In this paper, we generalize the notions of polymorphisms and invariant relations to arbitrary categories. This leads us to a Galois connection that coincides with the classical case from universal algebra if the underlying category is the category of sets, but remains applicable no matter how the category is changed. In analogy to the situation in universal algebra, we characterize the Galois closed classes by local closures of clones of operations and local closures of what we will introduce as clones of (generalized) relations. Since the approach is built on purely category-theoretic properties, we will also discuss the dualization of our notions.

In this paper, we generalize the notions of polymorphisms and invariant relations to arbitrary categories. This leads us to a Galois connection that coincides with the classical case from universal algebra if the underlying category is the category of sets, but remains applicable no matter how the category is changed. In analogy to the situation in universal algebra, we characterize the Galois closed classes by local closures of clones of operations and local closures of what we will introduce as clones of (generalized) relations. Since the approach is built on purely category-theoretic properties, we will also discuss the dualization of our notions.

gekürzte Fassung: Coalgebren wurden sowohl in der Mathematik (seit den 70er Jahren) als auch in der theoretischen Informatik (seit den 90er Jahren) untersucht. In der Mathematik sind Coalgebren dual zu universellen Algebren definiert. Sie bestehen aus einer Trägermenge A zusammen mit Cofunktionen ? : A ? , die A in die n-fache disjunkte Vereinigung von sich selbst abbilden. Das Ziel der Forschung ist hier vor allem, duale Versionen von Definitionen und Resultaten aus der universellen Algebra für die Welt der Coalgebren zu finden. Die theoretische Informatik betrachtet Coalgebren von kategorieller Seite aus. Für einen gegebenen Funktor F : C ? C sind Coalgebren als Paare (S,"alpha") definiert, wobei S ein Objekt von C und "alpha" : S ? F(S) ein Morphismus in C ist. Somit stellt der obige Ansatz mit Cofunktionen einen Spezialfall dar. Begriffe wie Homomorphismus oder Bisimularität lassen sich auf einfache Weise ausdrücken und handhaben. Solche Coalgebren modellieren eine große Anzahl von dynamischen Systemen. Das liefert eine kanonische und vereinheitlichende Sicht auf diese Systeme. Die vorliegende Dissertation führt beide genannten Forschungsrichtungen der Coalgebren weiter: Teil I beschäftigt sich mit "klassischen" Coalgebren, also solchen, wie sie in der universellen Algebra untersucht werden. Insbesondere wird das Verhältnis zur Klontheorie erforscht. Teil II der Arbeit widmet sich dem kategoriellen Ansatz aus der theoretischen Informatik. Von speziellem Interesse ist hier die Anwendung von Coalgebren zur Spezifikation von Systemen. Coalgebren und Klontheorie In der universellen Algebra spielen Systeme von Funktionen eine bedeutende Rolle, u.a. in der Klontheorie. Dort betrachtet man Funktionen auf einer festen gegebenen Grundmenge. Klone von Funktionen sind Mengen von Funktionen, die alle Projektionen enthalten und die gegen Superposition (d.h. Einsetzen) abgeschlossen sind. Extern lassen sich diese Klone als Galois-abgeschlossene Mengengzgl. der Galois-Verbindung zwischen Funktionen und Relationen darstellen. Diese Galois-Verbindung wird durch die Eigenschaft einer Funktion induziert, eine Relation zu bewahren. Dual zu Klonen von Funktionen wurde von B. Csákány auch Klone von Cofunktionen untersucht. Folglich stellt sich die Frage, ob solche Klone ebenfalls mittels einer geeigneten Galois-Verbindung charakterisiert werden können. Die vorliegende Arbeit führt zunächst den Begriff von Corelationen ein. Es wird auf kanonische Weise definiert, was es heißt, daß eine Cofunktion eine Corelation bewahrt. Dies mündet in einer Galois-Theorie, deren Galois-abgeschlossene Mengen von Cofunktionen tatsächlich genau die Klone von Cofunktionen sind. Überdies entsprechen die Galois-abgeschlossenen Mengen von Corelationen genau den Klonen von Corelationen. Die Galois-Theorien von Funktionen und Relationen einerseits und Cofunktionen und Corelationen anderseits sind sich sehr ähnlich. Das wirft die Frage auf, welche Voraussetzungen allgemein nötig sind, um solche und ähnliche Galois-Theorien aufzustellen und die entsprechenden Galois-abgeschlossenen Mengen zu charakterisieren. Das Ergebnis ist eine Metatheorie, bei der die Gemeinsamkeiten in den Charakterisierungen der Galois-abgeschlossenen Mengen herausgearbeitet sind. Bereits bekannte Galois-Theorien erweisen sich als Spezialfälle dieser Metatheorie, und zwar die Galois-Theorien von partiellen Funktionen und Relationen, von mehrwertigen Funktionen und Relationen und von einstelligen Funktionen und Relationen....

