Cette thèse s'inscrit dans le domaine des mathématiques appelé optimisation de formes. Plus précisément, nous étudions ici un problème inverse de type détection à l'aide du calcul de forme et de l'analyse asymptotique : l'objectif est de localiser un objet immergé dans un fluide visqueux, incompressible et stationnaire. Les questions principales qui ont motivé ce travail sont les suivantes : peut-on détecter un objet immergé dans un fluide à partir d'une mesure effectuée à la surface du fluide ? Peut-on reconstruire numériquement cet objet, i.e. approcher sa position et sa forme, à partir de cette mesure ? Peut-on connaître le nombre d'objets présents dans le fluide en utilisant cette mesure ? Pour répondre à ces questions, le problème inverse est analysé comme un problème d'optimisation en minimisant une fonctionnelle coût, la variable étant la forme inconnue. Deux différentes approches sont considérées dans ce travail : l'optimisation géométrique (à l'aide des dérivées de forme et du gradient de forme) et l'optimisation topologique (à l'aide d'un développement asymptotique et du "gradient" topologique). Dans un premier temps, un cadre mathématique est mis en place pour démontrer l'existence des dérivées de forme d'ordre un et deux pour les problèmes de détection d'inclusions. Le problème inverse considéré est ensuite analysé à l'aide de l'optimisation géométrique de forme : un résultat d'identifiabilité est montré, le gradient de forme de plusieurs types de fonctionnelles de forme est caractérisé et l'instabilité de ce problème inverse est enfin démontrée. Ces résultats théoriques sont alors utilisés pour reconstruire numériquement des objets immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient régularisé par une méthode de projection. Enfin, la localisation de petites inclusions dans un fluide est étudiée à l'aide de l'optimisation topologique pour une fonctionnelle de forme de Kohn-Vogelius. L'expression théorique de la dérivée topologique est finalement utilisée pour déterminer numériquement le nombre et la localisation de petits obstacles immergés dans un fluide à l'aide d'un algorithme de gradient topologique. Les limites effectives de cette approche sont explorées : la pénétration reste faible dans ce problème stationnaire.

Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de réaction-dispersion de la forme [delta]tu=D(u) +f(x,u). L'objectif est de comprendre l'influence du terme de réaction f, de l'opérateur de dispersion D, et de la donnée initiale u0 sur la propagation des solutions de ces équations. Nous nous sommes intéressés principalement à deux types d'équations de réaction-dispersion : les équations de réaction-diffusion où l'opérateur de dispersion différentielle est D=[delta]2z et les équations intégro-différentielles pour lesquelles D est un opérateur de convolution, D(u)=J* u-u. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu homogène, nous proposons une nouvelle approche plus intuitive concernant les notions de fronts progressifs tirés et poussés. Cette nouvelle caractérisation nous a permis de mieux comprendre d'une part les mécanismes de propagation des fronts et d'autre part l'influence de l'effet Allee, correspondant à une diminution de la fertilité à faible densité, lors d'une colonisation. Ces résultats ont des conséquences importantes en génétique des populations. Dans le cadre des équations de réaction-diffusion en milieu hétérogène, nous avons montré sur un exemple précis comment la fragmentation du milieu modifie la vitesse de propagation des solutions. Enfin, dans le cadre des équations intégro-différentielles, nous avons montré que la nature sur- ou sous-exponentielle du noyau de dispersion J modifie totalement la vitesse de propagation. / This thesis deals with the mathematical analysis of reaction-dispersion models of the form [delta]tu=D(u) +f(x,u). We investigate the influence of the reaction term f, the dispersal operator D and the initial datum u0 on the propagation of the solutions of these reaction-dispersion equations. We mainly focus on two types of equations: reaction-diffusion equations (D=[delta]2z and integro-differential equations (D is a convolution operator, D(u)=J* u-u). We first investigate the homogeneous reaction-diffusion equations. We provide a new and intuitive explanation of the notions of pushed and pulled traveling waves. This approach allows us to understand the inside dynamics the traveling fronts and the impact of the Allee effect, that is a low fertility at low density, during a colonisation. Our results also have important consequences in population genetics. In the more general and realistic framework of heterogeneous reaction-diffusion equations, we exhibit examples where the fragmentation of the media modifies the spreading speed of the solution. Finally, we investigate integro-differential equations and prove that emph{fat-tailed} dispersal kernels J, that is kernels which decay slower than any exponentially decaying function at infinity, lead to acceleration of the level sets of the solution u.

