This master thesis explores the properties of three different definitions of the mean on a Lie group : the Riemannian Center of Mass, the Riemannian exponential barycenter and the group exponential barycenter.

Les systèmes polynomiaux réels sont omniprésents dans de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées. A. Khovanskii a fourni une borne fewnomiale supérieure sur le nombre de solutions positives non-dégénérées d'un système polynomial réel de n équations à n variables qui ne dépend que du nombre de monômes apparaissant dans les équations. Cette dernière borne a été récemment améliorée par F. Bihan et F. Sottile, mais la borne résultante peut être encore améliorée, même dans certains cas simples.Le but de ce travail est d'aborder trois problèmes importants dans la théorie des Fewnomials. Considérons une famille de systèmes polynomiaux réels avec une structure donnée (par exemple, support ou le nombre de monômes). Un problème est de trouver de bonnes bornes supérieures pour leurs nombres de solutions réelles (ou positives). Un autre problème est de construire des systèmes dont le nombre de solutions réelles (ou positives) sont proches de la meilleure borne supérieure connue. Lorsqu'une borne supérieure optimale est bien connue, qu'est ce qu'on peut dire dans le cas où elle est atteinte?Dans cette thèse, nous affinons un résultat de M. Avendaño en démontrant que le nombre de points d'intersection réels d'une droite réelle avec une courbe réelle plane définie par un polynôme avec au plus t monômes est soit infini ou ne dépasse pas $6t -7$. En outre, on montre que notre borne est optimale pour t=3 en utilisant les dessins d'enfant réels de Grothendieck. Cela montre que le nombre maximal de points d'intersection réels d'une droite réelle avec une courbe trinomiale réelle plane est onze.Nous considérons ensuite le problème de l'estimation du nombre maximal de points d'intersection transverses positifs d'une courbe plane trinomiale et d'une courbe plane t-nomiale. T-Y Li, J.-M. Rojas et X. Wang ont montré que ce nombre est borné par 2^t - 2, et récemment P. Koiran, N. Portier et S. Tavenas ont trouvé la borne supérieure 2t^3/3 +5t. Nous fournissons la borne supérieure $ 3*2^(t-2) - 1 qui est optimale pour t = 3 et est la plus petite pour t=4,...,9. Ceci est réalisé en utilisant la notion de dessins d'enfant réels. De plus, nous étudions en détail le cas t = 3 et nous donnons une restriction sur les supports des systèmes atteignant la borne optimale cinq.Un circuit est un ensemble de n+ 2 points dans $mathbb{R}^n$ qui sont minimalement affinement dépendants. Il est connu qu'un système supporté sur un circuit a au plus n+1 solutions positives non dégénérées, et que cette borne est optimale. Nous utilisons les dessins d'enfant réels et le patchwork combinatoire de Viro pour donner une caractérisation complète des circuits supportant des systèmes polynomiaux avec le nombre maximal de solutions positives non dégénérées.Nous considérons des systèmes polynomiaux de deux équations à deux variables avec cinq monômes distincts au total. Ceci est l'un des cas les plus simples où la borne supérieure optimale sur le nombre de solutions positives non dégénérées n'est pas connue. F. Bihan et F. Sottile ont prouvé que cette borne optimale est majorée par quinze. D'autre part, les meilleurs exemples avaient seulement cinq solutions positives non dégénérées.Nous considérons des systèmes polynomiaux comme avant, mais défini sur le corps des séries de Puiseux réelles généralisées et localement convergentes. Les images par l'application de valuation des solutions d'un tel système sont des points d'intersection de deux courbes tropicales planes. En utilisant des intersections non transverses des courbes tropicales planes, on obtient une construction d'un système polynomial réel comme ci-dessus ayant sept solutions positives non dégénérées. / Real polynomial systems are ubiquitous in many areas of pure and applied mathematics. A. Khovanskii provided a fewnomial upper bound on the number of non-degenerate positive solutions of a real polynomial system of $n$ equations in n variables that depends only on the number of monomials appearing in the equations. The latter bound was recently improved by F. Bihan and F. Sottile, but the resulting bound still has room for improvement, even in some simple cases.The aim of this work is to tackle three main problems in Fewnomial theory. Consider a family of real polynomial systems with a given structure (for instance, supports or number of monomials). One problem is to find good upper bounds for their numbers of real (or positive) solutions. Another problem is to construct systems whose numbers of real (or positive) solutions are close to the best known upper bound. When a sharp upper bound is known, what can be said about reaching it?In this thesis, we refine a result by M. Avendaño by proving that the number of real intersection points of a real line with a real plane curve defined by a polynomial with at most t monomials is either infinite or does not exceed 6t -7. Furthermore, we prove that our bound is sharp for t=3 using Grothendieck's real dessins d'enfant. This shows that the maximal number of real intersection points of a real line with a real plane trinomial curve is eleven.We then consider the problem of estimating the maximal number of transversal positive intersection points of a trinomial plane curve and a t-nomial plane curve. T-Y Li, J.