Orientador: Waldemar Donizete Bastos / Coorientador: Andréa Cristina Prokopczyk Arita / Banca: Juliana Conceição Precioso Pereira / Banca: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato / Resumo: Este trabalho tem como objetivo aplicar o método das aproximações sucessivas na demonstração do Teorema do ponto fixo de Banach e em resultados que garantem a existência e unicidade de soluções de equações diferenciais definidas em espaços de Banach / Abstract: This work aims to apply the method of successive approximations in the proof of Banach fixed point Theorem and in results that guarantee the existence and uniqueness of solutions of differential equations defined in Banach spaces / Mestre

Neste trabalho, investigamos diversas propriedades de soluções limitadas de equações de difusão não linear com termos advectivos na forma conservativa, onde o mecanismo de difusão é dado pelo p - Laplaciano. Dois problemas principais são considerados: no primeiro, o termo advectivo tem natureza dissipativa e como consequência as soluções são globalmente definidas e decaem a zero (em várias normas) ao t ! 1. As taxas de decaimento obtidas neste caso, pela análise apresentada (uma variação do clássico método Lp Lq) são optimais. No segundo problema, considera-se o caso em que o termo advectivo estimula o crescimento da solução em certas regiões (ou mesmo no espaço todo), de modo a competir com a tendência de decaimento devido ao termo difusivo. O resultado desta interação é difícil de ser previsto fisicamente, e requer uma análise matemática cuidadosa para a precisão dos resultados. Em particular, que sob certas condições, a solução existe globalmente (embora possa ocorrer blow-up no infinito). A análise é centrada na obtenção de estimativas para a norma do sup, que (como mostramos) é determinada por normas mais baixas. / In this work, we investigate several important properties of bounded solutions of nonlinear di usion equation (where the di usion mechanism is modeled by the p-Laplacian operator) in conservative form with the presence of rst-order advective terms. Two major problems are considered: in the rst, the advective term has a dissipative nature, which renders the solutions globally de ned and decaying to zero (in several norms) as t ! 1: The decay rates obtained in this case by our analysis (based on a variation of the Lp Lq approach) are optimal. In our second problem, we examine the case in which the advection term makes the solution grow in certain regions (or even everywhere), so as to oppose itself to the decaying tendency due to the di usion term alone. The outcome of this interaction is hard to predict on physical grounds and requires a very careful mathematical analysis to be correctly assessed. In particular, we show that under certain important conditions the solution remains globally de ned (even though blow-up at in nity may still happen). Our analysis is centered on deriving supnorm estimates for the solution by looking at the behavior of suitable lower norms.

O presente trabalho tem por objetivo investigar a obtenção da solução das equações diferenciais parciais em domínios arbitrários através do emprego da transformada de Fourier. As principais equações diferenciais parciais investigadas são aquelas relacionadas à elasticidade linear e à propagação de ondas. O emprego da transformada de Fourier na solução deste tipo de problema torna-se possível pela introdução em sua formulação de extensões om valores nulos em todo o domínio Rn para as funções envolvidas nas equações diferenciais parciais. O método é inicialmente desenvolvido para uma equação diferencial parcial com coeficientes constantes genérica e, em seguida, para um problema de condução de calor em duas dimensões, para um problema elástico estático em duas dimensões e para um problema de propagação de ondas em duas dimensões, sendo que, neste último aso, a transformada de Laplace é empregada em conjunto om a transformada de Fourier. Uma prova da validade da solução encontrada, desenvolvida através do emprego do teorema de Green, é apresentada. Um exemplo numérico para o problema elástico estático em duas dimensões também é apresentado. Finalmente, discute-se várias idéias para o desenvolvimento futuro desta linha de métodos. / In this work, we develop a method to solve partial di erential equations in arbitrary domains by applying Fourier transform te hnique. The main target of this work are the linear elasti problem and the wave propagation problem. For su h, the Fourier transform te hnique is developed in arbitrary domains making the assumption that the unknown vanishes outside the domain. We also validate the en ountered solution following results of omplex variable. This approa h establishes an alternative pro edure to determine the integral formulation for the boundary element method. We report solutions for the two-dimensional heat transfer equation, two-dimensional linear elasti equation and homogeneous wave equation.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Física, 2011. / Submitted by Sabrina Silva de Macedo (sabrinamacedo@bce.unb.br) on 2012-07-18T13:48:01Z No. of bitstreams: 1 2011_GuilhermeRochdeRezende.pdf: 1556298 bytes, checksum: 17150ea66fd838b29bfbd087ebbc6912 (MD5) / Approved for entry into archive by Patrícia Nunes da Silva(patricia@bce.unb.br) on 2012-08-09T02:57:46Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_GuilhermeRochdeRezende.pdf: 1556298 bytes, checksum: 17150ea66fd838b29bfbd087ebbc6912 (MD5) / Made available in DSpace on 2012-08-09T02:57:46Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_GuilhermeRochdeRezende.pdf: 1556298 bytes, checksum: 17150ea66fd838b29bfbd087ebbc6912 (MD5) / Neste trabalho utilizamos o formalismo da equação de Langevin generalizada, desenvolvido inicialmente por Robert Zwanzig e Hazime Mori, para estudarmos o comportamento de um tipo de motor browniano o motor liga-desliga aplicado no estudo de um separador de partículas e em um tipo de motor molecular: a cinesina. Neste estudo escolhemos quatro funções memórias diferentes e analisamos a influência destas memórias na velocidade e eficiência do motor browniano. _________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we used the generalized Langevin equation formalism, initially developed by Robert Zwanzig and Hazime Mori, to study the behavior of a one type of Brownian motor the on-of ratchet applied in the study of a particle separator and a type of molecular motor: the kinesin. In this study we choose four different memory functions and analyze the influence of these memories at the speed and efficiency of the brownian motor.

