Nous appelons accroissements généralisés du processus empirique l'estimateur à noyau de la densité centré sur R^d pour lequel le noyau varie dans une classe de fonctions G. Ceci définit des processus stochastiques indéxés par G. Nous étudions le comportement limite de ces trajectoires aléatoires en considérant une suite de taille de fenêtre h_n qui tend vers 0. Nous donnons des résultats limites fonctionnels lorsque h_n vérifie les conditions de Csörgö-Révész-Stute, puis lorsque h_n vérifie les conditions d'Erdös-Renyi. Nous étudions également quelques comportements au second ordre dans les lois limites fonctionnelles standard du logarithme itéré pour le processus empirique uniforme local.

L’étude du comportement trajectoriel des champs/processus stochastiques est un sujet de recherche classique en théorie des probabilités et dans des domaines connexes comme la géométrie fractale. Dans cet objectif, plusieurs méthodes ont été développées depuis longtemps afin d’étudier le comportement des trajectoires de champs/processus gaussiens. Ces méthodes reposent souvent sur une structure hilbertienne « sympathique », et peuvent aussi nécessiter la finitude de moments d’ordre élevé. Ainsi, elles sont difficilement transposables dans des cadres de lois à queue lourde. Ces dernières sont importantes en probabilités et en statistique parce qu’elles constituent une contrepartie naturelle des lois gaussiennes. Dans le cas de certains champs/processus stables linéaires de type moyenne mobile non anticipative, tels que le drap fractionnaire stable linéaire et le mouvement multifractionnaire stable linéaire, des méthodes d’ondelettes, assez nouvelles, se sont déjà avérées fructueuses dans l’étude du comportement trajectoriel. Peut-on adapter cette méthodologie à certains champs/processus stables harmonisables ? Donner une réponse à cette question est un problème assez délicat car, de façon générale, de grandes différences séparent le cadre stable harmonisable de celui de type moyenne mobile. Le principal objectif de la thèse est d’étudier cette question dans le cadre d’un champ stable harmonisable symétrique à accroissement stationnaire de forme générale. / Studying sample path behaviour of stochastic fields/processes is a classical research topic in probability theory and related areas such as fractal geometry. To this end, many methods have been developed for a long time in order to study sample path behaviour of Gaussian fields/processes. They often rely on some underlying "nice" Hilbertian structure, and can also require finiteness of moments of high order. Therefore, they can hardly be transposed to frames of heavy-tailed stable probability distributions. Such distributions are very important in probability and statistics because they are a natural counterpart to the Gaussian ones. In the case of some linear non-anticipative moving average stable fields/processes, such as the linear fractional stable sheet and the linear multifractional stable motion, rather new wavelet methods have already proved to be successful in studying sample path behaviour. Can this methodology be adapted to some harmonizable stable fields/processes? Providing an answer to this question is a non trivial problem, since, generally speaking, there are large differences between an harmonizable stable setting and a moving average one. The main goal of the thesis is to study this issue in the case of a stationary increments symmetric stable harmonizable field of a general form.

Les processus de Markov auto-similaires apparaissent souvent dans diverses parties de la théorie de probabilités comme limites de processus normalisés. La propriété de Markov ajoutée à l'auto-similarité fournit des propriétés très intéressantes comme l'avait remarqué Lamperti. La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude de l'enveloppe inférieure et supérieure au moyen de test intégraux et de lois du logarithme itéré pour une classe suffisamment grandes des processus de Markov auto-similaires positifs et quelques processus associés, comme le minimum futur et le processus de Markov auto-similaire positif réflechi en son minimum futur. La seconde partie concernent à l'étude des forêt de Lévy stables conditionnés par leur taille et leur masse. En particulier, un principe d'invariance est établi pour la forêt de Galton-Watson conditionnée par leur taille et leur masse.