-M. Rojas and X. Wang showed that this number is bounded by 2^t-2, and recently P. Koiran, N. Portier and S. Tavenas proved the upper bound 2t^3/3 +5t. We provide the upper bound 3*2^{t-2} - 1 that is sharp for t=3 and is the tightest for t=4,...,9. This is achieved using the notion of real dessins d'enfant. Moreover, we study closely the case t=3 and give a restriction on the supports of systems reaching the sharp bound five.A circuit is a set of n+2 points in mathbb{R}^n that is minimally affinely dependent. It is known that a system supported on a circuit has at most n+1 non-degenerate positive solutions, and that this bound is sharp. We use real dessins d'enfant and Viro's combinatorial patchworking to give a full characterization of circuits supporting polynomial systems with the maximal number of non-degenerate positive solutions.We consider polynomial systems of two equations in two variables with a total of five distinct monomials. This is one of the simplest cases where the sharp upper bound on the number of non-degenerate positive solutions is not known. F. Bihan and F. Sottile proved that this sharp bound is not greater than fifteen. On the other hand, the best examples had only five non-degenerate positive solutions. We consider polynomial systems as before, but defined over the field of real generalized locally convergent Puiseux series. The images by the valuation map of the solutions of such a system are intersection points of two plane tropical curves. Using non-transversal intersections of plane tropical curves, we obtain a construction of a real polynomial system as above having seven non-degenerate positive solutions.

La complexité arithmétique est l’étude des ressources nécessaires pour calcu- ler des polynômes en n’utilisant que des opérations arithmétiques. À la fin des années 70, Valiant a défini (de manière semblable à la complexité booléenne) des classes de polynômes. Les polynômes, ayant des circuits de taille polyno- miale, considérés faciles forment la classe VP. Les sommes exponentielles de ces derniers correpondent alors à la classe VNP. L’hypothèse de Valiant est la conjecture que VP ̸= VNP.Bien que cette conjecture soit encore grandement ouverture, cette dernière semble toutefois plus accessible que son homologue booléen. La structure algé- brique sous-jacente limite les possibilités de calculs. En particulier, un résultat important du domaine assure que les polynômes faciles peuvent aussi être cal- culés efficacement en paralèlle. De plus, quitte à autoriser une augmentation raisonnable de la taille, il est possible de les calculer avec une profondeur de calcul bornée par une constante. Comme ce dernier modèle est très restreint, de nombreuses bornes inférieures sont connues. Nous nous intéresserons en premier temps à ces résultats sur les circuits de profondeur constante.Bürgisser a montré qu’une conjecture (la τ-conjecture) qui borne supérieu- rement le nombre de racines de certains polynômes univariés, impliquait des bornes inférieures en complexité arithmétique. Mais, que se passe-t-il alors, si on essaye de réduire, comme précédemment, la profondeur du polynôme consi- déré? Borner le nombre de racines réelles de certaines familles de polynômes permetterait de séparer VP et VNP. Nous étudierons finalement ces bornes su- périeures sur le nombre de racines réelles. / Arithmetic complexity is the study of the required ressources for computing poynomials using only arithmetic operations. In the last of the 70s, Valiant defined (similarly to the boolean complexity) some classes of polynomials. The polynomials which have polynomial size circuits form the class VP. Exponential sums of these polynomials correspond to the class VNP. Valiant’s hypothesis is the conjecture that VP is different tVNP.Although this conjecture is still open, it seems more accessible than its boolean counterpart. The induced algebraic structure limits the possibilities of the computation. In particular, an important result states that the low de- gree polynomials can be efficiently computed in parallel. Moreover, if we allow a fair increasement of the size, it is possible to compute them with a constant depth. As this last model is very particular, some lower bounds are known.Bürgisser showed that a conjecture (τ-conjecture) which bounds the number of roots of some univariate polynomials, implies lower bounds in arithmetic complexity. But, what happens if we try to reduce as before the depth of the circuits for the polynomials? Bounding the number of real roots of some families of polynomials would imply a separation between VP and VNP. Finally we willstudy these upper bounds on the number of real roots.

