Ce mémoire s'organise autour de deux cadres d'étude : d'une part, celui des espaces symétriques riemanniens non compacts X = G/K, pour lesquels nous prouvons un encadrement optimal et global en les variables d'espace et de temps, du noyau de la chaleur associé à l'opérateur de Laplace-Beltrami L ; d'autre part, dans le cas d'un groupe de Lie semi-simple G, nous montrons que tous les sous-laplaciens sur G qui induisent l'action de L sur X = G/K présentent des analogies avec L vis-à-vis de l'équation de la chaleur : le bas de leur spectre L^2 est le même, les distances de Carnot-Carathéodory associées sont comparables à la métrique riemannienne sur X et, surtout, les noyaux de la chaleur sont tous comparables (en temps grand) au noyau de la chaleur sur X. Nous en déduisons en particulier des encadrements très précis des noyaux de la chaleur dans ce cadre, ainsi que des fonctions de Green correspondantes.

L'objectif principal de cette thèse est d'étudier quelques problèmes de mathématiques financières dans un marché incomplet avec incertitude sur les modèles. Récemment, la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSRs) a été développée par Soner, Touzi et Zhang sur ce sujet. Dans cette thèse, nous adoptons leur point de vue. Cette thèse contient quatre parties dans le domain des 2EDSRs. Nous commençons par généraliser la théorie des 2EDSRs initialement introduite dans le cas de générateurs lipschitziens continus à celui de générateurs à croissance quadratique. Cette nouvelle classe des 2EDSRs nous permettra ensuite d'étudier le problème de maximisation d'utilité robuste dans les modèles non-dominés. Dans la deuxième partie, nous étudions ce problème pour trois fonctions d'utilité.Dans chaque cas, nous donnons une caractérisation de la fonction valeur et d'une stratégie d'investissement optimale via la solution d'une 2EDSR. Dans la troisième partie, nous fournissons également une théorie d'existence et unicité pour des EDSRs réfléchies du second ordre avec obstacles inférieurs et générateurs lipschitziens, nous appliquons ensuite ce résultat à l'étude du problème de valorisation des options américaines dans un modèle financier à volatilité incertaine. Dans la quatrième partie, nous étudions des 2EDSRs avec sauts. En particulier, nous prouvons l'existence d'une unique solution dans un espace approprié. Comme application de ces résultats, nous étudions un problème de maximisation d'utilité exponentielle robuste avec incertitude sur les modèles. L'incertitude affecte à la fois le processus de volatilité, mais également la mesure des sauts.

Ce travail porte, pour l'essentiel, sur l'analyse numérique de la dynamique des dislocations. Les dislocations sont des défauts qui se déplacent dans les cristaux, lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes extérieures. Notre travail se focalise principalement sur deux études. La première concerne l'étude théorique et numérique d'une équation de transport non-locale; la seconde est une étude numérique proposant un calcul de l'hamiltonien effectif pour un problème d'homogénéisation de la dynamique des dislocations. D'une façon générale, la dynamique des dislocations est décrite par une équation eikonal dont la vitesse est nonlocale. Ici, nous nous limitons à un modèle en dimension 1 d'espace. Dans une première partie nous démontrons des résultats d'existence et d'unicité de la solution en temps long ainsi qu'une estimation d'erreur théorique/numérique pour un schéma aux différences finies. Dans une deuxième partie un schéma monotone est utilisé pour calculer l'hamiltonien effectif qui décrit le comportement collectif de densités de dislocations comme limite d'un modèle ou les dislocations sont décrites individuellement. Les résultats numériques présentés ici viennent en soutien à une étude théorique d'homogénéisation.

Ce mémoire comprend les chapitres : 1) Introduction 2) La généricité et les notions de "presque toujours" 3) Dynamique générique des équations paraboliques 4) Dissipativit é de l'équation des ondes amorties et application au contrôle global 5) Etude de fronts dans des EDP dissipatives

Optimized implementations of blocking and nonblocking collective operations are most important for scalable high-performance applications. Offloading such collective operations into the communication layer can improve performance and asynchronous progression of the operations. However, it is most important that such offloading schemes remain flexible in order to support user-defined (sparse neighbor) collective communications. In this work, we describe an operating system kernel-based architecture for implementing an interpreter for the flexible Group Operation Assembly Language (GOAL) framework to offload collective communications. We describe an optimized scheme to store the schedules that define the collective operations and show an extension to profile the performance of the kernel layer. Our microbenchmarks demonstrate the effectiveness of the approach and we show performance improvements over traditional progression in user-space. We also discuss complications with the design and offloading strategies in general.

