Cette thèse se consacre aux études des comportements de longtemps des solutions pour les EDPs nonlinéaires qui sont proches d'une EDP linéaire ou intégrable hamiltonienne. Une théorie de la moyenne pour les EDPs nonlinéaires est presenté. Les modèles d'équations sont les équations Korteweg-de Vries (KdV) perturbées et quelques équations aux dérivées partielles nonlinéaires faiblement.

VIEIRA, F. B. Controlabilidade de algumas EDPs não lineares, e, densidade e espectro de subvariedades mínimas em espaço forma. 2017. 89 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2017. / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-04-19T13:15:27Z No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 681898 bytes, checksum: d123b89ff8ddaa52a643807b847421b5 (MD5) / Rejected by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br), reason: Para o aluno. Alterar a data e incluir a conclusão, tanto no sumário como no final do texto. Conclusão é capítulo portanto numerado. Rocilda on 2017-04-19T14:54:37Z (GMT) / Submitted by Andrea Dantas (pgmat@mat.ufc.br) on 2017-04-19T16:23:39Z No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 683722 bytes, checksum: 8e8575ca8d8e8496b31047d5bc8c68c0 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2017-04-24T11:15:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 683722 bytes, checksum: 8e8575ca8d8e8496b31047d5bc8c68c0 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-04-24T11:15:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_tese_fbvieira.pdf: 683722 bytes, checksum: 8e8575ca8d8e8496b31047d5bc8c68c0 (MD5) Previous issue date: 2017-05-24 / In the first part of this thesis we deal with the 3D Navier-Stokes and Boussinesq systems in a cube. We prove some results concerning the global approximate controllability by means of boundary controls which act in some part of the boundary. They are generalizations and variants of some previous results by Guerrero, Imanuvilov and Puel. Still in the first part of this Thesis, we prove the internal and boundary local null controllability of a 1D parabolic PDE with nonlinear diffusion. Here, the main tools are Liusternik’s inverse function Theorem and appropriate Carleman estimates. In the second part of this Thesis, we consider M m minimal properly immersed submanifolds in a complete ambient space N n suitably close to a space form N n k of curvature −k ≤ 0. We are interested in the relation between the density function Θ(r) of M m and the spectrum of the Laplace-Beltrami operator. In particular, we prove that if Θ(r) has subexponential growth (when k < 0) or sub-polynomial growth (k = 0) along a sequence, then the spectrum of M m is the same as that of the space form N m k . Notably, the result applies to Anderson’s (smooth) solutions of Plateau’s roblem at infinity on the hyperbolic space H n , independently of their boundary regularity. We also give a simple condition on the second fundamental form that ensures M to have finite density. In particular, we show that minimal submanifolds of H n with finite total curvature have finite density. / Na primeira parte desta tese tratamos dos sistemas 3D de Navier-Stokes e Boussinesq em um cubo. Nós provamos alguns resultados sobre a controlabilidade aproximada global por meio de controles de bordo que agem em uma parte da fronteira. Estes reultados são generalizações e variações de alguns resultados anteriores de Guerrero, Imanuvilov e Puel. Ainda na primeira parte da tese, nós provamos a controlabilidade nula local interna e de bordo de uma EDP parabólica 1D com difusão não linear. Aqui, as ferramentas principais são o teorema da função inversa de Liusternik e desigualdades de Carleman adequadas. Na segunda parte desta tese, consideramos M m subvariedades mínimas propriamente imersas em um espaço ambiente completo N n adequadamente próximo a um espaço forma N n k de curvatura −k ≤ 0. Estamos interessados na relação entre a função densidade Θ(r) de M m e o espectro do operador Laplace-Beltrami. Em particular, provamos que se Θ(r) temum crescimento subexponencial (quando k < 0) ou bubpolinomial (k = 0) ao longo de uma sequência, então o espectro de M m é o mesmo do espaço forma N m k . Notavelmente, o resultado se aplica a soluções Anderson (suaves) do problema de Plateau no infinito sobre o espaço hiperbólico H n , independentemente da regularidade dos seus bordos. Nós também fornecemos uma condição simples sobre a segunda forma fundamental que garante que M tem densidade finita. Em particular, mostramos que subvariedades mínimas de H n com curvatura total finita te densidade finita.

