Cette thèse présente principalement des résultats sur la combinatoire des droites et segments qui apparaissent naturellement dans l'étude des problèmes de visibilité en trois dimensions. Nous exposons en premier lieu des résultats sur la taille de la silhouette d'un objet vu d'un point, c'est à dire sur la complexite de l'ensemble des droites ou segments tangents à l'objet et passant par le point. Nous présentons en particulier les premières bornes théoriques non triviales pour des polyèdres non-convexes, à savoir que, sous des hypothèses raisonnables, la complexité moyenne de la silhouette est au plus la racine carrée de la complexité du polyèdre, phénomène largement observé en infographie. Nous présentons aussi des bornes, en moyenne et dans le cas le pire, sur le nombre de droites et segments tangents à quatre objets dans une scène composée d'objets polyédriques ou sphériques. Ces bornes donnent en particulier l'espoir que la complexité des structures de données globales comme le complexe de visibilité ne soit pas nécessairement prohibitive. Les bornes sur les polytopes sont également les premières à tirer parti des propriétés structurelles des scènes composées de triangles organisés en polytopes de facon réaliste, c'est à dire non nécessairement disjoints. Ces bornes induisent enfin les premières bornes non triviales sur la complexité des ombres induites par des sources lumineuses non ponctuelles. Les résultats presentés dans cette thèse améliorent significativement l'état de l'art sur les propriétés combinatoires des structures de visibilité en trois dimensions et devraient favoriser les développements algorithmiques futurs pour ces problèmes.

La physique des très hautes énergies nécessite une description cohérente des quatre forces fondamentales. La géométrie non commutative représente un cadre mathématique prometteur qui a déjà permis d'unifier la relativité générale et le modèle standard, au niveau classique, grâce au principe de l'action spectrale. L'étude des théories quantiques de champs sur des espaces non commutatifs est une première étape vers la quantification de ce modèle. Celles-ci ne sont pas simplement obtenues en récrivant les théories commutatives sur des espaces non commutatifs. En effet, ces tentatives ont révélé un nouveau type de divergences, appelé mélange ultraviolet/infrarouge, qui rend ces modèles non renormalisables. H. Grosse et R. Wulkenhaar ont montré, sur un exemple, qu'une modification du propagateur restaure la renormalisabilité. L'étude de la généralisation de cette méthode est le cadre de cette thèse. Nous avons ainsi étudié deux modèles sur espace de Moyal qui ont permis de préciser certains aspects des théories non commutatives. En espace x, la principale difficulté technique est due aux oscillations de l'interaction. Nous avons donc généralisé les résultats de T. Filk afin d'exploiter au mieux ces oscillations. Nous avons pu ainsi distinguer deux types de mélange, renormalisable ou pas. Nous avons aussi mis en lumière la notion d'orientabilité : le modèle de Gross-Neveu non commutatif orientable est renormalisable sans modification du propagateur. L'adaptation de l'analyse multi-échelles à la base matricielle a souligné l'importance du graphe dual et représente un premier pas vers une formulation des théories de champs indépendante de l'espace sous-jacent.

Les polyominos sont souvent représentés par des mots de quatre lettres ou des mots de changements de direction décrivant leur contour. La combinatoire des mots classique y joue donc un rôle descriptif important, particulièrement dans le choix d'un représentant canonique. Les mots de Lyndon fournissent, de façon naturelle, un tel représentant. Une approche systématique pour le calcul de propriétés des polyominos, basée sur une version originale d'une discrétisation du théorème de Green classique en calcul bivarié, est élaborée. Ceci nous a naturellement amené à analyser les propriétés géométriques d'ensembles du réseau discret de rondeur maximale. Pour une taille donnée, ces ensembles minimisent le moment d'inertie par rapport à un axe passant par leur centre de gravité. Nous introduisons la notion de quasi-disque et montrons entre autres que ces ensembles minimaux sont des poIyominos fortement-convexes. Nous développons également un algorithme permettant de les engendrer systématiquement. Un autre aspect concerne des propriétés sur les contours d'ensembles discrets donnant lieu à une nouvelle démonstration d'un résultat de Daurat et Nivat sur les points dits saillants et rentrants d'un polyomino. Nous présentons également une généralisation de ce résultat aux réseaux hexagonaux et montrons que le résultat est faux pour les autres réseaux semi-réguliers. Nous poursuivons par l'introduction d'opérations de mélange spéciaux sur des mots décrivant des chemins discrets selon la suite de leurs changements de direction. Ces opérations de mélange permettent d'engendrer des courbes fractales du type courbe de dragon et d'analyser certains de leurs invariants. Finalement, une généralisation aux dimensions supérieures des algorithmes précédents basés sur le théorème de Green discret, est présentée. Plus particulièrement, nous développons une version discrète du théorème de Stokes basée sur des familles de poids sur les hypercubes de dimension k dans l'espace discret Zn, k ≤ n. Quelques applications sont également décrites. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Géométrie discrète, Combinatoire des mots, Ensembles discrets, Polyominos, Quasi-disques, Chemins polygonaux, Courbes de dragon, Théorème de Green discret, Théorème de Stokes discret, Algorithmes.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

