Ce travail porte principalement sur l'étude mathématique de méthodes numériques<br />pour l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales utilisées en élasticité non linéaire. Ces mé-<br />thodes couplent, au niveau mésoscopique, un matériau hyperélastique hétérogène ou un réseau de<br />liens en interaction, avec, au niveau macroscopique, un modèle d'élasticité non linéaire. La loi de<br />constitution macroscopique est obtenue par la résolution de problèmes mésoscopiques, continus ou<br />discrets. Aux chapitres 1, 2 et 3 on introduit les modèles mécaniques et les outils mathématiques et<br />numériques utilisés par la suite. Aux chapitres 5, 6 et 7, on présente une méthode directe de réso-<br />lution numérique du comportement homogénéisé d'un matériau composite périodique en grandes<br />déformations et un cadre général pour l'analyse des méthodes d'homogénéisation numérique. On<br />démontre notamment la convergence de méthodes numériques classiques sous des hypothèses gé-<br />nérales ainsi qu'un résultat de correcteur numérique. On étend enfin les résultats au couplage avec<br />des méthodes de sur-échantillonnage. Aux chapitres 8, 9 et 10, nous considérons une modélisation<br />mésoscopique par un système discret. Nous étudions d'abord un problème de G-fermeture pour un<br />réseau de résistances. Au chapitre suivant nous démontrons un résultat de représentation intégrale<br />pour l'énergie d'un système de spins en interaction. Enfin, nous dérivons un modèle hyperélastique<br />continu à partir d'un réseau stochastique de points en interaction, et l'appliquons pour démontrer<br />la convergence de modèles discrets développés en mécanique. Dans une dernière partie, chapitre 11,<br />nous présentons une nouvelle méthode numérique pour résoudre des problèmes d'interaction fluide<br />structure, où la structure est décrite par une coque tridimensionnelle.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Mécanique : Lille 1 : 2004. / N° d'ordre (Lille 1) : 3573. Titre provenant de la page de titre du document numérisé. Bibliogr. p. 170-180.

Nous présentons des modèles macroscopiques du comportement mécanique du parenchyme pulmonaire humain obtenus par homogénéisation double--échelle. Dans une première partie consacrée au couplage entre parenchyme et arbre bronchique, nous commençons par proposer un modèle de la déformation du parenchyme. Nous modélisons (i) le parenchyme par un matériau élastique linéaire, (ii) les alvéoles comme des cavités de taille epsilon réparties périodiquement dans le domaine macroscopique et (iii) l'arbre bronchique par un arbre dyadique résistif en supposant la loi de Poiseuille valide pour chaque voie aérienne. Nous obtenons en faisant tendre epsilon vers zéro, par homogénéisation, une description macroscopique du parenchyme comme un matériau viscoélastique, sous certaines conditions sur l'irrigation du domaine par l'arbre que nous étudions ensuite. L'arbre induit une dissipation non--locale en espace. Nous illustrons ces résultats par des résultats numériques. Dans une deuxième partie, nous étudions la propagation d'ondes sonores dans le parenchyme, sans prendre en compte l'arbre bronchique. Nous homogénéisons dans le domaine fréquentiel un premier modèle couplant l'élasticité linéarisée dans le parenchyme avec l'équation acoustique dans l'air. Nous déduisons une loi de comportement macroscopique élastique linéaire en dehors d'un ensemble de résonances. Ensuite, nous homogénéisons un deuxième modèle qui prend en compte le caractère viscoélastique et inhomogène du parenchyme au niveau microscopique. Le matériau macroscopique présente des effets de mémoire nouveaux par rapport aux composants microscopiques que nous étudions numériquement.

Cette thèse vise à une meilleure compréhension de la dynamique du voilier et à la validation des outils numériques de prédiction de performances et d'optimisation par l'étude expérimentale in situ du problème aéro-élastique d'un gréement. Une instrumentation est développée sur un voilier de 8m de type J80 pour la mesure dynamique des efforts dans le gréement, de la forme des voiles en navigation, du vent et des attitudes du bateau. Un effort particulier est apporté à la mesure des caractéristiques géométriques et mécaniques des éléments du gréement, la calibration des capteurs et au système d'acquisition des données. Les principaux résultats montrent que le voilier instrumenté est un outil adapté pour les mesures instationnaires et soulignent l'amplitude de variation d'effort rencontrée en mer (20 à 50% de l'effort moyen dans une houle modérée). En outre, les variations du signal d'effort sont déphasées avec l'angle d'assiette, créant un phénomène d'hystérésis. Le comportement dynamique d'un voilier en mouvement diffère ainsi de l'approche quasi-statique. Les simulations numériques proviennent du code ARAVANTI, couplage implicite d'un code structure éléments finis ARA et d'un code fluide parfait, limitant son domaine de validité aux allures de près Les résultats de simulation sont très proches des cas stationnaires et concordent bien avec les mesures en instationnaire dans une houle de face. L'expérimentation numérique d'un gréement soumis à des oscillations harmoniques en tangage souligne l'importance de l'approche Interaction Fluide Structure (IFS) et montre que l'énergie échangée par le système avec la houle est reliée à la fréquence réduite et l'amplitude du mouvement. Certaines informations n'étant pas disponibles sur le voilier instrumenté, une expérience contrôlée en laboratoire est développée. Elle consiste en un carré de tissu tenu par deux lattes en oscillation forcée. Les mesures sur cette " voile oscillante " permettent d'étudier les phénomènes IFS avec décollement et sont utilisées pour la validation du couplage ARA-ISIS entre un code fluide Navier-Stokes (RANS) et le même code structure.

