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L'objet de cette thèse est de démontrer une formule reliant les métriques de Ray-Singer hypoelliptique et de Milnor sur le déterminant de la cohomologie d'une variété riemannienne compacte par une déformation à la Witten du laplacien hypoelliptique en théorie de de Rham. / The purpose of this thesis is to prove a formula relating the hypoelliptic Ray-Singermetric and the Milnor metric on the determinant of the cohomology of a compact Riemannian manifold by a Witten-like deformation of the hypoelliptic Laplacian in de Rham theory.

Bekannte Theoreme von Carlson und Griffiths gestatten es, die Variation von Hodgestrukturen assoziiert zu einer Familie von glatten Hyperflächen sowie das Cupprodukt auf der mittleren Kohomologie explizit zu beschreiben. Wir benutzen M. Saitos Theorie der gemischten Hodgemoduln, um diesen Kalkül auf die Variation der Hodgestruktur der Schnittkohomologie von Familien nodaler Hyperflächen zu verallgemeinern. / Well known theorems of Carlson and Griffiths provide an explicit description of the variation of Hodge structures associated to a family of smooth hypersurfaces together with the cupproduct pairing on the middle cohomology. We give a generalization to families of nodal hypersurfaces using M. Saitos theory of mixed Hodge modules.

Soient 1 -> N -> H -> H' -> 1 une suite exacte centrale de groupes algébriques sur Q_p^alg et F un corps de nombres. Etant donnée une représentation Galoisienne r' : Gal_F -> H', on s'intéresse à ses relèvements à valeurs dans H à travers le morphisme H -> H'. Un relèvement r : Gal_F -> H sera dit minimal, s'il est non-ramifié aux places où r' est non-ramifiée et est de Rham/semi-stable/cristalline aux places divisant p si r' l'est. Dans cette thèse, nous montrons l'existence de relèvements minimaux dans certains cas. / Let 1 -> N -> H -> H' -> 1 be an exact sequence of algebraic groups over Q_p^alg and F be a number field. Given a Galois representation r' : Gal_F -> H', we are interested in its lifts with values in H through the morphism H -> H'. We say a lift r : Gal_F -> H is minimal, if it is unramied at places where r' is unramified and is de Rham/semi-stable/crystalline at p-adic places if r' is so. In this thesis, we prove the existence of such minimal lifts in some cases.

Dans cette thèse, nous étudions certains invariants birationnels des variétés projectives lisses, en lien avec les questions de rationalité de ces variétés. Elle se compose de trois chapitres qui peuvent être lus indépendamment.Dans le premier chapitre, nous étudions, pour certaines familles de variétés, certains invariants birationnels stables, nuls pour l'espace projectif, apparaissant naturellement avec les formules de Manin. D'une part, nous montrons que l'invariant birationnel qu'est le groupe des cycles de torsion de codimension 3 contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne est pour, les hypersurfaces cubiques complexes de dimension 5, contrôlé par l'invariant birationnel de sa variété des droites donné par le groupe des 1-cycles de torsion contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne. D'autre part on établit la nullité du groupe de Griffiths des 1-cycles pour la variété des droites d'une hypersurface de l'espace projectif sur un corps algébriquement clos de caractérsitique 0, lorsque celle-ci est lisses et de Fano d'indice au moins 3.Les deux derniers chapitres se concentrent sur des aspects différents d'une propriété invariante par équivalence birationnelle stable introduite récemment par Voisin: l'existence d'une décomposition de Chow de la diagonale. Dans le second chapitre, nous étendons à la caractéristique positive p > 2 une partie des résultats obtenus par Voisin sur la décomposition de Chow de la diagonale des hypersurfaces cubiques complexes de dimension 3.Dans le dernier chapitre, on étudie la notion de dimension CH0 essentielle introduite par Voisin et reliée à l’existence d’une décomposition de Chow de la diagonale en ce que dire d’une variété qu’elle est de dimension CH0 essentielle nulle équivaut à affirmer l’existence d’une décomposition de Chow de sa diagonale. Nous présentons des conditions suffisantes (et nécessaires) pour assurer qu’une variété complexe dont le groupe des 0-cycle est trivial et dont la dimension CH_0 essentielle est au plus 2 est de dimension CH_0 essentielle nulle. / In this thesis, we study some birational invariants of smooth projective varieties, in view of rationality questions for these varieties. It consists of three parts, that can be read independently.In the first chapter, we study, for some families of varieties, some stable birational invariants, that vanish for projective space and that appear naturally with Manin formulas. On one hand, we show for complex cubic 5-folds that the birational invariant given by the group of torsion codimension 3 cycles annihilated by the Deligne cycle map is controlled by the group of torsion 1-cycles of its variety of lines annihilated by the Deligne cycle map. We also prove that the Griffiths group of 1-cycles for the variety of lines of a hypersurface of the projective space over an algebraically closed field of characteristic 0, is trivial when the variety is smooth and Fano of index at least 3.The two last chapters focus on different aspects of the Chow-theoretic decomposition of the diagonal, a property which is invariant under stable birational equivalence, recently introduced by Voisin. In the second chapter, we adapt in characteristic greater than 2, part of the results, obtained by Voisin over the complex numbers, on the decomposition of the diagonal of cubic threefolds.In the last chapter, we study the concept of essential CH_0-dimension introduced by Voisin and related to the decomposition of the diagonal in that having essential CH_0-dimension 0 is equivalent to admitting a Chow-theoretic decomposition of the diagonal. We give sufficient (and necessary) conditions, for a complex variety with trivial group of 0-cycles, having essential CH_0-dimension non greater than 2 to admit a Chow-theoretic decomposition of the diagonal.

