L'objectif de cette thèse est d'appliquer la théorie du contrôle optimal à la dynamique de systèmes quantiques. Le premier point consiste à introduire dans le domaine du contrôle quantique des outils de contrôle optimal initialement développés en mathématique. Cette approche a ensuite été appliquée sur différent types de systèmes quantiques décrit par une grande ou une petite dimension. La première partie du manuscrit introduit les différents outils de contrôles utilisés avec une approche adaptée à un public de physiciens. Dans la seconde partie, ces techniques sont utilisées pour contrôler la dynamique des spins en RMN et IRM. La troisième partie s'intéresse au développement de nouveaux algorithmes itératifs de contrôle optimal appliqués au contrôle par champ laser de la dynamique rotationnelle des molécules linéaires en phases gazeuse ainsi qu'au développement d'une stratégie de contrôle simple permettant de délocaliser une molécule dans un plan. La quatrième partie traite le contrôle en temps minimum d'un condensat de Bose-Einstein à deux composantes. La dernière partie permet de comparer qualitativement et quantitativement les différentes méthodes de contrôle optimal utilisées. Les seconde et troisième parties ont également bénéficier de l'implémentation expérimentale des solutions de contrôle optimal obtenues.

In the first part of this thesis, we introduce a new methodology for stress-test exercises. Our approach allows to consider richer stress-test exercises, which assess the impact of a modification of the whole distribution of asset prices' factors, rather than focusing as the common practices on a single realization of these factors, and take into account the potential reaction to the shock of the portfolio manager. The second part of the thesis is devoted to the pricing of bonds with very long-term time-to-maturity (more than ten years). Modeling the volatility of very long-term rates is a challenge, due to the constraints put by no-arbitrage assumption. As a consequence, most of the no-arbitrage term structure models assume a constant limiting rate (of infinite maturity). The second chapter investigates the compatibility of the so-called "level" factor, whose variations have a uniform impact on the modeled yield curve, with the no-arbitrage assumptions. We introduce in the third chapter a new class of arbitrage-free term structure factor models, which allows the limiting rate to be stochastic, and present its empirical properties on a dataset of US T-Bonds.

Cette thèse porte sur la modélisation, pour le contrôle, des profils de compositions dans les colonnes de distillation cryogénique. Nous obtenons un modèle non-linéaire de convection-diffusion par réduction d'un modèle d'équations-bilans singulièrement perturbé. Du point de vue de l'automatique, nous nous intéressons à la stabilité des profils de compositions résultants, ainsi qu'à leur observabilité. Du point de vue du procédé, la nouvauté de notre modèle réside dans la prise en compte d'une efficacité de garnissage dépendant des conditions d'opération de la colonne. Le modèle est validé par des comparaisons avec des données de fonctionnement dynamique issues d'une unité de séparation réelle, pour la séparation d'un mélange binaire. Sur le cas plus complexe d'une cascade de colonnes séparant un mélange ternaire, le modèle montre une grande sensibilité aux erreurs d'estimation des taux de reflux. Des résultats adaptés du champ de la chromatographie nous permettent de relier cette sensibilité à des erreurs d'estimation des vitesses d'ondes de compositions cohérentes. En parallèle, nous proposons et testons également un modèle de fonctions de transfert simple (fondé sur des gains statiques et des retards purs uniquement) pour les petites dynamiques de compositions, qui dépend explicitement de valeurs mesurables ou observables sur le procédé

