This study will investigate how Joel Greenblatts magic formula has performed on the Swedish stock market compared to the OMXSPI index. The study will also investigate how different portfolio sizes when using the magic formula will perform in a risk perspective to see if it has been more rewardable to take more risk.

Avsikten med studien är att undersöka den magiska formelns prestation på den svenska aktiemarknaden mellan åren 2017–2021. Syftet är att undersöka om denmagiska formeln kan uppnå en högre riskjusterad avkastning än OMXS30 underundersökningsperioden. I denna studie tillämpas backtesting med hjälp av historiska data hämtat från Refinitv Eikons databas för att utforska strategins prestation under undersökningsperioden. Målet med denna studie var att undersöka om den magiska formeln kan användas av investerare med mindre erfarenhet för att uppnå en högre riskjusterad avkastning än OMXS30-index. Med hjälp av två variabler, return on capital och earnings yield fick vi fram ett resultat för att besvara studiens syfte. Under hela undersökningsperioden uppnådde den magiska formeln en genomsnittlig avkastning på 15,32% medan OMXS30 portföljen uppnådde en avkastning på 10,78%. Resultatet från denna studie visade att den magiska formeln kunde uppnå en högre avkastning än OMXS30 under undersökningsperioden men eftersom Sharpekvoten för OMXS30 var högre än den magiska formeln formas indikationer att OMXS30 presterade bättre än den magiska formeln på en genomsnittlig riskjusterad nivå under undersökningsperioden. / This study examines the performance of the magic formula by Joel Greenblatt on the Swedish stock market. A back test was performed to see if the magic formula could generate a higher risk adjusted return and outperform the OMXS30 index between the years 2017 and 2021. The study constructed portfolios for each year for the magic formula and OMXS30 with the ambition to compare the two results. The results show that the magic formula achieved a higher return at a higher risk rate so therefore, it was not able to beat the OMXS30 index on a risk adjusted level.

The interest in the stock market has increased in the last couple of years whereas those who invest use all kinds of different strategies, or none at all. Some strategies are quite complicated and time consuming, while others are easier to replicate. The Magic Formula and Piotroski’s F- Score are two of the more well-known investment strategies which have been developed during the 2000s and are relatively easy to follow. The purpose of this study is to compare the performance of the two investment strategies and if they can create excess return in Denmark, Finland and Norway. In addition, the results will be compared to an earlier study made on the Swedish market, for the sake of discovering any differences between the Nordic countries when investing according to these strategies. The results displayed that both strategies outperformed the market indexes most years and that their accumulated returns were far greater than the market indexes between 2012-2021. Out of the Nordic countries, the portfolios in accordance with The Magic Formula and Piotroski’s F-Score both performed best in Norway. In all the three countries, Piotroski’s F-Score was the better-performing strategy over these nine years regarding accumulated return. However, the results only showed statistical differences between the strategies in Norway and Denmark. Regarding differences between the countries, including Sweden, the results indicate that there are only statistical differences in accumulated return between Norway and Sweden concerning The Magic Formula portfolios during 2012-2020. On the other hand, the results for the F-Score portfolios showed statistical differences in accumulated return between all countries except between Denmark and Finland. / Under senare år har intresset för aktiemarknaden ökat allt mer, där aktörerna använder sig av en mängd olika sorters strategier, eller ingen alls. Vissa strategier kan anses vara mer komplicerade och tidskrävande medan andra är enklare att följa och förstå. Den Magiska Formeln och Piotroskis F-Score är två av de mer välkända investeringsstrategierna som båda har blivit utvecklade under 2000-talet och är relativt enkla att replikera. Syftet med denna studie är att jämföra prestationen för dessa två investeringsstrategier samt om de kan generera någon överavkastning i Danmark, Finland och Norge. Resultaten kommer dessutom jämföras med en tidigare studie gjord på den svenska marknaden, för att hitta eventuella skillnader mellan de nordiska länderna när investeringar skett enligt dessa strategier. Studiens resultat visade på att båda strategierna överträffar marknadens index flera gånger under tidsperioden samt att dess ackumulerade avkastning var högre än marknadens index mellan 2012–2021. Utav alla nordiska länder presterade portföljerna baserade på Den Magiska Formeln och Piotroskis F-Score bäst i Norge, och för samtliga tre länder presterade Piotroskis F-Score bäst av strategierna gällande ackumulerad avkastning under dessa nio år. Resultaten visade dock enbart statistiska skillnader mellan strategierna i Danmark och Norge. Samtidigt visar resultatet på statistiska skillnader för ackumulerad avkastning mellan länderna Norge och Sverige gällande portföljerna enligt Den Magiska Formeln under 2012–2020. Samma period visar även på statistiska skillnader mellan alla länder förutom Danmark och Finland gällande portföljerna enligt Piotroskis F-Score.

