Neste trabalho, aborda-se o problema de estabilidade de sistemas com dados amostrados periodicamente, na presença de atuadores saturantes em posição e em taxa de variação. Os atuadores são modelados como sistemas de primeira ordem com saturação de entrada (saturação de magnitude) e do estado (saturação de taxa de variação). No modelo, considera-se que o sinal de controle é mantido constante entre dois instantes de amostragem consecutivos, enquanto as dinâmicas da planta linear e do atuador saturante são em tempo contínuo, i.e., não é feita discretização do sistema. O efeito da amostragem aperiódica é considerado através de um looped -funcional, derivado do funcional de Lyapunov-Krasovskii. O método desenvolvido relaciona uma função quadrática de Lyapunov e o funcional, considerando a amostragem assíncrona e o atuador saturante. Assim, se a derivada temporal do funcional ao longo das trajetórias do sistema for definida negativa, verifica-se que a função de Lyapunov é estritamente decrescente nos instantes de amostragem. Os efeitos das saturações são considerados por meio do uso da condição de setor generalizada. A partir do looped-funcional, da função de Lyapunov e das relações de setor generalizadas, são formuladas condições que permitem caracterizar a estabilidade e projetar ganhos estabilizantes da origem do sistema amostrado, em contexto local e global, através de algoritmos baseados na solução de LMIs. São propostas condições para maximização da estimativa da região de atração da origem ou, dado um conjunto de condições iniciais, para maximização do limite superior do intervalo de amostragem. As condições estabelecidas são válidas para o sistema com acesso a todos os estados, como também, no caso dos estados do atuador não estarem disponíveis `a medição. / This work addresses the problems of stability and stabilization of sampled-data systems taking into account aperiodic sampling and magnitude and rate saturating actuactors. The actuators are represented by a first-order system subject to input (magnitude saturation) and state (rate) saturation. In the considered model, the control signal is assumed to be constant between two successive sampling instants, while the dynamics of the linear plant and the saturating actuator are in continuous-time, i.e., no discretization is performed. The aperiodic sampling is taken into account from the method based on the input delay approach via looped-functional, derived from a time-dependent Lyapunov-Krasovskii functional. The developed method is based on a particular functional, that is related to a Lyapunov function. It is shown that if the time derivative of the looped- functional along the trajectories of the continuous-time system is strictly negative, then the Lyapunov function is strictly decreasing at sampling instants. The actuator saturations are taken into account from the use of a generalized sector condition. From the looped-functional, the Lyapunov function and the generalized sector conditions, the developed results lead to conditions that can be solved as LMI prob- lems for asymptotic stability assessment and stabilization local or global of the origin of the sampled-data system. Convex optimization problems are developed to com- pute an estimate of the region of attraction or, given a set of admissible initial conditions, compute the maximal admissible inter-sampling time for which the con- vergence of the trajectories to the origin is ensured. Theorical results are valid for systems with access to all the states, and also for the case that actuator states are not available to the measurement.

Dizertační práce se zabývá procesy, které jsou řízeny systémy zpožděných diferenciálních rovnic $$x'(t) =f(t,x_t,u),\,\,\,\, t\ge t_{0}$$ kde $t_0 \in \mathbb{R}$, funkce $f$ je definována v jistém podprostoru množiny $[t_0,\infty)\times {C}_{\tau}^{m}\times {\mathbb{R}}^r$, $m,r \in \mathbb{N}$, ${C}_{\tau}^{m}=C([-\tau,0],{\mathbb{R}}^{m})$, $\tau>0$, $x_t(\theta):=x(t+\theta)$, $\theta\in[-\tau,0]$, $x\colon [t_0-\tau,\infty)\to \mathbb{R}^{m}$. Za předpokladu $f(t,\theta_m^*,\theta_r)=\theta_m$, kde ${\theta}_m^*\in {C}_{\tau}^{m}$ je nulová vektorová funkce, $\theta_r$ a $\theta_m$ jsou $r$ a $m$-dimenzionální nulové vektory, je říd\'cí funkce $u=u(t,x_t)$, $u\colon[t_0,\infty)\times _^\to \mathbb^$, $u(t,_m^*)=\theta_r$ určena tak, že nulové řešení $x(t)=\theta_m$, $t\ge t_-\tau$ systému je asymptoticky stabilní a pro libovolné řešení $x=x(t)$ integrál $$\int _{t_}^\omega \left(t,x_t,u(t,x_t)\right)\diff t,$$ kde $\omega$ je pozitivně definitní funkcionál, existuje a nabývá své minimální hodnoty v daném smyslu. Pro řešení tohoto problému byla Malkinova metoda pro obyčejné diferenciální systémy rozšířena na zpožděné funkcionální diferenciální rovnice a byla použita druhá metoda Lyapunova. Výsledky jsou ilustrovány příklady a aplikovány na některé třídy zpožděných lineárních diferenciálních rovnic.

