Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le résultat principal de cette thèse est de donner une définition de géodésique sur les supervariétés riemanniennes $(\ca,g)$ paires (et aussi impaires) et de la justifier par un théorème reliant les courbes géodésiques avec le flot géodésique sur $\text{T}^*\ca$. Pour ce faire, nous construisons la 2-forme symplectique canonique sur $\text{T}^*\ca$ et l'analogue $H$ de la fonctionnelle énergie dans le contexte des supervariétés. Nous prenons ainsi le flot du champ de vecteurs hamiltonien associé à $H$ que nous nommons "flot géodésique''. Alors, nous relions les supergéodésiques, que nous définissons à l'aide de la dérivée covariante comme des courbes à vitesse auto-parallèle, avec le flot géodésique via des conditions initiales adaptées aux supervariétés. Une autre définition de géodésique a été proposée en 2006 par O. Goertsches mais ces courbes ne sont pas en bijection avec les courbes intégrales du flot géodésique que nous construisons. Notre définition de géodésique semble donc présenter plus d'avantages. Par ailleurs, nous pouvons, à l'aide du flot, construire l'application exponentielle. Nous en profitons pour démontrer le résultat, bien connu au cas de cadre des variétés classiques (non-graduées), de linéarisation des isométries en utilisant l'exponentielle. Dans la dernière partie, nous redémontrons un résultat de J. Monterde et O.M. Sánchez-Valenzuela concernant l'intégration des champs de vecteur pairs, impairs et aussi non homogènes dans le but d'éviter d'utiliser un modèle de Batchelor. Ceci permet par exemple, de généraliser leurs résultats aux supervariétés holomorphes. / We give a natural definition of geodesics on a Riemannian supermanifold $(\ca, g)$ and extend the usual geodesic flow on $T^*M$ associated to the underlying Riemannian manifold $(M,g)$ to a geodesic "superflow" on $T^*\ca$. Integral curves of this flow turn out to be in natural bijection with geodesics on $\ca$. We also construct the corresponding exponential map and generalize the well-known faithful linearization of isometries to Riemannian supermanifolds. We give also a new proof of the Monderde et al. result about flows of non-homogeneous supervector fields. We give a treatment which allows extensions for instance to the holomorphic category. The original proof given by Monderde et al. is only applicable to split supermanifolds, since their proofs relied on Batchelor's Theorem. Finally, we reproves a characterization of vector fields whose flows are local $\sbb$-actions of an appropriate Lie supergroups structure

Dans cette thèse nous présenterons un travail relatif à la théorie des (a,b)-modules. Nous nous intéresserons en particulier à trois problèmes liés à la dualité des (a,b)-modules: l'existence de formes hermitiennes, la symétrie des suites de Jordan-Hölder et la relation avec les "higher residue pairings" de K. Saito. Dans la première partie on étudie les équivalents des concepts de conjugué, adjoint et de forme hermitienne dans le contexte des (a,b)-modules. Dans notre analyse des formes hermitiennes nous sont amenés à définir la notion de (a,b)-module indécomposable et à montrer l'analogue du théorème de Krull-Schmidt dans la théorie des modules sur un anneau commutatif. On montre par la suite l'existence de formes ou bien hermitiennes ou anti-hermitiennes sur les modules réguliers indécomposables auto-adjoints et on donne un exemple non trivial de rang 4 admettant uniquement une forme anti-hermitienne. Suit une étude des suites de Jordan-Hölder de (a,b)-modules auto-adjoints. L'intérêt se porte en particulier sur les suites de Jordan-Hölder dites elles aussi auto-adjointes et on en montre l'existence, pour tout (a,b)-module régulier auto-adjoint. En guise de conclusion on applique les résultats obtenus aux (a,b)-modules associés à une hypersurface à singularité isolée, c'est-à-dire au complété formel de son module de Brieskorn. On montre que le symétrisé de l'isomorphisme avec l'adjoint donné par R. Belgrade satisfait aux axiomes donnés par K. Saito dans la présentation de ses "higher residue pairings" / In this thesis we present a work regarding the theory of (a,b)-modules. We are particularly interested in three problems related to the duality of (a,b)-modules: the existence of hermitian forms, the symmetry of Jordan-Hölder composition series and the relation with the "higher residue pairings" of K. Saito. In the first part we study the concepts of conjugate, adjoint and hermitian form in the theory of (a,b)-modules. Our analysis of hermitian forms brings us to the proof of the analogue of the Krull-Schmidt theorem in the theory of modules over a commutative ring. We prove afterwards the existence of either a hermitian or an anti-hermitian form on regular indecomposable self-adjoint (a,b)-modules and we give a non trivial rank 4 example of module that admits only an anti-hermitian form. Follows a study of the Jordan-Hölder composition series of self-adjoint (a,b)-modules. We are in particular interested in a kind of composition series also called self-ajoint, whose existence we prove for every regular self-adjoint (a,b)-module. In the last part the results obtained are applied to (a,b)-modules associated to a hyper-surface with an isolated singularity, i.e. to the formal completion of the Brieskorn module. We show that a symmetrized form of the isomorphism with the adjoint given by R. Belgrade satisfies the axioms given by Saito for his "higher residue pairings"

