Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2008. / Submitted by Priscilla Brito Oliveira (priscilla.b.oliveira@gmail.com) on 2009-09-14T20:19:23Z No. of bitstreams: 1 2008_JeffersonAdrianyRibeiroCunha_orig.pdf: 5379163 bytes, checksum: ebf2723ade49d4ef226311c8d9d61534 (MD5) / Approved for entry into archive by Luanna Maia(luanna@bce.unb.br) on 2010-02-25T12:43:52Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2008_JeffersonAdrianyRibeiroCunha_orig.pdf: 5379163 bytes, checksum: ebf2723ade49d4ef226311c8d9d61534 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-02-25T12:43:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2008_JeffersonAdrianyRibeiroCunha_orig.pdf: 5379163 bytes, checksum: ebf2723ade49d4ef226311c8d9d61534 (MD5) Previous issue date: 2008-12 / Nesta tese, vamos estudar a contribuição de termos não-locais em fenômenos de formação de padrão a partir da equação de Fisher-Kolmogorov. Primeiramente, vamos analisar a equação de Fisher-Kolmogorov com dinâmica convectiva para campos de velocidades estáticos e espacialmente variáveis, onde o termo de competição é não-local. Neste caso, estudamos as estruturas de formação de padrão desta equação analiticamente (pelo método perturbativo) e numericamente (pelo método Operator Splitting). Para campos anisotrópicos, obtemos uma relação matemática entre as velocidades críticas e os correspondentes comprimentos de interação que resultam na curva de transição de fase "Padrão - Sem Padrão" no sistema. Nós mostramos que esta curva tem um comportamento tipo campo médio , onde e . Na segunda parte desta tese, realizamos uma extensão da equação de Fisher-Kolmogorov incluindo um termo de crescimento não-local que representa típicos processos de difusão de longo alcance. Nesta abordagem, a análise da formação de padrão é simplificada para apenas dois parâmetros: o comprimento de correlação e o comprimento de interação . Nós mostramos que a existência de padrão é dada pela condição restrita . Analisando dados experimentais para a formação de padrão da bactéria Escherechia Coli, nós verificamos que a relação é de fato obedecida, indicando que este modelo é apropriado para a descrição do fenômeno formação de padrão. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this thesis, we study the contribution of nonlocal terms in pattern formation phenomena by using by using the Fisher-Kolmogorov equation. Firstly, we analyse the Fisher equation with convective dynamics for both static and variable velocity field, where the term of competition becomes nonlocal. In this case, we will study the pattern structures of this equation analytically (by the perturbation method) and numerically (by the Operator Splitting method) for specific anisotropic velocity fields v(x). For the anisotropic velocity field case, we obtain a mathematical relationship between the critical velocities v0c and the length of interaction μ which result in the curve of phase transition “Pattern-No Pattern”in this system. We show that this curve behaves as a mean-field model v0c(μ) = (μ − μc) in which β = 0.45 and μc = 0.49. In the second part of the thesis, we extend the Fisher-Kolmogorov equation to include a nonlocal growth term which represent typical processes of long range diffusion. In this approach, the analysis of pattern becomes simplified through two parameters: the correlation length α and the domain of interaction μ We show that the existence of pattern is restricted by the condition μ > α. Analyzing experimental data for pattern formation of bacterial Escherechia Coli we verify that the relation μ > α is indeed obeyed, indicating that this model is suitable for description of pattern formation phenomena.

Neste trabalho provamos a Desigualdade de Harnack para solu»c~oes posi- tivas de equa»c~oes diferenciais parciais el¶³pticas de segunda ordem usando as itera»c~oes de JÄurgen Moser. A partir disso, mostramos que estas solu»c~oes s~ao fun»c~oes de HÄolder e estudamos o seu comportamento no in¯nito. Aplicamos este resultado para provar que uma superf¶³cie m¶³nima, gr¶a¯co de uma fun»c~ao de¯nida fora de um cubo em Rn e com derivadas limitadas, aproxima-se de um plano em Rn+1.