L'objet de cette thèse est une description effective des espaces de modules des courbes hyper- elliptiques de genre 3 en caractéristiques positives. En caractéristique nulle ou impaire, on obtient une paramétrisation de ces espaces de modules par l'intermédiaire des algèbres d'invariants pour l'action du groupe spécial linéaire sur les espaces de formes binaires de degré 8, qui sont de type fini. Suite aux travaux de Lercier et Ritzenthaler, les cas des corps de caractéristiques 3, 5 et 7 restaient ouverts. Pour ces derniers, les méthodes classiques de la caractéristique nulle sont inno- pérantes pour l'obtention de générateurs pour les algèbres d'invariants en jeu. Nous nous sommes donc contenté d'exhiber des invariants séparants en caractéristiques 3 et 7. En outre, nos résultats concernant la caractéristique 5 suggèrent l'inadéquation de cette approche pour ce cas. À partir de ces résultats, nous avons pu expliciter la stratification des espaces de modules des courbes hyperelliptiques de genre 3 en caractéristiques 3 et 7 selon les groupes d'automorphismes et implémenté divers algorithmes, dont celui de Mestre, pour la reconstruction d'une courbe à partir de son module, ie la valeur de ses invariants. Pour cette phase de reconstruction, nous nous sommes notamment attaché aux questions arithmétiques, comme l'existence d'une obstruction à être un corps de définition pour le corps de module et, dans le cas contraire, à l'obtention d'un modèle de la courbe sur ce corps minimal. Enfin pour la caractéristique 2, notre approche est différente, dans la mesure où les courbes sont étudiées via leur modèle d'Artin-Schreier. Nous exhibons pour celles-ci des invariants bigradués qui dépendent de la structure arithmétique des points de ramifications des courbes. / The aim of this thesis is to provide an explicite description of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in positive characteristic. Over a field of characteristic zero or odd, a parame- terization of these moduli spaces is given via the algebra of invariants of binary forms of degree 8 under the action of the special linear group. After the work of Lercier and Ritzenthaler, the case of fields of characteristic 3, 5 and 7 are still open. However, in these remaining case, the classical methods in characteristic zero do not work in order to provide generators for these algebra of invariants. Hence we provide only separating invariants in characteristic 3 and 7. Furthermore our results in characteristic 5 show this approach is not suitable. From these results, we describe the stratification of the moduli spaces of genus 3 hyperelliptic curves in characteristic 3 and 7 according to the automorphism groups of the curves and imple- ment algorithms to reconstruct a curve from its invariants. For this reconstruction stage, we paid attention to arithmetic issues, like the obstruction to be a field of definition for the field of moduli. Finally, in the characteristic 2 case, we use a different approach, given that the curves are defined by their Artin-Schreier models. The arithmetic structure of the ramification points of these curves stratify the moduli space in 5 cases and we define in each case invariants that characterize the isomorphism class of hyperelliptic curves.

L'étude de la répartition des points rationnels ou algébriques d'une variété algébrique selon leur hauteur est un problème classique de géométrie diophantienne. Dans cette thèse, nous nous intéresserons au cardinal asymptotique de l'ensemble des points algébriques de degré fixé et de hauteur bornée d'une variété lisse de Fano définie sur un corps de nombres, lorsque la borne sur la hauteur tend vers l'infini. En particulier nous montrerons que cette question peut-être reliée à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre, c'est-à-dire le cas des points rationnels, sur un schéma de Hilbert ponctuel. Nous en déduisons ainsi la distribution des points algébriques de degré fixé d'une courbe rationnelle. Lorsque la variété de départ est une surface lisse de Fano, notre étude montre que les schémas de Hilbert associés fournissent, sous certaines conditions, de nouveaux contre-exemples à la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. Néanmoins, pour deux surfaces que nous étudions en détail, les schémas de Hilbert associés vérifient une version légèrement affaiblie de la conjecture de Batyrev-Manin-Peyre. / The study of the distribution of rational or algebraic points of an algebraic variety according to their height is a classic problem in Diophantine geometry. In this thesis, we will be interested in the asymptotic cardinality of the set of algebraic points of fixed degree and bounded height of a smooth Fano variety defined over a number field, when the bound on the height tends to infinity. In particular, we show that this can be connected to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture, i.e. the case of rational points, on some ponctual Hilbert scheme. We thus deduce the distribution of algebraic points of fixed degree on a rational curve. When the variety is a smooth Fano surface, our study shows that the associated Hilbert schemes provide, under certain conditions, new counterexamples to the Batyrev-Manin-Peyre conjecture. However, in two cases detailed in this thesis, the associated Hilbert schemes satisfie a slightly weaker version of the Batyrev-Manin-Peyre conjecture.