Dans cette thèse nous étudions la dynamique engendrée par une famille de flots Hamiltoniens. Un tel système dynamique à plusieurs générateurs est aussi appelé 'polysystème'. Motivés par des questions liées au phénomène de la diffusion d'Arnold, notre objectif est de construire des trajectoires du polysystème qui relient deux régions lointaines de l'espace des phases. La thèse est divisée en trois parties.Dans la première partie, nous considérons le polysystème engendré par les flots discrétisés d'une famille d'Hamiltoniens Tonelli. En utilisant une approche variationnelle issue de la théorie KAM faible, nous donnons des conditions suffisantes pour l'existence des trajectoires souhaitées.Dans la deuxième partie, nous traitons le cas d'un polysystème engendré par un couple de flots Hamiltoniens à temps continu, dont l'étude rentre dans le cadre de la théorie géométrique du contrôle. Dans ce contexte, nous montrons dans certains cas la transitivité d'un polysystème générique, à l'aide du théorème de transversalité de Thom.La dernière partie de la thèse est dédiée à obtenir une nouvelle version du théorème de transversalité de Thom s'exprimant en termes d'ensembles rectifiables de codimension positive. Dans cette partie il n'est pas question de polysystèmes, ni d'Hamiltoniens. Néanmoins, les résultats obtenus ici sont utilisés dans la deuxième partie de la thèse

Les enquêtes par sondage sont utiles pour estimer des caractéristiques d'une populationtelles que le total ou la moyenne. Cette thèse s'intéresse à l'étude detechniques permettant de prendre en compte un grand nombre de variables auxiliairespour l'estimation d'un total.Le premier chapitre rappelle quelques définitions et propriétés utiles pour lasuite du manuscrit : l'estimateur de Horvitz-Thompson, qui est présenté commeun estimateur n'utilisant pas l'information auxiliaire ainsi que les techniques decalage qui permettent de modifier les poids de sondage de facon à prendre encompte l'information auxiliaire en restituant exactement dans l'échantillon leurstotaux sur la population.Le deuxième chapitre, qui est une partie d'un article de synthèse accepté pourpublication, présente les méthodes de régression ridge comme un remède possibleau problème de colinéarité des variables auxiliaires, et donc de mauvais conditionnement.Nous étudions les points de vue "model-based" et "model-assisted" dela ridge regression. Cette technique qui fournit de meilleurs résultats en termed'erreur quadratique en comparaison avec les moindres carrés ordinaires peutégalement s'interpréter comme un calage pénalisé. Des simulations permettentd'illustrer l'intérêt de cette technique par compar[a]ison avec l'estimateur de Horvitz-Thompson.Le chapitre trois présente une autre manière de traiter les problèmes de colinéaritévia une réduction de la dimension basée sur les composantes principales. Nousétudions la régression sur composantes principales dans le contexte des sondages.Nous explorons également le calage sur les moments d'ordre deux des composantesprincipales ainsi que le calage partiel et le calage sur les composantes principalesestimées. Une illustration sur des données de l'entreprise Médiamétrie permet deconfirmer l'intérêt des ces techniques basées sur la réduction de la dimension pourl'estimation d'un total en présence d'un grand nombre de variables auxiliaires