Le but de cette thèse est de développer et d’analyser les méthodes Hybrides d’Ordre Élevé (HHO: Hybrid High-Order, en anglais) pour des problèmes d’interfaces. Nous nous intéressons à deux types d’interfaces (i) les interfaces diffuses, et (ii) les interfaces traitées comme frontières internes du domaine computationnel. La première moitié de ce manuscrit est consacrée aux interfaces diffuses, et plus précisément aux célèbres équations de Cahn–Hilliard qui modélisent le processus de séparation de phase par lequel les deux composants d’un fluide binaire se séparent pour former des domaines purs en chaque composant. Dans la deuxième moitié, nous considérons des modèles à dimension hybride pour la simulation d’écoulements de Darcy et de transports passifs en milieu poreux fracturé, dans lequel la fracture est considérée comme un hyperplan (d’où le terme hybride) qui traverse le domaine computationnel. / The purpose of this Ph.D. thesis is to design and analyse Hybrid High-Order (HHO) methods on some interface problems. By interface, we mean (i) diffuse interface, and (ii) interface as an immersed boundary. The first half of this manuscrit is dedicated to diffuse interface, more precisely we consider the so called Cahn–Hilliard problem that models the process of phase separation, by which the two components of a binary fluid spontaneously separate and form domains pure in each component. In the second half, we deal with the interface as an immersed boundary and consider a hybrid dimensional model for the simulation of Darcy flows and passive transport in fractured porous media, in which the fracture is considered as an hyperplane that crosses our domain of interest.

Cette thèse présente les travaux menés sur l’analyse et la modélisation de l’hétérogénéité tumorale lors de résistance aux traitements. Nous présentons ici un modèle EDP, dépendant de chaque patient, et prenant en compte deux types de traitements différents. Il reproduit qualitativement et quantitativement les différentes étapes de la croissance d’une tumeur soumise à ces traitements. Afin de pallier une instabilité numérique liée à ce type de modélisation, un nouveau schéma numérique est construit : le twin-WENO5.Nous développons ensuite une méthode de synthèse d’images scanners de sorte à rendre meilleure la comparaison entre les résultats numériques et les données cliniques. Enfin un critère robuste permettant de quantifier l’hétérogénéité à la fois des images cliniques et des images de synthèse, est construit. / This thesis deals with tumor heterogeneity analysis and modeling during treatments resistances. A patient-dependent PDEs model, that takes into account two kinds of treatments, is presented. It qualitatively and quantitatively reproduces the different stage during the tumor growth undergoing treatments. In order to overcome a numerical instability linked to the type of modeling, a new numerical scheme is built : the twin-WENO5. Then,an image synthesis method is developed to enable a better comparison between the numerical results and the clinical data. Finally, a robust criteria that quantifies the tumor heterogeneity from the clinical data and from the synthesis images, is built.

Uma família de esquemas upwind denominada FUS-RF (Family of Upwind Scheme via Rational Functions), que é derivada via funções racionais e dependentes de parâmetros, é proposta para o cálculo de soluções aproximadas de equações de conservação. A fim de ilustrar a capacidade dos novos esquemas, vários resultados computacionais para sistemas hiperbólicos de leis de conservação são apresentados. Esses testes mostram a inflluência dos parâmetros escolidos sobre a qualidade dos resultados numéricos. Fazendo o uso de alguns testes de padrões, comparação dos novos limitadores de fluxo correspondentes com o esquema bem estabelecido van Albada e esquema atual EPUS (Eight-degree Polynomial Upwind Scheme) é também realizada. Os testes numéricos realizados em transporte de escalares e problemas de dinâmica dos gases confirmam que alguns esquemas da família FUS-RF são não oscilatórios e fornecem resultados confiáveis quando perfis descontínuos são transportados. Um esquema particular dessa nova família de esquemas upwind é então selecionado e utilizado para resolver escoamentos complexos com superfícies livres móveis / A family of upwind schemes named as FUS-RF (Family of Upwind Scheme via Rational Functions), which is derived via rational functions and dependent of parameters, is proposed for computing approximated solutions of conservation equations. In order to illustrate the capability of the new schemes, several computational results for system of hyperbolic conservation laws are presented. These results clarify the influence of the chosen parameters on the quality of the numerical calculations. Using some standard test cases, comparison of the new corresponding limiters with the well established van Albada and the recently introduced EPUS (Eight-degree Polynomial Upwind Scheme) limiters is also done. Numerical tests on both scalar and gas dynamics problems confirm that some schemes of the FUS-RF family are non-oscillatory and yield sharp results when solving profiles with discontinuities. A particular upwind scheme of this new family is then slected and used for solving complex incompressible moving free surface flows

[pt] Esta dissertação versa sobre a teoria das soluções de viscosidadepara equações diferenciais parciais elípticas completamente não-lineares com ingredientes mensuráveis. Nosso principal objetivo é demonstrar o Princípio do Máximo de Aleksandrov-Bakelman-Pucci neste contexto. / [en] This dissertation deals with the theory of viscosity solutions for fully nonlinear elliptic partial differential equations with measurable ingredients. Our main objective is to demonstrate the Aleksandrov-Bakelman-Pucci Maximum Principle in this context.

