Η παρούσα διδακτορική διατριβή πραγματεύεται το θέμα της αποδοτικής και με βεβαιότητα εύρεσης όλων των ριζών της παραμετρικής εξίσωσης f(x;[p]) = 0, μιας συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης f με [p] ένα διάνυσμα που περιγράφει όλες τις παραμέτρους της παραμετρικής εξίσωσης και τυποποιούνται με τη μορφή διαστημάτων. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος χρησιμοποιήθηκαν εργαλεία της Διαστηματικής Ανάλυσης. Το κίνητρο για την ερευνητική ενασχόληση με το παραπάνω πρόβλημα προέκυψε μέσα από ένα κλασικό πρόβλημα αριθμητικής ανάλυσης: την αριθμητική επίλυση συστημάτων πολυωνυμικών εξισώσεων μέσω διαστηματικής ανάλυσης. Πιο συγκεκριμένα, προτάθηκε μια ευρετική τεχνική αναδιάταξης του αρχικού πολυωνυμικού συστήματος που φαίνεται να βελτιώνει σημαντικά, κάθε φορά, τον χρησιμοποιούμενο επιλυτή. Η ανάπτυξη, καθώς και τα αποτελέσματα αυτής της εργασίας αποτυπώνονται στο Κεφάλαιο 2 της παρούσας διατριβής. Στο επόμενο Κεφάλαιο 3, προτείνεται μια μεθοδολογία για την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση μη-γραμμικών εξισώσεων με διαστηματικές παραμέτρους, δηλαδή την αποδοτική και αξιόπιστη επίλυση διαστηματικών εξισώσεων. Πρώτα, δίνεται μια νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής και αποδεικνύεται η ισοδυναμία της με τον κλασσικό ορισμό. Στη συνέχεια, χρησιμοποιείται η νέα διατύπωση της Διαστηματικής Αριθμητικής ως θεωρητικό εργαλείο για την ανάπτυξη μιας επέκτασης της διαστηματικής μεθόδου Newton που δύναται να επιλύσει όχι μόνο κλασικές μη-παραμετρικές μη-γραμμικές εξισώσεις, αλλά και παραμετρικές (διαστηματικές) μη-γραμμικές εξισώσεις. Στο Κεφάλαιο 4 προτείνεται μια νέα προσέγγιση για την αριθμητική επίλυση του προβλήματος της Ολικής Βελτιστοποίησης με περιορισμούς διαστήματα, χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 3. Το πρόβλημα της ολικής βελτιστοποίησης, ανάγεται σε πρόβλημα επίλυσης διαστηματικών εξισώσεων, και γίνεται εφικτή η επίλυσή του με τη βοήθεια των θεωρητικών αποτελεσμάτων και της αντίστοιχης μεθοδολογίας του Κεφαλαίου 3. Στο τελευταίο Κεφάλαιο δίνεται μια νέα αλγοριθμική προσέγγιση για το πρόβλημα της επίλυσης διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων. Η νέα αυτή προσέγγιση, βασίζεται και γενικεύει την εργασία των Hansen και Walster, οι οποίοι πρότειναν μια μέθοδο για την επίλυση διαστηματικών πολυωνυμικών εξισώσεων 2ου βαθμού. / In this dissertation the problem of finding reliably and with certainty all the zeros a pa-rameterized equation f(x;[p]) = 0, of a continuously differentiable function f is considered, where [p] is an interval vector describing all the parameters of the Equation, which are formed with interval numbers. For this kind of problem, methods of Interval Analysis are used. The incentive to this scientific research was emerged from a classic numerical analysis problem: the numerical solution of polynomial systems of equations using interval analysis. In particular, a heuristic reordering technique of the initial polynomial systems of equations is proposed. This approach seems to improve significantly the used solver. The proposed technique, as well as the results of this publication are presented in Chapter 2 of this dissertation. In the next Chapter 3, a methodology is proposed for solving reliably and efficiently parameterized (interval) equations. Firstly, a new formulation of interval arithmetic