The influence of Chow groups on singular cohomology is motivated by classical results by Mumford and Roitman and has been investigated extensively. On the other hand, the converse influence is rather conjectural and it takes place in the framework of the ``philosophy of mixed motives'', which is mainly due to Grothendieck, Bloch and Beilinson. In the spirit of exploring this influence, Voisin formulated in 1996 a conjecture on 0--cycles on the self--product of surfaces of geometric genus one. There are few examples in which Voisin's conjecture has been verified, but it is still open for a general $K3$ surface. Our aim is to present a new example in which Voisin's conjecture is true, a family of Todorov surfaces. We give an explicit description of the family as quotient of complete intersection of four quadrics in $mathbb{P}^{6}$. We verify Voisin's conjecture for the family of Todorov surfaces of type $(2,12)$. Our main tool is Voisin's ``spreading of cycles'', we use it to establish a relation between 0--cycles on the Todorov surface and on the associated K3 surface. We give a motivic version of this result and some interesting motivic applications.

Orientador: Marcos Benevenuto Jardim / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T16:48:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Cardoso_NunoFilipedeAndrade_M.pdf: 1858794 bytes, checksum: bbe47182338feb3de60b480df87b52a7 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Os teoremas de degenerescência de Hodge e de anulamento de Kodaira, Akizuki e Nakano são de suma importância na teoria de variedades complexas. Usando o teorema de comparação de Serre, ambos podem ser traduzidos para o contexto de esquemas projetivos e suaves sobre um corpo de característica zero. Para corpos de característica positiva, no entanto, os dois deixam de valer sem hipóteses adicionais, sendo que os primeiros contra-exemplos foram encontrados por Mumford e Raynaud. O objetivo desta dissertação é apresentar um teorema devido a Deligne e Illusie que assegura a degenerescência da seqüência espectral de Hodge-de Rham e uma versão do teorema de Kodaira, Akizuki e Nakano para certos esquemas projetivos e suaves sobre um corpo perfeito de característica positiva. Nos propusemos a dar um tratamento, na medida do possível, auto-suficiente / Abstract: The Hodge degeneration theorem and the Kodaira, Akizuki and Nakano's vanishing theorem are of paramount importance in the theory of complex manifolds. Using Serre's comparison theorem, both can be translated to the context of smooth projective schemes over a field of characteristic zero. For fields of positive characteristic, however, both fail to hold without additional hypothesis, and the first counterexamples were found by Mumford and Raynaud. Our goal in this dissertation is to present a theorem due to Deligne and Illusie that ensures the degeneration of the Hodge-de Rham spectral sequence and a version of the theorem of Kodaira, Akizuki and Nakano for certain smooth projective schemes over a perfect field of positive characteristic. We tried to keep the treatment as self-contained as possible / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

