On étudie des variétés presque hermitiennes de dimension 6 qui admettent une réduction supplémentaire à SU(3), induite par la partie de type (3,0) de la différentielle de la forme de Kähler dω. On se sert du fait constaté par Hitchin qu'une 2-forme ω et une 3-forme ψ, d'un certain type algébrique, sont suffisantes pour définir une structure SU(3) sur une variété de dimension 6, ainsi que du fait démontré par Chiossi, Salamon que les différentielles de ω, ψ mais aussi de φ, le dual de Hodge de ψ, déterminent le 1-jet de cette structure SU(3) en tout point. L'exemple privilégié de cette situation, où la réduction est globale, est celui des variétés « nearly Kähler » non kähleriennes en dimension 6, appelées par nous variétés de Gray. On classifie les variétés de Gray homogènes ce qui permet de résoudre une ancienne conjecture de Gray et Wolf : toutes les variétés strictement « nearly Kähler » homogènes sont des espaces 3-symétriques. Un autre résultat concerne une sous-variété naturelle de l'espace de twisteurs d'une variété presque hermitienne. Cet « espace de twisteurs réduit » est muni d'une structure presque complexe naturelle qu'on montre n'être intégrable que si la variété est localement conforme à une variété kählerienne, Bochner-plate ou à la sphère S6. En passant, on montre que les variétés de type W1+W4 dans la classification de Gray, Hervella (où W1 est la classe des variétés « nearly-Kähler » et W4 la classe des variétés localement conformément kähleriennes) sont localement conformes à des variétés nearly-Kähler, en dimension 6.

Dans cette thèse, on étudie plusieurs sujets sur la géométrie des variétés rationnellement connexes. Une variété complexe est dite rationnellement connexe si par deux points généraux, il passe une courbe rationnelle. Le premier sujet qu'on étudie est la base d'une fibration lagrangienne d'une variété projective irréductible symplectique de dimension quatre. On prouve qu'il y a aux plus deux possibilités pour la base. Dans la deuxième partie, on classifie certain type de variétés de Fano. Enfin, on étudie les structures des variétés rationnellement connexes singulières qui portent des pluri-formes non nulles / In this dissertation, we study several subjects on the geometry of rationally connected varieties. A complex variety is called rationally connected if for two general points, there is a rational curve passing through them. The first subject we study is the base of a Lagrangian fibration of a projective irreducible symplectic fourfold. We prove that there are at most two possibilities for the base. In the second part, we classify certain type of Fano varieties. In the end, we study the structures of singular rationally connected varieties which carry non-zero pluri-forms

Certains athlètes pratiquant la course en fauteuil roulant utilisent des gants durs pour obtenir l’adhérence nécessaire leur permettant de pousser le fauteuil avec leurs bras et le balancement de leur corps d’avant en arrière. Dans le cadre d’un projet de recherche visant à améliorer les performances des athlètes, une étude portant sur le contact gant – cerceau a été menée. Plusieurs opportunités d’amélioration sont présentées pour améliorer les gants durs et ainsi éviter les glissements en condition de pluie et les rebonds de la main sur le cerceau. Deux paramètres majeurs influent sur la performance : la forme du gant et le matériau permettant l’adhérence avec le cerceau. La forme du gant optimale dépend de la configuration de l’assise de chaque athlète ainsi que de la manière de pousser. À la suite d’une étude théorique et expérimentale, il a été conclu qu’une rainure en forme de V modelée directement dans un gant dur augmente la force normale aux surfaces et ainsi contribue à améliorer l’adhérence sur le cerceau. Cette rainure placée sur l’avant du gant, dans la zone d’impact, ne doit pas présenter un angle d’ouverture trop resserré pour permettre une sortie rapide du cerceau dans la zone de dégagement située en arrière du gant. Le matériau permettant l’adhérence sur le cerceau doit avoir des aspérités de tailles adaptées à la vitesse d’impact du gant sur le cerceau, et à la présence potentielle d’eau. Le matériau recherché doit également résister à l’usure de frottement pour permettre à l’athlète de terminer la course sans difficulté. Au final, le matériau suède semble répondre à tous ces critères : assez résistant, il présente un revêtement qui garde une certaine adhérence sur le cerceau en condition de pluie.

Dans cette thèse nous présenterons un travail relatif à la théorie des (a,b)-modules. Nous nous intéresserons en particulier à trois problèmes liés à la dualité des (a,b)-modules: l'existence de formes hermitiennes, la symétrie des suites de Jordan-Hölder et la relation avec les "higher residue pairings" de K. Saito. Dans la première partie on étudie les équivalents des concepts de conjugué, adjoint et de forme hermitienne dans le contexte des (a,b)-modules. Dans notre analyse des formes hermitiennes nous sont amenés à définir la notion de (a,b)-module indécomposable et à montrer l'analogue du théorème de Krull-Schmidt dans la théorie des modules sur un anneau commutatif. On montre par la suite l'existence de formes ou bien hermitiennes ou anti-hermitiennes sur les modules réguliers indécomposables auto-adjoints et on donne un exemple non trivial de rang 4 admettant uniquement une forme anti-hermitienne. Suit une étude des suites de Jordan-Hölder de (a,b)-modules auto-adjoints. L'intérêt se porte en particulier sur les suites de Jordan-Hölder dites elles aussi auto-adjointes et on en montre l'existence, pour tout (a,b)-module régulier auto-adjoint. En guise de conclusion on applique les résultats obtenus aux (a,b)-modules associés à une hypersurface à singularité isolée, c'est-à-dire au complété formel de son module de Brieskorn. On montre que le symétrisé de l'isomorphisme avec l'adjoint donné par R. Belgrade satisfait aux axiomes donnés par K. Saito dans la présentation de ses "higher residue pairings".