gekürzte Fassung: Coalgebren wurden sowohl in der Mathematik (seit den 70er Jahren) als auch in der theoretischen Informatik (seit den 90er Jahren) untersucht. In der Mathematik sind Coalgebren dual zu universellen Algebren definiert. Sie bestehen aus einer Trägermenge A zusammen mit Cofunktionen ? : A ? , die A in die n-fache disjunkte Vereinigung von sich selbst abbilden. Das Ziel der Forschung ist hier vor allem, duale Versionen von Definitionen und Resultaten aus der universellen Algebra für die Welt der Coalgebren zu finden. Die theoretische Informatik betrachtet Coalgebren von kategorieller Seite aus. Für einen gegebenen Funktor F : C ? C sind Coalgebren als Paare (S,"alpha") definiert, wobei S ein Objekt von C und "alpha" : S ? F(S) ein Morphismus in C ist. Somit stellt der obige Ansatz mit Cofunktionen einen Spezialfall dar. Begriffe wie Homomorphismus oder Bisimularität lassen sich auf einfache Weise ausdrücken und handhaben. Solche Coalgebren modellieren eine große Anzahl von dynamischen Systemen. Das liefert eine kanonische und vereinheitlichende Sicht auf diese Systeme. Die vorliegende Dissertation führt beide genannten Forschungsrichtungen der Coalgebren weiter: Teil I beschäftigt sich mit "klassischen" Coalgebren, also solchen, wie sie in der universellen Algebra untersucht werden. Insbesondere wird das Verhältnis zur Klontheorie erforscht. Teil II der Arbeit widmet sich dem kategoriellen Ansatz aus der theoretischen Informatik. Von speziellem Interesse ist hier die Anwendung von Coalgebren zur Spezifikation von Systemen. Coalgebren und Klontheorie In der universellen Algebra spielen Systeme von Funktionen eine bedeutende Rolle, u.a. in der Klontheorie. Dort betrachtet man Funktionen auf einer festen gegebenen Grundmenge. Klone von Funktionen sind Mengen von Funktionen, die alle Projektionen enthalten und die gegen Superposition (d.h. Einsetzen) abgeschlossen sind. Extern lassen sich diese Klone als Galois-abgeschlossene Mengengzgl. der Galois-Verbindung zwischen Funktionen und Relationen darstellen. Diese Galois-Verbindung wird durch die Eigenschaft einer Funktion induziert, eine Relation zu bewahren. Dual zu Klonen von Funktionen wurde von B. Csákány auch Klone von Cofunktionen untersucht. Folglich stellt sich die Frage, ob solche Klone ebenfalls mittels einer geeigneten Galois-Verbindung charakterisiert werden können. Die vorliegende Arbeit führt zunächst den Begriff von Corelationen ein. Es wird auf kanonische Weise definiert, was es heißt, daß eine Cofunktion eine Corelation bewahrt. Dies mündet in einer Galois-Theorie, deren Galois-abgeschlossene Mengen von Cofunktionen tatsächlich genau die Klone von Cofunktionen sind. Überdies entsprechen die Galois-abgeschlossenen Mengen von Corelationen genau den Klonen von Corelationen. Die Galois-Theorien von Funktionen und Relationen einerseits und Cofunktionen und Corelationen anderseits sind sich sehr ähnlich. Das wirft die Frage auf, welche Voraussetzungen allgemein nötig sind, um solche und ähnliche Galois-Theorien aufzustellen und die entsprechenden Galois-abgeschlossenen Mengen zu charakterisieren. Das Ergebnis ist eine Metatheorie, bei der die Gemeinsamkeiten in den Charakterisierungen der Galois-abgeschlossenen Mengen herausgearbeitet sind. Bereits bekannte Galois-Theorien erweisen sich als Spezialfälle dieser Metatheorie, und zwar die Galois-Theorien von partiellen Funktionen und Relationen, von mehrwertigen Funktionen und Relationen und von einstelligen Funktionen und Relationen....