Dans cette thèse on étudie la géométrie systolique des variétés de Bieberbach. La \emph{systole} d'une variété riemannienne compacte et non simplement connexe $(M^n,g)$ est l'infimum des longueurs des courbes fermées non contractiles; le \emph{rapport systolique} est le quotient $(\mathrm{systole})^n/\mathrm{volume}$. Un résultat fondamental de Gromov assure que si $M^n$ est essentielle, il existe une constante $c(M)$ strictement positive telle que, pour toute métrique $g$ sur $M^n$: $Vol(M,g) \geq c(M) Sys(M,g)^n$. Les surfaces compactes autres que $S^2$ sont essentielles, et le théorème de Gromov est une généralisation profonde des mêmes résultats pour le tore $T^2$ (C. Loewner), pour le plan projectif (M. Pu) et pour la bouteille de Klein (C. Bavard). Pour ces variétés la constante $c(M)$ est bien connu mais en dimension supérieure, on ne connait pratiquement rien en dehors de l'existence de cette constante. Nous nous intéressons aux variétés de Bieberbach de dimension 3, c'est à dire aux variétés compactes de dimension 3 qui portent une métrique riemannienne plate, qui ne sont pas des tores et démontrons que les métriques plates ne sont pas optimales pour le rapport systolique.

Cette thèse s'intéresse à des complexes monocyclopentadiényles à bras phosphazène des métaux du groupe 4. L'objectif était de générer des espèces capables de s'autoactiver grâce à une interaction entre le phosphazène et le métal, ou du moins de faciliter l'activation nécessaire, pour former une espèce cationique super acide de Lewis du type Catalyseur à Géométrie Contrainte. Une étude théorique des systèmes présentant l'arrangement “Cp-P=N” montre que cette interaction est favorisée dans le complexe neutre, et qu'elle stabilise le complexe cationique. Plusieurs ligands monocyclopentadiényles à bras phosphazène ont été synthétisés, selon deux modèles : “Cp-Si-N=P” et “Cp-P=N”. Ces systèmes offrent une structure particulièrement modulable. L'alcane élimination entre les ligands et le tétrabenzylzirconium a permis d'obtenir les complexes monocyclopentadiényle benzylzirconium à bras phosphazène correspondants. Ces complexes présentent des structures originales, par les modes de coordination des ligands (notamment une hapticité très rarement observée η1 pour le ligand fluorényle), et par les effets électroniques et stériques subtils qui favorisent ou non la coordination du bras phosphazène au centre métallique.

Dans ce travail nous nous intéressons aux systèmes dynamiques du point de vue de l'entropie. Nous rappellons tout d'abord le formalisme des structures d'entropie introduit par T.Downarowicz. Dans ce cadre on donne en particulier une preuve élémentaire du principe variationnel pour l'entropie de queue et on généralise certaines structures d'entropie aux endomorphismes.<br>Dans un deuxième temps, nous reprenons l'approche semi-algébrique de Y. Yomdin et M. Gromov pour contrôler la dynamique locale des applications de classe $C^r$. On présente une preuve complète du lemme algébrique de Gromov, qui est un point clé de la théorie de Yomdin. Aussi nous déduisons de nouvelles applications dynamiques de cette théorie : d'une part nous bornons l'entropie de queue mesurée en fonction de l'exposant de Lyapounov ; d'autre part nous généralisons une formule due à J.Buzzi pour l'entropie k-dimensionnelle d'un produit d'applications de classe $C^{\infty}$.<br>On s'intéresse enfin à la théorie des extensions symboliques due à M.Boyle et T.Downarowicz pour les applications $C^r$ et affines par morceaux du plan. On exhibe en particulier des exemples de dynamique $C^r$ de l'intervalle ayant une grande entropie d'extension symbolique. Nous donnerons aussi une borne de l'entropie d'extensions symboliques pour les applications affines par morceaux du plan.

Les maillages polygonaux sont des représentations géométriques de plus en plus utilisées pour encoder des formes dans un ordinateur, en raison de leur versatilité, et de leur compatibilité avec les dispositifs d'acquisition 3D. Dans le cadre de cette thèse d'habilitation, nous nous proposons d'étudier différentes maniérés de discrétiser des équations aux dérivées partielles sur ces maillages, ainsi que des applications aux domaines du plaquage de textures, de la conversion entre maillages et Splines, de la visualisation scientifique et de la simulation de la lumière.

Cette thèse présente Cabri-géomètre, un logiciel d'aide à l'enseignement de la géométrie. Cabri-géomètre est un cahier de brouillon interactif, un micromonde qui permet de construire et d'explorer les figures de la géométrie euclidienne plane. Il est notamment possible de modifier la position des objets dits quelconques et de voir évoluer la figure en temps réel. Toutes les actions sur la figure se font par manipulation directe (en les désignant avec une souris) des objets impliques. Le terme de micromonde recouvre les environnements d'apprentissage dans lesquels l'apprenant construit lui-même ses connaissances en expérimentant et en étudiant les phénomènes du domaine. Dans une première partie, nous présentons quelques généralités sur l'enseignement intelligemment assiste par ordinateur, les tendances de recherche et la place de cabri-géomètre sur l'éventail des réalisations actuelles. Dans une deuxième partie, nous exposons les spécifications de ce micromonde en insistant notamment sur les problèmes rencontres lors de la définition des interfaces et de la représentation informatique de la structure logique des figures de géométrie