Orientador: Dessislava Hristova Kochloukova / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-04T04:02:42Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Silva_VivianeMorettoda_M.pdf: 772022 bytes, checksum: df78c072210885081ecac3c1e89b04fd (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Nesta dissertação de mestrado, estudamos propriedades de álgebras de Lie. As Álgebras de Lie têm grande importância nao somente na teoria de álgebras não associativas, elas surgem também em geometria, topologia e no estudo da teoria de grupos por exemplo. As definições e resultados básicos sobre álgebras de Lie estão inclusos no Capítulo 2. Para esta parte do trabalho, utilizamos os livros [1] e [2]. O nosso enfoque foi sobre álgebras universais envelopantes, mergulhando assim a álgebra de Lie em álgebras associativas (Seções 2.4, 2.5 e 2.6). O objetivo principal da dissertação foi estudar o artigo [4], ¿Finite presentation of abelian-by-finite dimensional Lie algebras¿, que classifica álgebras de Lie finitamente apresentáveis (no sentido de serem definidas por número finito de geradores e relações) que são extensões de ideal abeliano por álgebra de Lie de dimensão finita. Definimos álgebras de Lie livres na seção 2.7.Tratam-se de objetos na categoria de álgebras de Lie que satisfazem propriedade universal semelhante a definição de grupos livres. A classificação de álgebras de Lie que são extensões de ideal abeliano por álgebra de Lie de dimensão finita usa teoria de módulos Noetherianos. No Capítulo 1 incluímos resultados básicos sobre módulos, em particular estudamos módulos Noetherianos, não necessariamente sobre anéis comutativos (para este estudo utilizamos [9]), embora alguns resultados sejam válidos somente no caso onde o anel básico é comutativo (caso do Teorema da Base de Hilbert 1.31 no Capítulo 1). No final, nos Capítulos 3 e 4, explicamos de maneira bem minuciosa (com mais 6 detalhes que o original) o resultado principal de [4], que 'e apresentado na página 42: Proposicão 3.2: Seja L uma álgebra de Lie finitamente gerada sobre o corpo K. Suponha que L tenha um ideal abeliano A tal que L/A tem dimensão finita como espaço vetorial. Seja R álgebra universal envelopante de L/A. Suponha também que o quadrado tensorial A X A é finitamente gerado como R-módulo sobre a ação diagonal. Então L é finitamente apresentável. Os métodos da demonstração de 3.2 envolvem muitos cálculos com relações em L para mostrar que um conjunto finito E 'e suficiente para gerar todas as relações em L. Embora os cálculos sejam muitos, a técnica principal 'e a indução e a Identidade de Jacobi. A teoria de módulos Noetherianos também foi muito utilizada / Abstract: In this work we study the classification of finitely presented abelian-by-finite dimensional Lie algebras given in [4]. If L is a Lie algebra, an extension of an abelian ideal A by a finite dimensional Lie algebra L/A then L is finitely presented if and only if A X A is finitely generated as U(L/A)-module via the diagonal action, where U(L/A) is the universal enveloping algebra of L/A. We study in detail the result that finite generation of A X A over U(L/A) implies finite presentability of L / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

The non-resonant bounded uniserial representations of Vec(R) form a certain class of extensions composed of tensor density modules, all of whose subquotients are indecomposable. The problem of classifying the extensions with a given composition series is reduced via cohomological methods to computing the solution of a certain system of polynomial equations in several variables derived from the cup equations for the extension. Using this method, we classify all non-resonant bounded uniserial extensions of Vec(R) up to length 6. Beyond this length, all such extensions appear to arise as subquotients of extensions of arbitrary length, many of which are explained by the psuedodifferential operator modules. Others are explained by a wedge construction and by the pseudodifferential operator cocycle discovered by Khesin and Kravchenko.

Motivated by A. Z. Petrov's classification of four-dimensional Lorentzian metrics, we provide an algebraic classification of the isometry-isotropy pairs of four-dimensional pseudo-Riemannian metrics admitting local slices with five-dimensional isometries contained in the Lorentz algebra. A purely Lie algebraic approach is applied with emphasis on the use of Lie theoretic invariants to distinguish invariant algebra-subalgebra pairs. This method yields an algorithm for identifying isometry-isotropy pairs subject to the aforementioned constraints.

Degree awarded with distinction on 6 December 1995. A research report submitted to the Faculty of Science, University of the Witwatersrand, in fulfilment of the requirements for the degree of Masters. Johannesburg, 1995. / In this work we give a brief overview of the existing group classification methods of partial differential equations by means of examples. On top of these methods we introduce another new method which classify according to low-dimensional Lie elgebras, One can ask: What is the aim of introducing a new method whilst there are existing methods? This question is answered in the following paragraph. Firstly we classify our system of non-linear partial differential equations using the preliminary group classification method (one of the existing methods). The results are not different from what; Euler, Steeb and Mulsor have obtained in 1991 and 1992. That is, this method does not yield new information. This new method which classifies according to low-dimensional Lie algebras is used to classify a general system of equations from plasma physics. Finally, using this method we completely classify our system for four-dimensionnl algebras. For a partial differential equation to be completely classified using this method, it must admit a low-dimensional Lie algebra.