Ces travaux présentent des avancées théoriques pour l'application de l'approche EDPS (Équation aux Dérivées Partielles Stochastique) en Géostatistique. On considère dans cette approche récente que les données régionalisées proviennent de la réalisation d'un Champ Aléatoire satisfaisant une EDPS. Dans le cadre théorique des Champs Aléatoires Généralisés, l'influence d'une EDPS linéaire sur la structure de covariance de ses éventuelles solutions a été étudiée avec une grande généralité. Un critère d'existence et d'unicité des solutions stationnaires pour une classe assez large d'EDPSs linéaires a été obtenu, ainsi que des expressions pour les mesures spectrales associées. Ces résultats permettent de développer des modèles spatio-temporels présentant des propriétés non-triviales grâce à l'analyse d'équations d'évolution présentant un ordre de dérivation temporel fractionnaire. Des paramétrisations adaptées de ces modèles permettent de contrôler leur séparabilité et leur symétrie ainsi que leur régularité spatiale et temporelle séparément. Des résultats concernant des solutions stationnaires pour des EDPSs issues de la physique telles que l'équation de la Chaleur et l'équation d'Onde sont présentés. Puis, une méthode de simulation non-conditionnelle adaptée à ces modèles est étudiée. Cette méthode est basée sur le calcul d'une approximation de la Transformée de Fourier du champ, et elle peut être implémentée de façon efficace grâce à la Transformée de Fourier Rapide. La convergence de cette méthode a été montrée théoriquement dans un sens faible et dans un sens fort. Cette méthode est appliquée à la résolution numérique des EDPSs présentées dans ces travaux. Des illustrations de modèles présentant des propriétés non-triviales et reliés à des équations de la physique sont alors présentées. / This dissertation presents theoretical advances in the application of the Stochastic Partial Differential Equation (SPDE) approach in Geostatistics. This recently developed approach consists in interpreting a regionalised data-set as a realisation of a Random Field satisfying a SPDE. Within the theoretical framework of Generalized Random Fields, the influence of a linear SPDE over the covariance structure of its potential solutions can be studied with a great generality. A criterion of existence and uniqueness of stationary solutions for a wide-class of linear SPDEs has been obtained, together with an expression for the related spectral measures. These results allow to develop spatio-temporal covariance models presenting non-trivial properties through the analysis of evolution equations presenting a fractional temporal derivative order. Suitable parametrizations of such models allow to control their separability, symmetry and separated space-time regularities. Results concerning stationary solutions for physically inspired SPDEs such as the Heat equation and the Wave equation are also presented. A method of non-conditional simulation adapted to these models is then studied. This method is based on the computation of an approximation of the Fourier Transform of the field, and it can be implemented efficiently thanks to the Fast Fourier Transform algorithm. The convergence of this method has been theoretically proven in suitable weak and strong senses. This method is applied to numerically solve the SPDEs studied in this work. Illustrations of models presenting non-trivial properties and related to physically driven equations are then given.

Dans ce travail on se propose d'établir des estimations d'erreurs a priori pour les solutions approchées d'équations d'évolution obtenues par la méthode d'éléments finis mixte duale en espace et ce pour trois types de problèmes : le premier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur, le second est le problème de Stokes instationnaire, et le dernier concerne le problème de Cauchy pour l'équation de diffusion de la chaleur mais avec un coefficient de diffusion aléatoire. Pour ces trois types de problèmes, il y a un certain nombre de raisons de préférer la méthode mixte duale en espace à une méthode classique en espace ; parmi elles la propriété fondamentale qu'est la conservation locale, et par suite globale, de certaines quantités physiques (la quantité de mouvement, la masse, la quantité de chaleur,...). Une autre raison bien connue pour adopter la méthode mixte duale en espace est qu'elle nous permet d'introduire des nouvelles variables : p(t) =grad u(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur, p(t) = K ◊ u(t) le flux de chaleur à l'instant t pour l'équation de diffusion de la chaleur avec un coefficient de diffusion aléatoire K, ◊ dénotant le produit de Wick, σ = grad u(t) le tenseur gradient du champ des vitesses à l'instant t pour le problème de Stokes instationnaire, ces inconnues supplémentaires ayant un sens physique et une importance particulière pour plus d'une application. Il est donc important de disposer d'une méthode numérique donnant aussi de bonnes approximations de ces quantités.

Nous nous intéressons aux approches par EDP pour la régularisation d´images scalaires et multivaluées définies sur des supports non plans et à leurs applications à des problèmes de traitement des images. Nous étudions la relation entre les méthodes existantes et les comparons en termes de performance et complexité d´implémentation. Nous développons de nouvelles méthodes numériques pour traiter des opérateurs de type divergence utilisés dans les méthodes de régularisation par EDPs sur des surfaces triangulées. Nous généralisons la technique de régularisation du Flot de Beltrami pour le cas des images définies sur des surfaces implicites et explicites. Des implémentations sont proposées pour ces méthodes, et des expériences sont exposées. Nous montrons aussi une application concrète de ces méthodes à un problème de cartographie rétinotopique.

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / In this work we establish local regularity estimates for at solutions to non-convex fully nonlinear elliptic equations and we study cavitation type equations modeled within coef- icients bounded and measurable. / Neste trabalho estabelecemos estimativas de regularidade local para soluÃÃes "flat" de equaÃÃes elÃpticas totalmente nÃo-lineares nÃo-convexas e estudamos equations do tipo cavidade com coeficientes meramente mensurÃveis.