Les modèles de régression paramétrique fournissent de puissants outils pour la modélisation des données lorsque celles-ci s’y prêtent bien. Cependant, ces modèles peuvent être la source d’importants biais lorsqu’ils ne sont pas adéquats. Pour éliminer ces biais de modélisation, des méthodes non paramétriques ont été introduites permettant aux données elles mêmes de construire le modèle. Ces méthodes présentent, dans le cas multivarié, un handicap connu sous l’appellation de fléau de la dimension où la vitesse de convergence des estimateurs est une fonction décroissante de la dimension des covariables. L’idée est alors de combiner une partie linéaire avec une partie non-linéaire, ce qui aurait comme effet de réduire l’impact du fléau de la dimension. Néanmoins l’estimation non-paramétrique de la partie non-linéaire, lorsque celle-ci est multivariée, est soumise à la même contrainte de détérioration de sa vitesse de convergence. Pour pallier ce problème, la réponse adéquate est l’introduction d’une structure additive de la partie non-linéaire de son estimation par des méthodes appropriées. Cela permet alors de définir des modèles de régression partièllement linéaires et additifs. L’objet de la thèse est d’établir des résultats asymptotiques relatifs aux divers paramètres de ce modèle (consistance, vitesses de convergence, normalité asymptotique et loi du logarithme itéré) et de construire aussi des tests d’hypothèses relatives à la structure du modèle, comme l’additivité de la partie non-linéaire, et à ses paramètres. / Parametric regression models provide powerful tools for analyzing practical data when the models are correctly specified, but may suffer from large modelling biases when structures of the models are misspecified. As an alternative, nonparametric smoothing methods eases the concerns on modelling biases. However, nonparametric models are hampered by the so-called curse of dimensionality in multivariate settings. One of the methods for attenuating this difficulty is to model covariate effects via a partially linear structure, a combination of linear and nonlinear parts. To reduce the dimension impact in the estimation of the nonlinear part of the partially linear regression model, we introduce an additive structure of this part which induces, finally, a partially linear additive model. Our aim in this work is to establish some limit results pertaining to various parameters of the model (consistency, rate of convergence, asymptotic normality and iterated logarithm law) and to construct some hypotheses testing procedures related to the model structure, as the additivity of the nonlinear part, and to its parameters.

Le chapitre 1 est principalement consacré au comportement asymptotique des variations à poids du mouvement brownien fractionnaire. Tout d'abord, après avoir motivé l'intérêt d'une telle étude et rappelé la situation ``sans poids'', nous voyons que dans certains cas (en fonction de la valeur de l'indice de Hurst H), la situation ``avec poids'' peut être très différente. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement au cas où H vaut 1/4, et nous faisons le lien avec une conjecture récente par (Burdzy et) Swanson concernant la possibilité d'écrire une formule d'Itô pour la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un bruit blanc espace-temps. Enfin, nous traitons le cas du mouvement brownien itéré, en faisant apparaître à la limite une version à poids du mouvement brownien en scène aléaoire introduit par Kesten et Spitzer dans les années 70.<br /><br />Le chapitre 2 présente des théorèmes limites abstraits (principalement valables pour une suite (F_n) d'intégrales multiples par rapport à un processus gaussien isonormal X) sous des hypothèses concernant la dérivée de Malliavin de F_n. Nous y exposons notamment une nouvelle méthode donnant (de manière étonnament simple) une estimation de type Berry-Esséen quand la suite (F_n) converge en loi vers une gaussienne. En particulier, cette méthode permet d'estimer la vitesse de convergence dans le classique théorème de Breuer et Major. Notons que les outils présentés dans ce chapitre sont la base des résultats obtenus dans le premier chapitre.<br /><br />Le chapitre 3 est consacré à mes travaux relatifs à la théorie de l'intégration contre des ``chemins rugueux'' (rough paths en anglais). Tout d'abord, nous faisons un lien avec l'intégration par régularisation à la Russo-Vallois. Ensuite, nous étudions un problème de contrôle optimal. Enfin, nous exploitons l'intégration algébrique récemment introduite par Gubinelli pour calculer le développement asymptotique de la ``loi'' de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un brownien fractionnaire d'une part, et pour étudier les équations différentielles avec retard dirigées par un chemin rugueux d'autre part.<br /><br />Enfin, dans le chapitre 4, nous définissons et étudions un nouvel objet, appelé ``dérivée stochastique''. Puis, nous illustrons certains phénomènes généraux en appliquant cette théorie au cas du mouvement brownien fractionnaire avec dérive.

