Cette thèse se divise en deux parties. La première est consacrée aux points entiers sur les courbes modulaires, et l'autre se concentre sur les courbes elliptiques à couplages.Dans la première partie, nous donnons quelques majorations effectives de la hauteur des j-invariants des points entiers sur les courbes modulaires quelconques associées aux sous-groupes de congruence sur les corps de nombres quelconques en supposant que le nombre des pointes est au moins 3. De plus, dans le cas d'un groupe de Cartan non-déployé nous fournissons de meilleures bornes. Comme application, nous obtenons des résultats similaires pour certaines courbes modulaires avec moins de 3 pointes.Dans la deuxième partie, nous donnons une nouvelle majoration du nombre de classes d'isogénie de courbes elliptiques ordinaires à couplages. Nous analysons également la méthode de Cocks-Pinch pour confirmer certaines de ses propriétés communément conjecturées. Par ailleurs, nous présentons la première analyse heuristique connue qui suggère que toute construction efficace de courbes elliptiques à couplages peut engendrer efficacement de telles courbes sur tout corps à couplages. Enfin, quelques données numériques allant dans ce sens sont données.

Cette thèse est consacrée à la description et à l'étude de la sécurité de divers protocoles destinés à faire de l'authentification d'objets physiques à distance à base de comparaison de vecteurs binaires. L'objectif des protocoles proposés est de pouvoir réaliser une authentification en garantissant d'une part que les informations envoyées et reçues par le lecteur n'ont pas été manipulées par un adversaire extérieur et d'autre part sans révéler l'identité de l'objet testé à un tel adversaire, ou même, modulo certaines hypothèses raisonnables, aux composantes du système. Nous nous sommes fixés de plus comme objectif d'utiliser des méthodes de cryptographie sur courbe elliptique pour pouvoir profiter des bonnes propriétés de ces dernières, notamment une sécurité accrue par rapport à la taille des clefs utilisées. Nous présentons plusieurs protocoles atteignant l'objectif et établissons pour presque tous une preuve théorique de leur sécurité, grâce notamment à une nouvelle caractérisation d'une notion standard de sécurité.

Ce Mémoire porte sur l'analyse qualitative de quelques classes de problèmes elliptiques non linéaires.

Un des objectifs principaux de l'expérience PHENIX est l'étude de la matière nucléaire soumise à des conditions extrêmes de température et de densité d'énergie. Dans les collisions ultra-relativistes Au+Au à 200~GeV par paires de nucléon, il serait possible de former un état de la matière pour lequel les quarks et les gluons ne seraient plus liés au sein des nucléons mais pourraient évoluer de façon quasi-libre sur des distances plus grandes que la taille caractéristique de ces derniers. Cet état est dénommé le Plasma de Quarks et de Gluons (QGP).<br /><br />L'étude de la production du $\jpsi$, particule lourde formée d'une paire de quarks charme ($c \bar c$), est une des sondes initialement proposée pour étudier le QGP. Une suppression de la production du $\jpsi$ était en effet attendue en présence d'un QGP, en raison de l'écrantage du potentiel de liaison entre les quarks charme le constituant par la présence du milieu dense coloré environnant. De nombreuses mesures du $\jpsi$ ont eu lieu depuis au SPS (CERN) et à RHIC (BNL). Elles ont permis de mettre en évidence non seulement l'existence d'une telle suppression, mais également la présence de mécanismes supplémentaires, rendant plus difficile l'interprétation des résultats correspondants.<br /><br />L'expérience PHENIX est la seule des quatre expériences de RHIC capable de mesurer le $\jpsi$ à rapidité positive via sa désintégration en deux muons. En 2007 des collisions Au+Au à une énergie par paire de nucléons dans le centre de masse $\sqrt{s_{NN}}=200$~GeV ont été réalisées à BNL, ce qui a permis d'augmenter d'un facteur quatre la statistique disponible pour l'étude du $\jpsi$ par rapport aux résultats publiés précédemment. Cette augmentation, ajoutée à la mise en oeuvre de nouveaux détecteurs dans PHENIX, a permis de préciser les mesures précédentes, et de mesurer des observables jusqu'alors inaccessibles telles que l'asymétrie azimutale de la production du $\jpsi$.<br /><br />Ce manuscrit présente la compréhension actuelle de la production de quarkonia et l'utilisation de cette sonde dans l'étude du QGP. L'analyse conduisant à la première mesure de l'anisotropie azimutale du $\jpsi$ à rapidité positive dans les collisions Au+Au à 200~GeV par paire de nucléons est détaillée. Cette mesure devrait permettre de préciser le mécanisme de production du méson, en particulier en ce qui concerne la part de recombinaison des quarks $c$ en $\jpsi$.