is given and the equivalence with the classic one is proved. Then, an extension of interval Newton method is proposed and developed, based on the new formulation of interval arithmetic. The new method is able to solve not only classic non-linear equations but, non-linear parameterized (interval) equation too. In Chapter 4 a new approach on solving the Box-Constrained Global Optimization problem is proposed, based on the results of Chapter 3. In details, the Box-Constrained Global Optimization problem is reduced to a problem of solving interval equations. The solution of this reduction is attainable through the methodology developed in Chapter 3. In the last Chapter of this dissertation a new algorithmic approach is given for the problem of solving reliably and with certainty an interval polynomial equation of degree $n$. This approach consists in a generalization of the work of Hansen and Walster. Hansen and Walster proposed a method for solving only quadratic interval polynomial equations

Eine Standardformulierung der Randwertaufgabe für die Beschreibung zeitharmonischer elektromagnetischer Phänomene hat die Vektor-Helmholtzgleichung für das elektrische Feld zur Grundlage. Bei niedrigen Frequenzen führt der große Nullraum des Rotationsoperators zu einem instabilen Lösungsverhalten. Wird die Randwertaufgabe zum Beispiel mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente in ein lineares Gleichungssystem überführt, äußert sich die Instabilität in einer schlechten Konditionszahl ihrer Koeffizientenmatrix. Eine stabilere Formulierung wird durch die explizite Berücksichtigung der Kontinuitätsgleichung erreicht. Zur numerischen Lösung der Randwertaufgaben wurde eine Finite-Elemente-Software erstellt. Sie berücksichtigt unter anderem unstrukturierte Gitter, räumlich variable, anisotrope Materialparameter sowie die Erweiterung der Maxwell-Gleichungen durch Perfectly Matched Layers. Die Software wurde anhand von Anwendungen in der marinen Geophysik erfolgreich getestet. Insbesondere demonstriert die Einbeziehung von Seebodentopographie in Form einer stetigen Oberflächentriangulierung die geometrische Flexibilität der Software. / The physics of time-harmonic electromagnetic phenomena can be mathematically described by boundary value problems. A standard approach is based on the vector Helmholtz equation in terms of the electric field. The curl operator involved has a large, non-trivial kernel which leads to an instable solution behaviour at low frequencies. If the boundary value problem is solved approximately using, e. g., the finite element method, the instability expresses itself by a badly conditioned coefficient matrix of the ensuing system of linear equations. A stable formulation is obtained by taking the continuity equation explicitly into account. In order to solve the boundary value problem numerically a finite element software package has been implemented. Its features comprise, amongst others, the treatment of unstructured meshes and piecewise polynomial, anisotropic constitutive parameters as well as the extension of Maxwell’s equations to the Perfectly Matched Layer. Successful application of the software is demonstrated with examples from marine geophysics. In particular, the incorporation of seafloor topography by a continuous surface triangulation illustrates the geometric flexibility of the software.