L’objectif de cette thèse est l’étude de la fonction zêta des hauteurs motivique associée à un problème de comptage de courbes sur les compactifications équivariantes d’espaces affines, résolvant au chapitre 6 l’analogue motivique de la conjecture de Manin pour celles-ci. La fonction zêta des hauteurs provenant du problème de comptage considéré est récrite convenablement à l’aide d'une formule de Poisson motivique démontrée au cinquième chapitre, qui généralise celle de Hrushovski-Kazhdan. Chaque terme est alors décomposé sous la forme d'un produit eulérien motivique, dont la définition et les propriétés sont établies au chapitre 3. La convergence de ces produits eulériens doit être comprise pour une topologie des poids que nous introduisons au quatrième chapitre et qui repose d'une part sur la théorie des modules de Hodge de Saito, et d'autre part sur une mesure motivique sur l’anneau de Grothendieck des variétés avec exponentielles, construite dans le chapitre 2 à l’aide de la notion de cycles évanescents motiviques. On en déduit ainsi une description de l'asymptotique d'une proportion positive des coefficients du polynôme de Hodge-Deligne des espaces de modules des courbes sur la compactification équivariante donnée, lorsque le degré tend vers l'infini. / The goal of this thesis is the study of the motivic height zeta function associated to the problem of counting curves on equivariant compactifications of vector groups, solving in chapter 6 the motivic analogue of Manin's conjecture for such varieties.The motivic height zeta function coming from this counting problem is rewritten in a convenient way using a Poisson summation formula proved in chapter 5, and which generalises Hrushovski and Kazhdan's motivic Poisson formula. Each term is then expressed as a motivic Euler product, the definition and properties of the latter being established in chapter 3. The convergence of these Euler products must be understood for a weight topology which we introduce in the fourth chapter and which relies both on Saito's theory of mixed Hodge modules and on a motivic measure on the Grothendieck ring of varieties with exponentials, constructed in chapter 2 using the notion of motivic vanishing cycles. We deduce from this a description of the asymptotic of a positive proportion of the coefficients of the Hodge-Deligne polynomial of the moduli spaces of curves on the given equivariant compactification, when the degree goes to infinity.

Cette thèse est consacrée à deux variantes arithmétiques de la correspondance de Simpson. Dans la première partie, on compare la correspondance de Simpson p-adique à un analogue p-adique de la correspondance de Narasimhan et Seshadri pour les courbes sur les corps p-adiques dû à Deninger et Werner. Narasimhan et Seshadri ont établi une correspondance entre les fibrés vectoriels stables de degré zéro et les représentations unitaires du groupe fondamental topologique pour une courbe complexe propre et lisse. Par transport parallèle, Deninger et Werner ont associé fonctoriellement à chaque fibré vectoriel sur une courbe p-adique dont la réduction est fortement semi-stable de degré 0 une représentation p-adique du groupe fondamental de la courbe. Ils se sont posés quelques questions: si leur foncteur est pleinement fidèle ; si la cohomologie des systèmes locaux fournis par leur foncteur admet une filtration de Hodge-Tate ; et si leur construction est compatible avec la correspondance de Simpson p-adique développée par Faltings. On répond positivement à ces questions. La seconde partie est consacrée à la construction d'un relèvement de la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky modulo pⁿ. Soient W l'anneau des vecteurs de Witt d'un corps parfait de caractéristique p>0, X un schéma formel lisse sur W, X' le changement de base de X par l'endomorphisme de Frobenius de W, X'_2 la réduction modulo p² de X' et Y la fibre spéciale de X. On relève la transformée de Cartier d'Ogus-Vologodsky relative à X'_2. Plus précisément, on construit un foncteur de la catégorie des O_{X'}-modules de pⁿ-torsion à p-connexion intégrable dans la catégorie des O_X-modules de pⁿ-torsion à connexion intégrable, chacune étant soumise à des conditions de nilpotence appropriées. S'il existe un relèvement F: X -> X' du morphisme de Frobenius relatif de Y, notre foncteur est compatible avec le foncteur de Shiho induit par F. Comme application de la transformée de Cartier modulo pⁿ, on donne une nouvelle interprétation des modules de Fontaine relatifs introduits par Faltings et du calcul de leur cohomologie. / This thesis is devoted to two arithmetic variants of Simpson's correspondence. In the first part, I compare the p-adic Simpson correspondence with a p-adic analogue of the Narasimhan-Seshadri's correspondence for curves over p-adic fields due to Deninger and Werner. Narasimhan and Seshadri established a correspondence between stable bundles of degree zero and unitary representations of the topological fundamental group for a complex smooth proper curve. Using parallel transport, Deninger and Werner associated functorially to every vector bundle on a p-adic curve whose reduction is strongly semi-stable of degree 0 a p-adic representation of the fundamental group of the curve. They asked several questions: whether their functor is fully faithful; whether the cohomology of the local systems produced by this functor admits a Hodge-Tate filtration; and whether their construction is compatible with the p-adic Simpson correspondence developed by Faltings. We answer positively these questions. The second part is devoted to the construction of a lifting of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky modulo pⁿ. Let W be the ring of the Witt vectors of a perfect field of characteristic p, X a smooth formal scheme over W, X' the base change of X by the Frobenius morphism of W, X'_2 the reduction modulo p² of X' and Y the special fiber of X. We lift the Cartier transform of Ogus-Vologodsky relative to X'_2 modulo pⁿ. More precisely, we construct a functor from the category of pⁿ-torsion O_{X'}-modules with integrable p-connection to the category of pⁿ-torsion O_X-modules with integrable connection, each subject to a suitable nilpotence condition. Our construction is based on Oyama's reformulation of the Cartier transform of Ogus-Vologodsky in characteristic p. If there exists a lifting F: X -> X' of the relative Frobenius morphism of Y, our functor is compatible with a functor constructed by Shiho from F. As an application, we give a new interpretation of relative Fontaine modules introduced by Faltings and of the computation of their cohomology.

