um Größenordnungen kleiner. Dies bedeutet, dass Software, welche Operator Overloading benutzt, weniger Overhead hervorruft und auch weniger Speicher benötigt. / This thesis provides a framework for the evaluation of first and higher-order derivatives and Taylor series expansions through large computer programs that contain numerical linear algebra (NLA) functions. It is a generalization of traditional algorithmic differentiation (AD) techniques in that NLA functions are regarded as black boxes where the inputs and outputs are related by defining equations. Based on the defining equations, structure-exploiting algorithms are derived. More precisely, novel algorithms for the propagation of Taylor polynomials through the QR, Cholesky,- and real-symmetric eigenvalue decomposition are shown. Recurrences for the reverse mode of AD, which require essentially only the returned factors of the decomposition, are also derived. Compared to the traditional approach where all intermediates of an algorithm are stored, this is a reduction from O(N^3) to O(N^2) for algorithms with O( N^3) complexity. N denotes the matrix size. The derived algorithms make it possible to use existing high-performance implementations. A runtime comparison shows that the treatment of NLA functions as atomic can be more than one order of magnitude faster than an automatic differentiation of the underlying algorithm. Furthermore, the computational graph is orders of magnitudes smaller. This reduces the additional memory requirements, as well as the overhead, of operator overloading techniques to a fraction.

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Die vorliegende Arbeit untersucht die longitudinale Dynamik von Halbleiterlasern anhand eines Modells, in dem ein lineares hyperbolisches System partieller Differentialgleichungen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen gekoppelt ist. Zunächst wird mit Hilfe der Theorie stark stetiger Halbgruppen die globale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für das konkrete System gezeigt. Die anschließende Untersuchung des Langzeitverhaltens der Lösungen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird ausgenutzt, dass Ladungsträger und optisches Feld sich auf unterschiedlichen Zeitskalen bewegen, um mit singulärer Störungstheorie invariante attrahierende Mannigfaltigkeiten niedriger Dimension zu finden. Der Fluss auf diesen Mannigfaltigkeiten kann näherungsweise durch Moden-Approximationen beschrieben werden. Deren Dimension und konkrete Gestalt ist von der Lage des Spektrums des linearen hyperbolischen Operators abhängig. Die zwei häufigsten Situationen werden dann einer ausführlichen numerischen und analytischen Bifurkationsanalyse unterzogen. Ausgehend von bekannten Resultaten für die Ein-Moden-Approximation, wird die Zwei-Moden-Approximation in dem speziellen Fall untersucht, dass die Phasendifferenz zwischen den beiden optischen Komponenten sehr schnell rotiert, so dass sie sich in erster Ordnung herausmittelt. Mit dem vereinfachten Modell können die Mechanismen verschiedener Phänomene, die bei der numerischen Simulation des kompletten Modells beobachtet wurden, erklärt werden. Darüber hinaus lässt sich die Existenz eines anderen stabilen Regimes voraussagen, das sich im gemittelten Modell als "bursting" darstellt. / We investigate the longitudinal dynamics of semiconductor lasers using a model which couples a linear hyperbolic system of partial differential equations with ordinary differential equations. We prove the global existence and uniqueness of solutions using the theory of strongly continuous semigroups. Subsequently, we analyse the long-time behavior of the solutions in two steps. First, we find attracting invariant manifolds of low dimension benefitting from the fact that the system is singularly perturbed, i. e., the optical and the electronic variables operate on different time-scales. The flow on these manifolds can be approximated by the so-called mode approximations. The dimension of these mode approximations depends on the number of critical eigenvalues of the linear hyperbolic operator. Next, we perform a detailed numerical and analytic bifurcation analysis for the two most common constellations. Starting from known results for the single-mode approximation, we investigate the two-mode approximation in the special case of a rapidly rotating phase difference between the two optical components. In this case, the first-order averaged model unveils the mechanisms for various phenomena observed in simulations of the complete system. Moreover, it predicts the existence of a more complex spatio-temporal behavior. In the scope of the averaged model, this is a bursting regime.