Die FEM-MKS-Kopplung erfordert Modellordnungsreduktions-Verfahren, die mit kleiner reduzierter Systemdimension das Übertragungsverhalten mechanischer Strukturen abbilden. Rationale Krylov-Unterraum-Verfahren, basierend auf dem Arnoldi-Algorithmen, ermöglichen solche Abbildungen in frei wählbaren, breiten Frequenzbereichen. Ziel ist der Entwurf einer fehlerüberwachten Modelreduktion auf Basis von Krylov-Unterraumverfahren und Anwendung auf ein strukturmechanisches Model. Auf Grundlage der Software MORPACK wird eine Arnoldi-Funktion erster Ordnung um interpolativen Startvektor, Eliminierung der Starrkörperbewegung und Reorthogonalisierung erweitert. Diese Operationen beinhaltend, wird ein rationales, interpolatives SOAR-Verfahren entwickelt. Ein rationales Block-SOAR-Verfahren erweist sich im Vergleich als unterlegen. Es wird interpolative Gleichwichtung verwendet. Das Arnoldi-Verfahren zeichnet kleiner Berechnungsaufwand aus. Das rationale, interpolative SOAR liefert kleinere reduzierte Systemdimensionen für gleichen abgebildeten Frequenzbereich. Die Funktionen werden auf Rahmen-, Getriebegehäuse- und Treibsatzwellen-Modelle angewendet. Zur Fehlerbewertung wird eigenfrequenzbasiert ein H2-Integrationsbereich festgelegt und der übertragungsfunktionsbasierte, relative H2-Fehler berechnet. Es werden zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit Matlab entsprechende Löser-Funktionen, auf Permutation und Faktorisierung basierend, implementiert.:1. Einleitung 1.1. Motivation 1.2. Einordnung 1.3. Aufbau der Arbeit 2. Theorie 2.1. Simulationsmethoden 2.1.1. Finite Elemente Methode 2.1.2. Mehrkörpersimulation 2.1.3. Kopplung der Simulationsmethoden 2.2. Zustandsraumdarstellung und Reduktion 2.3. Krylov Unterraum Methoden 2.4. Arnoldi-Algorithmen erster Ordnung 2.5. Arnoldi-Algorithmen zweiter Ordnung 2.6. Korrelationskriterien 2.6.1. Eigenfrequenzbezogene Kriterien 2.6.2. Eigenvektorbezogene Kriterien 2.6.3. Übertragungsfunktionsbezogene Kriterien 2.6.4. Fehlerbewertung 2.6.5. Anwendung auf Systeme sehr großer Dimension 3. Numerik linearer Gleichungssysteme 3.1. Grundlagen 3.2. Singularität der Koeffizientenmatrix 3.2.1. Randbedingungen des Systems 3.2.2. Verwendung einer generellen Diagonalperturbation 3.3. Iterative Lösungsverfahren 3.4. Faktorisierungsverfahren 3.4.1. Cholesky-Faktorisierung 3.4.2. LU-Faktorisierung 3.4.3. Fillin-Reduktion durch Permutation 3.4.4. Fazit 3.5. Direkte Lösungsverfahren 3.6. Verwendung externer Gleichungssystem-Löser 3.7. Zusammenfassung 4. Implementierung 4.1. Aufbau von MORPACK 4.2. Anforderungen an Reduktions-Funktionen 4.3. Eigenschaften und Optionen der KSM-Funktionen 4.3.1. Arnoldi-Funktion erster Ordnung 4.3.2. Rationale SOAR-Funktionen 4.4. Korrelationskriterien 4.4.1. Eigenfrequenzbezogen 4.4.2. Eigenvektorbezogen 4.4.3. Übertragungsfunktionsbezogen 4.5. Lösungsfunktionen linearer Gleichungssysteme 4.5.1. Anforderungen und Aufbau 4.5.2. Verwendung der Gleichungssystem-Löser 4.5.3. Hinweise zur Implementierung von Gleichungssystem-Lösern 5. Anwendung 5.1. Versuchsmodelle 5.1.1. Testmodelle kleiner Dimension 5.1.2. Getriebegehäuse 5.1.3. Treibsatzwelle 5.2. Validierung der Reduktionsmethoden an kleinem Modell 5.2.1. Modifizierte Arnoldi-Funktion erster Ordnung 5.2.2. Rationale SOAR-Funktionen 5.2.3. Zusammenfassung 5.3. Anwendung der KSM auf große Modelle 5.3.1. Getriebegehäuse 5.3.2. Treibsatzwelle 5.4. Auswertung 6. Zusammenfassung und Ausblick 6.1. Zusammenfassung 6.2. Ausblick / FEM-MKS-coupling requires model order reduction methods to simulate the frequency response of mechanical structures using a smaller reduced representation of the original system. Most of the rational Krylov-subspace methods are based on Arnoldi-algorithms. They allow to represent the frequency response in freely selectable, wide frequency ranges. Subject of this thesis is the implementation of an error-controlled model order reduction based on Krylov-subspace methods and the application to a mechanical model. Based on the MORPACK