L'objet de ce travail est l'utilisation de certains formalismes non classiques (analyses non standard, analyses constructives) afin de proposer des bases théoriques nouvelles autour des problèmes de discrétisations d'objets continus. Ceci est fait en utilisant un modèle discret du système des nombres réels appelé droite d'Harthong-Reeb ainsi que la méthode arithmétisation associée qui est un processus de discrétisation des fonctions continues. Cette étude repose sur un cadre arithmétique non standard. Dans un premier temps, nous utilisons une version axiomatique de l'arithmétique non standard. Puis, dans le but d'améliorer le contenu constructif de notre méthode, nous utilisons une autre approche de l'arithmétique non standard découlant de la théorie des Ω-nombres de Laugwitz et Schmieden. Cette seconde approche amène à une représentation discrète et multi-résolution de fonctions continues.Finalement, nous étudions dans quelles mesures, la droite d'Harthong-Reeb satisfait les axiomes de Bridges décrivant le continu constructif.

Ce manuscrit présente une synthèse de mes travaux de recherche effectués au sein de l'IRMAR depuis mon arrivée à l'université de Rennes 1 en 2004. Il tente de dégager les idées directrices qui sous-tendent cette recherche, portant sur l'étude des singularités des germes de fonctions réelles à travers des relations d'équivalence après résolution des singularités, tout en se permettant à l'occasion de rentrer dans quelques détails en vue d'illustrer les méthodes utilisées.

La L-théorie classique d'un anneau commutatif est construite à partir des formes quadratiques sur cet anneau modulo une relation d'équivalence lagrangienne. Nous construisons la L-théorie dérivée, à partir des formes quadratiques $n$-décalées sur un anneau commutatif dérivé. Nous montrons que les formes $n$-décalées qui admettent un lagrangien possèdent une forme standard. Nous montrons des résultats de chirurgie pour la L-théorie dérivée, qui permettent de réduire une forme quadratique décalée en une forme plus simple équivalente. On compare la L-théorie dérivée avec la L-théorie classique.On définit un champ dérivé des formes quadratiques dérivées, et un champ dérivé des lagrangiens dans une forme, qui sont localement algébriques de présentation finie. On calcule les complexes tangents, et on trouve des points lisses. On montre un résultat de rigidité pour la L-théorie : la L-théorie d'un anneau commutatif est isomorphe à celle d'un voisinage hensélien de cet anneau. Enfin, on définit l'algèbre de Clifford d'une forme quadratique n-décalée, qui est une déformation d'une algèbre symétrique en tant qu'E_k-algèbre. On montre un affaiblissement de la propriété d'Azumaya pour ces algèbres, dans le cas d'un décalage nul n=0, qu'on appelle semi-Azumaya. Cette propriété exprime la trivialité de l'homologie de Hochschild du bimodule de Serre. / The classical L-theory of a commutative ring is built from the quadratic forms over this ring modulo a lagrangian equivalence relation.We build the derived L-theory from the n-shifted quadratic forms on a derived commutative ring. We show that forms which admit a lagrangian have a standard form. We prove surgery results for this derived L-theory, which allows to reduce shifted quadratic forms to equivalent simpler forms. We compare classical and derived L-theory.We define a derived stack of shifted quadratic forms and a derived stack of lagrangians in a form, which are locally algebraic of finite presentation. We compute tangent complexes and find smooth points. We prove a rigidity result for L-theory : the L-theory of a commutative ring is isomorphic to that of any henselian neighbourhood of this ring.Finally, we define the Clifford algebra of a n-shifted quadratic form, which is a deformation as E_k-algebra of a symmetric algebra. We prove a weakening of the Azumaya property for these algebras, in the case n=0, which we call semi-Azumaya. This property expresses the triviality of the Hochschild homology of the Serre bimodule.