Neste trabalho, o objetivo é avaliar, com parâmetros M e E dados, a existência de solução (suposta radialmente simétrica) para o Problema de Dirichlet cuja conotação física é discutida no capítulo 1. Inicialmente fazemos para bolas unitárias em R2, onde mostramos a existência e unicidade a partir de soluções explícitas para um “problema associado” e ajustando este ao problema original via uma função apropriada. Mais adiante, procurando estender a ideia para uma bola unitária em Rn, usamos o Método de Sub/Supersolução para chegarmos a solução do problema, já que para dimensões maiores do que 2 não dispomos de “soluções associadas”. Por último, mostramos que se reduzirmos nossas hipóteses, ou seja, estendendo o domínio além de uma bola unitária (desde que limitado), ainda assim conseguiremos solução única. Entretanto, a “liberdade” para os parâmetros M e E fica restrita `a condição de que M2 E seja suficientemente pequeno. As referências fundamentais para elaboração deste trabalho são [12], [6], [7] e [13], embora outras bibliografias tenham sido consultadas e, eventualmente, citadas. / In this work, the goal is to evaluate, with parameters M and E given, the existence of solution (assumed radially symmetric) for the Dirichlet problem whose physical connotation is discussed in chapter 1. Initially we do for unit balls in R2, where we show the existence and uniqueness from the explicit solutions to a “associated problem” and adjusting to this original problem via a proper function. Later seeking to extend the idea to a unit ball in Rn, we use the Sub/Supersolution method to get to the solution of the problem, since for dimensions larger than 2, “associated solutions”are not available. Finally, we show that if we reduce our hypotheses, i.e., extending beyond the domain of a unit ball (but still limited), we still have a unique solution. However, the “ freedom ” on the parameters M and E is restricted to the condition that M2 E is sufficiently small. The fundamental references of this work are [12], [6], [7] and [13], although other bibliographies have been consulted and eventually cited.

ARAÚJO, Damião Júnio Gonçalves Araújo. Equações diferenciais elípticas não-variacionais, singulares/degeneradas : uma abordagem geométrica. 2012. 83 f. Tese (Doutorado em Matemática) – Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza, 2012. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2013-02-08T15:06:15Z No. of bitstreams: 1 2012_tese_djgaraújo.pdf: 718616 bytes, checksum: 704c8f2c29ddf31b06867a0d03440d75 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2013-02-08T15:08:08Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_tese_djgaraújo.pdf: 718616 bytes, checksum: 704c8f2c29ddf31b06867a0d03440d75 (MD5) / Made available in DSpace on 2013-02-08T15:08:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_tese_djgaraújo.pdf: 718616 bytes, checksum: 704c8f2c29ddf31b06867a0d03440d75 (MD5) Previous issue date: 2012 / In this work we study important geometric and analytic properties to solutions of fully nonlinear elliptic partial differential equations, both singular and degenerate types. The study of combustion processes that degenerate along the null-set of the density of a gas, a particular case of quenching problems, present in their modeling, equations described in this work. In this first part we obtain properties of a minimal solution, since the complete optimal control until the Hausdorff estimates of the singular free boundary. Ultimately, we obtain the optimal regularity to equation solutions where their diffusion property (elipticity) deterorate in a power of their gradient along the set where such rate of variation nullifies. / Neste presente trabalho, faremos o estudo de importantes propriedades geométricas e analíticas de soluções de equações diferenciais parciais elípticas totalmente não-lineares do tipo: singulares e degeneradas. O estudo de processos de combustão que se degeneram ao longo do conjunto de anulamento da densidade de um gás, um caso particular de problemas do tipo "quenching", apresentam em sua modelagem equações singulares que estão descritas neste trabalho. Nesta primeira parte iremos obter propriedades de uma solução minimal, que vão desde o controle completo ótimo, até a obtenção de estimativas de Hausdorff da fronteira livre singular. Por fim, iremos obter a regularidade ótima de soluções de equações em que suas propriedades de difusão(elipticidade) se deterioram na ordem de uma potência do seu gradiente ao longo do conjunto em que tal taxa de variação se anula.