Le risque individuel de rupture des anévrismes cérébraux est un enjeu majeur dans la prise en charge clinique des anévrismes asymptomatiques. La rupture anévrismale se produit lorsque la contrainte intra-pariétale dépasse la contrainte à rupture du matériau composant la paroi. Notre étude a pour objectif d'être un pas vers une nouvelle mesure biomécanique du risque individuel de rupture des anévrismes cérébraux. Dans un premier temps, une étude expérimentale fût menée pour caractériser le comportement biomécanique de la paroi anévrismale sur 16 échantillons d'anévrismes prélevés chirurgicalement. L'expérimentation sur les échantillons de poche anévrismale a permis de dégager trois grandes classes de tissus pour chaque sexe (homme et femme) : souple, rigide et intermédiaire. Il apparaît que tous les anévrismes non rompus appartiennent à la catégorie rigide ou intermédiaire et que tous les anévrismes rompus correspondent à la catégorie souple. Ceci permet de mettre en évidence une corrélation entre le risque de rupture et les propriétés du matériau composant la paroi anévrismale. Dans un deuxième temps, des simulations d'interaction fluide/structure (FSI) ont été réalisées pour comparer les déformations d'un anévrisme " patient spécifique " constitué d'un matériau dégradé et non dégradé. Les résultats montrent que les propriétés du matériaux ont un impact majeur sur l'ampleur de la variation de volume anévrismale diastolo-systolique. Les changements en terme de variations de volume en fonction des caractéristiques du tissu sont potentiellement visualisable à l'aide de l'imagerie médicale. Une analyse des incertitudes des paramètres est aussi présentée et montre la robustesse des résultats aux incertitudes des données d'entrée. Il a ensuite été démontré sur 12 cas " patient-spécifique " d'anévrismes différents (forme, taille, localisation et conditions aux limites différentes) qu'il existe toujours une différence significative en terme de variation de volume au cours du cycle cardiaque entre un anévrisme dont la paroi est composé d'un matériau rigide et d'un matériau souple. Cette étude suggère donc que la variation de volume anévrismale pourrait être utilisée comme une base pour une évaluation individuelle du risque de rupture des anévrismes cérébraux.

La modélisation des problèmes d'interactions sol-structure et fluide-structure couvre plusieurs domaines de recherche très actifs qui traitent une multitude d'aspects tels que la géométrie non bornée du sol et dans certains cas du fluide stocké, les effets dissipatifs visqueux et radiatifs, l'application du chargement sismique, le choix des variables de base, les propriétés algébriques des systèmes d'équations résultant du couplage,... etc. Dans le présent travail, différents modèles numériques de couplage sol-structure et fluide-structure ont été examinés. Les limites de troncature géométrique du sol et du fluide on été traitées avec des éléments infinis dont les performances ont été comparées à celles des conditions de radiations. Le problème de vibrations libres couplées des systèmes fluide-structure a été résolu en introduisant de nouvelles techniques de symétrisation efficaces. De plus, une nouvelle formulation symétrique en éléments de frontière a été proposée. Cette formulation permet de produire une matrice symétrique définie positive et aboutit ainsi à un système algébrique similaire à celui qui découle de la discrétisation en éléments finis. La matrice bâtie dite "raideur équivalente" peut facilement être assemblée ou couplée avec les matrices de la formulation en éléments finis. Toutes les applications qui ont servi soit à comparer des modèles soit à valider les programmes développés, ont été effectué es dans le cas des barrages poids en béton. Ce cas constitue un problème de couplage fluide-sol-structure typique