L'objet de cette thèse est d'étudier le comportement en temps long de solutions d'équations d'évolution non locales ainsi que la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations aux dérivées partielles, où intervient un petit paramètre epsilon. Au Chapitre 1, nous considérons une équation de réaction-diffusion non locale avec conservation au cours du temps de l'intégrale en espace de la solution; cette équation a été initialement proposée par Rubinstein et Sternberg pour modéliser la séparation de phase dans un mélange binaire. Le problème de Neumann associé possède une fonctionnelle de Lyapunov, c'est-à-dire une fonctionnelle qui décroit selon les orbites. Après avoir prouvé que la solution est confinée dans une région invariante, nous étudions son comportement en temps long. Nous nous appuyons sur une inégalité de Lojasiewicz pour montrer qu'elle converge vers une solution stationnaire quand t tend vers l'infini. Nous évaluons également le taux de la convergence et calculons précisément la solution stationnaire limite en dimension un d'espace. Le Chapitre 2 est consacré à l'étude de l'équation différentielle non locale que l'on obtient en négligeant le terme de diffusion dans l'équation d'Allen-Cahn non locale étudiée au Chapitre 1. Sans le terme de diffusion, la solution ne peut pas être plus régulière que la fonction initiale. C'est la raison pour laquelle on ne peut pas appliquer la méthode du Chapitre 1 pour l'étude du comportement en temps long de la solution. Nous présentons une nouvelle méthode basée sur la théorie des réarrangements et sur l'étude du profil de la solution. Nous montrons que la solution est stable pour les temps grands et présentons une caractérisation détaillée de sa limite asymptotique quand t tend vers l'infini. Plus précisément, la fonction limite est une fonction en escalier, qui prend au plus deux valeurs, qui coïncident avec les points stables d'une équation différentielle associée. Nous montrons aussi par un contre-exemple non trivial que, quand une hypothèse sur la fonction initiale n'est pas satisfaite, la fonction limite peut prendre trois valeurs, qui correspondent aux points instable et stables de l'équation différentielle associée. Nous étudions au Chapitre 3 une équation différentielle ordinaire non locale qui a éte proposée par M. Nagayama. Une difficulté essentielle est que le dénominateur dans le terme de réaction non local peut s'annuler. Nous appliquons un théorème de point fixe lié a une application contractante pour démontrer que le problème à valeur initiale correspondant possède une solution unique qui reste connée dans un ensemble invariant. Ce problème possède une fonctionnelle de Lyapunov, qui est un ingrédient essentiel pour démontrer que la solution converge vers une solution stationnaire constante par morceaux quand t tend vers l'infini. Au Chapitre 4, nous considérons un modèle d'interface diffuse pour la croissance de tumeurs, où intervient une équation d'ordre quatre de type Cahn Hilliard. Après avoir introduit un modèle de champ de phase associé, on étudie formellement la limite singulière de la solution quand le coefficient du terme de réaction tend vers l'infini. Plus précisément, nous montrons que la solution converge vers la solution d'un problème à frontière libre. AMS subject classifications. 35K57, 35K50, 35K20, 35R35, 35R37, 35B40, 35B25.

A la frontière entre musique et mathématiques, cette étude présente un espace musical géométrique original utilisé pour l'analyse et la pédagogie.En utilisant différentes méthodes, les mathématiciens et théoriciens de la musique ont démontré que notre espace des hauteurs tempéré à douze notes peut être considéré comme une combinaison de tierces mineurs et majeures. Nous utilisons le produit cartésien de deux graphes circulaires C3□C4 pour construire le graphe Planet qui répond à ce concept. Comme la décomposition implique deux ensembles et que chaque classe de hauteur est la combinaison unique de ces deux sous-groupes, nous utilisons une coloration en termes de graphes par des nombres complexes et introduisons le concept d'idéogrammes à deux dimensions. Nous effectuons une analyse spectrale du graphe Planet pour déterminer ses espaces propres et obtenir des coordonnées géométriques. Le modèle qui en résulte est appelé Planet-4D, il offre à chaque symbole une position physiquement équivalente. Il comporte plus de symétries que tout modèle discret 3D. A partir de ce modèle, nous construisons une représentation en quatre dimensions où les accords parfaits se trouvent en surface d'une hypersphère. Nous étendons enfin le concept principal pour afficher n'importe quel agrégat de notes sur l'hypersphère dans un cadre atonal. Dans une seconde partie, nous modélisons sous forme de graphes des objets musicaux existants : claviers, réseaux de notes (Tonnetze) ou d'accords ainsi que des schémas de modulation. Nous appliquons des projections spectrales afin de visualiser les symétries inhérentes à ces objets et terminons par des études d'œuvres tonales et atonales, effectuées avec le système de visualisation inventé.