Cette thèse est constituée de deux parties complètement indépendantes.Dans une première partie, nous montrons que la paire de Fourier-Mukai (X,Y) issue de la correspondance double miroir Pfaffienne-Grassmannienne vérifie l'identité ([X]-[Y])L^6=0 dans l'anneau de Grothendieck, où L est la classe de la droite affine. Ce résultat est un raffinement d'un théorème de Borisov par la suppression d'un facteur, qui montre que la classe de la droite affine est un diviseur de zéro dans l'anneau de Grothendieck, et fournit par ailleurs un premier exemple intéressant de variétés D-équivalentes qui sont L-équivalentes. D'autres exemples ont par la suite été explicités par d'autres auteurs.Dans une seconde partie, nous nous intéressons au comportement d'invariants de théorie de Hodge par convolution intermédiaire, à la suite des travaux de Dettweiler et Sabbah. Le principal résultat concerne le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l'infini par convolution intermédiaire additive par un module de Kummer. Nous donnons également des formules pour les invariants locaux h^p et globaux delta^p sans faire l'hypothèse de monodromie scalaire à l'infini. De plus, à l'aide d'une relation de Katz reliant les convolutions additives et multiplicatives, nous explicitons le comportement des invariants de Hodge par convolution intermédiaire multiplicative. Enfin, le théorème principal permet de redémontrer un résultat de Fedorov sur les invariants de Hodge d'équations hypergéométriques. / This thesis consists of two independent parts.In a first part, we show that the Fourier-Mukai pair (X,Y) constructed from Pfaffian-Grassmannian double-mirror correspondence verifies the formula ([X]-[Y]) L^6=0 in the Grothendieck ring, where L is the class of affine line. This result is an improvement of a theorem of Borisov by removing a factor, which shows that the class of affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring, and gives moreover a first interesting example of D-equivalent varieties which are L-equivalent. Other examples have later been made explicit by other authors.In a second part, we are interested in the behaviour of invariants in Hodge theory by middle convolution, following research of Dettweiler and Sabbah. The main result concerns the behaviour of the nearby cycle local Hodge numerical data in infinity by middle additive convolution by a Kummer module. We also give expressions for local invariant h^p and global delta^p without making the hypothesis of scalar monodromy in infinity. Besides, with a relation due to Katz linking up additive and multiplicative convolutions, we explain the behaviour of Hodge invariants by middle multiplicative convolution. Finally, the main theorem gives a new proof of a result of Fedorov on Hodge invariants of hypergeometric equations.