l'équation de Schrödinger associée au laplacien de Dunkl trigonométrique unidimensionnel . Cette étude commence par des estimations optimales du noyau de la chaleur et de Schrödinger. A l'aide de ces résultats, ainsi que les outils d'analyse harmonique dévellopée dans le chapitre 2, on montre des éstimées de type Strichartz qui permettent de trouver des conditions d'admissibilité pour des équations de Schrödinger semi-linéaires.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la<br />stabilité de petits états stationnaires d'une équation d'évolution<br />non linéaire issue de la mécanique quantique relativiste :<br />l'équation de Dirac non linéaire.<br /><br />Tout le long de notre étude, les équations non linéaires sont vues<br />comme des petites perturbations non linéaires de systèmes linéaires.<br />Une partie de cette thèse est donc consacrée à l'étude de problèmes<br />linéaires. Nous montrons que, pour un opérateur de Dirac n'ayant pas<br />de résonance aux seuils ni de valeur propre aux seuils, le<br />propagateur vérifie des estimations de propagation et de dispersion.<br />Nous en déduisons également des estimations de régularité au sens de<br />Kato et des estimations de Strichartz.<br /><br />En faisant des hypothèses ad hoc sur le spectre discret d'un<br />opérateur de Dirac, nous construisons des petites variétés formées<br />d'états stationnaires. Puis en faisant varier ces hypothèses, nous<br />faisons apparaître des phénomènes de stabilisation et d'instabilité<br />orbitale pour certains de ces états.

Ce mémoire porte sur l'étude des équations d'évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l'équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact. Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L'examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires. Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d'analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s'agit respectivement d'établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l'étude de l'équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques.

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de l'équation d'Euler incompressible à surface libre. On se concentre sur la propriété dispersive et sur la théorie de Cauchy à faible régularité. Une grande part de la thèse est consacrée à l'étude de l'équation des ondes de gravité-capillarité. On établit des critères d'explosion et la persistance de régularité dans les espaces de Sobolev. En démontrant les estimations de Strichartz pour les solutions à faible régularité, on obtient des théories de Cauchy pour les données initiales dont la vitesse peut être non-lipschitzienne. Dans une autre part de la thèse, on étudie la propriété dispersive des équations des ondes de surface. Plus précisément, on s'intéresse aux estimations de Strichartz. On démontre que, pour les solutions raisonnablement régulières, les équations des ondes de surface non linéaires obéissent aux mêmes estimations de Strichartz comme dans le cas des équations linéarisées. / This dissertation is devoted to the mathematical analysis of the water waves systems. We focus on the dispersive property and the Cauchy problem for rough initial data. One of the main objects of study is the gravity-capillary water waves system. We establish blow-up criteria and the persistence of Sobolev regularity. By proving Strichartz estimates for rough solutions, we obtain Cauchy theories for non-Lipschitz initial velocity. In another part of the dissertation, we study the dispersive property of the fully nonlinear water waves systems. More specifically, we are interested in Strichartz estimates. We prove for sufficiently smooth solutions that the nonlinear systems obey the same Strichartz estimates as their linearizations do.

Ce mémoire porte sur l’étude des équations d’évolution sur des variétés à coubure non nulle, plus particulièrement l’équation des ondes sur les espaces symétriques riemanniens de type non compact.Des propriétés de dispersion des solutions du problème de Cauchy homogène sont démontrées. Ces propriétés sont ensuite utilisées pour établir des estimations dites estimations de Strichartz. L’examen de ces estimées permet de déduire que le problème de Cauchy non linéaire avec des non-linéarités de type puissance est globalement bien posé pour des données initiales petites et localement bien posé pour des données arbitraires.Après un chapitre introductif dédié aux définitions, propriétés algébriques et géométriques des espaces symétriques et à quelques aspects élémentaires d’analyse harmonique sphérique sur ces espaces, un article est présenté : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. Cet article contient nos résultats principaux. Dans le dernier chapitre nous présentons en détail deux problèmes ouverts qui prolongent nos travaux. Il s’agit respectivement d’établir le lien entre le comportement asymptotique des estimées et les orbites nilpotentes, et l’étude de l’équation des ondes pour les formes différentielles sur les espaces symétriques. / In this memoir we study evolution equations on curved manifolds. In particular we are interested in the wave equation on Riemannian symmetric spaces of the noncompact type.Dispersive properties of solutions of homogeneous Cauchy problem are proved. These properties are then used to establish Strichartz-type estimates. A closer study of these estimates shows that the nonlinear Cauchy problem with power-like nonlinearities is globally well posed for small initial data and locally well posed for arbitrary initial data.The first chapter is devoted to definitions, algebraic and geometric properties of symmetric spaces and to few elementary aspects of spherical analysis on these spaces. Then our main results are represented in an article : Wave equation on Riemannian symmetric spaces. In the last chapter we present in detail two open problems for future work. One issue is to establish a link between the asymptotic behavior of the estimates and nilpotent orbits, while another issue is the study of wave equation for differential forms on symmetric spaces.