Cette thèse est consacrée au problème d'estimation bayésienne pour le filtrage statistique, dont l'objectif est d'estimer récursivement des états inconnus à partir d'un historique d'observations, dans un modèle stochastique donné. Les modèles stochastiques considérés incluent principalement deux grandes classes de modèles : les modèles de Markov cachés et les modèles de Markov à sauts conditionnellement markoviens. Ici, le problème est abordé sous sa forme générale dans la mesure où nous considérons le problème du filtrage mono- et multi objet(s), ce dernier étant abordé sous l'angle de la théorie des ensembles statistiques finis et du filtre " Probability Hypothesis Density ". Tout d'abord, nous nous intéressons à l'importante classe d'approximations que constituent les algorithmes de Monte Carlo séquentiel, qui incluent les algorithmes d'échantillonnage d'importance séquentiel et de filtrage particulaire auxiliaire. Les boucles de propagation mises en jeux dans ces algorithmes sont étudiées et des algorithmes alternatifs sont proposés. Les algorithmes de filtrage particulaire dits " localement optimaux ", c'est à dire les algorithmes d'échantillonnage d'importance avec densité d'importance conditionnelle optimale et de filtrage particulaire auxiliaire pleinement adapté sont comparés statistiquement, en fonction des paramètres du modèle donné. Ensuite, les méthodes de réduction de variance basées sur le théorème de Rao-Blackwell sont exploitées dans le contexte du filtrage mono- et multi-objet(s) Ces méthodes, utilisées principalement en filtrage mono-objet lorsque la dimension du vecteur d'état à estimer est grande, sont dans un premier temps étendues pour les approximations Monte Carlo du filtre Probability Hypothesis Density. D'autre part, des méthodes de réduction de variance alternatives sont proposées : bien que toujours basées sur le théorème de Rao-Blackwell, elles ne se focalisent plus sur le caractère spatial du problème mais plutôt sur son caractère temporel. Enfin, nous abordons l'extension des modèles probabilistes classiquement utilisés. Nous rappelons tout d'abord les modèles de Markov couple et triplet dont l'intérêt est illustré à travers plusieurs exemples pratiques. Ensuite, nous traitons le problème de filtrage multi-objets, dans le contexte des ensembles statistiques finis, pour ces modèles. De plus, les propriétés statistiques plus générales des modèles triplet sont exploitées afin d'obtenir de nouvelles approximations de l'estimateur bayésien optimal (au sens de l'erreur quadratique moyenne) dans les modèles à sauts classiquement utilisés; ces approximations peuvent produire des estimateurs de performances comparables à celles des approximations particulaires, mais ont l'avantage d'être moins coûteuses sur le plan calculatoire

The PhD presents a combined approach to improving individual car efficiency. An optimal observer, the Extended Kalman Filter, is used to create an efficiency model for the car. Particular attention was paid to handling the asynchronous and redundant nature of the measurement data. A low-cost sensor suite developed to measure data is described. This sensor suite was installed on multiple vehicles to good success. It employsan accelerometer, gps, fuel injector timer, and Vss input to measure all the data necessary to reconstruct the car's state. This observer and sensor suite can be used as the base for any study which requires car efficiency maps, allowing research to proceed without manufacturer supplied data. Once the efficiency map is found, it is then curve-fitted in order to reduce model complexity. The simplified model is then used as a basis for optimal control through Pontryagin's Maximum Principle. Real-world test results are given, both for efficiency mapping, and for optimal control. Detailed discussion of the observer and controller is presented, in order to ease understanding and save implementation time

Dans cette thèse on s'interesse à l'étude de phénomènes d'accumultation spectrale de certains opérateurs issus de la physique quantique à savoir les opérateurs de Schrödinger, de Pauli, et de Dirac. Typiquement, ces opérateurs apparaissent dans la modélisation de certains problèmes de physique sous forme d'équations d'évolution. Selon les contraintes du problème physique, ils peuvent être associés ou non à un champ magnétique pouvant être constant ou non constant. Le cadre où le champ magnétique est dit admissible est celui que nous allons considérer (en dimension 3). Ce dernier cadre inclut en particulier le cas de champs magnétiques constants. Deux grands thèmes sont essentiellement abordés dans cette thèse : l'étude des résonances près de seuils des Hamiltoniens quantiques cités ci-dessus lorsqu'ils sont perturbés par des potentiels électriques auto-adjoints, et l'étude de leur spectre discret lorsqu'ils sont perturbés par des potentiels électriques non auto-adjoints. Le second thème sera exploré au moyent d'inégalités Lieb-Thirring généralisés.