Les problèmes étudiés dans cette thèse ont trait à la dynamique des points vortex dans deux équations pour les fluides ou superfluides bidimensionnels. La première partie est dévolue à l'équation d'Euler incompressible. Nous y analysons le système mixte Euler-points vortex, introduit par Marchioro et Pulvirenti, qui décrit l'évolution d'un tourbillon obtenu par superposition de points vortex et d'une composante plus régulière. Nous examinons diverses problématiques telles que le lien entre les points de vue lagrangien et eulérien, l'unicité, l'existence et l'expansion du support du tourbillon. La seconde partie de la thèse est consacrée à une équation de Ginzburg-Landau complexe obtenue en ajoutant un terme de dissipation à l'équation de Gross-Pitaevskii. Après avoir examiné le problème de Cauchy dans l'espace d'énergie correspondant, nous étudions la dynamique des points vortex dans le cadre de données très bien préparées. Dans un dernier temps, nous considérons un autre régime asymptotique, sans vortex, dans lequel les solutions sont des perturbations de champs constants de module égal à un. Une dynamique de type ondes amorties pour la perturbation est mise en évidence.

Ce travail de thèse est consacré à deux thèmes de recherche en Calcul Scientifique liés par l'approximation numérique de problèmes en mécanique des fluides. Le premier thème concerne l'approximation numérique des équations de Stokes, modélisant les écoulements de fluides incompressibles à vitesse faible. Ce thème est présent dans plusieurs travaux en Calcul Scientifique. La discrétisation en temps est réalisée à l'aide de la méthode de projection. La discrétisation en espace utilise la méthode des éléments finis mixtes hybrides qui permet d'imposer de façon exacte la contrainte d'incompressibilité. Cette approche est originale: la méthode des éléments mixtes hybrides est couplée avec une méthode d'éléments finis standards. L'ordre de convergence des deux méthodes est préservé. Le second thème concerne la mise au point de méthodes numériques de type volumes finis pour la résolution de l'équation Level Set. Ces équations interviennent de manière essentielle dans la résolution des problèmes de propagation d'interfaces. Dans cette partie, nous avons développé une nouvelle méthode d'ordre 2 de type MUSCL pour résoudre le système hyperbolique résultant de l'équation Level Set. Nous illustrons ces propriétés par des applications numériques. En particulier nous avons regardé le cas du problème des deux demi-plans pour lequel notre schéma donne une approximation pour le gradient de la fonction Level Set. Par ailleurs, l'ordre de précision attendu est obtenu avec les normes $L_1$ et $L_{\infty}$ pour des fonctions régulières. Pour finir, il est à noter que notre méthode peut être facilement étendue aux problèmes d'Hamilton-Jacobi du premier et du second ordre.

A chaque instant $t$, nous construisons la dynamique des particules collantes dont la masse est distribuée initialement suivant une fonction de répartition $F_0$, avec une vitesse $u_0$, à partir de l'enveloppe convexe $H(\cdot,t)$ de la fonction $m\in (0,1)\mapsto \int_a^m\big( F_0^(-1)(z) + tu_0\big(F_0^(-1)(z)\big)\big)dz$. Ici, $F_0^(-1)$ est l'une des deux fonctions inverses de $F_0$. Nous montrons que les deux processus stochastiques $X_t^-(m)= \partial_m^-H(m,t),\; X_t^+(m) = \partial_m^+H(m,t)$, définis sur l'espace probabilisé $([0, 1], (\cal B), \lambda)$, sont indistinguables et ils modélisent les trajectoires des particules. Le processus $X_t:= X_t^- = X_t^+$ est une solution de l'équation $(EDS): \; \frac(dX_t)(dt) =\E[ u_0(X_0)/X_t]$, telle que $P(X_0 \leq x) = F_0(x)\,\,\forall x$. L'inverse $M_t:= M(\cdot,t)$ de la fonction $m\mapsto \partial_mH(m,t)$ est la fonction de répartition de la masse à l'instant $t$. Elle est aussi la fonction de répartition de la variable aléatoire $X_t$. On montre l'existence d'un flot $(\phi(x,t,M_s, u_s))_( s < t)$ tel que $X_t= \phi(X_s,t,M_s,u_s)$, où $u_s(x) = \E[ u_0(X_0)/X_s = x]$ est la fonction vitesse des particules à l'instant $s$. Si $\frac(dF_0^n)(dx)$ converge faiblement vers $\frac(dF_0)(dx)$, alors la suite des flots $\phi(\cdot,\cdot,F_0^n,u_0)$ converge uniformément, sur tout compact, vers $\phi(\cdot,\cdot,F_0,u_0)$. Ensuite, nous retrouvons et étendons certains résultats des équations aux dérivées partielles, à savoir que la fonction $(x,t)\mapsto M(x,t)$ est la solution entropique d'une loi de conservation scalaire de donnée initiale $F_0$, et la famille $\big(\rho(dx,t) = P(X_t\in dx),\, u(x,t) = \E[ u_0(X_0)/X_t = x]\big)_(t >0)$ est une solution faible du système de gaz sans pression de données initiales $\frac(dF_0(x))(dx), u_0$. Cette thèse contient aussi d'autres solutions de l'équation différentielle stochastique $(EDS)$ ci-dessus.