Cette thèse traite de deux sujets: la résolubilité forte d'équations différentielles stochastiques à dérive hölderienne et bruit hypoelliptique et la simulation de processus progressifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov. Dans le premier cas, on montre qu'un système hypoelliptique, composé d'une composante diffusive et d'une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l'exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à 2/3. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) et Krylov et Röckner (2005). L'apparition d'un seuil critique pour l'exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l'EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix. Dans le second cas, on propose un algorithme basé sur les méthodes de cubature pour la simulation de processus progessifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov apparaissant dans des problèmes de contrôle dans un environnement de type champ moyen. Cet algorithme se divise en deux parties. Une première étape de construction d'un arbre de particules, à dynamique déterministe, approchant la loi de la composante progressive. Cet arbre peut être paramétré de manière à obtenir n'importe quel ordre d'approximation (en terme de pas de discrétisation de l'intervalle). Une seconde étape, conditionnelle à l'arbre, permettant l'approximation de la composante rétrograde. Deux schémas explicites sont proposés permettant un ordre d'approximation de 1 et 2. / This thesis deals with two subjects: the strong well-posedness of stochastic differential equations with Hölder drift and hypoelliptic noise and the simulation of decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type. In the first work, we study a class of degenerate system with hypoelliptic noise. We prove that strong well-posedness holds for this system when the drift is only H\"{o}lder, with Hölder exponent larger than the critical value 2/3. This work extends to the degenerate setting the earlier results obtained by Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) and Krylov and Röckner (2005). The existence of a threshold for the Hölder exponent in the degenerate case may be understood as the price to pay to balance the degeneracy of the noise. Our proof relies on regularization properties of the associated PDE, which is degenerate in the current framework and is based on a parametrix method. In the second work, we propose a new algorithm to approach weakly the solution of a McKean-Vlasov stochastic differential equation. Based on the cubature method, the algorithm is deterministic differing from the usual methods based on interacting particles. It can be parametrized in order to obtain a given order of convergence. Then, we construct implementable algorithms to solve decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type, which appear in some stochastic control problems in a mean field environment. We give two algorithms and show that they have convergence of orders one and two under appropriate regularity conditions.