Quantified Boolean formulas (QBFs) play an important role in theoretical computer science. QBF extends propositional logic in such a way that many advanced forms of reasoning can be easily formulated and evaluated. In this dissertation we present our ZQSAT, which is an algorithm for evaluating quantified Boolean formulas. ZQSAT is based on ZBDD: Zero-Suppressed Binary Decision Diagram / which is a variant of BDD, and an adopted version of the DPLL algorithm. It has been implemented in C using the CUDD: Colorado University Decision Diagram package. <br><br> The capability of ZBDDs in storing sets of subsets efficiently enabled us to store the clauses of a QBF very compactly and let us to embed the notion of memoization to the DPLL algorithm. These points led us to implement the search algorithm in such a way that we could store and reuse the results of all previously solved subformulas with a little overheads. ZQSAT can solve some sets of standard QBF benchmark problems (known to be hard for DPLL based algorithms) faster than the best existing solvers. In addition to prenex-CNF, ZQSAT accepts prenex-NNF formulas. We show and prove how this capability can be exponentially beneficial. <br><br> / In der Dissertation stellen wir einen neuen Algorithmus vor, welcher Formeln der quantifizierten Aussagenlogik (engl. Quantified Boolean formula, kurz QBF) löst. QBFs sind eine Erweiterung der klassischen Aussagenlogik um die Quantifizierung über aussagenlogische Variablen. Die quantifizierte Aussagenlogik ist dabei eine konservative Erweiterung der Aussagenlogik, d.h. es können nicht mehr Theoreme nachgewiesen werden als in der gewöhnlichen Aussagenlogik. Der Vorteil der Verwendung von QBFs ergibt sich durch die Möglichkeit, Sachverhalte kompakter zu repräsentieren. <br><br> SAT (die Frage nach der Erfüllbarkeit einer Formel der Aussagenlogik) und QSAT (die Frage nach der Erfüllbarkeit einer QBF) sind zentrale Probleme in der Informatik mit einer Fülle von Anwendungen, wie zum Beispiel in der Graphentheorie, bei Planungsproblemen, nichtmonotonen Logiken oder bei der Verifikation. Insbesondere die Verifikation von Hard- und Software ist ein sehr aktuelles und wichtiges Forschungsgebiet in der Informatik. <br><br> Unser Algorithmus zur Lösung von QBFs basiert auf sogenannten ZBDDs (engl. Zero-suppressed Binary decision Diagrams), welche eine Variante der BDDs (engl. Binary decision Diagrams) sind. BDDs sind eine kompakte Repräsentation von Formeln der Aussagenlogik. Der Algorithmus kombiniert nun bekannte Techniken zum Lösen von QBFs mit der ZBDD-Darstellung unter Verwendung geeigneter Heuristiken und Memoization. Memoization ermöglicht dabei das einfache Wiederverwenden bereits gelöster Teilprobleme. <br><br> Der Algorithmus wurde unter Verwendung des CUDD-Paketes (Colorado University Decision Diagram) implementiert und unter dem Namen ZQSAT veröffentlicht. In Tests konnten wir nachweisen, dass ZQSAT konkurrenzfähig zu existierenden QBF-Beweisern ist, in einigen Fällen sogar bessere Resultate liefern kann.

