Un des défis majeurs de la science de complexité se situe à l'investigation de l'émergence, où les interactions entre les composants microscopiques d'un système produisent la propriété globale, et réciproquement, la dynamique globale influence le bas niveau. Cette thèse a comme ambition de 1) élucider le mécanisme sous-jacent des systèmes complexes par la modélisation concrète des systèmes réels, et aussi 2) comparer entre les différents modèles proposés pour détecter la condition universelle de l'émergence. Pour cela, nous développons la nouvelle méthodologie basé sur l'interaction entre la théorie de système dynamique et la géométrie informationnelle, afin d'avoir la dialectique entre la modélisation constructive/déterministe et l'analyse des interactions sous la formalisation stochastique. La thèse se compose de 7 Parties, parmi lesquelles la Partie 2 à 6 correspondent au premier objectif, et la Partie 7 au seconde. Dans la Partie 1, nous allons réviser l'histoire de la science de la complexité et proposer la stratégie dialectique entre les méthodologies constructive et interactions-analytique, basé sur la théorie de système dynamique et la géométrie informationnelle. En Partie 2, nous traitons un modèle de réseau neuronal avec le comportement chaotique nommé ``l'itinérance chaotique" comme un candidat de la dynamique du cortex cérébral, et analysons l'effet de l'apprentissage autonome sans superviseur comme une source de créativité qui est la propriété émergente du système neuronal. La théorie de la mesure intérieure est étendue afin de interpréter l'émergence des nouveaux attracteurs par ``le chaos comme le catalyseur d'apprentissage." En Partie 3, nous avons appliqué la dynamique du réseau neuronal chaotique aux robots qui manifestent la dynamique de recherche collective de manière émergente, au défi de la détection optimale des informations sporadiques. L'efficacité de la recherche collective est évaluée avec un simulateur virtuel. En Partie 4, nous développons les nouvelles mesures de la complexité du point de vue de la géométrie informationnelle, et analysons les données des réseaux sociaux. Les mesures de la complexité jouera un rôle principal dans la Partie 7. En Partie 5, nous appliquons la stratégie dialectique entre le système dynamique et la géométrie informationnelle vers la compréhension de la morphogenèse lors de l'embryogenèse chez le poisson zèbre. Quelques propositions théoriques sont établies et testées avec les données tentatives dérivées des projets européens Embryomics et BioEMERGENCES. En Partie 6, nous analysons les systèmes complexes liés au linguistique. Nous avons découvert les nouveaux invariants et la composition géométrique entre les voyelles japonaises, qui sont les propriétés émergentes au niveau du système. Nous développons aussi la modélisation écologique de l'environnement multilingue dans un contexte de la dialectique entre la théorie linguistique et la modélisation mathématique. En Partie 7, nous révisons les résultats obtenus dans les Parties précédentes sous une perspective comparative, en vue de détecter la structure universelle de l'émergence comme l'organisation des interactions qui ne dépende pas explicitement sur la propriété des composants. Surtout la comparaison entre les Parties 2 et 4, ainsi 5 et 6, nous indique la typologie et la stratégie de détection de la dynamique de l'émergence comme la relation et le contraint entre les foncteurs et méta-foncteurs. D'autre possibilité d'application de la stratégie établie est mise en discussion.

Dans une première partie, notre étude porte sur les milieux faiblement continus avec une approche basée sur la géométrie non riemannienne. Nous considérons un corps solide déformable modélisé par une variété riemannienne munie d'une connexion affine. Un tel modèle est une extension d'un autre qui considère une connexion euclidienne, laquelle dérive du tenseur métrique imposé par l'espace ambiant. La masse par unité de volume peut être supposée non constante et le corps peut contenir des défauts décrits par des champs de discontinuité de champs scalaires ou de champs vectoriels définis sur la variété. Dans ce cas, en plus du tenseur métrique, nous utilisons nécessairement la torsion introduite par Cartan ou la courbure, deux tenseurs associés à la connexion affine. Nous disposons ainsi d'un modèle de milieu continu du second gradient. Les investigations prennent en compte les effets de ces champs tensoriels dans l'analyse de la déformation du corps. Comme application, nous décrivons l'atténuation spatiale d'une onde propagée dans un milieu non homogène. Dans une seconde partie, notre étude porte sur une modélisation de l'indentation Vickers du verre. Nous considérons un modèle qui utilise le schéma d'inclusion d'Eshelby dans une matrice semi-infinie, pour analyser les champs de contrainte et de déplacement durant le processus de charge. L'objectif est de déterminer la densification du verre sous l'indenteur. Les résultats semi-analytiques obtenus sont confrontés de manière positive avec des données expérimentales fournies par le LARMAUR.