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Le résultat principal de cette thèse est de donner une définition de géodésique sur les supervariétés riemanniennes $(\ca,g)$ paires (et aussi impaires) et de la justifier par un théorème reliant les courbes géodésiques avec le flot géodésique sur $\text{T}^*\ca$. Pour ce faire, nous construisons la 2-forme symplectique canonique sur $\text{T}^*\ca$ et l'analogue $H$ de la fonctionnelle énergie dans le contexte des supervariétés. Nous prenons ainsi le flot du champ de vecteurs hamiltonien associé à $H$ que nous nommons "flot géodésique''. Alors, nous relions les supergéodésiques, que nous définissons à l'aide de la dérivée covariante comme des courbes à vitesse auto-parallèle, avec le flot géodésique via des conditions initiales adaptées aux supervariétés. Une autre définition de géodésique a été proposée en 2006 par O. Goertsches mais ces courbes ne sont pas en bijection avec les courbes intégrales du flot géodésique que nous construisons. Notre définition de géodésique semble donc présenter plus d'avantages. Par ailleurs, nous pouvons, à l'aide du flot, construire l'application exponentielle. Nous en profitons pour démontrer le résultat, bien connu au cas de cadre des variétés classiques (non-graduées), de linéarisation des isométries en utilisant l'exponentielle. Dans la dernière partie, nous redémontrons un résultat de J. Monterde et O.M. Sánchez-Valenzuela concernant l'intégration des champs de vecteur pairs, impairs et aussi non homogènes dans le but d'éviter d'utiliser un modèle de Batchelor. Ceci permet par exemple, de généraliser leurs résultats aux supervariétés holomorphes. / We give a natural definition of geodesics on a Riemannian supermanifold $(\ca, g)$ and extend the usual geodesic flow on $T^*M$ associated to the underlying Riemannian manifold $(M,g)$ to a geodesic "superflow" on $T^*\ca$. Integral curves of this flow turn out to be in natural bijection with geodesics on $\ca$. We also construct the corresponding exponential map and generalize the well-known faithful linearization of isometries to Riemannian supermanifolds. We give also a new proof of the Monderde et al. result about flows of non-homogeneous supervector fields. We give a treatment which allows extensions for instance to the holomorphic category. The original proof given by Monderde et al. is only applicable to split supermanifolds, since their proofs relied on Batchelor's Theorem. Finally, we reproves a characterization of vector fields whose flows are local $\sbb$-actions of an appropriate Lie supergroups structure

Dans cette thèse nous présenterons un travail relatif à la théorie des (a,b)-modules. Nous nous intéresserons en particulier à trois problèmes liés à la dualité des (a,b)-modules: l'existence de formes hermitiennes, la symétrie des suites de Jordan-Hölder et la relation avec les "higher residue pairings" de K. Saito. Dans la première partie on étudie les équivalents des concepts de conjugué, adjoint et de forme hermitienne dans le contexte des (a,b)-modules. Dans notre analyse des formes hermitiennes nous sont amenés à définir la notion de (a,b)-module indécomposable et à montrer l'analogue du théorème de Krull-Schmidt dans la théorie des modules sur un anneau commutatif. On montre par la suite l'existence de formes ou bien hermitiennes ou anti-hermitiennes sur les modules réguliers indécomposables auto-adjoints et on donne un exemple non trivial de rang 4 admettant uniquement une forme anti-hermitienne. Suit une étude des suites de Jordan-Hölder de (a,b)-modules auto-adjoints. L'intérêt se porte en particulier sur les suites de Jordan-Hölder dites elles aussi auto-adjointes et on en montre l'existence, pour tout (a,b)-module régulier auto-adjoint. En guise de conclusion on applique les résultats obtenus aux (a,b)-modules associés à une hypersurface à singularité isolée, c'est-à-dire au complété formel de son module de Brieskorn. On montre que le symétrisé de l'isomorphisme avec l'adjoint donné par R. Belgrade satisfait aux axiomes donnés par K. Saito dans la présentation de ses "higher residue pairings" / In this thesis we present a work regarding the theory of (a,b)-modules. We are particularly interested in three problems related to the duality of (a,b)-modules: the existence of hermitian forms, the symmetry of Jordan-Hölder composition series and the relation with the "higher residue pairings" of K. Saito. In the first part we study the concepts of conjugate, adjoint and hermitian form in the theory of (a,b)-modules. Our analysis of hermitian forms brings us to the proof of the analogue of the Krull-Schmidt theorem in the theory of modules over a commutative ring. We prove afterwards the existence of either a hermitian or an anti-hermitian form on regular indecomposable self-adjoint (a,b)-modules and we give a non trivial rank 4 example of module that admits only an anti-hermitian form. Follows a study of the Jordan-Hölder composition series of self-adjoint (a,b)-modules. We are in particular interested in a kind of composition series also called self-ajoint, whose existence we prove for every regular self-adjoint (a,b)-module. In the last part the results obtained are applied to (a,b)-modules associated to a hyper-surface with an isolated singularity, i.e. to the formal completion of the Brieskorn module. We show that a symmetrized form of the isomorphism with the adjoint given by R. Belgrade satisfies the axioms given by Saito for his "higher residue pairings"