Cette thèse est consacrée à l'étude des applications de la théorie des erreurs par formes de Dirichlet. Notre travail se divise en trois parties. La première analyse les modèles gouvernés par une équation différentielle stochastique. Après un court chapitre technique, un modèle innovant pour les carnets d'ordres est proposé. Nous considérons que le spread bid-ask n'est pas un défaut, mais plutôt une propriété intrinsèque du marché. L'incertitude est porté par le mouvement Brownien qui conduit l'actif. Nous montrons que l'évolution des spread peut être évalué grâce à des formules fermés et nous étudions l'impact de l'incertitude du sous-jacent sur les produits dérivés. En suite, nous introduisons le modèle PBS pour le pricing des options européennes. L'idée novatrice est de distinguer la volatilité du marché par rapport au paramètre utilisé par les traders pour se couvrir. Nous assumons la première constante, alors que le deuxième devient une estimation subjective et erronée de la première. Nous prouvons que ce modèle prévoit un spread bid-ask et un smile de volatilité. Les propriétés plus intéressantes de ce modèle sont l'existence de formules fermés pour le pricing, l'impact de la dérive du sous-jacent et une efficace stratégie de calibration. La seconde partie s'intéresse aux modèles décrit par une équation aux dérivées partielles. Les cas linéaire et non-linéaire sont analysés séparément. Dans le premier nous montrons des relations intéressantes entre la théorie des erreurs et celui des ondelettes. Dans le cas non-linéaire nous étudions la sensibilité des solutions à l'aide de la théorie des erreurs. Sauf dans le cas d'une solution exacte, il y a deux approches possibles: On peut d'abord discrétiser l'EDP et étudier la sensibilité du problème discrétisé, soit démontrer que les sensibilités théoriques vérifient des EDP. Les deux cas sont étudiés, et nous prouvons que les sharp et le biais sont solutions d'EDP linéaires dépendantes de la solution de l'EDP originaire et nous proposons des algorithmes pour évaluer numériquement les sensibilités. Enfin, la troisième partie est dédiée aux équations stochastiques aux dérivées partielles. Notre analyse se divise en deux chapitres. D'abord nous étudions la transmission de l'incertitude, présente dans la condition initiale, à la solution de l'EDPS. En suite, nous analysons l'impact d'une perturbation dans les termes fonctionnelles de l'EDPS et dans le coefficient de la fonction de Green associée. Dans le deux cas, nous prouvons que le sharp et le biais sont solutions de deux EDPS linéaires dépendantes de la solution de l'EDPS originaire.

Dans cette thèse, nous donnerons tout d'abord des conditions sur les paramètres d’une EDSR à générateur lipschitzien ou à croissance quadratique telles que les processus solutions de l’EDSR admettent des densités par rapport à la mesure de Lebesgue. Puis, nous donnerons des conditions sur les paramètres d’une EDSR non-markovienne à générateur lipschitzien ou quadratique telles que les processus solutions de l’EDSR admettent une dérivée de Malliavin, à l’aide d’une nouvelle caractérisation de cette dérivée. Ce résultat nous fournira une nouvelle structure interne des espaces de Malliavin que nous étudierons. Nous donnerons ensuite des conditions nous assurant que des solutions d’EDSR non-markoviennes à générateurs lipschitziens stochastiques sont différentiables au sens de Malliavin en utilisant cette caractérisation. Nous ferons ensuite une analyse de densités pour les lois des solutions de telles EDSR et nous appliquerons nos résultats à la biologie. Enfin, nous étudierons deux exemples d’utilisations des EDSR en finance. On s’intéressera tout d’abord à un problème de maximisation d’utilité avec un horizon aléatoire que nous réduirons à l’analyse d’un nouveau type d’EDSR à coefficients singuliers et nous illustrerons nos résultats par des simulations numériques. Puis, nous résoudrons un problème de type Principal/Agent sous volatilité incertaine. / In the first part of this PhD thesis, we give conditions on the parameters of Lipschitz and quadratic growth BSDEs such that the laws of the components Y and Z of the solutions to such BSDEs admit densities with respect to the Lebesgue measure. We then provide conditions on the parameters of non-Markovian Lipschitz or quadratic growth BSDEs such that the components Y and Z of their solutions are Malliavin differentiable. We obtain these conditions by applying a new characterization of the Malliavin differentiability, as an Lp convergence criterion of difference quotients. This result provide also a new characterization of the Malliavin-Sobolev spaces that we study in detail. To finish this first theoretical part, we provide conditions ensuring that solutions of non-Markovian stochastic-Lipschitz BSDEs are Malliavin differentiable by applying the characterization of the Malliavin differentiability obtained. We then analyse the existence of densities for the laws of the components of solutions to such BSDEs and we apply our result to a model of gene expression. In the second part of this thesis, we investigate financial problems dealing with BSDEs. We first solve a utility maximization problem with a random horizon, characterized by an exogenous default time. We reduce it to the analysis of a specific BSDE, which we call BSDE with singular coefficients, when the default time is assumed to be bounded. We give conditions ensuring the existence and the uniqueness of solutions to such BSDE and we illustrate our results by numerical simulations. Then, we solve a Principal/Agent problem with ambiguity, in which the "Nature" impacts both the utilities of the Agent and the Principal, charaterized by sets of probability measures which modify the volatility.