RICARTE, Gleydson Chaves; TEIXEIRA, Eduardo Vasconcelos Oliveira. Teoria de regularidade para equações elípticas totalmente não lineares com potenciais singulares e problemas de fronteira livre assintóticos. 2010. 145 f. : Tese (doutorado) - Universidade Federal do Ceará, Pós-Graduação em Matemática, Fortaleza-CE, 2010. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2011-10-28T16:26:57Z No. of bitstreams: 1 2010_tese_gcricarte.pdf: 885520 bytes, checksum: 96a6d6beab64bfcac662763152d0a3cd (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales(rocilda@ufc.br) on 2011-10-28T16:29:54Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_tese_gcricarte.pdf: 885520 bytes, checksum: 96a6d6beab64bfcac662763152d0a3cd (MD5) / Made available in DSpace on 2011-10-28T16:29:54Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_tese_gcricarte.pdf: 885520 bytes, checksum: 96a6d6beab64bfcac662763152d0a3cd (MD5) Previous issue date: 2010 / In this work we develop a fully nonlinear theory for singularly perturbed elliptic equations problems with high energy activation. We esta-blish uniform and optimal gradient estimates of solutions and prove that minimal solutions are non-degenerated. For problems governed by concave equations, we establish uniform weak geometric properties of approximating level surfaces. We also provide a thorough analysis of the free boundary problem obtained as a limit as the parameter term goes to zero. We find the precise jumping condition of limiting solutions through the phase transi-tion, which involves a subtle homogenization process of the governing fully nonlinear operator. In particular, for rotational invariant operators, $F(D^2u)$, we show the normal derivative of limiting function is constant along the interface. Smoothness properties of the free boundary are also addressed. / Nosso trabalho tem como objetivo desenvolver uma nova técnica para problema de fronteira livre para equações totalmente não-lineares F(D2uε;Duε; x) = βε(uε) (0.0.1) obtida quando ε → 0, onde βε → δoβ,δo função Delta Dirac. Sobre o problema (0.0.1), inicialmente utilizamos o método da menor supersolução para construir soluções adequadas para obtenção de algumas propriedades geométricas, uniformes em ε, das superfícies de nível. Isto permite provar que a fronteira livre tem a geometria fraca (no sentido da teoria geométrica da medida) adequada para nossos objetivos. Dentre elas, citamos a estimativa uniforme e ótima do gradiente das soluções de (0.0.1) e não-degenerescência. Para problema governado por operadores côncavos, estabelecemos importantes propriedades geométricas fracas, uniforme em ε, das superfícies de nível aproximadas. Estudamos também uma análise aprofundada do problema de fronteira livre limite quando ε → 0. Provamos que a função limite u0 = limε→0 uε é solução de F(D2u(x);Du(x); u(x); x) = 0 no conjunto de positividade Ω0 := {fu0 > 0g} e que u0 satisfaz as condições geométricas adequadas. Neste caso, a função u0 é forte candidata para a solução do nosso problema de fronteira livre. Finalmente, provaremos que a condição de fronteira livre vale no sentido da viscosidade de Caffarelli, o qual envolve uma hipótese natural de homogeneização do operador totalmente não-linear F. Em particular, para operadores invariantes por rotações, F(D2u), vamos mostrar que a derivada normal da função limite u0 é constante ao longo da fronteira livre. Provamos que, para operadores com coeficientes constantes, a fronteira livre é de classe C1.