Les fuites non détectées dans les réseaux d'eau potable sont responsables en moyenne de la perte de 30% de l'eau transportée. Il s'avère donc primordial de pouvoir contrôler ces fuites. Pour atteindre cet objectif, la modélisation de l'écoulement de l'eau dans les conduites en tenant compte des fuites a été formulée de différente manière. La première formulation est un système d'équations différentielles ordinaires représentant des fuites constantes, réparties uniformément le long des conduites. Le système peut s'avérer être numériquement raide lorsque des organes hydrauliques sont rajoutés. Deux méthodes implicites ont été proposées pour sa résolution : la méthode de Rosenbrock et la méthode de Gear. Les résultats obtenus montrent que le débit varie linéairement le long des conduites et que les pertes en eau par unité de longueur sont identiques sur chaque conduite. La seconde formulation prend en compte la relation entre les fuites et la pression. Un système de deux équations aux dérivées partielles a été proposé. L'EDP de transport-diffusion-réaction, contenant l'opérateur du p-Laplacien, est résolue par une méthode à pas fractionnaires. Deux méthodes ont été testées. Dans la première, la réaction est couplée avec la diffusion et dans la seconde, elle est couplée avec le transport. Les résultats indiquent que les pertes en eau ne sont pas réparties de façon homogène sur le réseau. Cette formulation décrit de manière plus réaliste les réseaux d'eau potable. Enfin, le problème du contrôle du volume des fuites par action sur la pression a été étudié. Pour cela, un problème d'optimisation est résolu sous la contrainte que la pression doit être minimale pour réduire les fuites et être suffisante pour garantir un bon service aux consommateurs. Les résultats trouvés confirment que la réduction de la pression permet de réduire le volume des fuites de façon significative et que le choix de l'emplacement du ou des points de contrôle est primordial pour optimiser cette réduction. / Leakage represents a large part, in average more than 30%, of the water supplied. Consequently, it is important to control leakage in Water Distribution System (WDS). For this purpose different methods, which take leakage into account, are proposed to model the hydraulics of WDS. The first formulation considers constant leakage in a network and leads to an ordinary differential equation. It turns out to be a hydraulic stiff problem due to valve and pump operations. This equation is solved using two methods: the first one is a generalised Runge-Kutta method and the second one the Gear method. The results show that the flow rate varies linearly along a pipe and that the water loss per unit of length is identical for each pipe. Magnitude of inertia terms has also been studied. The second formulation takes pressure-dependent leakage into account. We propose to introduce partial differential equations in order to predict more accurately hydraulic flows in WDS. Thus, the physical advection-diffusion-reaction model is presented. A nonlinear operator, called p-Laplacian, related to the diffusion is included into the model. Two resolutions of this model based on a splitting method are detailed. The results confirm that losses vary nonlinearly with pressure. Finally, the leakage-control problem is studied. For this purpose, we solve an optimisation problem with the objective to minimize the distributed volume in order to reduce leakage. The condition of sufficient pressure to satisfy consumers is imposed in this optimisation. The results prove that pressure control significantly reduces leakage and that the emplacement of the valve is important to optimise this reduction.

Dans cette thèse nous considérons l’équation des ondes amorties vectorielle sur une variété riemannienne compacte, lisse et sans bord. L’amortisseur est ici une fonction lisse allant de la variété dans l’espace des matrices hermitiennes de taille n. Les solutions de cette équation sont donc à valeurs vectorielles. Nous commençons dans un premier temps par calculer le meilleur taux de décroissance exponentiel de l’énergie en fonction du terme d’amortissement. Ceci nous permet d’obtenir une condition nécessaire et suffisante la stabilisation forte de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous mettons aussi en évidence l’apparition d’un phénomène de sur-amortissement haute fréquence qui n’existait pas dans le cas scalaire. Dans un second temps nous nous intéressons à la répartition asymptotique des fréquences propres de l’équation des ondes amorties vectorielle. Nous démontrons que, à un sous ensemble de densité nulle près, l’ensemble des fréquences propres est contenu dans une bande parallèle à l’axe imaginaire. La largeur de cette bande est déterminée par les exposants de Lyapunov d’un système dynamique défini à partir du coefficient d’amortissement. / In this thesis we are considering the vectorial damped wave equation on a compact and smooth Riemannian manifold without boundary. The damping term is a smooth function from the manifold to the space of Hermitian matrices of size n. The solutions of this équation are thus vectorial. We start by computing the best exponential energy decay rate of the solutions in terms of the damping term. This allows us to deduce a sufficient and necessary condition for strong stabilization of the vectorial damped wave equation. We also show the appearance of a new phenomenon of high-frequency overdamping that did not exists in the scalar case. In the second half of the thesis we look at the asymptotic distribution of eigenfrequencies of the vectorial damped wave equation. Were show that, up to a null density subset, all the eigenfrequencies are in a strip parallel to the imaginary axis. The width of this strip is determined by the Lyapunov exponents of a dynamical system defined from the damping term.