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à plusieurs problématiques liées au traitement de données 3D. La première concerne la détection et le suivi de personnes dans des séquences d'images de profondeur. Nous proposons une amélioration d'une méthode existante basée sur une étape de segmentation, puis de suivi des personnes. La deuxième problématique abordée est la détection et la modélisation de têtes dans un nuage de points 3D. Pour cela, nous adoptons une approche probabiliste basée sur un nouveau modèle de mélange sphérique. La dernière application traitée est liée à la restauration d'images de profondeur présentant des données manquantes. Nous proposons pour cela d'utiliser une méthode d'approximation de surface par Dm-splines d'interpolation avec changements d'échelle pour approximer et restaurer les données. Les résultats présentés illustrent l'efficacité des algorithmes développés. / In this dissertation, we are interested in several issues related to 3D data processing. The first one concerns people detection and tracking in depth map sequences. We propose an improvement of an existing method based on a segmentation stage followed by a tracking module. The second issue is head detection and modelling in 3D point clouds. In order to do this, we adopt a probabilistic approach based on a new spherical mixture model. The last considered application deals with the restoration of deteriorated depth maps. To solve this problem, we propose to use a surface approximation method based on interpolation Dm-splines with scale transforms to approximate and restore the image. Presented results illustrate the efficiency of the developed algorithms.

L'espace de Wasserstein est l'ensemble des mesures de probabilité définies sur un domaine fixé et muni de la distance de Wasserstein quadratique. Dans ce travail, nous étudions des problèmes variationnels dans lesquels les inconnues sont des applications à valeurs dans l'espace de Wasserstein.Quand l'espace de départ est un segment, c'est-à-dire quand les inconnues sont des courbes à valeurs dans l'espace de Wasserstein, nous nous intéressons à des modèles où, en plus de l'action des courbes, des termes pénalisant les configurations de congestion sont présents. Nous développons des techniques permettant d'extraire de la régularité à partir de l'interaction entre l'évolution optimale de la densité (minimisation de l'action) et la pénalisation de la congestion, et nous les appliquons à l'étude des jeux à champ moyen et de la formulation variationelle des équations d'Euler.Quand l'espace de départ n'est plus seulement un segment mais un domaine de l'espace euclidien, nous considérons seulement le problème de Dirichlet, c'est-à-dire la minimisation de l'action (qui peut être appelée l'énergie de Dirichlet) parmi toutes les applications dont les valeurs sur le bord du domaine de départ sont fixées. Les solutions sont appelées les applications harmoniques à valeurs dans l'espace de Wasserstein. Nous montrons que les différentes définitions de l'énergie de Dirichlet présentes dans la littérature sont en fait équivalentes; que le problème de Dirichlet est bien posé sous des hypothèses assez faibles; que le principe de superposition est mis en échec lorsque l'espace de départ n'est pas un segment; que l'on peut formuler une sorte de principe du maximum; et nous proposons une méthode numérique pour calculer ces applications harmoniques. / The Wasserstein space is the space of probability measures over a given domain endowed with the quadratic Wasserstein distance. In this work, we study variational problems where the unknowns are mappings valued in the Wasserstein space. When the source space is a segment, i.e. when the unknowns are curves valued in the Wasserstein space, we are interested in models where, in addition to the action of the curves, there are some terms which penalize congested configurations. We develop techniques to extract regularity from the minimizers thanks to the interplay between optimal density evolution (minimization of the action) and penalization of congestion, and we apply them to the study of Mean Field Games and the variational formulation of the Euler equations. When the source space is no longer a segment but a domain of a Euclidean space, we consider only the Dirichlet problem, i.e. the minimization of the action (which can be called the Dirichlet energy) among mappings sharing a fixed value on the boundary of the source space. The solutions are called harmonic mappings valued in the Wasserstein space. We prove that the different definitions of the Dirichlet energy in the literature turn out to be equivalent; that the Dirichlet problem is well-posed under mild assumptions; that the superposition principle fails if the source space is no longer a segment; that a sort of maximum principle holds; and we provide a numerical method to compute these harmonic mappings.