BEZERRA JÚNIOR, Elzon Cézar. Um estudo sobre regularidade de soluções de equações diferenciais parciais elípticas. 2016. 130f. Dissertação (Mestrado em Matemática)- Centro de Ciências, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-06-20T11:49:06Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_ecbezerrajunior.pdf: 899686 bytes, checksum: 4b2591d294635e50143c2a215d080576 (MD5) / Approved for entry into archive by Rocilda Sales (rocilda@ufc.br) on 2016-06-20T11:49:37Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_ecbezerrajunior.pdf: 899686 bytes, checksum: 4b2591d294635e50143c2a215d080576 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-06-20T11:49:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_ecbezerrajunior.pdf: 899686 bytes, checksum: 4b2591d294635e50143c2a215d080576 (MD5) Previous issue date: 2016 / The main objective of this work is to study the regularity of solutions of elliptic partial differential equations of second order, will be used techniques such as the principle of maximum estimates a priori and the unequal Harnack. Finally generalize the solution concept seeking solutions in the Sobolev space W2, p((Ω). / O objetivo principal deste trabalho é o estudo da regularidade de soluções de equações diferenciais parciais elípticas de segunda ordem, serão usadas técnicas tais como o princípio do máximo, estimativas a priori e a desigualdade de Harnack. Por fim generalizamos o conceito de solução buscando soluções no espaço de Sobolev W2 ,p(Ω).

ARAÚJO, R. S. A. Metodologias baseadas no mínimo residuo para escolha do parâmetro de forma utilizado em RBF'S aplicadas no método assimétrico livre de malhas (MESHLESS). 2016. 208 f. Tese (Doutorado em Engenharia Civil: Recursos Hídricos) - Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Hohana Sanders (hohanasanders@hotmail.com) on 2016-07-15T16:29:44Z No. of bitstreams: 1 2016_tese_rsaaraújo.pdf: 12677347 bytes, checksum: d4d6a5c5a62bc8cfb3b7a212f6343214 (MD5) / Approved for entry into archive by Marlene Sousa (mmarlene@ufc.br) on 2016-07-18T17:08:25Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_tese_rsaaraújo.pdf: 12677347 bytes, checksum: d4d6a5c5a62bc8cfb3b7a212f6343214 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-07-18T17:08:25Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_tese_rsaaraújo.pdf: 12677347 bytes, checksum: d4d6a5c5a62bc8cfb3b7a212f6343214 (MD5) Previous issue date: 2016-06-29 / The main objective of this research is to propose a new methodology to determine the shape parameter c in the Meshless numerical method using examples in one and two dimensional. For each dimension, it was developed two computers codes using Scilab 5.3.3. It was used a general format that represents various kinds of partial differential equations. The Meshless method choosen was the Asymmetric Method using Multiquadric RBF’s and Inverse Multiquadric RBF’s. It was proposed to minimize the residues of the domain and the boundary in order to find the better c parameter. It was used two methods: Method 1 uses both domain and contour residues while Method 2 uses both residues too, but contour residues is calculated like it was domain residue. For 1-dimension, three equations with yours exacts solutions were used. For 2-dimensions, the Laplace equation was used to compare the numerical results from model in three cases: For Cases 1 and 2 (hypothetic cases), the exact solution was known, therefore it was possible to compare the analytical solution with the solution achieved by using the residue methodology proposed. Case 3 is a real scenario for which the methodology was applied to simulate the hydraulic head situation in a small region in the Araripe Sedimentary Basin, situated in the state of Ceará-Brazil. For 1-dimension cases, method 2 had great numerical results when they were compared with the analytic solution. Although, in 2-dimension problems, method 1 had good numerical results, it was the best one, most cases the obtained shape parameter was the same as the best one obtained with the exact solution. In the real case application, the results indicate good potential for methodology. The percentage of errors was about 5%. The quantity of nodes and contour condition influence the numerical results. / Este trabalho tem como objetivo principal a busca de um parâmetro de forma ideal c da metodologia numérica livre de malha, Meshless. Para tanto, dividiu-se o trabalho em duas etapas de aplicação: ambiente unidimensional e bidimensional. Para cada etapa, foram desenvolvidas duas rotinas computacionais para o cálculo numérico, dentro da plataforma Scilab 5.3.3. Fez-se uso de um formato geral que representasse equações diferenciais parciais, implementou-se o método Meshless de Colocação Assimétrico utilizando Funções de Base Radial – RBF. Foram usadas as RBFs: Multiquádrica e a Multiquádrica Inversa. Para encontrar o c, foi proposta uma metodologia baseada no resíduo total (domínio e contorno) dividida em dois métodos, os quais variam em função do modo de cálculo do resíduo do contorno. Na primeira etapa, foram adotadas três equações, com suas respectivas soluções analíticas, para aplicação do modelo. Na segunda etapa, a equação de Laplace (modelo bidimensional) foi aplicada em dois casos hipotéticos, utilizados para comparar os resultados numéricos obtidos pelo modelo com as soluções exatas e em um caso real para simular a variação da carga hidráulica de uma pequena região dentro da Bacia Sedimentar do Araripe, situada no Estado do Ceará-Brasil. Os resultados obtidos para o modelo unidimensional mostram uma boa convergência entre as soluções numéricas e analíticas. Seguindo a linha anterior, os resultados apresentados para o modelo bidimensional indicam que existe um bom potencial para aplicação do método 2, sendo o c ótimo obtido pelo modelo, em algumas situações, igual ao parâmetro de forma ideal obtido com o auxílio da solução exata. Os resultados obtidos na aplicação do caso real geraram resultados bastante favoráveis a utilização do modelo, uma vez que os resultados indicaram erros percentuais em torno de 5%. Observou-se que a quantidade de pontos da malha e as condições de contorno podem influenciar no resultado.