software, a first-order-Arnoldi function is extended by an interpolative start vector, the elimination of rigid body motion and a reorthogonalization. Containing these functions, a rational, interpolative Second Order Arnoldi (SOAR) method is designed that works well compared to a rational Block-SOAR-method. Interpolative equal weighting is used. The first-order-Arnoldi method requires less computational effort compared to the rational, interpolative SOAR that is able to compute a smaller reduction size for same frequency range of interest. The methods are applied to the models of a frame, a gear case and a drive shaft. Error-control is realized by eigenfrequency-based H2-integration-limit and relative H2-error based on the frequency response function. For solving linear systems of equations in Matlab, solver functions based on permutation and factorization are implemented.:1. Einleitung 1.1. Motivation 1.2. Einordnung 1.3. Aufbau der Arbeit 2. Theorie 2.1. Simulationsmethoden 2.1.1. Finite Elemente Methode 2.1.2. Mehrkörpersimulation 2.1.3. Kopplung der Simulationsmethoden 2.2. Zustandsraumdarstellung und Reduktion 2.3. Krylov Unterraum Methoden 2.4. Arnoldi-Algorithmen erster Ordnung 2.5. Arnoldi-Algorithmen zweiter Ordnung 2.6. Korrelationskriterien 2.6.1. Eigenfrequenzbezogene Kriterien 2.6.2. Eigenvektorbezogene Kriterien 2.6.3. Übertragungsfunktionsbezogene Kriterien 2.6.4. Fehlerbewertung 2.6.5. Anwendung auf Systeme sehr großer Dimension 3. Numerik linearer Gleichungssysteme 3.1. Grundlagen 3.2. Singularität der Koeffizientenmatrix 3.2.1. Randbedingungen des Systems 3.2.2. Verwendung einer generellen Diagonalperturbation 3.3. Iterative Lösungsverfahren 3.4. Faktorisierungsverfahren 3.4.1. Cholesky-Faktorisierung 3.4.2. LU-Faktorisierung 3.4.3. Fillin-Reduktion durch Permutation 3.4.4. Fazit 3.5. Direkte Lösungsverfahren 3.6. Verwendung externer Gleichungssystem-Löser 3.7. Zusammenfassung 4. Implementierung 4.1. Aufbau von MORPACK 4.2. Anforderungen an Reduktions-Funktionen 4.3. Eigenschaften und Optionen der KSM-Funktionen 4.3.1. Arnoldi-Funktion erster Ordnung 4.3.2. Rationale SOAR-Funktionen 4.4. Korrelationskriterien 4.4.1. Eigenfrequenzbezogen 4.4.2. Eigenvektorbezogen 4.4.3. Übertragungsfunktionsbezogen 4.5. Lösungsfunktionen linearer Gleichungssysteme 4.5.1. Anforderungen und Aufbau 4.5.2. Verwendung der Gleichungssystem-Löser 4.5.3. Hinweise zur Implementierung von Gleichungssystem-Lösern 5. Anwendung 5.1. Versuchsmodelle 5.1.1. Testmodelle kleiner Dimension 5.1.2. Getriebegehäuse 5.1.3. Treibsatzwelle 5.2. Validierung der Reduktionsmethoden an kleinem Modell 5.2.1. Modifizierte Arnoldi-Funktion erster Ordnung 5.2.2. Rationale SOAR-Funktionen 5.2.3. Zusammenfassung 5.3. Anwendung der KSM auf große Modelle 5.3.1. Getriebegehäuse 5.3.2. Treibsatzwelle 5.4. Auswertung 6. Zusammenfassung und Ausblick 6.1. Zusammenfassung 6.2. Ausblick

Eine Standardformulierung der Randwertaufgabe für die Beschreibung zeitharmonischer elektromagnetischer Phänomene hat die Vektor-Helmholtzgleichung für das elektrische Feld zur Grundlage. Bei niedrigen Frequenzen führt der große Nullraum des Rotationsoperators zu einem instabilen Lösungsverhalten. Wird die Randwertaufgabe zum Beispiel mit Hilfe der Methode der Finiten Elemente in ein lineares Gleichungssystem überführt, äußert sich die Instabilität in einer schlechten Konditionszahl ihrer Koeffizientenmatrix. Eine stabilere Formulierung wird durch die explizite Berücksichtigung der Kontinuitätsgleichung erreicht. Zur numerischen Lösung der Randwertaufgaben wurde eine Finite-Elemente-Software erstellt. Sie berücksichtigt unter anderem unstrukturierte Gitter, räumlich variable, anisotrope Materialparameter sowie die Erweiterung der Maxwell-Gleichungen durch Perfectly Matched Layers. Die Software wurde anhand von Anwendungen in der marinen Geophysik erfolgreich getestet. Insbesondere demonstriert die Einbeziehung von Seebodentopographie in Form einer stetigen Oberflächentriangulierung die geometrische