Notre travail s'inscrit dans le cadre des télécommunications par fibres optiques où l'information transite sous la forme d'impulsions lumineuses dans le guide d'onde que constitue la fibre. Face à la demande sans cesse croissante en matière de débit d'information transmise dans une fibre, les trains d'impulsions qui véhiculent cette information sont rendus plus denses : les impulsions sont plus brèves et la distance qui les sépare diminue. Cette évolution est freinée par deux aspects qui sont de natures très différentes. Le premier naît du besoin de diriger l'information dans un réseau, ce qui nécessite d'effectuer des opérations logiques et de passer par des dispositifs électroniques qui sont lents à l'échelle de l'optique. Le deuxième aspect consiste en la dispersion de la vitesse de groupe présente dans la fibre. Sous son infiuence, les impulsions ont tendance à s'étaler et peuvent se recouvrir au sein du train, ce qui détruit l'information.<br> La dispersion peut être contrée par la non-linéarité de la fibre optique. Celle-ci provoque l'effet inverse de la dispersion : une contraction de l'impulsion. Si l'on choisit judicieusement le profil des impulsions, elles peuvent se propager sans déformation grâce à la compensation des deux effets antagonistes que sont la dispersion et la non-linéarité. De telles impulsions sont appelées « solitons ». Ils sont stables et permettent de véhiculer l'information sans la détruire. Malheureusement, la nature non linéaire de leur régime de propagation implique qu'ils modifient le milieu supportant leur propagation au point d'interagir avec leurs voisins et de modifier leur instant d'arrivée en fin de fibre. Cet effet détériore l'information et oblige à espacer les impulsions qui transitent dans la fibre, ce qui limite le débit d'information véhiculée.<br> Jusqu'à présent, les effets non linéaires dans les fibres optiques ont principalement été étudiés dans une approximation scalaire de la réalité, ce qui ne permet pas de prédire un certain nombre de phénomènes qui font intervenir la polarisation du champ électrique associé à l'impulsion. Un modèle vectoriel permet, entre autres, de décrire les « solitons elliptiques fondamentaux », les « solitons de parois de domaines de polarisation » et les « états liés de solitons vectoriels ».<br> C'est à ces êtres optiques que nous nous sommes intéressés dans notre travail qui comprend trois grands axes.<br> Le premier consiste en une étude théorique des états liés de solitons vectoriels. Préalablement à notre étude, ceux-ci se sont révélés instables dans des simulations numériques. Nous avons abordé le problème de manière analytique et montré l'existence d'états liés de solitons vectoriels. Ensuite, nous avons étudié leur dynamique et montré qu'ils sont instables par brisure de symétrie dans les fibres optiques isotropes. Suite à cela, nous avons analysé leur propagation en fibres à biréfringence aléatoire et montré qu'ils y sont stables, ce qui a permis d'expliquer la réussite d'expériences de multiplexage en polarisation dans lesquelles deux impulsions successives du train peuvent être vues comme des états liés.<br> La formulation mathématique des états liés que nous avons étudiés dans les fibres optiques est analogue à celle des états liés spatiaux qui apparaissent dans les milieux de type Kerr. Cette analogie nous a permis de proposer un principe de commutation, basé sur l'instabilité des états liés par brisure de symétrie, qui présente les avantages de nécessiter une très faible puissance de contrôle et de travailler beaucoup plus rapidement que l'électronique.