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L'objective de la thèse est de comprendre s'il est envisageable d'utiliser les modèles qui décrivent la croissance tumorale (systèmes d'EDP) pour des applications médicales. En particulier, les modèles paramétriques sont calibrés en utilisant les données d'imagerie médicale d'un patient. Une fois calibré, le modèle donne une représentation de la croissance tumorale. Des techniques différentes sont proposées. Un approche classique basé sur la sensibilité est comparé à un approche réduit basé sur la Proper Orthogonal Decomposition. Des cas réalistes concernants l'étude des métastases dans les poumons ont été mis à point en collaboration avec l'Institut Bergonié. Des exigence pratique de traitement de l'image ont motivé l'étude des méthodes de recalage non-rigide des images et parmi ceux là, le transport optimale. Un étude de la numérique du problème de Monge-Kantorovich est décrit, avec des cas test numérique. Des applications concernants l'application de la distance de Wasserstein à la réduction de modèle sont envisagées. / The main purpose of this work was to understand if and wether PDE based modeling of tumor growth may be used in realistic applications. Models proposed in the literature are parametric. The goal is to identify parameters in such a way that the pathology evolution of a given patient is recovered. The identification is performed by means of inverse problems, taking medical images as data.Different techniques were tested: a classical Sensitivity approach is compared to a reduced one, based on Proper Orthogonal Decomposition. Realistic cases were set up in collaboration with Institut Bergonié, concerning lung metastasis evolution.Practical needs when dealing with medical images pushed us to interest to Optimal transport theory and Monge-Kantorovich problem. A numerical study was carried out and a family of lagrangian methods proposed. A perspective on the using of Wasserstein distance in model reduction concludes this work.