資訊化社會是未來發展的趨勢﹐它不僅可提高生產力與競爭力﹐且可提升 生活品質與增進社會褔址﹐銀行業務電腦化即為典型之一例。然而在享受 電腦化利益之同時﹐卻也存在著電腦化環境之各種危險威脅。如電腦軟硬 體設備遭受毀損滅失之實體危險﹐人為利用電腦系統獲致不法財務利益之 舞弊危險﹐內部人員或外部人員利用電腦遂行詐欺等各種犯罪行為﹐此等 危險均威脅著銀行之經營安全。本文之研究﹐先就銀行之經營危險作一分 析﹐其次就電腦應用衍生之相關問題加以探討﹐如電腦犯罪之定義、類型 、特質及電腦化環境之各項安全威脅為何﹖再者蒐集國內外曾發生過之電 腦犯罪案例加以檢討﹐剖析電腦系統之弱點及可能發生電腦犯罪之方式。 而就電腦犯罪危險之管理﹐除經由各種內部防弊措施、稽核控制與安全查 核的方式來預防外﹐對於事故發生後所致財務損失彌補方式上﹐亦可運用 保險之適當安排以為保障。要有效防範電腦犯罪﹐達到電腦安全之目的﹐ 首先須建立從業人員之安全管理﹐再者須配合各項電腦系統安全查核措施 加以防範。其次有關電腦犯罪危險之管理及各項應變計劃與備援措施亦須 事先妥善安排。此外﹐與電腦犯罪行為有關法令之訂定﹐獨立客觀稽核制 度的建立與電腦專業人才之培養等﹐皆有助於電腦犯罪之防範。而金融監 理主管機關若能以專責單位來偵察、處理電腦弊案﹐亦有助於電腦犯罪行 為遏阻之功效。

La thèse se compose de deux parties.<br /><br />Première partie :<br />thème de la courbure scalaire conforme sur l'espace hyperbolique. Nous<br />apportons ici une étude fine du comportement asymptotique en toute<br />dimension. Nous traitons toujours d'équations semi-linéaires<br />générales, avant d'appliquer nos résultats au cas particulier de<br />l'équation géométrique.<br /><br />Deuxième partie :<br />thème de la courbure de Ricci sur l'espace hyperbolique.<br />Nous obtenons le résultat suivant.<br />Sur la boule unité de $\R^n$, on considère la métrique<br />hyperbolique standard $H_0$, dont la courbure de Ricci vaut $R_0$<br />et la courbure de Riemann-Christoffel vaut ${\cal R}_0$.<br />Nous montrons qu'en dimension $n\geq10$, pour<br />tout tenseur symétrique $R$ voisin<br />de $R_0$, il existe une unique métrique $H$ voisine de $H_0$<br />dont la courbure de Ricci vaut $R$.<br />Nous en déduisons, dans le cadre $C^\infty$, que l'image<br />de l'opérateur de Riemann-Christoffel est une sous-variété<br />au voisinage de ${\cal R}_0$.<br />Nous traitons aussi dans cette partie de la courbure de Ricci contravariante<br />en toute dimension, du problème de Dirichlet à l'infini en dimension 2,<br />et de quelques obstructions.

Ce travail traite du contrôle des systèmes décrits par des Equations aux Dérivés Partielles. La structure de Commande par Modèle Interne est étendue aux systèmes hyperboliques de dimension infinie, à contrôle frontière. Les EDP considérées sont celles de Saint-Venant, non linéaires, décrivant les écoulements à surface libre. <br />Le modèle utilisé est une linéarisation autour d'un écoulement permanent dont les coefficients dépendent de la variable d'espace. Les pentes et frottements sont non nuls, prenant en compte les phénomènes variables le long du canal. <br />L'analyse et la synthèse du contrôle sont réalisées en considérant le système en boucle fermée comme une perturbation de celui en boucle ouverte. Les perturbations portent sur les opérateurs, les semigroupes et le spectre dans un espace de Hilbert. L'opérateur hyperbolique Ae(x)dx+ Be(x) est caractérisé explicitement sans transformation préalable, en dimension une d'espace, où Ae(x) et Be(x) sont bornés. <br />Pour la synthèse de commande, une structure de contrôle frontière par modèle interne est utilisée, après avoir été ramené sous forme Kalmanienne abstraite. L'analyse de la stabilité en boucle fermée, par la théorie de la perturbation en dimension infinie, permet de donner des conditions suffisantes sur les paramètres de synthèse d'une loi de commande du type intégral et/ou proportionnel. <br />Les résultats en simulation et expérimentaux sur le canal de Valence montrent la faisabilité de l'approche. Elle est testée dans le cas monobief et multibiefs.