La première partie de ce mémoire porte sur l’identification aveugle des codes correcteurs d’erreurs non-binaires, travaillant dans le corps de Galois GF(2m). Une étude sur les propriétés des corps de Galois et des codes non-binaires a été conduite afin d’obtenir les éléments indispensables à la mise en oeuvre des méthodes d’identification aveugle. A partir de la seule connaissance des symboles reçus, nous avons développé des méthodes permettant d’identifier les paramètres des codes non-binaires lors d’une transmission non-bruitée et nous avons mis en évidence la pertinence de cette approche lorsque les paramètres de GF(2m) utilisés à l’émission sont connus à la réception. Nous avons aussi mené une étude théorique approfondie pour justifier l’utilisation du critère du rang par la plupart des méthodes d’identification existantes. Dans le cas d’une transmission bruitée, nous avons développé trois algorithmes dédiés à l’identification en aveugle de la taille des mots de code pour des codes binaires et non-binaires. Pour identifier une base du code dual, nous avons généralisé une technique existante pour les codes binaires, basée sur l’utilisation d’un démodulateur à décision ferme, au cas des codes non-binaires. Puis, nous avons amélioré les performances de détection de cette technique en introduisant un processus itératif basé sur l’utilisation conjointe d’un démodulateur à décision souple et d’un algorithme de décodage à décision souple. Dans la deuxième partie de ce mémoire, nous avons tout d’abord proposé un formalisme mathématique pour étudier l’impact des fonctions de mapping-demapping sur la manipulation des données d’un corps de Galois dans le cas des codes non-binaires. Ensuite, nous avons exploité ce formalisme pour détecter et corriger quelques défauts de transmission. Enfin, nous avons étudié l’impact de certaines fonctions de mapping-demapping sur l’identification aveugle des paramètres des codes non-binaires. / In the first part of this thesis, we have focused on the blind identification of non-binary error correcting codes over the Galois field GF(2m). A study of the properties of Galois fields and non-binarycodes has been presented so as to get the essential elements for a blind identification of non-binary codes parameters. From the knowledge of only the received symbols, methods have been developed to identify the code parameters in the case of a noiseless transmission. The relevance of this approach has been highlighted when the parameters of the used Galois field are known bythe receiver. A theoretical study of rank criterion behaviors has been also presented to justify its use by the most existing identification methods. Then, three blind identification methods of the codeword size for binary and non-binary linear codes have been developped in the framework of a noisy transmission. In order to identify a dual code basis, an existing method for binary codes based on the use of a hard decision demodulation has been generalized to non-binary codes. The detection performance of this technique has been improved when an iterative process based on the joint use of a soft-decision demodulator and a soft-decision iterative decoding is introduced. In the second part of this thesis manuscript, a mathematical formalism is proposed in order to investigate the impact of mapping-demapping functions on linear algebra computations and properties over Galois field in the case of non-binary error correcting codes. Finally, this formalism has been exploited to detect or/and correct some digital transmission problems such as a bad synchronization. Finally, we have studied the impact of some mapping-demapping functions on the blind identification ofnon-binary error correcting codes parameters.

[pt] Estudamos a variedade M3 de curvas de gênero três em característica dois. Para cada uma destas curvas calculamos seus possíveis números de pontos de Weierstrass, seus pesos, normalizações de muitos loci no espaço de moduli, entre outras coisas. Tratamos ainda do conceito de ponto de Galois. / [en] We study the variety M3 of curves of genus three in characteristic two. For each of the curves we compute the possible number of Weierstrass points, their weights, normalizations of many loci in the moduli space, and so on. We also deal with the concept of a Galois point.

Neste projeto, propomos estudar a chamada \"Teoria de Corpos de Classe,\" que oferece uma descrição simples das extensões abelianas de corpos locais e globais, bem como algumas de suas aplicações, como os teoremas de Kronecker-Weber e Scholz-Reichardt / In this work, we study the so called \"Class Field Theory\", which give us a simple description of the abelian extension of local and global elds. We also study some applications, like the Kronecker-Weber and Scholz-Reichardt theorems

Les systèmes de téléphonie mobile de 4ème et 5ème générations ont adopté comme techniques de codage de canal les turbocodes, les codes LDPC et les codes polaires binaires. Cependant, ces codes ne permettent pas de répondre aux exigences, en termes d’efficacité spectrale et de fiabilité, pour les réseaux de communications futurs (2030 et au-delà), qui devront supporter de nouvelles applications telles que les communications holographiques, les véhicules autonomes, l’internet tactile … Un premier pas a été fait il y a quelques années vers la définition de codes correcteurs d’erreurs plus puissants avec l’étude de codes LDPC non binaires, qui ont montré une meilleure performance que leurs équivalents binaires pour de petites tailles de code et/ou lorsqu'ils sont utilisés sur des canaux non binaires. En contrepartie, les codes LDPC non binaires présentent une complexité de décodage plus importante que leur équivalent binaire. Des études similaires ont commencé à émerger du côté des turbocodes. Tout comme pour leurs homologues LDPC, les turbocodes non binaires présentent d’excellentes performances pour de petites tailles de blocs. Du point de vue du décodage, les turbocodes non binaires sont confrontés au même problème d’augmentation de la complexité de traitement que les codes LDPC non binaire. Dans cette thèse nous avons proposé une nouvelle structure de turbocodes non binaires en optimisant les différents blocs qui la constituent. Nous avons réduit la complexité de ces codes grâce à la définition d’un algorithme de décodage simplifié. Les codes obtenus ont montré des performances intéressantes en comparaison avec les codes correcteur d’erreur de la littérature. / Nowadays communication standards have adopted different binary forward error correction codes. Turbo codes were adopted for the long term evolution standard, while binary LDPC codes were standardized for the fifth generation of mobile communication (5G) along side with the polar codes. Meanwhile, the focus of the communication community is shifted towards the requirement of beyond 5G standards. Networks for the year 2030 and beyond are expected to support novel forward-looking scenarios, such as holographic communications, autonomous vehicles, massive machine-type communications, tactile Internet… To respond to the expected requirements of new communication systems, non-binary LDPC codes were defined, and they are shown to achieve better error correcting performance than the binary LDPC codes. This performance gain was followed by a high decoding complexity, depending on the field order.Similar studies emerged in the context of turbo codes, where the non-binary turbo codes were defined, and have shown promising error correcting performance, while imposing high complexity. The aim of this thesis is to propose a new low-complex structure of non-binary turbocodes. The constituent blocks of this structure were optimized in this work, and a new low complexity decoding algorithm was proposed targeting a future hardware implementation. The obtained results are promising, where the proposed codes are shown to outperform existing binary and non-binary codes from the literature.