Dans cette étude on s'intéresse à la dynamique d'une classe de systèmes non-linéaires décrits par des équations aux dérivées partielles (EDP) du type hyperbolique. L'objectif de l'étude est de construire des lois de contrôle par feedback dynamique de la sortie afin de stabiliser le système autour d'un point d'équilibre d'une part, et, d'autre part, de réguler la sortie vers le point de consigne. Nous considérons la classe des systèmes gouvernés par des EDP quasi-linéaires du type hyperbolique à deux variables indépendantes (une variable temporelle et une variable spatiale). Pour le bien-posé du système dynamique non seulement l'état initial mais aussi certaines conditions frontières doivent être prescrites en cohérence avec les EDP. Nous supposons que l'observation et le contrôle sont ponctuels. Autrement dit l'action du contrôle intervient dans le système via les conditions frontières et l'observation est effectuée aux points de la frontière. Notre étude est motivée par l'observation que de nombreux processus physiques sont modélisés par ce type d'équations EDP. Nous citons, par exemple, des processus tels que flux trafique en transport, flux de gaz dans un réseau de pipeline, échangeurs thermiques en génie des procédés, équations de télégraphe dans des lignes de transmission, canaux d'irrigation en génie civil etc. Nous commençons l'étude par une EDP non-linéaire scalaire. Dans ce cas-là nous proposons un correcteur intégral stabilisant qui assure la régulation de la sortie avec l'erreur statique nulle. Nous prouvons la stabilisation locale du système non-linéaire par le correcteur intégral en construisant une fonctionnelle de Lyapunov appropriée. La conception des correcteurs proportionnels et intégraux (PI) que nous proposons est étendue dans un cadre de systèmes de deux EDP. Nous prouvons la stabilisation du système en boucle fermée à l'aide d'une nouvelle fonctionnelle de Lyapunov. La synthèse des correcteurs PI stabilisants se poursuit dans un cadre de réseaux formés d'un nombre fini de systèmes à deux EDP : réseau étoilé et réseau série en cascade. Les contrôles et les observations se trouvent localisés aux différents nœuds de connexion. Pour ces configurations nous présentons un ensemble de correcteurs PI stabilisants qui assurent la régulation vers le point de consigne. Les correcteurs PI que nous concevons sont validés par des simulations numériques à partir des modèles non-linéaires EDP. La contribution de la thèse, par rapport à la littérature existante, consiste en l'élaboration de nouvelles fonctionnelles de Lyapunov pour une classe de systèmes stabilisés par correcteur PI. En effet une grande quantité de résultats ont été obtenus sur la stabilisation des systèmes hyperboliques par feedback statique de la sortie. Toutefois il existe encore peu de résultats sur la stabilisation de ces systèmes par feedback dynamique de la sortie. L'étude de la thèse est consacrée sur l'élaboration des fonctionnelles de Lyapunov permettant d'obtenir des correcteurs PI stabilisants. L'approche de Lyapunov direct que nous avons proposée a pour l'avantage de permettre d'étudier la robustesse des lois de feedback de la sortie PI vis-à-vis de la non-linéarité. Une autre contribution de la thèse consiste en la construction des programmes de Malab permettant d'effectuer des simulations numériques pour la validation des correcteurs conçus. Pour la résolution numérique des EDP hyperboliques nous avons discrétisé nos systèmes par le schéma numérique de Preissmann. Nous avons chaque fois un système d'équations algébriques non-linéaires à résoudre de façon récurrente. L'apport des simulations numériques nous permet de mieux comprendre la méthodologie applicative de la théorie du contrôle en dimension infinie / In this study we are interested in the dynamics of a class of nonlinear systems described by partial differential equations (PDE) of the hyperbolic type. The aim of the study is to construct control laws by dynamic feedback of the output in order to stabilize the system around an equilibrium point on the one hand and to regulate the output to the set-point. We consider the class of systems governed by hyperbolic PDEs with two independent variables (one time variable and one spatial variable). For the well-posed dynamic system not only the initial state but also certain boundary conditions must be prescribed in coherence with the PDEs. We assume that observation and control are punctual. In other words, the action of the control intervenes in the system via the boundary conditions and the observation is carried out at the points of the border. Our study is motivated by the observation that many physical processes are modeled by this type of PDE equations. Examples include processes such as traffic flow in transportation, gas flows in a pipeline network, heat exchangers in process engineering, telegraph equations in transmission lines, civil engineering irrigation channels, to cite but a few.We begin the study with a scalar nonlinear PDE. In this case we propose a stabilizing integral controller which ensures the regulation of the output with zero static error. We prove the local stabilization of the nonlinear system by the integral controller by constructing an appropriate Lyapunov functional. The design of the proportional and integral (PI) controllers that we propose is extended in a framework of two PDE systems. We prove the stabilization of the closed-loop system with a new Lyapunov functional. The synthesis of stabilizing PI controllers is carried out in a framework of networks formed by a finite number of two PDE systems: star network and serial network in cascade. Controls and observations are located at the different connection nodes. For these configurations we present a set of stabilizing PI controllers that regulate the output to the set-point. The PI controllers that we design are validated by numerical simulations from the nonlinear PDE models. The contribution of the thesis compared to the existing literature consists in the development of new Lyapunov functionals for the class of systems looped by a PI controller. Indeed, a large number of results have been obtained from the stabilization of hyperbolic systems by static feedback of the output. However, there are still few results with the stabilization of these systems by the output dynamic feedback. The study of the thesis is devoted to the development of the Lyapunov functional to obtain stabilizing PI controllers. The direct Lyapunov approach that we have proposed has the advantage of allowing to study the robustness of the output dynamic feedback laws in the form of PI controllers with respect to the nonlinearity. Another contribution of the thesis consists of the Malab program construction allowing to carry out numerical simulations for the validation of the conceived controllers. For the numerical resolution of hyperbolic PDEs, we have discretized our systems using the Preissmann numerical scheme. Each time moment we have a system of non-linear algebraic equations to be solved in a recurring way. The contribution of numerical simulations allows us to better understand the application methodology of the infinite dimension control theory