Dans cette thèse, nous établissons un résultat de symétrie miroir dans une gamme de cas pour lesquelles les techniques habituelles reposant sur la concavité ou sur la convexité ne fonctionnent pas. Plus précisément, nous travaillons sur la théorie quantique des singularités développée par Fan,Jarvis, Ruan et Witten, et vue comme un analogue de la théorie de Gromov--Witten via la correspondance LG/CY. Notre résultat principal donne une formule explicite pour le cycle virtuel de Polishchuk et Vaintrob en genre zéro. Dans les cas non-concaves des polynômes dits inversibles, elle nous procure un théorème de compatibilité entre le cycle virtuel de Fan--Jarvis--Ruan--Witten et celui de Polishchuk--Vaintrob. Pour les polynômes qui sont de plus de type chaine, nous obtenons une preuve d'un théorème de symétrie miroir pour la théorie FJRW. Enfin, nous généralisons notre résultat principal et calculons le produit d'intersection entre la classe de Chern maximale du fibré de Hodge et le cycle virtuel en genre quelconque. Spécifié au cas de la théorie des courbes $3$-spin, ceci mène à la preuve d'une conjecture de Buryak sur l'équivalence entre la hiérarchie DR et la hiérarchie $3$-KdV. / In this thesis, we provide a mirror symmetry theorem in a range of cases where the state-of-the-art techniques relying on concavity or convexity do not apply. More specifically, we work on a family of FJRW potentials named after Fan, Jarvis, Ruan, and Witten's quantum singularity theory and viewed as the counterpart of a non-convex Gromov--Witten potential via the physical LG/CY correspondence. The main result provides an explicit formula for Polishchuk and Vaintrob's virtual cycle in genus zero. In the non-concave case of the so-called chain invertible polynomials, it yields a compatibility theorem with the FJRW virtual cycle and a proof of mirror symmetry for FJRW theory. At last, we generalize our main theorem to the computation of intersection numbers between the top Chern class of the Hodge bundle and the virtual cycle in arbitrary genus. In the case of $3$-spin theory, it leads to a proof of Buryak's conjecture on the equivalence between double ramification hierarchy and $3$-KdV hierarchy.

Les espaces de modules de Riemann répondent au problème de la classification des surfaces de Riemann compactes d'un genre donné. Le sujet de cette thèse est la cohomologie de l'espace des modules des courbes d'un genre donné avec un certain nombre de points marqués. La description de cet anneau a été initiée par D. Mumford puis C. Faber avait proposé une description de l'anneau tautologique des espaces de modules sans points marqués. Une première source de relations provient des relations A. Pixton démontrées par A. Pixton, R. Pandharipande et D. Zvonkine mais on ne sait pas si elles sont complètes. Une autre source de relations utilisée dans ce travail sont les relations de A. Buryak, S. Shadrin et D. Zvonkine. Avant cette thèse, il y avait peu de résultats sur l'anneau tautologique d'espaces de modules de courbes avec un nombre quelconque de points marqués. Cette thèse donne une description complète des l'anneaux tautologiques des espaces de modules de courbes de genres 0, 1, 2, 3 et 4. Un des résultats ayant demandé beaucoup de travail est le groupe de degré 2 de l'anneau tautologique des espaces de modules de courbes lisses de genre 4. Ce groupe demande un travail sur l'annulation de certaines classes tautologiques sur le bord de la compactification de Deligne-Mumford de l'espace des modules en plus d'un astucieux travail numérique. L'espace des modules des courbes réelles de genre 0 et sa théorie de l'intersection sont également étudiés. On peut alors démontrer plusieurs résultats analogues à ceux obtenus dans le cas complexe comme l'équation de la corde. On démontre une formule donnant les nombres d'intersection. / The problem of the moduli spaces of compact Riemann surfaces is the problem of the classification of compact Riemann surfaces of a certain genus. The topic of this thesis is the cohomology of the moduli spaces of curves of a certain genus with marked points and more precisely its subbring called tautological ring. The description of the tautological ring has been initiated by D. Mumford, then C. Faber conjectured a description of the moduli space of curves without marked points. A source of tautological relations are Pixton's relations proven by A. Pixton, R. Pabndharipande and D. Zvonkine. Another source of relations are relations of A. Buryak, S. Shadrin and D. Zvonkine. Before this thesis, there were only few results on the tautological ring of