Le dilemme itéré du prisonnier est une représentation mathématique de la coopération entre agents. Ce modèle est issu de la théorie des jeux dont le but initial est d'étudier les situations de conflits d'intérêts entre individus. La pauvreté des résultats qu'elle implique dans le cas du dilemme du prisonnier rend son utilisation assez inefficace. Une nouvelle approche évolutionniste basée en grande partie sur des simulations informatiques a été initiée par Robert Axelrod. Les agents sont caractérisés par leur comportement, ou stratégie. Axelrod a mis en évidence quatre propriétés qu'une stratégie doit posséder pour être efficace, et propose la stratégie donnant_donnant comme exemple.<br /><br />Notre travail consiste à étudier et approfondir ce type de simulations. Nous adaptons le modèle afin de prendre en compte l'aspect discret des calculs. Cette adaptation nous permet de faire un grand nombre de simulations confirmant en majeure partie les résultats obtenus dans le cas continu. Ceci remet cependant en cause une des propriétés avancées par Axelrod : la simplicité. Nous illustrons ceci par la présentation de stratégies meilleures que donnant_donnant et à complexité plus importante. Les évaluations sont faites grâce à des simulations impliquant un très grand nombre de stratégies construites de manière objective via une approche génétique.<br /><br />Ces simulations permettent de mettre en évidence une nouvelle propriété : la faculté d'adaptation du comportement. Cette nouvelle propriété renforce l'idée de complexité croissante dans les comportements coopératifs entre agents.<br /><br />Nous débutons également l'étude d'un dilemme du prisonnier particulier dont seule l'itération diffère du modèle classique et qui permet de modéliser deux niveaux de coopération : le dilemme de l'ascenseur. Cette étude théorique et expérimentale nous permet de montrer qu'avec cette nouvelle représentation les comportements purement déterministes ne peuvent être efficaces.

Dans cette thèse, nous étudions les solutions des équations Hamilton-Jacobi. Plus précisément, nous comparons la solution de viscosité, obtenue comme limite de solutions de l'équation perturbée par un petit terme de diffusion, et la solution minmax, définie géométriquement à partir d'une fonction génératrice quadratique à l'infini. Dans la littérature, il y a des cas bien connus où les deux coïncident, par exemple lorsque le hamiltonien est convexe ou concave, le minmax pouvant alors être réduit à un min ou un max. Mais les solutions minmax et de viscosité diffèrent en général. Nous construisons des "minmax itérés" en répétant pas à pas la procédure de minmax et démontrons que, quand la taille du pas tend vers zéro, les minmax itérés tendent vers la solution de viscosité. Dans une deuxième partie, nous étudions les lois de conservation en dimension un d'espace par le méthode de "front tracking". Nous montrons que dans le cas où la donnée initiale est convexe, la solution de viscosité et le minmax sont égaux. Et comme application, nous décrivons sur des exemples la manière dont sont construites les singularités de la solution de viscosité. Pour finir, nous montrons que la notion de minmax n'est pas aussi évidente qu'il y paraît.

Cette thèse est consacrée aux résultats asymptotiques pour les modèles ARX en poursuite adaptative. Elle est constituée de quatre parties. La première partie est une brève introduction sur les modèles ARMAX et un état de l’art des principaux résultats de la littérature en poursuite adaptative. La seconde partie porte sur l’introduction d’un nouveau concept de contrôlabilité forte pour les modèles ARX en poursuite adaptative. Il permet de généraliser les résultats antérieurs. On montre la convergence presque sûre des algorithmes des moindres carrés ordinaires et pondérés. On établit également le théorème de la limite centrale ainsi que la loi du logarithme itéré pour ces deux algorithmes. La troisième partie est dédiée aux modèles ARX qui ne sont pas fortement contrôlables. On montre que, via un contrôle de poursuite excité, il est possible de s’affranchir de l’hypothèse de forte contrôlabilité. La quatrième partie est consacrée au comportement asymptotique de la statistique de Durbin-Watson pour les modèles ARX en poursuite adaptative via des arguments martingales. / This thesis is devoted to asymptotical results for ARX models in adaptive tracking. It is divided into four parts. The first part is a short introduction on ARMAX models together with a state of the art on the main results in the literature on adaptive tracking. The second part deals with a new concept of strong controllability for ARX models in adaptive tracking. This new notion allows us to extend the previous convergence results. We prove the almost sure convergence for both least squares and weighted least squares algorithms. We also establish a central limit theorem and a law of iterated logarithm for these two algorithms. The third part is dedicated to ARX models that are not strongly controllable. Thanks to a persistently excited adaptive tracking control, we show that it is possible to get rid of the strong controllability assumption. The fourth part deals with the asymptotic behaviour of the Durbin-Watson statistic for ARX models in adaptive tracking via a martingale approach.