BARROS, J. C. Aplicação da teoria Fuzzy no modelo de Streeter-Phelps para o cálculo do risco de contaminação das águas de rios, em função da temperatura. 2016. 78 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil: Saneamento Ambiental) – Centro de Tecnologia, Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2016. / Submitted by Hohana Sanders (hohanasanders@hotmail.com) on 2016-12-26T12:07:21Z No. of bitstreams: 1 2016_dis_jcbarros.pdf: 1508550 bytes, checksum: 73615460ae7b1dda57f9abeb4d3f70fd (MD5) / Approved for entry into archive by Marlene Sousa (mmarlene@ufc.br) on 2017-01-05T17:52:35Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2016_dis_jcbarros.pdf: 1508550 bytes, checksum: 73615460ae7b1dda57f9abeb4d3f70fd (MD5) / Made available in DSpace on 2017-01-05T17:52:35Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2016_dis_jcbarros.pdf: 1508550 bytes, checksum: 73615460ae7b1dda57f9abeb4d3f70fd (MD5) Previous issue date: 2016-07-22 / This work developed a methodology, based on the application of Fuzzy Theory in Streeter-Phelps model to study the fuzzy risk of contamination of river water. For this, the differential equations of the Streeter-Phelps model are transformed into differential equations "Fuzzys", so that the concentrations of the field represented by mathematical model becomes a membership functions fields. The model developed was applied to pre-set scenarios in which were varied values temperature, aeration coefficient (Ka) and the concentration of BOD in the effluent, with order to verify the effectiveness of the computational model and the parameters of influence model the mechanics of rivers, as well as, allow the assessment of risk and reliability water contamination. When analyzing the results it was found that for more Ka values ​​less risk of the system fails, for DO control variable. For DBO control variable, the risk of the system failing is lower for temperatures high and low concentrations of BOD effluent. This research showed that the Theory Fuzzy can become a safe alternative to pollution control aid of the rivers in Overall, thus providing grounds for Water Management / Este trabalho desenvolveu uma metodologia, com base na aplicação da Teoria Fuzzy no modelo de Streeter-Phelps, para estudar o Risco Fuzzy de contaminação das águas de rios. Para isso, as equações diferenciais do modelo de Streeter-Phelps são transformadas em equações diferenciais “fuzzys”, de modo que o campo de concentrações representado pelo modelo matemático se transforma em campos de funções de pertinências. O modelo desenvolvido foi aplicado em cenários pré-estabelecidos, nos quais foram variados os valores de temperatura, do coeficiente de aeração (Ka) e da concentração da DBO no efluente, com objetivo de verificar a eficácia do modelo computacional e a influência dos parâmetros do modelo na mecânica de rios, além de, possibilitar a avaliação do risco e da confiabilidade de contaminação das águas. Ao analisar os resultados foi possível constatar que para maiores valores de Ka menor o risco de o sistema falhar, em relação a variável de controle OD. Para variável de controle DBO, o risco de o sistema falhar é menor para temperaturas mais elevadas e menores concentrações de DBO efluente. Esta pesquisa mostrou que a Teoria Fuzzy pode se tornar uma alternativa segura no auxilio do controle de poluição dos rios em geral, fornecendo, assim, fundamentos para a Gestão dos Recursos Hídricos.