<br> Les deux autres axes de notre travail sont liés à l'observation expérimentale des solitons elliptiques parmi lesquels les « solitons de parois de domaines de polarisation » constituent de bons porteurs d'information dans les fibres optiques car, selon les simulations numériques, ils ne souffriraient pas des interactions entre solitons voisins d'un train telles que nous les avons décrites ci-dessus pour les solitons scalaires. Afin d'observer les solitons elliptiques, trois étapes sont nécessaires. D'un point de vue pratique, elles s'agencent comme suit : il faut vérifier qu'il existe des fibres dont l'isotropie soit suffisante pour soutenir leur propagation, puis il faut disposer des instruments qui permettent de les observer et, enfin, il faut les générer. Cette dernière étape mérite une étude complète à elle seule, et nous ne l'avons pas abordée.<br> Nous avons par contre vérifié la possibilité d'observer des phénomènes qui ne peuvent se produire qu'en fibres isotropes et qui trouvent leur origine dans le même phénomène physique, à savoir, l'interaction entre la dispersion et la non-linéarité vectorielle. En l'occurrence, nous avons effectué la première observation d'une prédiction effectuée il y a trente ans, mais jamais observée jusqu'alors : l'existence de l'« instabilité modulationnelle de polarisation » en fibre optique isotrope. La vérification de toutes les prédictions associées à cette instabilité nous a permis de conclure que le choix d'une fibre de type « spun » associé à des précautions d'utilisation permettra de propager des solitons elliptiques.<br> Suite à ce succès, nous avons abordé l'étude du dispositif de détection des solitons elliptiques. Pour comprendre sa spécificité, il faut savoir que l'observation des solitons elliptiques nécessite de travailler à des puissances de crête très élevées pour faire ressortir la non-linéarité de la fibre optique. Ces puissances sont atteintes en concentrant une faible énergie sur un temps ultracourt, de l'ordre d'une centaine de femtosecondes. Nous avons développé deux méthodes de mesure basées sur la reconstruction de la phase spectrale de l'impulsion au départ de signaux de battement entre fréquences voisines du spectre. Ces méthodes présentent l'avantage d'être purement linéaires, ce qui leur confère une très grande sensibilité ; et de permettre le calcul simple et sans ambiguïté de la phase spectrale. La première des techniques que nous avons développées est adaptée aux trains ultrarapides d'impulsions courtes et répond à un besoin dans le domaine des télécommunications, tandis que la seconde peut s'appliquer aux bas taux de répétitions et aux impulsions courtes ou ultracourtes.

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Sur une variété riemanienne compacte de dimension supérieure à 3,<br />on considère une edp elliptique non linéaire à exposant critique particulière : l'équation de Sobolev Poincaré. D'une part, nous décrivons le comportement asymptotique d'une suite de solutions de cette équation grâce à une analyse fine de phénomènes de concentration. D'autre part, en imposant des invariances par des groupes d'isométries, nous montrons des résultats de multiplicité de solutions pour cette équation. Notre méthode permet aussi d'obtenir des multiplicités de solutions pour des équations plus classiques provenant du problème deYamabe et de Nirenberg, ainsi que <br /> pour des équations à exposants sur critiques. Notre travail est intimement lié à la description des meilleures constantes dans des inégalités fonctionnelles de Sobolev associées aux équations.