Le but de ce travail est de comprendre les différents aspects du processus de figuration dans la philosophie de Descartes, en particulier pour une connaissance des corps de la nature. La notion de figure revêt différentes fonctions, des premières œuvres de Descartes jusqu’aux plus tardives : fonction méthodique de représentation conventionnelle des relations entre nos notions, objet géométrique, mode de l’étendue assigné par la métaphysique à la réalité des corps, délimitation externe de corps sensibles ou de corpuscules invisibles dans la physique. Nous cherchons à rendre compte de ces dimensions dans leur ensemble pour comprendre comment la pensée de Descartes évolue des Regulae aux textes plus tardifs et s’efforce de répondre à un problème nouveau qui ne se posait pas pour la scolastique, celui de la connaissance de la figure de corps déterminés. Ce problème peut se poser parce que la métaphysique à la fois établit la figure comme mode essentiel de l’étendue des corps et refuse a priori de recourir à la sensation pour la connaissance, mais il se pose aussi en termes purement épistémologiques pour la constitution d’une physique. Nous montrons qu’une clé de ce problème réside dans la théorie de la vision présentée dans la Dioptrique, mais que ce texte appelle en partie son propre dépassement en direction d’une physique corpusculaire qui met en jeu un usage spécifique de l’imagination et de l’expérience. Ceci doit nous permettre de repenser, à partir de la notion de figure, ce qu’il a été convenu de considérer comme un aspect de la mathématisation de la nature opérée au XVIIe siècle. / My aim, in this dissertation, is to explore the various aspects of the process of figuration in Descartes’ philosophy, particularly with respect to the knowledge of natural bodies. Moving from Descartes’ early to his more mature works, we find that the notion of figure (or shape) played a variety of roles: it possessed a methodological function, as a conventional representation of the relations between our notions, but also designated, respectively, a geometrical object, a mode of extension assigned by metaphysics to the reality of bodies, and an external delimitation of sensible bodies or of invisible corpuscles in physics. In analyzing these different functions, my aim is to understand how Descartes’ thought evolved from the Regulae to later texts, while trying to answer a new problem that did not exist for the scholastics, namely that of the knowledge of the shape of determined bodies. This problem arose partly because Descartes’ metaphysics had established shape as an essential mode of bodily extension, while at the time refusing a priori to appeal to sensation for knowledge, but it also emerged for purely epistemological reasons in the process of constituting a new physics. In my thesis, I argue that one key to this problem is to be found in the theory of vision, presented in the Dioptrique, a text that moves, however, towards a corpuscular physics that relies on a specific use of imagination and experience. From this analysis of the notion of figure or shape, we are able to shed a different light on what so far has been considered an integral aspect of the 17th century’s mathematisation of nature.

Les navires océanographiques de l’Ifremer utilisent des équipements acoustiques de type SONAR afin d’étudier les ressources marines et de caractériser la nature des fonds. Dans certaines conditions de navigation, un entrainement d’air est généré sous la surface libre suite à l’interaction de la houle avec la coque et/ou l’interaction des mouvements du navire avec la surface libre. Des bulles d’air sont ainsi formées et entrainées par l’écoulement sous la coque du navire, ce qui contrarie fortement les performances des équipements acoustiques. L’objectif de cette thèse est de caractériser finement le phénomène de génération de bulles autour de navires dans un bassin de circulation à houle et courant. En tout premier lieu, cette thèse a permis d’étudier l’influence de la géométrie de l’étrave sur le phénomène de bullage. La fréquence d’occurrence et la dynamique des nuages de bulles ont été analysées en 2D autour de trois modèles d’étraves pour différentes configurations d’essais. Ensuite, une étude fine du phénomène a été réalisée et a permis une caractérisation 3D des nuages de bulles générés et propagés autour de la carène. Les bulles ont été caractérisées à l’aide d’une sonde optique. Ces mesures ont permis de calculer les diamètres, les vitesses et le taux de vide des bulles. Enfin, des mesures PIV2D2C et Stéréo-PIV autour de différentes carènes ont permis de corréler l’écoulement hydrodynamique avec la génération et la propagation de bulles. Les résultats obtenus permettent d’identifier les zones où l’interaction entre l’écoulement et l’étrave est prononcée mais aussi la position des bulles générées et propagées. Ils fournissent une base de données intéressante pour les concepteurs de coques des navires et pourraient être utilisés pour la validation de futurs modèles numériques. / The oceanographic research ships of Ifremer use acoustic equipments "SONAR" to study marine resources and to characterize seabeds. Under certain environmental conditions, air entrainment is generated below the free surface due to the interaction between waves and hull and/or the interaction of the ship motions with the free surface. Air bubbles are formed and driven by the flow under the ship hull, which hinders the performance of the acoustic equipment and limits the exploitable sea conditions for acoustic prospecting. The objective of this work is to characterize the phenomenon of bubble generation around different bow models in a wave and current circulating tank. First, this PhD thesis allowed us to study the influence of the bow geometry on the phenomenon. The occurrence frequency and the dynamic of bubble clouds were analyzed in 2D around three bow models for different tested configurations. In the second stage, a detailed study of the phenomenon was carried out and allowed a 3D characterization of the bubble clouds generated and propagated around the hull. An optical probe was used to measure diameters, velocities and void fraction of bubbles generated by breaking bow waves. Finally, PIV2D2C and Stereo-PIV measurements around the different bow models allowed to correlate the hydrodynamic flow field with bubble generation. The obtained results allow to identify the zones where the interaction between the flow and the bow is pronounced and then the position of the bubbles generated and propagated. These results provide an interesting database for ship hull designers and could be used for the validation of future numerical models.