Cette thèse est consacrée à l'étude des aspects linéaires et non-linéaires des équations de type Schrödinger [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] Quand $sigma = 2$, il s'agit de l'équation de Schrödinger bien connue dans de nombreux contextes physiques tels que la mécanique quantique, l'optique non-linéaire, la théorie des champs quantiques et la théorie de Hartree-Fock. Quand $sigma in (0,2) backslash {1}$, c'est l'équation Schrödinger fractionnaire, qui a été découverte par Laskin (voir par exemple cite{Laskin2000} et cite{Laskin2002}) en lien avec l'extension de l'intégrale de Feynman, des chemins quantiques de type brownien à ceux de Lévy. Cette équation apparaît également dans des modèles de vagues (voir par exemple cite{IonescuPusateri} et cite{Nguyen}). Quand $sigma = 1$, c'est l'équation des demi-ondes qui apparaît dans des modèles de vagues (voir cite{IonescuPusateri}) et dans l'effondrement gravitationnel (voir cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). Quand $sigma = 4$, c'est l'équation Schrödinger du quatrième ordre ou biharmonique introduite par Karpman cite{Karpman} et par Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} pour prendre en compte le rôle de la dispersion du quatrième ordre dans la propagation d'un faisceau laser intense dans un milieu massif avec non-linéarité de Kerr. Cette thèse est divisée en deux parties. La première partie étudie les estimations de Strichartz pour des équations de type Schrödinger sur des variétés comprenant l'espace plat euclidien, les variétés compactes sans bord et les variétés asymptotiquement euclidiennes. Ces estimations de Strichartz sont utiles pour l'étude de l'équations dispersives non-linéaire à régularité basse. La seconde partie concerne l'étude des aspects non-linéaires tels que les caractères localement puis globalement bien posés sous l'espace d'énergie, ainsi que l'explosion de solutions peu régulières pour des équations non-linéaires de type Schrödinger. [...] / This dissertation is devoted to the study of linear and nonlinear aspects of the Schrödinger-type equations [ i partial_t u + |nabla|^sigma u = F, quad |nabla| = sqrt {-Delta}, quad sigma in (0, infty).] When $sigma = 2$, it is the well-known Schrödinger equation arising in many physical contexts such as quantum mechanics, nonlinear optics, quantum field theory and Hartree-Fock theory. When $sigma in (0,2) backslash {1}$, it is the fractional Schrödinger equation, which was discovered by Laskin (see e.g. cite{Laskin2000} and cite{Laskin2002}) owing to the extension of the Feynman path integral, from the Brownian-like to Lévy-like quantum mechanical paths. This equation also appears in the water waves model (see e.g. cite{IonescuPusateri} and cite{Nguyen}). When $sigma = 1$, it is the half-wave equation which arises in water waves model (see cite{IonescuPusateri}) and in gravitational collapse (see cite{ElgartSchlein}, cite{FrohlichLenzmann}). When $sigma =4$, it is the fourth-order or biharmonic Schrödinger equation introduced by Karpman cite {Karpman} and by Karpman-Shagalov cite{KarpmanShagalov} taking into account the role of small fourth-order dispersion term in the propagation of intense laser beam in a bulk medium with Kerr nonlinearity. This thesis is divided into two parts. The first part studies Strichartz estimates for Schrödinger-type equations on manifolds including the flat Euclidean space, compact manifolds without boundary and asymptotically Euclidean manifolds. These Strichartz estimates are known to be useful in the study of nonlinear dispersive equation at low regularity. The second part concerns the study of nonlinear aspects such as local well-posedness, global well-posedness below the energy space and blowup of rough solutions for nonlinear Schrödinger-type equations.[...]