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Neste trabalho classificamos, a menos de isomorfismos, as álgebras de Bol de dimensão 2 sobre um corpo de característica 0. Também determinamos suas álgebras de Lie envolvente e, mostramos que existem álgebras de Bol não isomorfas cujas álgebras de Lie envolventes coorrespondentes são isomorfas. Calculamos os grupos algébricos (locais) correspondentes a cada uma das álgebras de Lie envolventes e provamos que todo loop de Bol analítico (algébrico) global de dimensão 2 sobre um corpo de característica 0 é um grupo. Exibimos exemplos de loops de Bol algébricos globais de dimensão n, para todo n > 2, e fornecemos uma condição necessária e suciente para a existência de um loop de Bol algébrico global quando a álgebra de Bol tem uma álgebra de Lie envolvente nilpotente de índice 2 sobre um corpo de característica diferente de 2. / In this work, we classify up to isomorphism, the Bol algebras of dimension 2 over a eld of characteristic 0. We also determine their enveloping Lie algebras and we exhibit two non-isomorphic Bol algebras which have isomorphic enveloping Lie algebras. We determine the (local) correspondent algebraic groups of each of those enveloping Lie algebras and we show that every global analytic (algebraic) Bol loop of dimension 2 over a eld of characteristic 0 is a group. We exhibit examples of non-nilpotent solvable algebraic Bol loops in dimension n for every n > 2, and we were able to give a necessary and sucient condition to decide if a local algebraic Bol loop is global when its enveloping Lie algebra is nilpotent of index 2 and char(F) 6= 2:

Submitted by Alison Vanceto (alison-vanceto@hotmail.com) on 2016-09-21T11:54:01Z No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-09-21T12:02:05Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Approved for entry into archive by Ronildo Prado (ronisp@ufscar.br) on 2016-09-21T12:02:16Z (GMT) No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) / Made available in DSpace on 2016-09-21T12:12:18Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DissGEMG.pdf: 900713 bytes, checksum: 6350d5da67ccdaab208cf7961f1161f6 (MD5) Previous issue date: 2015-08-28 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / The objective of this dissertation is descrive formally the irreducible representations of finitedimensional semisimple Lie algebras g over a field F algebraically closed with characteristic zero, as also get some multiplicity formulas that allow compute the dimension of the weight space in the representation and also the quantity of weight. In this regard, the newness of this work is the study of a new characters formula, recently published by Schützer [Sch12], and this based in one combinatory given only in terms of not simple positive roots of the Lie algebra. The main results of this dissertation are reviewed and clarified. / O objetivo deste trabalho é descrever formalmente as representações irredutíveis das álgebras de Lie semissimples g de dimensão finita sobre um corpo algebricamente fechado de característica zero, como também obter algumas fórmulas de multiplicidades que permitem calcular a dimensão dos espaços de peso da representação e também a quantidade de pesos. Nesse sentido, a novidade deste trabalho é o estudo de uma nova fórmula de Caracteres, recentemente encontrada por Schützer [Sch12], e que se baseia em uma combinatória dada apenas em termos das raízes positivas não simples da álgebra de Lie. Os principais resultados desse artigo são revistos e clarificados.

Neste trabalho classificamos, a menos de isomorfismos, as álgebras de Bol de dimensão 2 sobre um corpo de característica 0. Também determinamos suas álgebras de Lie envolvente e, mostramos que existem álgebras de Bol não isomorfas cujas álgebras de Lie envolventes coorrespondentes são isomorfas. Calculamos os grupos algébricos (locais) correspondentes a cada uma das álgebras de Lie envolventes e provamos que todo loop de Bol analítico (algébrico) global de dimensão 2 sobre um corpo de característica 0 é um grupo. Exibimos exemplos de loops de Bol algébricos globais de dimensão n, para todo n > 2, e fornecemos uma condição necessária e suciente para a existência de um loop de Bol algébrico global quando a álgebra de Bol tem uma álgebra de Lie envolvente nilpotente de índice 2 sobre um corpo de característica diferente de 2. / In this work, we classify up to isomorphism, the Bol algebras of dimension 2 over a eld of characteristic 0. We also determine their enveloping Lie algebras and we exhibit two non-isomorphic Bol algebras which have isomorphic enveloping Lie algebras. We determine the (local) correspondent algebraic groups of each of those enveloping Lie algebras and we show that every global analytic (algebraic) Bol loop of dimension 2 over a eld of characteristic 0 is a group. We exhibit examples of non-nilpotent solvable algebraic Bol loops in dimension n for every n > 2, and we were able to give a necessary and sucient condition to decide if a local algebraic Bol loop is global when its enveloping Lie algebra is nilpotent of index 2 and char(F) 6= 2:

O espectro vibracional do monofluoracetileno (HCCF) e do monocloroacetileno (HCCCl) são calculados por meio de técnicas algébricas sob a hipótese de que eles resultam de uma simetria u(4) dada pela cadeia u(4) ⊃ so(4) ⊃ so(3). Os resultados são comparados com as 170 linhas vibracionais experimentais disponíveis para o HCCF e com as 23 disponíveis para o HCCCL. Os desvios médios encontrados de 7 cm-1 e 4 cm-1, respectivamente, estabelecem estes sistemas como os melhores exemplos de simetria dinâmica em Física Molecular até o momento. Numa outra aplicação de técnicas algébricas, tendo em mente aplicações que requerem a manipulação de diferentes representações irredutíveis, nós calculamos fórmulas fechadas e analíticas para os elementos de matriz dos geradores da álgebra simplética sp(4,C) atuando numa representação irredutível arbitrária da cadeia sp(4,C) ⊃ sp(2,C) ⊕sp(2, C), a qual está sendo utilizada no estudo do código genético. A base utilizada é ortogonal e é análoga à base de Gel\'fand- Tsetlin para as álgebras unitárias. / The vibrational spectrum of monofluoroacetylene (HCCF) and of monochloroacetylene (HCCCl) are calculated by means of algebraic techniques under the hypothesis that they result from a U(4) symmetry through the chain U(4) symmetry through the chain U(4) ⊃ O(4) ⊃ O(3). The results are compared with the 170 experimentally available vibrational lines for the HCCF and with the 23 experimentally available vibrational lines for the HCCCl. The mean square deviation is founded to be 7 cm-1 and 4 cm-1, respectivelly, establishing these spectra as the best examples of a dynamical symmetry reported in Molecular Physics so far. In another application of algebraic techniques, having in mind applications in which the algebraic handling of several different irreducible representations are necessary, we provide closed formulas for the matrix elements of the symplectic sp(4,C) Lie algebra on an arbitrary irreducible representation on the chain sp(4,C) ⊃ sp(2,C) ⊕ sp(2,C), which is being used in the study of the genetic code by Lie algebras. The used basis is orthogonal and analogous to the Gel\'fand- Tsetlin basis of unitary algebras.

Dans ce travail nous nous intéressons aux groupes cristallographiques, i.e. aux sous-groupes du groupe des transformations affines qui agissent proprement discontinûment et de façon cocompacte sur l’espace affine. Ce sont les groupes fondamentaux des variétés affines compactes et complètes. Nous classifions les groupes cristallographiques dont la partie linéaire préserve une forme hermitienne de signature (n,1). Grunewald et Margulis ont prouvé que ces groupes cristallographiques sont virtuellement résolubles (la conjecture d’Auslander affirme que c’est toujours le cas). Notre classification est effectuée pour n ≤ 3. Elle correspond à la classification, à revêtement fini près, des variétés Hermite-Lorentz plates, compactes et complètes en dimension complexe inférieure ou égale à4. Ce travail est inspiré par ceux menés par Bieberbach, puis Fried, et enfin Grunewald et Margulis sur les groupes cristallographiques dont la partie linéaire préserve une forme quadratique définie positive ou lorentzienne. En effectuant cette classification, nous avons été amené à étudier certains familles d’algèbres de Lie nilpotentes de dimension 8. Nous avons ensuite étendu cette classification à celle de toutes les algèbres de Lie 3-nilpotentes de dimension 8 ayant l’algèbre de Lie libre 3-nilpotente à 3générateurs pour quotient. Ce résultat peut être vu comme un pas dans la direction d’une classification des algèbres de Lie nilpotentes de dimension 8. Ensuite nous nous sommes demandé lesquelles de ces algèbres admettent une métrique pseudo-riemannienne plate et nous avons donné une réponse partielle. / In this work we deal with crystallographic groups, i.e. the subgroups of the group of affine transformations that act properly discontinuously and cocompactly on affine space. In otherwords they are the fundamental groups of compact and complete affine manifolds. In this thesis we classify such groups with the additional hypothesis that the linear part preserves a Hermitian form of signature (n,1). Grunewald and Margulis proved that such crystallographic groups are virtually solvable (the Auslander conjecture states that this is always true). Our classification is for n ≤ 3. It corresponds to a classification, up to finite covering, and for complex dimension at most 4, of flat compact complete Hermite-Lorentz manifolds. This is inspired by the works done by Bieberbach,then Fried, and finally Grunewald and Margulis who classified crystallographic groups whose line arpart preserves a positive definite or Lorentzian quadratic form. Making this classification we had to classify a family of 8-dimensional nilpotent Lie algebras. We then extended this classification toall the 8-dimensional 3-step nilpotent Lie algebras having the free 2-step nilpotent Lie algebra on 3generators as quotient. This result can be seen as a step in the direction of a general classification of nilpotent Lie algebras of dimension 8. We then wondered which of these Lie algebras admit flat pseudo-Riemannian metrics and gave a partial answer to this question.