Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle des points récurrents par chaînes d'un système dynamique comme ensemble d'Aubry projeté d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure d'espace ultramétrique expliquant leur topologie totalement discontinue, et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapunov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. Dans une deuxième partie, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé. Ces notions, plus fines que la récurrence par chaînes, permettent de mieux comprendre les fonctions de Lyapunov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat. Celles-ci sont liées à des problèmes d'unicité, à constantes près, des solutions KAM faibles (ou solutions de viscosité) de certaines équations d'Hamilton-Jacobi.

La classification des images est aujourd'hui un défi d'une grande ampleur puisque ça concerne d'un côté les millions voir des milliards d'images qui se trouvent partout sur le web et d'autre part des images pour des applications temps réel critiques. Cette classification fait appel en général à des méthodes d'apprentissage et à des classifieurs qui doivent répondre à la fois à la précision ainsi qu'à la rapidité. Ces problèmes d'apprentissage touchent aujourd'hui un grand nombre de domaines d'applications: à savoir, le web (profiling, ciblage, réseaux sociaux, moteurs de recherche), les "Big Data" et bien évidemment la vision par ordinateur tel que la reconnaissance d'objets et la classification des images. La présente thèse se situe dans cette dernière catégorie et présente des algorithmes d'apprentissage supervisé basés sur la minimisation de fonctions de perte (erreur) dites "calibrées" pour deux types de classifieurs: k-Plus Proches voisins (kNN) et classifieurs linéaires. Ces méthodes d'apprentissage ont été testées sur de grandes bases d'images et appliquées par la suite à des images biomédicales. Ainsi, cette thèse reformule dans une première étape un algorithme de Boosting des kNN et présente ensuite une deuxième méthode d'apprentissage de ces classifieurs NN mais avec une approche de descente de Newton pour une convergence plus rapide. Dans une seconde partie, cette thèse introduit un nouvel algorithme d'apprentissage par descente stochastique de Newton pour les classifieurs linéaires connus pour leur simplicité et leur rapidité de calcul. Enfin, ces trois méthodes ont été utilisées dans une application médicale qui concerne la classification de cellules en biologie et en pathologie.

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Thèse numérisée par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

Nous avons étudié le développement du raisonnement par analogie. La conception traditionnelle de ce développement est qu'il dépend de l'accroissement des connaissances des enfants (Gentner, 1983, 1988 ; Goswami & Brown, 1989, 1990). Nous l'avons abordé sous l'angle du développement des fonctions exécutives, en particulier - de la composante d'inhibition. La capacité d'inhibition permet la suppression des informations saillantes mais non pertinentes pour faire l'analogie. Elle est requise lors de la recherche de la solution analogique. Neuf études ont été réalisées dans le cadre de cette thèse. Nous avons utilisé une tâche classique d'analogie du type A : B :: C : ?. Le rôle de la capacité d'inhibition a été testé par la présence de distracteurs perceptifs ou sémantiques qui entrent en compétition avec la solution analogique. Ils doivent être inhibés lors de sa recherche. Les résultats montrent que les informations saillantes mais non pertinentes pour trouver la solution analogique interfèrent avec sa découverte ou sa construction. Par conséquent, les performances des enfants à la tâche d'analogie dépendraient du degré de développement de leurs fonctions exécutives. Ces résultats sont compatibles avec les résultats de Richland, Morrison & Holyoak (2006) qui expliquent les performances des enfants à une tâche d'analogie par les limitations dans leur fonctionnement exécutif.

Dans la conception basée sur des modèles on construit un modèle mathématique du système que l'on utilise pour concevoir le système de sorte qu'il présente les propriétés souhaitées. Pour les systèmes de sûreté critique, il peut être d'une importance capitale de vérifier ces propriétés de sûreté sur le modèle, par exemple, pour tenir compte des variations des paramètres. Le calcul d'un nombre fini de comportements du système par le biais de simulation ne suffit pas à garantir des propriétés de sécurité. Avec une analyse d'atteignabilité on peut calculer une couverture de tous les comportements possibles du système, possiblement infinis. Cette analyse peut prendre en compte de non-déterminisme dans le modèle et peut garantir des propriétés de sécurité. Les systèmes d'intérêt présentent souvent à la fois un comportement continu et discret et de tels systèmes sont appelés systèmes hybrides. Le calcul d'atteignabilité est considéré comme difficile pour les systèmes continus et hybrides. Ce n'est que récemment que des méthodes pour le calcul d'accessibilité ont été développées qui peuvent être mis à l'échèlle. Ils sont basés sur des représentations implicites d'ensembles continus à l'aide du concepte mathématique de la fonction de support. Dans cette thèse, nous développons un outil extensible appelé SpaceEx pour le calcul d'atteignabilité des systèmes hybrides. Deux algorithmes d'atteignabilité ont été mis en œuvre dans SpaceEx, l'un basé sur l'outil PHAVer pour les automates linéaires hybrides et l'autre basé sur les fonctions de support pour les dynamiques affines par morceaux. L'algorithme de fonction support a été mis au point et sa mise à l'échelle a été amélioré en basculant entre différentes représentations d'ensembles continus. Nous proposons un algorithme de calcul d'image des transition discrètes amélioré qui réduit l'erreur de sur-approximation et nous illustrons sa précision et son efficacité avec plusieurs études de cas.

Ce mémoire d'HDR concerne l'étude des systèmes non linéaires en théorie du contrôle par les fonctions de Lyapunov. On y étudie notamment l'observation en temps fini, la stabilisation des systèmes homogènes, l'obstruction topologique, le contrôle du flux magnétique dans les plasmas de tokamak et les équations de Schrödinger d'ordre supérieur.