Dans de nombreuses applications industrielles, les structures en vibration à dimensionner sont en contact avec un fluide (fluide autour des coques des bateaux, réservoirs, échangeurs de chaleur dans les centrales, l'industrie automobile, etc). Cependant, le comportement dynamique de la structure peut être modifié de façon importante par la présence du fluide. Le dimensionnement doit donc prendre en compte les effets de l'interaction fluide-structure.Ces applications nécessitent un couplage efficace. En outre, l'analyse dynamique des systèmes industriels est souvent coûteuse du point de vue numérique. Pour les modèles éléments finis des problèmes couplés fluide-structure, l'importance de la réduction de la taille devient évidente car les degrés de liberté du fluide seront ajoutés à ceux de la structure. Des méthodes de réduction du modèle seront utilisées pour réduire la taille des matrices obtenues.Traditionnellement, l'étude de ces systèmes couplés est fondée sur une démarche déterministe dans laquelle l'ensemble des paramètres utilisés dans le modèle prennent une valeur fixe.Par contre, il suffit d'avoir procédé à quelques expérimentations pour se rendre compte des limites d'une telle modélisation, d'où la nécessité de la prise en compte des incertitudes sur les paramètres du système couplé.Ce travail de thèse s'articule autour de trois études principales. La première consiste à mener une étude déterministe numérique et analytique des problèmes vibro-acoustiques sans réduction de modèles. Cette dernière est basée sur une formulation non symétrique déplacement/pression et une formulation symétrique déplacement/pression et potentiel des vitesses. Dans la deuxième étude, on propose deux méthodes de réduction du modèle : analyse et synthèse modales pour la résolution des problèmes vibro-acoustiques des grandes tailles des systèmes couplés modélisés par la méthode des éléments finis. La méthode de synthèse modale développée couple une méthode de sous-structuration dynamique de type Craig et Bampton et une méthode de sous domaines acoustiques.Enfin, pour tenir compte des incertitudes sur les paramètres du système couplé, on a développé dans la troisième étude une méthode numérique stochastique de synthèse modale étendue à une étude de fiabilité basée sur les approches FORM et SORM pour la résolution de ces problèmes. Ces démarches vont nous permettre de résoudre les problèmes vibro-acoustiques, sans utiliser les méthodes classiques, qui consistent à faire un calcul modal direct allié à la simulation de Monte Carlo demandant un coup de temps très élevé.Plusieurs exemples académiques et industriels ont été traités pour valider les approches proposées.L'étude numérique est conduite en utilisant un code élaboré sous MATLAB couplé au code commercial ANSYS afin d'évaluer la fiabilité du système couplé. La confrontation des résultats numériques, analytiques et expérimentaux nous permet de valider conjointement le processus de calcul et les méthodes proposées dans le domaine de l'analyse fréquentielle et l'étude fiabiliste des structures immergées. D'un point de vue industriel, ces méthodes visent à promouvoir l'introduction de la culture de l'incertain dans les métiers de la conception et encouragent la construction d'un modèle fiable et robuste pour les problèmes d'interaction fluide-structure.

L'imagerie par Résonance Magnétique permet de mesurer l'écoulement sanguin. Au niveau cardiovasculaire, elle permet d'acquérir non seulement des images anatomiques du cœur et des gros vaisseaux mais aussi des images fonctionnelles de vitesse par contraste de phase. Cette technique offre des perspectives dans l'étude de la dynamique des fluides et dans la caractérisation des artères, en particulier pour les grosses artères systémiques comme l'aorte dont le rôle est primordial dans la circulation sanguine. Par ailleurs, l'un des paramètres qui entrent en jeu dans la détermination de la fonction cardiaque et du comportement vasculaire est la pression artérielle. La méthode de référence de la mesure de pression dans l'aorte étant le cathétérisme, plusieurs méthodes combinant la modélisation à l'imagerie ont été proposées afin d'estimer un gradient de pression de façon non invasive. Ce travail de thèse propose de mesurer la pression dans un segment d'aorte grâce à un modèle 1D simplifié et en utilisant les données mesurées par IRM et un modèle 0D représentant le réseau vasculaire périphérique comme conditions aux limites. Aussi, afin d'adapter le modèle à l'aorte du patient, une loi de pression exprimant une relation entre la section aortique à la pression et basée sur la compliance a été utilisée. Cette dernière, liée à la vitesse d'onde de pouls (VOP), a été mesurée en IRM sur les ondes de vitesse.Par ailleurs, les séquences de codage de vitesse et d'accélération sont longues et ponctuées d'artéfacts dus au mouvement du patient. Une apnée est requise afin de limiter le mouvement respiratoire. Cependant, la durée de l'apnée atteint 25 à 30 secondes pour de telles séquences, ce qui est souvent impossible à tenir pour les malades. Une technique d'optimisation de séquences dynamiques par réduction du champ de vue est proposée et étudiée. La technique décrit un dépliement des régions repliées par différence complexe de deux images, l'une codée et l'autre non codée en vitesse. Cette méthode réalise une réduction de plus de 25% de la durée d'apnée.