Flexibilität der Software. / The physics of time-harmonic electromagnetic phenomena can be mathematically described by boundary value problems. A standard approach is based on the vector Helmholtz equation in terms of the electric field. The curl operator involved has a large, non-trivial kernel which leads to an instable solution behaviour at low frequencies. If the boundary value problem is solved approximately using, e. g., the finite element method, the instability expresses itself by a badly conditioned coefficient matrix of the ensuing system of linear equations. A stable formulation is obtained by taking the continuity equation explicitly into account. In order to solve the boundary value problem numerically a finite element software package has been implemented. Its features comprise, amongst others, the treatment of unstructured meshes and piecewise polynomial, anisotropic constitutive parameters as well as the extension of Maxwell’s equations to the Perfectly Matched Layer. Successful application of the software is demonstrated with examples from marine geophysics. In particular, the incorporation of seafloor topography by a continuous surface triangulation illustrates the geometric flexibility of the software.

[ES] La resolución de ecuaciones y sistemas no lineales es un tema de gran interés teórico-práctico, pues muchos modelos matemáticos de la ciencia o de la industria se expresan mediante sistemas no lineales o ecuaciones diferenciales o integrales que, mediante técnicas de discretización, dan lugar a dichos sistemas. Dado que generalmente es difícil, si no imposible, resolver analíticamente las ecuaciones no lineales, la herramienta más extendida son los métodos iterativos, que tratan de obtener aproximaciones cada vez más precisas de las soluciones partiendo de determinadas estimaciones iniciales. Existe una variada literatura sobre los métodos iterativos para resolver ecuaciones y sistemas, que abarca conceptos como, eficiencia, optimalidad, estabilidad, entre otros importantes temas. En este estudio obtenemos nuevos métodos iterativos que mejoran algunos conocidos en términos de orden o eficiencia, es decir que obtienen mejores aproximaciones con menor coste computacional. La convergencia de los métodos iterativos suele estudiarse desde el punto de vista local. Esto significa que se obtienen resultados de convergencia imponiendo condiciones a la ecuación en un entorno de la solución. Obviamente, estos resultados no son aplicables si no la conocemos. Otro punto de vista, que abordamos en este trabajo, es el estudio semilocal que, imponiendo condiciones en un entorno de la estimación inicial, proporciona un entorno de dicho punto que contiene la solución y garantiza la convergencia del método iterativo a la misma. Finalmente, desde un punto de vista global, estudiamos el comportamiento de los métodos iterativos en función de la estimación inicial, mediante el estudio de la dinámica de las funciones racionales asociadas a estos métodos. La presente memoria recoge los resultados de varios artículos de nuestra autoría, en los que se tratan distintos aspectos de la materia, como son, las peculiaridades de la convergencia en el caso de raíces múltiples, la posibilidad de aumentar el orden de un método óptimo de orden cuatro a orden ocho, manteniendo la optimalidad en el caso de raíces múltiples, el estudio de la convergencia semilocal en un método de alto orden, así como el comportamiento dinámico de algunos métodos iterativos. / [CA] La resolució d'equacions i sistemes no lineals és un tema de gran interés teoricopràctic, perquè molts models matemàtics de la ciència o de la indústria s'expressen mitjançant sistemes no lineals o equacions diferencials o integrals que, mitjançant tècniques de discretizació, donen lloc a aquests sistemes. Atés que generalment és difícil, si no impossible, resoldre analíticament les equacions no lineals, l'eina més estesa són els mètodes iteratius, que tracten d'obtindre aproximacions cada vegada més precises