L'école Gestaltiste s'intéresse à la vision, leur point de vue est que<br />nous regroupons des points lumineux et/ou des objets selon certaines<br />règles pour former des objets plus gros, des Gestalts.<br /><br />La première partie de cette thèse est consacrée à la constance de<br />largeur. La Gestalt constance de largeur regroupe des points situés<br />entre deux bords qui restent parallèles. Nous cherchons donc dans les<br />images des courbes ``parallèles.'' Nous voulons faire une détection<br />a contrario, nous proposons donc une quantification du ``non<br />parallélisme'' de deux courbes par trois méthodes. La première méthode<br />utilise un modèle de génération de courbes régulières et nous<br />calculons une probabilité. La deuxième méthode est une méthode de<br />simulation de type Monte-Carlo pour estimer cette probabilité. Enfin<br />la troisième méthode correspond à un développement limité de la<br />première en faisant tendre un paramètre vers 0 sous certaines<br />contraintes. Ceci conduit à une équation aux dérivées partielles<br />(EDP). Parmi ces trois méthodes la méthode de type Monte-Carlo est<br />plus robuste et plus rapide.<br /><br />L'EDP obtenue est très similaire à celles utilisées pour la<br />désocclusion d'images. C'est pourquoi dans la deuxième partie de cette<br />thèse nous nous intéressons au problème de la désocclusion. Nous<br />présentons les méthodes existantes puis une nouvelle méthode basée sur<br />un système de deux EDPs dont l'une est inspirée de celle de la<br />première partie. Nous introduisons la probabilité de l'orientation du<br />gradient de l'image. Nous prenons ainsi en compte l'incertitude sur<br />l'orientation calculée du gradient de l'image. Cette incertitude est<br />quantifiée en relation avec la norme du gradient.<br /><br />Avec la quantification du non parallélisme de deux courbes, l'étape<br />suivante est la détection de la constance de largeur dans<br />les images. Il faut alors définir un seuil pour sélectionner les<br />bonnes réponses du détecteur et surtout parmi les réponses définir<br />des réponses ``maximales.'' Le système d'EDPs pour<br />la désocclusion dépend de beaucoup de paramètres, il faut trouver une<br />méthode de calibration des paramètres pour obtenir de bons résultats<br />adaptés à chaque image.

Nous généralisons au contexte des faisceaux analytiques cohérents un résultat classique de Koszul-Malgrange concernant l'intégrabilité des connexions de type $(0,1)$ sur un fibré vectoriel complexe $(\cal C)^(\infty)$ au dessus d'une variété complexe. En introduisant la notion de faisceau $\bar(\partial)$-cohérent, qui est une notion qui vit dans le contexte $(\cal C)^(\infty)$, nous montrons l'existence d'une équivalence (exacte) entre la catégorie des faisceaux analytiques cohérents et la catégorie des faisceaux $\bar(\partial)$-cohérents. L'application principale de cette caractérisation est une méthode (la $\bar(\partial)$-stabilité) qui permet de trouver des structures analytiques lesquelles sont obtenues par déformation $\ci$ d'autres structures analytiques. En suite nous conjecturons, comme dans le cas analytique complexe, que la notion de plurisousharmonicité pour une fonction $u$ sur une variété presque complexe est équivalente à la positivité du $(1,1)$-courant $i\partial\bar(\partial)u$. Nous montrons la nécessité de la positivité de ce courant. Nous montrons aussi la suffisance de la positivité dans le cas particulier d'une fonction semi-continue supérieurement et continue en dehors du lieu ou elle vaut $-\infty$.