L’instabilité elliptique peut apparaître dès qu’un écoulement présente des lignes de courant elliptiques, ce qui en fait une instabilité générique des fluides tournants. Si sa pertinence en aéronautique ne laisse plus de doute, sa prise en compte dans l’étude des écoulements géo- et astrophysiques pose de nombreuses questions qui constituent la motivation principale de ce travail théorique, numérique et expérimental. Après une introduction aux écoulements tournants, le chapitre 1 présente les trois forçages mécaniques présents aux échelles planétaires qui seront considérés dans ce travail : les marées, la précession et la libration. Un état de l’art sur les écoulements et les instabilités associés à ces forçages est alors décrit, formant le cadre de cette étude. Le chapitre 2 présente les premières simulations numériques de l’instabilité elliptique en géométrie ellipsoïdale. Ces simulations nous permettent de quantifier l’influence de différentes complexités géophysiques et d’obtenir des lois d’échelles caractérisant l’instabilité. L’interaction de l’instabilité elliptique avec les deux autres forçages mécaniques est ensuite considérée. La section 2.4 montre que la présence simultanée de marées et de libration est susceptible d’exciter une instabilité elliptique au sein des astres synchronisés. La section 2.5 développe et valide une théorie analytique sur l’interaction des marées et de la précession. Enfin, la section 2.6 démontre que l’instabilité elliptique peut se développer à partir d’écoulements convectifs ou stratifiés. Le chapitre 3 s’intéresse à la magnétohydrodynamique (MHD) de l’instabilité elliptique. De nouveaux résultats sur l’aspect inductif de l’instabilité sont obtenus et validés numériquement. La génération d’un effet dynamo associé à l’instabilité elliptique est également abordé. Une partie expérimentale liée à ce travail est ensuite décrite, basée sur un dispositif MHD. Après une étude de la dynamique non-linéaire de l’instabilité sous champ, le dispositif est modifié afin de mettre en place une dynamo synthétique. L’amplitude du champ magnétique imposé pouvant être assez assez grande pour restabiliser l’écoulement, ce dispositif permet d’étudier la saturation par l’écoulement d’une telle dynamo. Des premiers résultats en ce sens sont présentés. Le chapitre 4 utilise les résultats obtenus pour étudier la présence de l’instabilité elliptique au sein de planètes, lunes et étoiles connues. Le cas particulier de la Lune est d’abord considéré et un scénario, basé sur l’instabilité elliptique, est proposé puis évalué pour expliquer la dynamo lunaire primitive. Les astres telluriques sont ensuite considérés dans un cadre plus général, et une étude de stabilité adaptée à ce contexte montre que l’instabilité est possible sur la Terre primitive, Europe et trois exoplanètes (55CnCe, CoRoT-7b et GJ1214b). Enfin, la possible existence de l’instabilité au sein de certains systèmes extra-solaires à Jupiter chauds est considérée, montrant sa pertinence pour certains d’entre eux tel que celui de Tau-boo. / The elliptical instability is a generic instability which takes place in any rotating fluid whose streamlines are (even slightly) elliptically deformed. Its presence in an aeronautical context is well established, but its existence in geo- or astrophysical large scale flows raises many issues. This is the starting point of this theoretical, numerical and experimental work.After introducing basics of the rotating flows, chapter 1 presents the three natural planetary mechanical forcings considered in this work : tides, precession and libration. A state-of-the-art of the flows and instabilities associated with these forcings is then given, which constitutes the framework of this study.Chapter 2 presents the first numerical simulations of the elliptical instability in an ellipsoidal geometry, relevant for planets. These simulations allow to quantify the influence of different natural geophysical complexities, and to derive the scaling laws needed to bridge the gap between numerics and planetary applications. The interaction of the elliptical instability with the two other forcings is then considered. Section 2.4 shows that the simultaneous presence of tides and libration can excite an elliptical instability inside fluid layers of synchronized celestial bodies. In section 2.5, a theoretical analysis of the interaction between tides and precession is developed and validated. Finally, in section 2.6, we prove that the elliptical instability can still develop over convective or stratified flows.Chapter 3 focuses on the magnetohydrodynamics (MHD) of the elliptical instability. New results on the magnetic induction by the elliptical instability are obtained and validated numerically. The possible dynamo capability of the instability is also tackled. The experimental part of this work, based on a MHD setup, is then described. Our measurements allow to study the non-linear dynamics of the instability under an external imposed magnetic field. The experimental setup is then modified in order to obtain a synthetic dynamo. The amplitude of the imposed magnetic field being large enough to restabilize the flow, this setup allows to study the saturation by the flow of such a dynamo. First results on this point are presented. Chapter 4 uses the obtained results to study the presence of the elliptical instability in known planets, moons, and stars. The particular case of the Moon is first considered and a scenario, based on the elliptical instability, is proposed and evaluated to explain the primitive lunar dynamo. Telluric bodies are then considered in a more general context, and a stability analysis adapted to this context shows that the instability can be expected in the Early Earth, Europa and three exoplanets (55CnCe, CoRoT-7b et GJ1214b). Finally, the possible development of the instability in extra-solar Hot-Jupiters systems is considered, showing its relevance for some of them, such as the system of Tau-boo.