Lokal parametrische Modelle werden häufig im Kontext der nichtparametrischen Schätzung verwendet. Bei einer punktweisen Schätzung der Zielfunktion können die parametrischen Umgebungen mithilfe von Gewichten beschrieben werden, die entweder von den Designpunkten oder (zusätzlich) von den Beobachtungen abhängen. Der Vergleich von verrauschten Beobachtungen in einzelnen Punkten leidet allerdings unter einem Mangel an Robustheit. Der Propagations-Separations-Ansatz von Polzehl und Spokoiny [2006] verwendet daher einen Multiskalen-Ansatz mit iterativ aktualisierten Gewichten. Wir präsentieren hier eine theoretische Studie und numerische Resultate, die ein besseres Verständnis des Verfahrens ermöglichen. Zu diesem Zweck definieren und untersuchen wir eine neue Strategie für die Wahl des entscheidenden Parameters des Verfahrens, der Adaptationsbandweite. Insbesondere untersuchen wir ihre Variabilität in Abhängigkeit von der unbekannten Zielfunktion. Unsere Resultate rechtfertigen eine Wahl, die unabhängig von den jeweils vorliegenden Beobachtungen ist. Die neue Parameterwahl liefert für stückweise konstante und stückweise beschränkte Funktionen theoretische Beweise der Haupteigenschaften des Algorithmus. Für den Fall eines falsch spezifizierten Modells führen wir eine spezielle Stufenfunktion ein und weisen eine punktweise Fehlerschranke im Vergleich zum Schätzer des Algorithmus nach. Des Weiteren entwickeln wir eine neue Methode zur Entrauschung von diffusionsgewichteten Magnetresonanzdaten. Unser neues Verfahren (ms)POAS basiert auf einer speziellen Beschreibung der Daten, die eine zeitgleiche Glättung bezüglich der gemessenen Positionen und der Richtungen der verwendeten Diffusionsgradienten ermöglicht. Für den kombinierten Messraum schlagen wir zwei Distanzfunktionen vor, deren Eignung wir mithilfe eines differentialgeometrischen Ansatzes nachweisen. Schließlich demonstrieren wir das große Potential von (ms)POAS auf simulierten und experimentellen Daten. / In statistics, nonparametric estimation is often based on local parametric modeling. For pointwise estimation of the target function, the parametric neighborhoods can be described by weights that depend on design points or on observations. As it turned out, the comparison of noisy observations at single points suffers from a lack of robustness. The Propagation-Separation Approach by Polzehl and Spokoiny [2006] overcomes this problem by using a multiscale approach with iteratively updated weights. The method has been successfully applied to a large variety of statistical problems. Here, we present a theoretical study and numerical results, which provide a better understanding of this versatile procedure. For this purpose, we introduce and analyse a novel strategy for the choice of the crucial parameter of the algorithm, namely the adaptation bandwidth. In particular, we study its variability with respect to the unknown target function. This justifies a choice independent of the data at hand. For piecewise constant and piecewise bounded functions, this choice enables theoretical proofs of the main heuristic properties of the algorithm. Additionally, we consider the case of a misspecified model. Here, we introduce a specific step function, and we establish a pointwise error bound between this function and the corresponding estimates of the Propagation-Separation Approach. Finally, we develop a method for the denoising of diffusion-weighted magnetic resonance data, which is based on the Propagation-Separation Approach. Our new procedure, called (ms)POAS, relies on a specific description of the data, which enables simultaneous smoothing in the measured positions and with respect to the directions of the applied diffusion-weighting magnetic field gradients. We define and justify two distance functions on the combined measurement space, where we follow a differential geometric approach. We demonstrate the capability of (ms)POAS on simulated and experimental data.

Im ersten Teil der Arbeit analysieren wir BSDEs mit Generatoren, die monoton in y, convex in z, gemeinsam unterhalbstetig und von unten durch eine affine Funktion der Kontrollvariable beschränkt sind. Das erste Hauptresultat ist der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit einer minimalen Superlösung. Wir zeigen, dass für die minimale Superlösung wichtige Eigenschaften, wie zum Beispiel die Flusseigenschaft und die Projektivität gelten. Es stellt sich heraus, dass das Funktional welches die Endbedingung auf das Infimum über alle Wertprozesse zur Zeit null abbildet nicht nur den gleichen Definitionsbereich wie der Erwartungswert hat, sondern auch einige seiner wichtigsten Eigenschaften, wie monotone Konvergenz und Fatou''s Lemma teilt. Das führt im Weiteren zur Unterhalbstetigkeit und zu dualen Darstellungen dieses Funktionals. Schlussendlich zeigen wir eine Lösung des Nutzenmaximierungsproblems für die Exponentialnutzenfunktion. Im zweiten Teil der Arbeit untersuchen wir die quadratische Absicherung von finanziellen Risikopositionen unter Basisrisiko. Zuerst zeigen wir wie optimal abgesichert wird, wenn die Differenz der Logarithmen von Absicherungsinstrument und Risiko asymptotisch stationär ist. Für lineare Risikopositionen leiten wir explizite Formeln für den Absicherungsfehler her und zeigen, dass für nichtlineare Positionen eine schnelle Simulation möglich ist. Zweitens untersuchen wir ein Modell in dem die Korrelation zwischen Absicherungsinstrument und Basiswert stochastisch ist. Wir nehmen an, dass die Korrelation ein Prozess ist, der sich gemäß einer stochastischen Differentialgleichung mit Werten zwischen -1 und 1 entwickelt. Wir leiten eine Integrabilitätsbedingung bezüglich des Korrelationsprozesses her, die uns erlaubt die optimale quadratische Absicherung durch eine einfache Formel zu beschreiben. Weiterhin zeigen wir, dass unsere Bedingungen von einer großen Klasse von Korrelationsdynamiken erfüllt werden. / In the first part of the thesis we analyze BSDEs with generators that are monotone in y, convex in z, jointly lower semicontinuous, and bounded below by an affine function of the control variable. The first central result establishes existence and uniqueness of a minimal supersolution. We show that our setting allows to derive important properties of the minimal supersolution such as the flow property and the projectivity. We find that the functional which maps the terminal condition to the infimum over all value processes evaluated at time zero is not only defined on the same domain as the original expectation operator, but also shares some of its main properties such as monotone convergence and Fatou''s Lemma. Moreover, this leads to lower semincontinuity and dual representations of the functional. Finally, we demonstrate a solution of the problem of maximizing expected exponential utility. In the second part of the thesis we investigate quadratic hedging of contingent claims with basis risk. We first show how to optimally cross-hedge risk when the logspread between the hedging instrument and the risk is asymptotically stationary. For linear risk positions we derive explicit formulas for the hedge error, while for non-linear positions swift simulation analysis is possible. Secondly, we study a model where the correlation between the hedging instrument and the underlying of the contingent claim is random itself. We assume that the correlation is a process which evolves according to a stochastic differential equation with values between the boundaries -1 and 1. We derive an integrability condition on the correlation process that allows to describe the quadratic hedge by means of a simple hedging formula. Furthermore we show that our conditions are fulfilled by a large class of correlation dynamics.