On considère le groupe de Heisenberg $\He_n=\R^{2n+1}$ avec la distance de Carnot-Carathéodory $d_c$ et la mesure de Lebegue $\Lg^{2n+1}$. Dans le premier chapitre, dans le cadre du problème du voyageur de commerce géométrique de $\Hei$, on construit une courbe de longueur finie qui ne vérifie pas le critère de Ferrari, Franchi et Pajot au sujet des ensembles contenus dans une courbe rectifiable. On montre aussi une inégalité sur le déterminant jacobien des applications de contraction sur un point qui suivent les géodésiques. Cette inégalité est essentiellement équivalente à la Propriété de Contraction de Mesure $MCP(0,2n+3)$. Grâce à cette proprété on répond positivement au Chapitre 2 à une question d'Ambrosio et Rigot à propos du transport de mesure dans $\He_n$ (travail en commun avec Figalli). Il s'avère en effet que les mesures traversées par une géodésique de l'espace de Wasserstein sont absolument continues dès qu'une extrémité de la géodésique l'est. Au Chapitre 3 on démontre que la Courbure-Dimension $CD(K,N)$ définie par transport de mesure n'est pas vérifiée pour $\He_n$ et que cela vaut quels que soient les paramètres $K\in\R$ et $N\in[1,+\infty]$. On discute aussi d'autres propriétés de courbures dans le cas du groupe de Heisenberg. Le Chapitre 4 est dédié à la correspondance entre l'équation de la chaleur sous-elliptique et le flot de gradient de l'entropie de Bolzmann dans l'espace de Wassertein.

Cette thèse de doctorat est consacrée à la cohomologie cyclique périodique des produits croisés généralisés. Ces derniers sont des C*-algèbres construites à partir d'un bimodule hilbertien. Notre étude s'organise en deux axes complémentaires : un résultat général valable pour les produits croisés généralisés lisses à croissance modérée et un résultat spécifique aux variétés de Heisenberg quantiques. Dans un premier temps, nous introduisons une classe de " versions lisses " des produits croisés généralisés, que nous appelons " produits croisés généralisés lisses à croissance modérée ". Notre premier résultat est que sur ces algèbres, les foncteurs k-stables, invariants sous difféotopie et semi-exacts (comme la cohomologie cyclique périodique) donnent naissance à un hexagone exact analogue à la suite de Pimsner-Voiculescu. Pour prouver cette propriété, nous nous appuierons sur les travaux de Cuntz et tout particulièrement sur la notion de contexte de Morita. Dans un second temps, nous illustrons cette construction en l'appliquant aux variétés de Heisenberg quantiques (QHM). En tirant profit de l'action du groupe de Heisenberg H3 sur les QHM, nous construisons des représentants explicites de la K-théorie et de la cohomologie cyclique. Nous pouvons alors effectuer des calculs explicites d'appariements de Chern-Connes. En combinant ces calculs avec la suite exacte à 6 termes de la première partie, nous construisons des bases explicites de la cohomologie cyclique périodique des QHM. Notre second résultat est donc une description relativement complète et totalement explicite de la K-théorie et de la cohomologie cyclique périodique des QHM.

Cette thèse étudie la généralisation des inégalités de Gagliardo Nirenberg précisées sur les groupes de Lie stratifiés. Dans le cas euclidien il existe trois méthodes en fonction de l'exposant p qui caractérise l'espace de Sobolev. La première série d'inégalités concerne les espaces de Sobolev avec p>1. La démonstration de ces estimations découle de la caractérisation des espaces fonctionnels avec une analyse de Littlewood Paley. Pour traiter le cas p=1 il est nécessaire d'utiliser une autre technique. Nous allons utiliser les propriétés du noyau de la chaleur en généralisant la pseudo inégalité de Poincaré. Ce cas permet l'étude de l'espace de fonction BV, mais ne permet pas de considérer un espace de Sobolev dans le membre de gauche des inégalités. La troisième méthode de démonstration se base sur une décomposition en ondelettes à support compact et la généralisation au groupe de Heisenberg reste ouverte. On traite aussi des généralisations sur certains groupes de Lie et on discute une caractérisation de l'espace BV en termes d'espaces de Besov sur le groupe 2-adique

L'objectif de cette thèse est l'étude d'une classe d'équations aux dérivées partielles sous-elliptiques semi-linéaires avec un potentiel singulier sur le groupe de Heisenberg. Le terme non linéaire de cette équation est contrôlée par les inégalités de Sobolev et la singularité est contrôlé par l'inégalité de Hardy. Ce problème est une généralisation du problème classique de l'espace euclidien. Le premier résultat de cette thèse est une généralisation de l'inégalité classique Hardy avec un potentiel singulier dont la croissance est exactement l'analogue de celle du cas classique. Le second résultat est d'établir l'existence de solution du problème de Dirichlet semi-linéaire avec un potentiel singulier sur le groupe de Heisenberg en utilisant la théorie de points critiques, comme le théorème de Rabinowitz et de Palais-Smale.