Nous abordons, par une modélisation à base de graphes, deux problèmes de structuration de données. Phylogénie: Nous utilisons la famille de graphes associée à une dissimilarité pour définir la notion nouvelle de distance triangulée, plus générale qu'une distance additive d'arbre. Nous proposons un algorithme d'ajustement de données à une distance triangulée par triangulation des graphes associés. Nous introduisons pour cela le concept nouveau de sous-triangulation maximale, afin de prendre en compte la sous-évaluation intrinsèque des données phylogénétiques. Nous procédons ensuite à une étude théorique complémentaire. Analyse Formelle de Concepts: Nous codons une relation binaire R et son treillis des concepts L(R) par un graphe non orienté co-biparti G(R). Nous montrons que les éléments de L(R) sont en bijection avec les séparateurs minimaux de G(R), et que les chaînes maximales de L(R) sont en bijection avec les triangulations minimales de G(R). Des procédés algorithmiques appliqués à G(R) trouvent ainsi leurs correspondants dans L(R). En particulier, des treillis de taille polynomiale peuvent être obtenus à partir de L(R), par plongement de G(R) dans un graphe faiblement triangulé. Nous mettons ensuite en évidence un ordre de domination sur les modules complets maximaux de G(R), domination qui s'hérite quand on parcourt une chaîne maximale de L(R). Une structure de données, la table de domination, gère dynamiquement les relations de domination. Nous utilisons cette table pour deux applications algorithmiques: - Mise à jour d'une sous-hiérarchie de Galois matérialisant une hiérarchie d'héritage orienté-objet; - Génération efficace d'un treillis des concepts.

Let K be a number field with ring of integers O_K and let G be a finite group.By a result of E. Noether, the ring of integers of a tame Galois extension of K with Galois group G is a locally free O_K[G]-module of rank 1.Thus, to any tame Galois extension L/K with Galois group G we can associate a class [O_L] in the locally free class group Cl(O_K[G]). The set of all classes in Cl(O_K[G]) which can be obtained in this way is called the set of realizable classes and is denoted by R(O_K[G]).In this dissertation we study different problems related to R(O_K[G]).The first part focuses on the following question: is R(O_K[G]) a subgroup of Cl(O_K[G])? When the group G is abelian, L. McCulloh proved that R(O_K[G]) coincides with the so-called Stickelberger subgroup St(O_K[G]) of Cl(O_K[G]). In Chapter 2, we give a detailed presentation of unpublished work by L. McCulloh that extends the definition of St(O_K[G]) to the non-abelian case and shows that R(O_K[G]) is contained in St(O_K[G]) (the opposite inclusion is still not known in the non-abelian case).Then, just using its definition and Stickelberger's classical theorem, we prove in Chapter 3 that St(O_K[G]) is trivial if K=Q and G is either cyclic of order p or dihedral of order 2p, where p is an odd prime number. This, together with McCulloh's results, allows us to have a new proof of the triviality of R(O_K[G]) in the cases just considered.The main original results are contained in the second part of this thesis. In Chapter 4, we prove that St(O_K[G]) has good functorial behavior under restriction of the base field. This has the interesting consequence that, if N/L is a tame Galois extension with Galois group G, and St(O_K[G]) is known to be trivial for some subfield K of L, then O_N is stably free as an O_K[G]-module.In the last chapter, we prove an equidistribution result for Galois module classes amongst tame Galois extensions of K with Galois group G in which a given prime p of K is totally split.