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2012. / Submitted by Alaíde Gonçalves dos Santos (alaide@unb.br) on 2012-10-02T14:02:05Z No. of bitstreams: 1 2012_GilbertodeAssisPereira.pdf: 615747 bytes, checksum: 5883d80d0102317875fec9c0d6d6a9c8 (MD5) / Approved for entry into archive by Marília Freitas(marilia@bce.unb.br) on 2012-10-02T14:03:49Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2012_GilbertodeAssisPereira.pdf: 615747 bytes, checksum: 5883d80d0102317875fec9c0d6d6a9c8 (MD5) / Made available in DSpace on 2012-10-02T14:03:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2012_GilbertodeAssisPereira.pdf: 615747 bytes, checksum: 5883d80d0102317875fec9c0d6d6a9c8 (MD5)

Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2009. / Submitted by Larissa Ferreira dos Angelos (ferreirangelos@gmail.com) on 2010-02-25T20:20:23Z No. of bitstreams: 1 2009_AdrianaFloresdeAlmeida.pdf: 371677 bytes, checksum: a58a037da87d7945b51a003ecf273858 (MD5) / Approved for entry into archive by Carolina Campos(carolinacamposmaia@gmail.com) on 2010-03-02T15:50:22Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2009_AdrianaFloresdeAlmeida.pdf: 371677 bytes, checksum: a58a037da87d7945b51a003ecf273858 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-03-02T15:50:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2009_AdrianaFloresdeAlmeida.pdf: 371677 bytes, checksum: a58a037da87d7945b51a003ecf273858 (MD5) Previous issue date: 2009-06-10 / Neste trabalho mostraremos a existência de soluções fracas para a seguinte classe de problemas elípticos. (P) { -∆ʋ = h(x)uq + f(x, u), x 2 , x∈Ω u ≥ 0, Ω, u = 0, ∂Ω. As principais ferramentas utilizadas são o Princípio Variacional de Ekeland e o Teorema do Passo da Montanha. ______________________________________________________________________________________ ABSTRACT / In this work we show the existence of weak solutions for the following class for elliptic problems (P) { -∆ʋ = h(x)uq + f(x, u), x 2 , x∈Ω u ≥ 0, Ω, u = 0, ∂Ω. The main tools used are Ekeland’s Variational Principle and Mountain Pass Theorem.

Dissertação (mestrado)-Universidade de Brasília, Instituto de Física, Brasília, 2008. / Submitted by Mariana Fonseca Xavier Nunes (nanarteira@hotmail.com) on 2010-09-19T01:31:21Z No. of bitstreams: 1 2008_MunelarDeAssisFalcao.pdf: 1214186 bytes, checksum: 7d2db9e90793ece398c129387638d795 (MD5) / Approved for entry into archive by Daniel Ribeiro(daniel@bce.unb.br) on 2010-12-16T23:52:28Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2008_MunelarDeAssisFalcao.pdf: 1214186 bytes, checksum: 7d2db9e90793ece398c129387638d795 (MD5) / Made available in DSpace on 2010-12-16T23:52:28Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2008_MunelarDeAssisFalcao.pdf: 1214186 bytes, checksum: 7d2db9e90793ece398c129387638d795 (MD5) / A equacao de Burgers atualmente tem sido aplicada a varias areas do conhecimento cientifico, principalmente no estudo de formacao de estruturas no Universo. Sua relevancia vem aumentando a cada dia, devido `a riqueza de dados observacionais que atualmente existe na literatura moderna. Sua forma mais geral e conhecida como equacao generalizada de Burgers com ruido e foi proposta por Ribeiro e Peixoto de Faria (2005). Conhecer suas solucoes exatas e escritas de forma claraedemuitointeresseastrofisico. Comesseintuitoapresentamos, nestetrabalho, solucoes invariantes sob simetrias de Lie da equacao generalizada de Burgers sem o termo estocastico, obtidas a partir do pacote de analises de simetrias de equacoes diferenciais (SADE) escrito em MAPLE, desenvolvido no IF-UnB. Posteriormente, simulamos uma distribuicao de velocidades a partir de algumas solucoes invariantes escolhidasdentreas220obtidas, ecomparamoscomumadistribuicaodevelocidades peculiares observacionais. _________________________________________________________________________________ ABSTRACT / The Burgers equation has been applied to several fields of scientific knowledge, and particularly to the study of formation of structures in Universe. His relevancestillincreases, duetothewealthofobservationaldatainmodernliterature. His most general form is the generalized Burgers equation with noise as proposed for Ribeiro and Peixoto de Faria [24]. The knowledge of analytical solutions is of great interest in astrophysics. With this objective we present, in this work, invariant solutions under Lie symmetries of the generalized Burgers equation without noise using algebraic computation, and the package Symmetry Analysis of Di?erential Equations (SADE), written in MAPLE. Subsequently, we simulate a distribution of velocitiesfromsomeinvariants solutionschosen amongthoseobtained, andcorrelate with a distribution of observational peculiar velocities.