Première partie : Le retournement de mot est une opération de réécriture liée à une présentation (de semigroupe dans ce travail). Dans les bons cas, le retournement donne une solution au problème de mot. Sinon, il existe un moyen d'ajouter des relations à une présentation pour la rendre complète. D'un autre côté, les bases de Gröbner fournissent un moyen de compléter une présentation qui résout le problème de mot. On montre que les deux méthodes sont différentes ; une classification des divergences est proposée. On introduit ensuite une extension du retournement pour contourner le défaut de complétude de certaines présentations et on montre son efficacité sur la présentation d'Heisenberg — qui est incomplète. Deuxième partie : On se restreint aux présentations d'Artin-Tits des monoïdes de tresses. On montre que la distance combinatoire maximale entre deux mots de tresse équivalents est au moins quartique en leur largeur. On montre des critères simples pour qu'un diagramme de van Kampen (ou un diagramme de retournement) réalise la distance combinatoire entre deux mots équivalents. On calcule ensuite des bornes pour deux nombres liés au retournement de mot, et plus particulièrement pour les mots de tresse de largeurs arbitrairement grandes : le premier est, partant d'un mot, la longueur maximale d'une suite de retournements et le second la longueur du mot terminal (qui existe et est unique) d'une telle suite. Pour le premier, on montre une minoration quartique en la longueur du mot de départ ; pour le second, on établit une majoration cubique en la longueur.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux thèmes d'analyse géométrique. Le premier concerne le comportement asymptotique des fonctions harmoniques en relation avec la géométrie, sur des graphes et des variétés. Nous étudions des critères de convergence au bord des fonctions harmoniques, comme celui de la bornitude non-tangentielle, de la finitude de l'énergie ou encore de la densité de l'énergie. Nous nous plaçons pour cela dans différents cadres comme les graphes hyperboliques au sens de Gromov, les variétés hyperboliques au sens de Gromov, les graphes de Diestel-Leader ou encore dans un cadre abstrait pour obtenir des résultats pour les points du bord minimal de Martin. Les méthodes probabilistes utilisées exploitent le lien entre les fonctions harmoniques et les martingales. Le deuxième thème abordé dans cette thèse concerne l'étude des propriétés des ensembles rectifiables de dimension 1 dans le groupe de Heisenberg, en relation avec des opérateurs d'intégrales singulières. Nous étendons à ce contexte sous-riemannien une partie des résultats de la théorie des ensembles uniformément rectifiables de David et Semmes. Nous obtenons notamment un théorème géométrique du voyageur de commerce qui fournit une condition pour qu'un ensemble Ahlfors-régulier du premier groupe de Heisenberg soit contenu dans une courbe Ahlfors-régulière.

Dans cette thèse, nous nous intéressons à deux thèmes d'analyse géométrique. Le premier concerne le comportement asymptotique des fonctions harmoniques en relation avec la géométrie, sur des graphes et des variétés. Nous étudions des critères de convergence au bord des fonctions harmoniques, comme celui de la bornitude non-tangentielle, de la finitude de l'énergie ou encore de la densité de l'énergie. Nous nous plaçons pour cela dans différents cadres comme les graphes hyperboliques au sens de Gromov, les variétés hyperboliques au sens de Gromov, les graphes de Diestel-Leader ou encore dans un cadre abstrait pour obtenir des résultats pour les points du bord minimal de Martin. Les méthodes probabilistes utilisées exploitent le lien entre les fonctions harmoniques et les martingales. Le deuxième thème abordé dans cette thèse concerne l'étude des propriétés des ensembles rectifiables de dimension 1 dans le groupe de Heisenberg, en relation avec des opérateurs d'intégrales singulières. Nous étendons à ce contexte sous-riemannien une partie des résultats de la théorie des ensembles uniformément rectifiables de David et Semmes. Nous obtenons notamment un théorème géométrique du voyageur de commerce qui fournit une condition pour qu'un ensemble Ahlfors-régulier du premier groupe de Heisenberg soit contenu dans une courbe Ahlfors-régulière. / In this thesis, we are interested in two topics of geometric analysis. The first one is concerned with the asymptotic behaviour of harmonic functions in connection with geometry on graphs and manifolds. We study criteria for convergence at boundary of harmonic functions such as non-tangential boundedness, finiteness of non-tangential energy or finiteness of the energy density. We deal with Gromov hyperbolic manifolds, Gromov hyperbolic graphs, Diestel-Leader graphs and with an abstract frame to obtain criteria at minimal Martin boundary points. The methods, coming from probability theory and metric geometry, use the relation between harmonic functions and martingales. The second topic concerns the rectifiability properties of 1-dimensional sets in the Heisenberg group in connection with the boundedness of singular integral operators. We extend to this sub-Riemannian setting parts of the theory of uniformly rectifiable sets due to David and Semmes. In particular, we obtain a geometric traveling salesman theorem which provides a condition for an Ahlfors regular set of the first Heisenberg group to be contained in an Ahlfors regular curve.

Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

La première partie est consacrée à l'étude du comportement asymptotique des solutions de Navier-Stokes incompressible à l'infini de la variable d'espace. On obtient des résultats optimaux de propagation de la décroissance en terme d'espaces à poids, ainsi qu'un developpement asymptotique de la vitesse et de la pression analogue à la loi de Bernoulli. La théorie s'étend à un modèle de la MHD.<br />La seconde partie est consacrée à l'étude des espaces de Sobolev associés à une famille de champs de vecteurs, de type sous-elliptique. Les principaux résultats sont la description des régularités fractionnaires avec la distance de Carnot, la démonstration d'inégalités de Hardy et, dans le cas du groupe de Heisenberg, la théorie des traces sur une hypersurface caractéristique générique.

Le but de cette thèse est d'étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement peusdoconvexes. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien $\Delta_b$ est discret sur un domaine borné $\Omega \subset M$ d'une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l'inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$, en tant que fonctionnelle sur l'espace ${\mathcal P}_+$ de formes de contact positivement orientées sur $M$ en dotant ${\mathcal P}_+$ d'une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de $\Delta_b$ sur des variétés CR strictement pseudoconvexes ( éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats obtenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l'esprit des inégalités de Payne-P\'lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle $\lambda_1 (\theta )$ du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$ munie d'une forme de contact $\theta$ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.