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Cette thèse présente un ensemble de travaux en géométrie algorithmique non linéaire portant d'une<br />part sur le développement d'algorithmes géométriques certifiés et efficaces traitant d'objets courbes et, en particulier, de quadriques et, d'autre part, sur les propriétés des droites de l'espace dans un contexte de visibilité tridimensionnelle.<br /><br />Ma réalisation principale concernant les quadriques est le développement du premier algorithme exacte, complet, quasi optimal et efficace pour calculer une paramétrisation de l'intersection de deux quadriques en trois dimensions. Cette contribution est une avancée très importante sur un problème ancien et c'est la première solution complète et certifiée à l'un des problèmes les plus élémentaires de modélisation par surfaces courbes implicites. Je présente également un très joli résultat sur les diagrammes de Voronoï de trois droites qui sont des partitions de l'espace en cellules bornées par des morceaux de quadriques. Nous montrons que la topologie de tels diagrammes est invariante pour des droites en positions générales et nous obtenons une propriété de monotonie sur les arcs des diagrammes. Nous en déduisons un algorithme simple pour ordonner des points le long de ces arcs, ce qui est vraisemblablement une avancée substantielle pour le développement futur d'algorithmes efficaces pour calculer l'axe médian de polyèdres. La technique de preuve, qui utilise fortement les outils modernes de calcul formel, est également intéressante en elle même.<br /><br />Concernant les propriétés des droites de l'espace dans un contexte de visibilité tridimensionnelle, je présente un ensemble de résultats cohérents sur différentes problématiques. En premier lieu, je présente des résultats sur les propriétés structurelles des droites tangentes ou transversales à quatre primitives. Précisément, je présente une caractérisation des configurations dégénérées de quatre sphères qui admettent un nombre infini de tangentes communes, une caractérisation de l'ensemble des droites transversales à quatre segments, et une étude du nombre maximum de tangentes à quatre triangles. Je présente ensuite plusieurs résultats sur les propriétés combinatoires de structures géométriques de visibilité tridimensionnelle. En particulier, je présente plusieurs résultats importants sur la complexité des silhouettes de polyèdres depuis un point de vu aléatoire et sur la complexité en moyenne et dans le cas le pire du complexe de visibilité, une structure de données encodant des informations de visibilité. Je présente également de nouvelles bornes étonnantes sur la complexité dans le cas le pire de l'ombre portée sur un plan par une source lumineuse polygonale en présence d'obstacles polyédriques convexes. En dernier lieu, je présente le premier algorithme non trivial et implantable pour calculer l'ensemble des segments tangents à quatre parmi $k$ polyèdres convexes non nécessairement disjoints, c'est-à-dire, essentiellement les sommets du complexe de visibilité.

La complexité arithmétique est l'étude des ressources nécessaires pour calcu- ler des polynômes en n'utilisant que des opérations arithmétiques. À la fin des années 70, Valiant a défini (de manière semblable à la complexité booléenne) des classes de polynômes. Les polynômes, ayant des circuits de taille polyno- miale, considérés faciles forment la classe VP. Les sommes exponentielles de ces derniers correpondent alors à la classe VNP. L'hypothèse de Valiant est la conjecture que VP ̸= VNP.Bien que cette conjecture soit encore grandement ouverture, cette dernière semble toutefois plus accessible que son homologue booléen. La structure algé- brique sous-jacente limite les possibilités de calculs. En particulier, un résultat important du domaine assure que les polynômes faciles peuvent aussi être cal- culés efficacement en paralèlle. De plus, quitte à autoriser une augmentation raisonnable de la taille, il est possible de les calculer avec une profondeur de calcul bornée par une constante. Comme ce dernier modèle est très restreint, de nombreuses bornes inférieures sont connues. Nous nous intéresserons en premier temps à ces résultats sur les circuits de profondeur constante.Bürgisser a montré qu'une conjecture (la τ-conjecture) qui borne supérieu- rement le nombre de racines de certains polynômes univariés, impliquait des bornes inférieures en complexité arithmétique. Mais, que se passe-t-il alors, si on essaye de réduire, comme précédemment, la profondeur du polynôme consi- déré? Borner le nombre de racines réelles de certaines familles de polynômes permetterait de séparer VP et VNP. Nous étudierons finalement ces bornes su- périeures sur le nombre de racines réelles.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