Le théorème de Gauss sur les sommes de 3 carrés relie le nombre de points entiers primitifs sur la sphère de rayon la racine carrée de n au nombre de classes d'un ordre quadratique imaginaire. En 2011, Edixhoven a esquissée une preuve du théorème de Gauss en utilisant une approche de la géométrie arithmétique. Il a utilisé l'action du groupe orthogonal spécial sur la sphère et a donné une bijection entre l'ensemble des SO3(Z)-orbites de tels points, si non vide, avec l'ensemble des classes d'isomorphisme de torseurs sous le stabilisateur. Ce dernier ensemble est un groupe, isomorphe au groupe des classes d'isomorphisme de modules projectifs de rang 1 sur l'anneau Z[1/2, √- n], ce qui donne une structure d'espace affine sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère. Au chapitre 3 de cette thèse, nous donnons une démonstration complète du théorème de Gauss suivant les travaux d'Edixhoven. Nous donnons aussi une nouvelle preuve du théorème de Legendre sur l'existence d'une solution entière primitive de l'équation x2 + y2 + z2 = n en utilisant la théorie des faisceaux. Nous montrons au chapitre 4 comment obtenir explicitement l'action, donnée par la méthode des faisceaux, du groupe des classes sur l'ensemble des SO3(Z)-orbites sur la sphère en termes de SO3(Q). / Gauss's theorem on sums of 3 squares relates the number of primitive integer points on the sphere of radius the square root of n with the class number of some quadratic imaginary order. In 2011, Edixhoven sketched a different proof of Gauss's theorem by using an approach from arithmetic geometry. He used the action of the special orthogonal group on the sphere and gave a bijection between the set of SO3(Z)-orbits of such points, if non-empty, with the set of isomorphism classes of torsors under the stabilizer group. This last set is a group, isomorphic to the group of isomorphism classes of projective rank one modules over the ring Z[1/2, √- n]. This gives an affine space structure on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere. In Chapter 3 we give a complete proof of Gauss's theorem following Edixhoven's work and a new proof of Legendre's theorem on the existence of a primitive integer solution of the equation x2 + y2 + z2 = n by sheaf theory. In Chapter 4 we make the action given by the sheaf method of the Picard group on the set of SO3(Z)-orbits on the sphere explicit, in terms of SO3(Q). / De stelling van Gauss over sommen van 3 kwadraten relateert het aantal primitieve gehele punten op de bol van straal de vierkantswortel van n aan het klassengetal van een bepaalde imaginaire kwadratisch orde. In 2011 schetste Edixhoven een ander bewijs van deze stelling van Gauss metbehulp van aritmetische meetkunde. Hij gebruikte de actie van de special orthogonale groep op de bol en gaf een bijectie tussen de verzameling van SO3(Z)-banen van dergelijke punten, als die niet leeg is, met de verzameling van isomor_e klassen van torsors onder de stabilisator groep. Deze laatste verzameling is een groep, isomorf met de groep van isomor_e klassen van projectieve rang _e_en modulen over de ring Z[1/2, √- n]. Dit geeft een a_ene ruimte structuur op de verzameling van SO3(Z)-banen op de bol. In Hoofdstuk 3 geven we een volledig bewijs van de stelling van Gauss zoals geschetst door Edixhoven, en een nieuw bewijs van Legendre's stelling over het bestaan van een primitieve gehele oplossing van de vergelijking x2 +y2 +z2 = n met schoven theorie. In hoofdstuk 4 maken we de werking gegeven door de schoven theorie van de Picard groep op de verzameling van SO3(Z)-banen op de bol expliciet, in termen van SO3(Q).