curves with any number of marked points. This thesis gives a complete description of the tautological rings of moduli curves of genera 0, 1, 2, 3 and 4 with any number of marked points. A result which needed a lot of work is the group of degree 2 of the tautological ring of the moudli space of smooth curves of genus 4. We need to work on the vanishing of some tautological classes on the boundary of the Deligne-Mumford compactification of the moduli space of curves and a clever numerical work.The moduli space of real curves of genus 0 and its intersection theory are also studied. Then we can show several results which are analogous to results in the complex case like the string equation. One result of this thesis is a formula giving intersection numbers of products of xi classes.x

Dans cette thèse, nous étudions certains invariants birationnels des variétés projectives lisses, en lien avec les questions de rationalité de ces variétés. Elle se compose de trois chapitres qui peuvent être lus indépendamment.Dans le premier chapitre, nous étudions, pour certaines familles de variétés, certains invariants birationnels stables, nuls pour l'espace projectif, apparaissant naturellement avec les formules de Manin. D'une part, nous montrons que l'invariant birationnel qu'est le groupe des cycles de torsion de codimension 3 contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne est pour, les hypersurfaces cubiques complexes de dimension 5, contrôlé par l'invariant birationnel de sa variété des droites donné par le groupe des 1-cycles de torsion contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne. D'autre part on établit la nullité du groupe de Griffiths des 1-cycles pour la variété des droites d'une hypersurface de l'espace projectif sur un corps algébriquement clos de caractérsitique 0, lorsque celle-ci est lisses et de Fano d'indice au moins 3.Les deux derniers chapitres se concentrent sur des aspects différents d'une propriété invariante par équivalence birationnelle stable introduite récemment par Voisin: l'existence d'une décomposition de Chow de la diagonale. Dans le second chapitre, nous étendons à la caractéristique positive p > 2 une partie des résultats obtenus par Voisin sur la décomposition de Chow de la diagonale des hypersurfaces cubiques complexes de dimension 3.Dans le dernier chapitre, on étudie la notion de dimension CH0 essentielle introduite par Voisin et reliée à l’existence d’une décomposition de Chow de la diagonale en ce que dire d’une variété qu’elle est de dimension CH0 essentielle nulle équivaut à affirmer l’existence d’une décomposition de Chow de sa diagonale. Nous présentons des conditions suffisantes (et nécessaires) pour assurer qu’une variété complexe dont le groupe des 0-cycle est trivial et dont la dimension CH_0 essentielle est au plus 2 est de dimension CH_0 essentielle nulle. / In this thesis, we study some birational invariants of smooth projective varieties, in view of rationality questions for these varieties. It consists of three parts, that can be read independently.In the first chapter, we study, for some families of varieties, some stable birational invariants, that vanish for projective space and that appear naturally with Manin formulas. On one hand, we show for complex cubic 5-folds that the birational invariant given by the group of torsion codimension 3 cycles annihilated by the Deligne cycle map is controlled by the group of torsion 1-cycles of its variety of lines annihilated by the Deligne cycle map. We also prove that the Griffiths group of 1-cycles for the variety of lines of a hypersurface of the projective space over an algebraically closed field of characteristic 0, is trivial when the variety is smooth and Fano of index at least 3.The two last chapters focus on different aspects of the Chow-theoretic decomposition of the diagonal, a property which is invariant under stable birational equivalence, recently introduced by Voisin. In the second chapter, we adapt in characteristic greater than 2, part of the results, obtained by Voisin over the complex numbers, on the decomposition of the diagonal of cubic threefolds.In the last chapter, we study the concept of essential CH_0-dimension introduced by Voisin and related to the decomposition of the diagonal in that having essential CH_0-dimension 0 is equivalent to admitting a Chow-theoretic decomposition of the diagonal. We give sufficient (and necessary) conditions, for a complex variety with trivial group of 0-cycles, having essential CH_0-dimension non greater than 2 to admit a Chow-theoretic decomposition of the diagonal.