de les solucions partint de determinades estimacions inicials. Existeix una variada literatura sobre els mètodes iteratius per a resoldre equacions i sistemes, que abasta conceptes com ordre d'aproximació, eficiència, optimalitat, estabilitat, entre altres importants temes. En aquest estudi obtenim nous mètodes iteratius que milloren alguns coneguts en termes d'ordre o eficiència, és a dir que obtenen millors aproximacions amb menor cost computacional. La convergència dels mètodes iteratius sol estudiar-se des del punt de vista local. Això significa que s'obtenen resultats de convergència imposant condicions a l'equació en un entorn de la solució. Òbviament, aquests resultats no són aplicables si no la coneixem. Un altre punt de vista, que abordem en aquest treball, és l'estudi semilocal que, imposant condicions en un entorn de l'estimació inicial, proporciona un entorn d'aquest punt que conté la solució i garanteix la convergència del mètode iteratiu a aquesta. Finalment, des d'un punt de vista global, estudiem el comportament dels mètodes iteratius en funció de l'estimació inicial, mitjançant l'estudi de la dinàmica de les funcions racionals associades a aquests mètodes. La present memòria recull els resultats de diversos articles de la nostra autoria, en els quals es tracten diferents aspectes de la matèria, com són, les peculiaritats de la convergència en el cas d'arrels múltiples, la possibilitat d'augmentar l'ordre d'un mètode òptim d'ordre quatre a ordre huit, mantenint l'optimalitat en el cas d'arrels múltiples, l'estudi de la convergència semilocal en un mètode d'alt ordre, així com el comportament dinàmic d'alguns mètodes iteratius. / [EN] The resolution of nonlinear equations and systems is a subject of great theoretical and practical interest, since many mathematical models in science or industry are expressed through nonlinear systems or differential or integral equations that, by means of discretization techniques, give rise to such systems. Since it is generally difficult, if not impossible, to solve nonlinear equations analytically, the most widely used tool is iterative methods, which try to obtain increasingly precise approximations of the solutions based on certain initial estimates. There is a varied literature on iterative methods for solving equations and systems, which covers concepts of order of approximation, efficiency, optimality, stability, among other important topics. In this study we obtain new iterative methods that improve some known ones in terms of order or efficiency, that is, they obtain better approximations with lower computational cost. The convergence of iterative methods is usually studied locally. This means that convergence results are obtained by imposing conditions on the equation in a neighbourhood of the solution. Obviously, these results are not applicable if we do not know it. Another point of view, which we address in this work, is the semilocal study that, by imposing conditions in a neighbourhood of the initial estimation, provides an environment of this point that contains the solution and guarantees the convergence of the iterative method to it. Finally, from a global point of view, we study the behaviour of iterative methods as a function of the initial estimation, by studying the dynamics of the rational functions associated with these methods. This report collects the results of several articles of our authorship, in which different aspects of the matter are dealt with, such as the peculiarities of convergence in the case of multiple roots, the possibility of increasing the order of an optimal method from order four to order eight, maintaining optimality in the case of multiple roots, the study of semilocal convergence in a high-order method, as well as the dynamic behaviour of some iterative methods. / Cevallos Alarcón, FA. (2023). Métodos iterativos para la resolución de problemas aplicados transformados a sistemas no lineales [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/193495