Ce manuscrit se décompose en deux parties principales, associées à deux types d'applications assez différentes. Dans la première partie qui comprend les deux premiers chapitres, je m'intéresse à des systèmes issus de problèmes de contrôle et d'estimation en physique quantique; dans la deuxième partie (troisième chapitre du manuscrit), j'étudie la propagation d'ondes électriques le long des fils classiques dans un réseau de lignes de transmission et je considère certains problèmes d'estimation de paramètres. Dans le premier chapitre nous étudions le problème de la planification de trajectoires pour des systèmes quantiques fermés modélisés par des équations de Schrödinger bilinéaire. Nous démontrons alors des résultats de la stabilisation approchée pour le cas d'une boite quantique infinie ainsi que pour le cas d'un potentiel décroissant. Dans les deux cas, le manque de pré-compacité des trajectoires dans des espaces fonctionnels appropriés nous oblige à proposer des méthodes de Lyapunov qui évitent des phénomènes de perte de masse à l'infini. Dans le deuxième chapitre nous étudions le problème de stabilisation de systèmes quantiques en observation. Cette observation nécessite l'ouverture du système à son environnement. Les modèles pertinents pour l'évolution de ce type de systèmes sont des modèles stochastiques basés sur des trajectoires de Monte-Carlo quantiques. Nous étudions alors certains problèmes de stabilisation qui parviennent de vraies expériences physiques. Enfin, dans le chapitre 3 nous considérons le problème d'estimation de paramètres pour un réseau de fils de câblage électrique. Dans ce but, nous étudions deux approches : l'approche temporelle et l'approche fréquentielle. Dans l'approche temporelle, nous considérons le réseau le plus simple qui consiste d'une seule ligne de transmission et nous proposons un algorithme d'identification pour l'équation d'onde associé qui est basé sur l'application des observateurs asymptotiques. Dans l'approche fréquentielle, nous considérons un réseau plus compliqué de la forme étoile. Nous proposons alors des résultats d'identifiabilité basés sur des techniques de l'inverse scattering.

Orientador: Edmundo Capelas de Oliveira / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-18T19:21:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Costa_FelixSilva_D.pdf: 1599119 bytes, checksum: dddbc1cbaa34b9a87f2c20ebcaddd8fa (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Neste trabalho é apresentado um estudo sistemático da função H de Fox e aplicações no cálculo fracionário. Inicialmente é feito um estudo da função hipergeométrica e suas possíveis generalizações, logo em seguida é definida a integral de Mellin-Barnes e a função G de Meijer, em conjunto com suas propriedades e seus casos particulares. Depois é definida a função H de Fox, objetivo principal do trabalho, e seu atual campo de aplicação, que é o cálculo fracionário. Finalmente, apresentam-se as aplicações envolvendo a função H de Fox e o cálculo fracionário. Das três aplicações, os dois primeiros resultados correspondem a duas generalizações: uma da equação do telégrafo e a outra da equação de Schrödinger. Enfim, é discutida uma generalização da equação de onda-difusão no caso em que as condições iniciais são periódicas / Abstract: This work presents a systematic study of the Fox H function and its possible applications in fractional calculus. It begins with a study about the hypergeometric function and its possible generalizations; after that, the Mellin-Barnes integral and the Meijer G function are defined and their properties and particular cases are presented. The Fox H function is then defined and its current field of application, fractional calculus, is discussed. In the sequence some applications involving the Fox H function and fractional calculus are presented, which constitute its main results; the two first results involve the telegraph equation and the Schrödinger equation in their generalized sense. Finally, one discusses a generalization of the wave-diffusion equation in the case in which the initial conditions are periodic / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Ce travail de thèse est consacré à l’étude d’équations d’évolution et d’équations différentielles à argument constant par morceaux. L’étude des équations différentielles à argument constant par morceaux est un domaine important car ces équations ont la structure de système dynanmique de longueur constante. La continuité des solutions conduit à une relation de récurrence entre les valeurs de cette dernière entre les points n et n+1, où n est un entier relatif quelconque. Par conséquent les équations différentielles à argument constant par morceaux combinent à la fois les propriétés des équations différentielles et des équations aux différences. Nous étudierons l’existence de solutions presque automorphes et S-asymptotiquement omega-périodiques d’équations d’évolutions et d’équations à argument constant par morceaux. L’étude de solutions presque automorphes et S’asymptotiquement omega periodiques est motivé par le fait que ces fonctions généralisent celle des fonctions périodiques. Nous obtiendrons donc des résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions presque automorphes et S asymptotiquement omega périodiques de plusieurs équations d’évolutions. Cette problématique sera notamment étudiée dans le cadre des équations d’évolutions appartenant à la classe des équations différentielles à argument constant par morceaux. / This thesis deals with the study of evolution equations and differential equations with piecewise constant argument. Studies of such equations were motivated by the fact that they represent a hybrid of discrete and continuous dynamical systems and combine the properties of both differential and differential-difference equations. We study the existence of almost automorphic solutions and S asymptotically omega periodic solution of evolution equations and differential equations with piecewise constant argument. The study of almost automorphic and S asymptotically omega periodic functions is motivated by the fact that these functions generalize the concept of periodic functions. Therefore, we obtain results about existence and unicity of almost automorphic and S asymptotic omega periodic solution of evolution equations. We will study this problem considering evolution equations who belong to a class of differential equation with piecewise constant argument.

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A two-dimensional integrodi erential equation resulting from the use of potential harmonics expansion in the many-body Schr odinger equation is used to study ground-state properties of selected few-body nuclear systems. The equation takes into account twobody correlations in the system and is applicable to few- and many-body systems. The formulation of the equation involves the use of the Jacobi coordinates to de ne relevant global coordinates as well as the elimination of center-of-mass dependence. The form of the equation does not depend on the size of the system. Therefore, only the interaction potential is required as input. Di erent nucleon-nucleon potentials and hyperon-nucleon potentials are employed to construct the Hamiltonian of the systems. The results obtained are in good agreement with those obtained using other methods. / Physics / M.Sc. (Physics)

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