Ce mémoire a deux objectifs principaux. Premièrement de développer et interpréter les groupes de cohomologie de Hochschild de basse dimension et deuxièmement de borner la dimension cohomologique des k-algèbres par dessous; montrant que presque aucune k-algèbre commutative est quasi-libre. / The aim of this master’s thesis is two-fold. Firstly to develop and interpret the low dimensional Hochschild cohomology of a k-algebra and secondly to establish a lower bound for the Hochschild cohomological dimension of a k-algebra; showing that nearly no commutative k-algebra is quasi-free.

Travail réalisé en cotutelle avec l'université Paris-Diderot et le Commissariat à l'Energie Atomique sous la direction de John Harnad et Bertrand Eynard. / Cette thèse traite des aspects géométriques et d'intégrabilité associés aux modèles de matrices aléatoires. Son but est de présenter diverses applications des modèles de matrices aléatoires allant de la géométrie algébrique aux équations aux dérivées partielles des systèmes intégrables. Ces différentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modèles de matrices possèdent une grande richesse d'un point de vue mathématique. Ainsi, cette thèse abordera d'abord l'étude de la jonction de deux intervalles du support de la densité des valeurs propres au voisinage d'un point singulier. On montrera plus précisément en quoi ce régime limite particulier aboutit aux équations universelles de la hiérarchie de Painlevé II des systèmes intégrables. Ensuite, l'approche des polynômes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra d'énoncer des problèmes de Riemann-Hilbert et d'isomonodromies associés aux modèles de matrices, faisant ainsi le lien avec la théorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modèles à deux matrices hermitiens se transpose à un cas dégénéré de la théorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors généralisé. La méthode des équations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de développement topologique permettra quant à elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de géométrie algébrique introduits récemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera également l'objet d'une généralisation aux modèles de matrices non-hermitien (beta quelconque) ouvrant ainsi la voie à la ``géométrie algébrique quantique'' et à la généralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes ``quantiques''. Enfin, une dernière partie sera consacrée aux liens étroits entre les modèles de matrices et les problèmes de combinatoire. En particulier, l'accent sera mis sur les aspects géométriques de la théorie des cordes topologiques avec la construction explicite d'un modèle de matrices aléatoires donnant le dénombrement des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilisées en théorie des cordes topologiques. L'étendue des domaines abordés étant très vaste, l'objectif de la thèse est de présenter de façon la plus simple possible chacun des domaines mentionnés précédemment et d'analyser en quoi les modèles de matrices peuvent apporter une aide précieuse dans leur résolution. Le fil conducteur étant les modèles matriciels, chaque partie a été conçue pour être abordable pour un spécialiste des modèles de matrices ne connaissant pas forcément tous les domaines d'application présentés ici. / This thesis deals with the geometric and integrable aspects associated with random matrix models. Its purpose is to provide various applications of random matrix theory, from algebraic geometry to partial differential equations of integrable systems. The variety of these applications shows why matrix models are important from a mathematical point of view. First, the thesis will focus on the study of the merging of two intervals of the eigenvalues density near a singular point. Specifically, we will show why this special limit gives universal equations from the Painlevé II hierarchy of integrable systems theory. Then, following the approach of (bi) orthogonal polynomials introduced by Mehta to compute partition functions, we will find Riemann-Hilbert and isomonodromic problems connected to matrix models, making the link with the theory of Jimbo, Miwa and Ueno. In particular, we will describe how the hermitian two-matrix models provide a degenerate case of Jimbo-Miwa-Ueno's theory that we will generalize in this context. Furthermore, the loop equations method, with its central notions of spectral curve and topological expansion, will lead to the symplectic invariants of algebraic geometry recently proposed by Eynard and Orantin. This last point will be generalized to the case of non-hermitian matrix models (arbitrary beta) paving the way to ``quantum algebraic geometry'' and to the generalization of symplectic invariants to ``quantum curves''. Finally, this set up will be applied to combinatorics in the context of topological string theory, with the explicit computation of an hermitian random matrix model enumerating the Gromov-Witten invariants of a toric Calabi-Yau threefold. Since the range of the applications encountered is large, we try to present every domain in a simple way and explain how random matrix models can bring new insights to those fields. The common element of the thesis being matrix models, each part has been written so that readers unfamiliar with the domains of application but familiar with matrix models should be able to understand it.