L’objet de ce travail est l’utilisation de certains formalismes non classiques (analyses non standard, analyses constructives) afin de proposer des bases théoriques nouvelles autour des problèmes de discrétisations d’objets continus. Ceci est fait en utilisant un modèle discret du système des nombres réels appelé droite d’Harthong-Reeb ainsi que la méthode arithmétisation associée qui est un processus de discrétisation des fonctions continues. Cette étude repose sur un cadre arithmétique non standard. Dans un premier temps, nous utilisons une version axiomatique de l’arithmétique non standard. Puis, dans le but d’améliorer le contenu constructif de notre méthode, nous utilisons une autre approche de l’arithmétique non standard découlant de la théorie des Ω-nombres de Laugwitz et Schmieden. Cette seconde approche amène à une représentation discrète et multi-résolution de fonctions continues.Finalement, nous étudions dans quelles mesures, la droite d’Harthong-Reeb satisfait les axiomes de Bridges décrivant le continu constructif. / The aim of this work is to introduce new theoretical basis for the discretization of continuous objects using non classical formalisms. This is done using a discrete model of the continuum called the Harthong-Reeb line together with the related arithmetization method which is a discretisation process of continuous functions. This study stands on a nonstandard arithmetical framework. Firstly, we use an axiomatic version of nonstandard arithmetic. In order to improve the constructive content of our method, the next step is to use another approach of nonstandard arithmetic deriving from the theory of Ω-numbers by Laugwitzand Schmieden. This second approach leads to a discrete multi-resolution representation of continuous functions. Afterwards, we investigate to what extent the Harthong-Reeb line fits Bridges axioms of the constructive continuum.

La Géométrie de Descartes peut être lue comme un traité consacré à la résolution (graphique) de toutes les équations polynomiales grâce à un outil forgé pour la circonstance, qui permettra à l'homme de créer les sciences quantitatives et d'atteindre - presque - le but fixé au Premier Chapitre de la Genèse : dominer le monde. Cet outil est le calcul des coordonnées, invention exceptionnelle dont cependant il n'avait pas vu toute la puissance.Ce qu'il savait, c'était simplement que, outre la possibilité de définir et de construire un stock infini de courbes, il lui permettait - croyait-il - de donner une réponse définitive au problème de la recherche des racines des équations, mais aussi, grâce à cette technique, de ramener toute question de géométrie à un calcul, bref à mécaniser en quelque sorte les dernières questions ouvertes des mathématiques de son temps.Cette grille de lecture est à confronter à l'attitude plus conservatrice pour laquelle c'était là une mise en œuvre de la Méthode, voire de la Mathesis, fondée autour de l'algébrisation de la géométrie classique, plutôt qu'une arrivée de la géométrie venant à la rescousse de l'algèbre. / La Géométrie of Descartes can be read as a treatise on (graphic) resolution of all polynomial equations, by means of a tool made up on purpose, and by which man will be able to build up the quantitative sciences and to - almost - fulfil the object as stated in Genesis, 1: to rule over the world. That tool is the coordinates system, an extraordinary discovery, more powerful even than what Descartes had imagined.He only saw a means of defining and keeping in stock an endless number of curves and, beyond that, of finding a final answer to the question of the research of the equation roots; and, through that technical medium, he knew also he could reduce any geometrical problem to algebraic calculation; in a word, solve mechanically the last open questions in the mathematics of his time.This reading of the book must be confronted with a more usual posture according to which there is nothing else here than an application of the Method, or even of the Mathesis, grounded on the algebraization of the classical geometry, more than an advent of geometry used to help algebra.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.