Tese (doutorado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2011. / Submitted by wiliam de oliveira aguiar (wiliam@bce.unb.br) on 2011-06-28T15:15:06Z No. of bitstreams: 1 2011_JoãoPabloPinheirodaSilva.pdf: 600981 bytes, checksum: b507e1d41df92e0fe44428ea9c55ea59 (MD5) / Approved for entry into archive by Guilherme Lourenço Machado(gui.admin@gmail.com) on 2011-06-30T12:29:24Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2011_JoãoPabloPinheirodaSilva.pdf: 600981 bytes, checksum: b507e1d41df92e0fe44428ea9c55ea59 (MD5) / Made available in DSpace on 2011-06-30T12:29:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2011_JoãoPabloPinheirodaSilva.pdf: 600981 bytes, checksum: b507e1d41df92e0fe44428ea9c55ea59 (MD5)

Tese (doutorado)-Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2010. / Submitted by Jaqueline Ferreira de Souza (jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-06-29T21:39:34Z No. of bitstreams: 1 2010_JiazhengZhou.pdf: 395641 bytes, checksum: 0b856ab059dc235df354a75b6f24fc94 (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Ferreira de Souza(jaquefs.braz@gmail.com) on 2011-06-29T21:40:59Z (GMT) No. of bitstreams: 1 2010_JiazhengZhou.pdf: 395641 bytes, checksum: 0b856ab059dc235df354a75b6f24fc94 (MD5) / Made available in DSpace on 2011-06-29T21:40:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2010_JiazhengZhou.pdf: 395641 bytes, checksum: 0b856ab059dc235df354a75b6f24fc94 (MD5) / Neste trabalho estudamos existência de soluções C1 (no sentido das distribuições) para problemas do tipo {∆pu=F(x,u)+λV (x,y)|∇u|σ em Ω,} u≥ 0 em Ω; u (x) x→∂Ω → ∞, onde Ω ⊂RN é um domínio (possivelmente não limitado), 1 < p < 1, N _≥ 3, 0 ≤ σ≤ p, ∆pu = div (|∇u| p-2∇u); F, V : Ω [0, ∞) → [0, ∞) são continuas. Lembramos que x → ∂Ω significa d(x; ∂Ω) →0. Estudamos os seguintes casos: (i) λ = 0; Ω = RN, (ii) λ< 0, V (x; u) = V (x) ≥0, Ω = RN, (iii) λ > 0, V (x; u) = V (u) ≥ 0, Ω limitado regular. Em nossos resultados exigimos somente continuidade em F e V enquanto que em artigos recentes _e exigido que F, V sejam C1 em u, Höder-contínuas em x e também F, V monótonas em u. Utilizamos Técnicas de Sub e Supersolução, Simetria, Pontos Fixos e Argumentos Variacionais. (Minimização). ___________________________________________________________________________________________ ABSTRACT / We study existence of solutions C1 (in the sense of distributions) to problems of type Δpu = {F (x, u) + λV (x, y) | ∇ u | σ in Ω} u ≥ 0 in Ω, u (x) x → ∂ Ω → ∞, where Ω ⊂ RN is a domain (possibly not limited to), 1 0, V (x, u) = V (u) ≥ 0, Ω limited basis. In our results we require only continuity in F and V, while in recent articles _e required that F, V at C1 are u-continuous at x Hoder also F, V monotone in u. Techniques used sub and supersolution, Symmetry, and Fixed Point Arguments Variational. (Minimization).

Neste trabalho provamos a Desigualdade de Harnack para solu»c~oes posi- tivas de equa»c~oes diferenciais parciais el¶³pticas de segunda ordem usando as itera»c~oes de JÄurgen Moser. A partir disso, mostramos que estas solu»c~oes s~ao fun»c~oes de HÄolder e estudamos o seu comportamento no in¯nito. Aplicamos este resultado para provar que uma superf¶³cie m¶³nima, gr¶a¯co de uma fun»c~ao de¯nida fora de um cubo em Rn e com derivadas limitadas, aproxima-se de um plano em Rn+1.