D'abord, on étudie trois façons d'associer une C*-algèbre à une transformation continue. Ensuite, nousdonnons une nouvelle définition de l'entropie. Nous trouvons des relations entre les états KMS des algèbrespréalablement définies et les états d'équilibre, donné par un principe variationnel. Dans la seconde partie,nous étudions les algèbres de Kajiwara-Watatani associées à un système des fonctions itérées. Nouscomparons ces algèbres avec l'algèbre de Cuntz et le produit croisé. Enfin, nous étudions les états KMS desalgèbres de Kajiwara-Watatani pour les actions provenant d'un potentiel et nous trouvouns des relationsentre ces états et les mesures trouvée dans une version de le théorème de Ruelle-Perron-Frobenius pour lessystèmes de fonctions itérées.

Cette thèse montre comment le calcul formel permet la manipulation d'une grande classe de suites et fonctions solutions d'opérateurs linéaires, la classe des fonctions holonomes. Celle-ci contient de nombreuses fonctions spéciales, en une ou plusieurs variables, et de nom- breuses suites de la combinatoire. Un cadre théorique est tout d'abord introduit pour algorith- miser les propriétés de clôture de la classe holonome, pour y permettre un test à zéro et pour unifier les calculs différentiels sur les fonctions et les calculs de récurrences sur les suites. Ces méthodes s'appuient sur des calculs par une extension de la théorie des bases de Gröbner dans un cadre de polynômes non commutatifs, les polynômes de Ore. Deux types d'algorithmes de sommation et d'intégration symboliques définies et indéfinies sont ensuite développés, dont la justification théorique fait appel à la théorie des D-modules holonomes. Les premiers ont recours à une élimination polynomiale non commutative par bases de Gröbner ; les seconds à des algo- rithmes de résolution de systèmes fonctionnels linéaires en leurs solutions fractions rationnelles. Bien plus que la recherche de formes closes, l'objectif est de pouvoir continuer à calculer avec la représentation implicite des objets holonomes même en l'absence de formes explicites. Ce type de calculs permet en particulier la preuve automatique d'identités sommatoires et intégrales. Une implantation de ces algorithmes dans le système de calcul formel Maple a permis de donner la première preuve automatique d'identités jusqu'à présent inaccessibles par le calcul formel.

Ce mémoire contient quelques résultats sur l'intégration numérique. Ils sont liés à la célèbre formule de quadrature de K. F. Gauss. Une généralisation très intéressante de la formule de Gauss a été obtenue par P. Turán. Elle est contenue dans son article publié en 1948, seulement quelques années après la seconde guerre mondiale. Étant données les circonstances défavorables dans lesquelles il se trouvait à l'époque, l'auteur (Turán) a laissé beaucoup de détails à remplir par le lecteur. Par ailleurs, l'article de Turán a inspiré une multitude de recherches; sa formule a été étendue de di érentes manières et plusieurs articles ont été publiés sur ce sujet. Toutefois, il n'existe aucun livre ni article qui contiennent un compte-rendu détaillé des résultats de base, relatifs à la formule de Turán. Je voudrais donc que mon mémoire comporte su samment de détails qui puissent éclairer le lecteur tout en présentant un exposé de ce qui a été fait sur ce sujet. Voici comment nous avons organisé le contenu de ce mémoire. 1-a. La formule de Gauss originale pour les polynômes - L'énoncé ainsi qu'une preuve. 1-b. Le point de vue de Turán - Compte-rendu détaillé des résultats de son article. 2-a. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Gauss. 2-b. Une formule pour les polynômes trigonométriques analogue à celle de Turán. 3-a. Deux formules pour les fonctions entières de type exponentiel, analogues à celle de Gauss pour les polynômes. 3-b. Une formule pour les fonctions entières de type exponentiel, analogue à celle de Turán. 4-a. Annexe A - Notions de base sur les polynômes de Legendre. 4-b. Annexe B - Interpolation polynomiale. 4-c. Annexe C - Notions de base sur les fonctions entières de type exponentiel. 4-d. Annexe D - L'article de P. Turán. / This mémoire contains some results about numerical integration. They are related to the famous quadrature formula of K. F. Gauss. A very interesting generalization of the formula of Gauss was obtained by P.Turán. It is contained in a paper that was published in 1948, only a few years after the second world war. Due to adverse circunstances he was in at the time, the author (Turán) left many details for the reader to fill in. Otherwise, the article of Turán inspired a multitude of research, and his formula has been extended in many ways and several papers have been written on this subject. However, there is no single book or paper where one can nd a clear and comprehensive account of the basic results pertaining to Turán's formula. Thus, I would like my Master's mémoire to contain enough details that can enlighten the reader and present an exposition of much that has been done on this subject. Here is how we have arranged the contents of the mémoire. 1-a. The original formula of Gauss for polynomials - statement along with a proof. 1-b. Turán's point of view - detailed account of the results contained in his paper. 2-a. A formula for trigonometric polynomials analogous to that of Gauss. 2-b. A formula for trigonometric polynomials analogous to that of Turán. 3-a. Two formulae for entire functions of exponential type, analogous to the one of Gauss for polynomials. 3-b. A formula for entire functions of exponential type, analogous to that of Turán. 4-a. Annexe A - Basic facts about Legendre polynomials. 4-b. Annexe B - Polynomial interpolation. 4-c. Annexe C - Basic facts about entire functions of exponential type. 4-d. Annexe D - Paper of P. Turán.