Ce mémoire présente quelques contributions à la prise en compte de diverses conditions limites ou d'interface lors de la résolution de problèmes par la méthode des éléments finis. Diverses techniques sont passées en revue, avec un focus sur celle de Nitsche. Les problèmes traités proviennent de la mécanique des solides et des fluides, comme par exemple l'interaction fluide-structure ou le contact.

Cette thèse traite plusieurs aspects scientifiques inhérents à la simulation numérique de problèmes d'interaction fluide-structure impliquant de fines membranes déformables. Deux cas spécifiques relatifs à la biomécanique cardiovasculaire sont considérés : l'interaction de l'écoulement sanguin avec la valve aortique (qui se produit à l'échelle macroscopique), et l'interaction de la membrane des globules rouges avec ses fluides interne et externe (qui se produit à l'échelle microscopique). Dans les deux cas, le couplage fluide-structure est géré par l'intermédiaire d'un formalisme de frontières immergées, en représentant la membrane par un maillage Lagrangien se mouvant au travers d'un maillage fluide Eulérien. Lorsque l'on traite la dynamique des globules rouges, la membrane est considérée comme étant une structure sans masse et infiniment fine. La première question à laquelle on s'intéresse dans cette thèse est la manière de modéliser la microstructure complexe de la membrane des globules rouges. Un moyen possible pour caractériser un modèle de membrane adapté est de simuler l'expérience des pinces optiques, qui consiste en une configuration expérimentale bien contrôlée qui permet d'étudier la mécanique individuelle d'un globule rouge isolé dans une large gamme de déformations. Plusieurs modèles pertinents sont identifiés, mais les caractéristiques de déformation mesurées durant l'expérience des pinces optiques se révèlent n'être pas assez sélectives pour être utilisées dans un contexte de validation. Des mesures de déformation additionnelles sont proposées, qui pourraient permettre une meilleure caractérisation de la mécanique de la membrane des globules rouges. En ce qui concerne les configurations macroscopiques, une méthode numérique innovante est proposée afin de gérer des simulations numériques de membranes 3D continues, en conservant le formalisme de frontières immergées. Dans cette méthode, appelée méthode des frontières immergées épaisses, la membrane a une épaisseur finie. La précision et la robustesse de la méthode sont démontrées par l'intermédiaire d'une variété de cas tests bien choisis. La méthode proposée est ensuite appliquée à un problème d'interaction fluide-structure réaliste, à savoir l'interaction d'un écoulement (sanguin) pulsé avec une valve aortique biomimétique. Une étude combinée expérimentale et numérique est menée, montrant que la méthode est capable de capturer la dynamique globale de la valve, ainsi que les principales caractéristiques de l'écoulement en aval de la valve. Tous les développements ont été effectués dans le solveur YALES2BIO (http://www.math.univ-montp2.fr/~yales2bio/) développé à l'IMAG, qui est donc disponible pour toutes autres améliorations, validations et études applicatives. / This thesis deals with several scientific aspects inherent to the numerical simulation of fluid-structure interaction problems involving thin deformable membranes. Two specific cases relevant to cardiovascular biomechanics are considered: the interaction of the blood flow with the aortic valve (which occurs at the macroscopic scale), and the interaction of the red blood cells membrane with its inner and outer fluids (which occurs at the microscopic scale). In both cases, the fluid-structure interaction coupling is handled using an immersed boundary formalism, representing the membrane by a Lagrangian mesh moving through an Eulerian fluid mesh.When dealing with red blood cells dynamics, the membrane is considered to be an infinitely thin and massless structure. The first question which is addressed in the present thesis work is how to model the complex microstructure of the red blood cells membrane. A possible way to characterize a suitable membrane model is to simulate the optical tweezers experiment, which is a well-controlled experimental configuration enabling to study the individual mechanics of an isolated red blood cell in a large range of deformation. Some relevant membrane models are identified, but the deformation characteristics measured during the optical tweezers experiment reveal to be not selective enough to be used in a validation context. Additional deformation measurements are proposed, which could allow a better characterization of the red blood cell membrane mechanics.Regarding the macroscopic configurations, an innovative numerical method is proposed to handle numerical simulations of 3D continuum membranes, still within the immersed boundary formalism. In this method, called immersed thick boundary method, the membrane has a finite thickness. The accuracy and robustness of the method are demonstrated through a variety of well-chosen test cases. Then, the proposed method is applied to a realistic fluid-structure interaction problem, namely the interaction of a pulsatile (blood) flow with a biomimetic aortic valve. A combined experimental and numerical study is led, showing that the method is able to capture the global dynamics of the valve, as well as the main features of the flow downstream of the valve.All the developments were performed within the YALES2BIO solver (http://www.math.univ-montp2.fr/~yales2bio/) developed at IMAG, which is thus available for further improvements, validations and applicative studies.