Normalformen drücken semantische Eigenschaften einer Logik durch syntaktische Restriktionen aus. Sie ermöglichen es Algorithmen, Grenzen der Ausdrucksstärke einer Logik auszunutzen. Ein Beispiel ist die Lokalität der Logik erster Stufe (FO), die impliziert, dass Graph-Eigenschaften wie Erreichbarkeit oder Zusammenhang nicht FO-definierbar sind. Gaifman-Normalformen drücken die Bedeutung einer FO-Formel als Boolesche Kombination lokaler Eigenschaften aus. Sie haben eine wichtige Rolle in Model-Checking Algorithmen für Klassen dünn besetzter Graphen, deren Laufzeit durch die Größe der auszuwertenden Formel parametrisiert ist. Es ist jedoch bekannt, dass Gaifman-Normalformen im Allgemeinen nur mit nicht-elementarem Aufwand konstruiert werden können. Dies führt zu einer enormen Parameterabhängigkeit der genannten Algorithmen. Ähnliche nicht-elementare untere Schranken sind auch für Feferman-Vaught-Zerlegungen und für die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski bekannt. Diese Arbeit untersucht die Komplexität der genannten Normalformen auf Klassen von Strukturen beschränkten Grades, für welche die nicht-elementaren unteren Schranken nicht gelten. Für diese Einschränkung werden Algorithmen mit elementarer Laufzeit für die Konstruktion von Gaifman-Normalformen, Feferman-Vaught-Zerlegungen, und für die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski entwickelt, die in den ersten beiden Fällen worst-case optimal sind. Wichtig hierfür sind Hanf-Normalformen. Es wird gezeigt, dass eine Erweiterung von FO durch unäre Zählquantoren genau dann Hanf-Normalformen erlaubt, wenn alle Zählquantoren ultimativ periodisch sind, und wie Hanf-Normalformen in diesen Fällen in elementarer und worst-case optimaler Zeit konstruiert werden können. Dies führt zu Model-Checking Algorithmen für solche Erweiterungen von FO sowie zu Verallgemeinerungen der Algorithmen für Feferman-Vaught-Zerlegungen und die Erhaltungssätze von Lyndon, Łoś und Tarski. / Normal forms express semantic properties of logics by means of syntactical restrictions. They allow algorithms to benefit from restrictions of the expressive power of a logic. An example is the locality of first-order logic (FO), which implies that properties like reachability or connectivity cannot be defined in FO. Gaifman's local normal form expresses the satisfaction conditions of an FO-formula by a Boolean combination of local statements. Gaifman normal form serves as a first step in fixed-parameter model-checking algorithms, parameterised by the size of the formula, on sparse graph classes. However, it is known that in general, there are non-elementary lower bounds for the costs involved in transforming a formula into Gaifman normal form. This leads to an enormous parameter-dependency of the aforementioned algorithms. Similar non-elementary lower bounds also hold for Feferman-Vaught decompositions and for the preservation theorems by Lyndon, Łoś, and Tarski. This thesis investigates the complexity of these normal forms when restricting attention to classes of structures of bounded degree, for which the non-elementary lower bounds are known to fail. Under this restriction, the thesis provides algorithms with elementary and even worst-case optimal running time for the construction of Gaifman normal form and Feferman-Vaught decompositions. For the preservation theorems, algorithmic versions with elementary running time and non-matching lower bounds are provided. Crucial for these results is the notion of Hanf normal form. It is shown that an extension of FO by unary counting quantifiers allows Hanf normal forms if, and only if, all quantifiers are ultimately periodic, and furthermore, how Hanf normal form can be computed in elementary and worst-case optimal time in these cases. This leads to model-checking algorithms for such extensions of FO and also allows generalisations of the constructions for Feferman-Vaught decompositions and preservation theorems.

Mathematics has got roots in Finland in the last quarter of the 19th century and came to flourish in the first quarter of the next century. In the first quarter of the 20th century, mathematicians were involved in teaching mathematics at schools and writing school textbooks. This involvement decreased and came to an end by the launching of the ‘New Math’ project. Mathematics education for elite was of positive affect to higher education, and this has changed by the spread of education, the decrease of mathematics teaching hours at schools and the changes in school mathematical curricula. The impact of curriculum changes is evident in Finnish students’ performance in the IEA comparative studies, PISA and IMO.

Mathematics has got roots in Finland in the last quarter of the 19th century and came to flourish in the first quarter of the next century. In the first quarter of the 20th century, mathematicians were involved in teaching mathematics at schools and writing school textbooks. This involvement decreased and came to an end by the launching of the ‘New Math’ project. Mathematics education for elite was of positive affect to higher education, and this has changed by the spread of education, the decrease of mathematics teaching hours at schools and the changes in school mathematical curricula. The impact of curriculum changes is evident in Finnish students’ performance in the IEA comparative studies, PISA and IMO.