O presente trabalho tem por objetivo investigar a obtenção da solução das equações diferenciais parciais em domínios arbitrários através do emprego da transformada de Fourier. As principais equações diferenciais parciais investigadas são aquelas relacionadas à elasticidade linear e à propagação de ondas. O emprego da transformada de Fourier na solução deste tipo de problema torna-se possível pela introdução em sua formulação de extensões om valores nulos em todo o domínio Rn para as funções envolvidas nas equações diferenciais parciais. O método é inicialmente desenvolvido para uma equação diferencial parcial com coeficientes constantes genérica e, em seguida, para um problema de condução de calor em duas dimensões, para um problema elástico estático em duas dimensões e para um problema de propagação de ondas em duas dimensões, sendo que, neste último aso, a transformada de Laplace é empregada em conjunto om a transformada de Fourier. Uma prova da validade da solução encontrada, desenvolvida através do emprego do teorema de Green, é apresentada. Um exemplo numérico para o problema elástico estático em duas dimensões também é apresentado. Finalmente, discute-se várias idéias para o desenvolvimento futuro desta linha de métodos. / In this work, we develop a method to solve partial di erential equations in arbitrary domains by applying Fourier transform te hnique. The main target of this work are the linear elasti problem and the wave propagation problem. For su h, the Fourier transform te hnique is developed in arbitrary domains making the assumption that the unknown vanishes outside the domain. We also validate the en ountered solution following results of omplex variable. This approa h establishes an alternative pro edure to determine the integral formulation for the boundary element method. We report solutions for the two-dimensional heat transfer equation, two-dimensional linear elasti equation and homogeneous wave equation.

Neste trabalho, investigamos diversas propriedades de soluções limitadas de equações de difusão não linear com termos advectivos na forma conservativa, onde o mecanismo de difusão é dado pelo p - Laplaciano. Dois problemas principais são considerados: no primeiro, o termo advectivo tem natureza dissipativa e como consequência as soluções são globalmente definidas e decaem a zero (em várias normas) ao t ! 1. As taxas de decaimento obtidas neste caso, pela análise apresentada (uma variação do clássico método Lp Lq) são optimais. No segundo problema, considera-se o caso em que o termo advectivo estimula o crescimento da solução em certas regiões (ou mesmo no espaço todo), de modo a competir com a tendência de decaimento devido ao termo difusivo. O resultado desta interação é difícil de ser previsto fisicamente, e requer uma análise matemática cuidadosa para a precisão dos resultados. Em particular, que sob certas condições, a solução existe globalmente (embora possa ocorrer blow-up no infinito). A análise é centrada na obtenção de estimativas para a norma do sup, que (como mostramos) é determinada por normas mais baixas. / In this work, we investigate several important properties of bounded solutions of nonlinear di usion equation (where the di usion mechanism is modeled by the p-Laplacian operator) in conservative form with the presence of rst-order advective terms. Two major problems are considered: in the rst, the advective term has a dissipative nature, which renders the solutions globally de ned and decaying to zero (in several norms) as t ! 1: The decay rates obtained in this case by our analysis (based on a variation of the Lp Lq approach) are optimal. In our second problem, we examine the case in which the advection term makes the solution grow in certain regions (or even everywhere), so as to oppose itself to the decaying tendency due to the di usion term alone. The outcome of this interaction is hard to predict on physical grounds and requires a very careful mathematical analysis to be correctly assessed. In particular, we show that under certain important conditions the solution remains globally de ned (even though blow-up at in nity may still happen). Our analysis is centered on deriving supnorm estimates for the solution by looking at the behavior of suitable lower norms.