L’altruisme réciproque, le mécanisme le plus vraisemblable expliquant l’existence de la coopération entre individus non-apparentés, peut être modélisé par le Dilemme du Prisonnier. Ce jeu prédit que la coopération devrait évoluer lorsque les joueurs prévoient d’interagir ensemble à maintes reprises et adoptent des stratégies conditionnelles telles que «Tit-For-Tat» ou Pavlov. Bien que la coopération soit à la source de toutes sociétés humaines, celle-ci est rarement observée chez les animaux. Une explication plausible serait que ces derniers sont plus impulsifs que les humains. Plusieurs études ayant évalué les effets de l’impulsivité sur la coopération ont en effet trouvé un impact négatif du phénomène de « discounting » sur la réciprocité. Néanmoins, l’impulsivité n’est pas un concept unitaire et le rôle de l’impulsivité motrice, une autre facette de l’impulsivité, reste inexploré, alors qu’elle pourrait également restreindre la coopération en altérant la capacité des individus à ajuster de manière flexible leur comportement face aux décisions prises par leur partenaire. En effet, l’impulsivité motrice se définit comme étant l’incapacité à inhiber un comportement qui n’est plus approprié suite à un changement de situation et est donc contreproductif (Broos et al., 2012; MacLean et al., 2014). Pour résoudre cette hypothèse, nous avons mené une expérience avec des diamants mandarins (Taenyopigia guttata) que nous avons appariés en fonction de leur niveau d’impulsivité motrice, puis nous les avons fait jouer dans un Dilemme du Prisonnier Alterné. Tel qu’attendu, nous avons trouvé que la coopération mutuelle survenait plus fréquemment entre les partenaires autocontrôlés que les paires d’individus impulsifs, ce qui serait dû à une différence entre les stratégies employées par les deux types d’individus. Plus précisément, les individus autocontrôlés utilisaient une stratégie « Generous TFT », tel que prédit par la théorie, alors que les oiseaux impulsifs choisissaient de coopérer avec une probabilité fixe, laquelle était indépendante de la décision précédemment prise par le partenaire. Si l’incapacité des individus impulsifs à utiliser des stratégies réactionnelles est due à une capacité de la mémoire de travail réduite, nos résultats pourraient alors contribuer à expliquer les différences interspécifiques qui existent au niveau des comportements coopératifs. / Reciprocal altruism, the most probable mechanism for cooperation among unrelated individuals, can be modelled as a Prisoner’s Dilemma. This game predicts that cooperation should evolve whenever the players, who expect to interact repeatedly, adopt conditional strategies. Yet, experimental data suggest that reciprocity would be rare in animal societies, maybe because animals, compared to humans, are very impulsive. Several studies examining the effect of impulsiveness on cooperation have indeed found a negative impact of temporal discounting. On the other hand, the role of impulsive action, another facet of impulsiveness, remains unexplored, though it could also impede cooperation by affecting the capacity of individuals to flexibly adjust their behaviour to their partner’s decision. To address this hypothesis, we conducted an experiment with zebra finches (Taenyopigia guttata) that were paired assortatively with respect to their level of impulsive action and then played an Alternating Prisoner’s Dilemma. As anticipated, we found that mutual cooperation occurred more frequently between self-controlled partners than between impulsive ones, a difference that was caused by differences in the strategy used by both types of individuals. Specifically, self-controlled individuals used a Generous TFT strategy, as predicted by theory, whereas impulsive birds chose to cooperate with a fixed probability, which was independent of their partner’s previous decision. If the inability of impulsive individuals to use reactive strategies are due to their reduced working memory capacity, our findings might contribute to explaining interspecific differences in cooperative behaviour.

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