Cette thèse s'inscrit dans le cadre général de l'étude de la dynamique de populations. Elle porte sur la modélisation et l'analyse mathématique de l'hématopoïèse, le processus de production et de régulation des cellules sanguines. La population de cellules est perçue comme un milieu continu avec une structuration en âge et en espace. Nous avons commencé par analyser des modèles d'équations différentielles et aux différences à retard discret et distribué. Ces modèles à retard permettent de mettre en évidence des comportements particuliers tels que l'existence de solutions périodiques. Ensuite, nous avons pris en compte l'aspect spatial et la diffusion des cellules dans ces modèles, tout en sachant que la structuration en espace, dans le cas de l'hématopoïèse, a été très peu abordée par le passé. Un nouveau modèle a été obtenu du point de vue mathématique. Une étude d'existence d'ondes progressives est effectuée lorsque le domaine est non borné et lorsque le domaine est borné une étude de stabilité des états stationnaires ainsi que de l'existence d'une bifurcation de Hopf est réalisée / This thesis focuses on the study of population dynamics. It is devoted to the mathematical analysis and modeling of hematopoiesis, which is the process leading to the production and regulation of blood cells. The cell's population is seen as a continuous medium structured in age and space. We analyzed models of differential-difference system with discrete- and distributed -delay. These models can exhibit specific behaviors such as the existence of periodic solutions. Then we consider a space structuration and the diffusion of cells in such models, knowing that the space structure has not been widely studied in the case of hematopoiesis. A new model is obtained from the mathematical point of view. We studied the existence of traveling waves when the domain is unbounded. When the domain is bounded, the stability of stationary solutions and the existence of a Hopf bifurcation are obtained

L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes de synthèses d'observateurs et des contrôleurs basés sur un observateur pour les systèmes à retard. Différentes classes de systèmes ont été traitées avec différents types de retard. Trois méthodes ont été développées. La première méthode traite des systèmes non linéaires avec des non-linéarités lipschitziennes et consiste à transformer le système d'origine à un système LPV grâce à une reformulation de la propriété classique de Lipschitz. Cette technique est formulée pour les cas continu et discret, respectivement. Nous avons démontré, à travers des exemples numériques, que cette technique offre des conditions de synthèse moins restrictives par rapport aux résultats existants dans la littérature. La seconde méthode est développée pour une classe de systèmes singuliers avec des perturbations. La principale difficulté résidait dans la présence des dérivées des perturbations qui entravent l'analyse de la stabilité et pour laquelle deux approches ont été proposées: une approche $\mathcal{H}_{\infty}$ en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii spéciale dépendante des perturbations et une approche basée sur l'utilisation d'un critère de performance $\mathcal{W}^{1,2}$. La dernière méthode est basée sur l'utilisation des matrices de pondération libres pour résoudre le problème de contrôle des systèmes non-linéaires à retards inconnus. La solution proposée fournit une condition de synthèse LMI garantissant la stabilisation du système en boucle fermée malgré la présence du retard inconnu, au lieu d'une inégalité matricielle linéaire itérative ILMI trouvée habituellement dans la littérature / The objective of this dissertation is to develop observers and observer-based controllers synthesis methods for time-delay systems. Different classes of systems were treated with different types of delay. Three different methods were developed. The first one treats nonlinear systems with Lipschitz nonlinearities and consists in transforming the original system into an LPV system based on a reformulation of the classical Lipschitz property. This technique was formulated for continuous and discrete cases respectively and it was proven to provide less restrictive synthesis conditions when compared to the existing results in the literature. The second method deals with singular systems with disturbances. The main difficulty lay in the presence of the derivatives of the disturbances which hinder the stability analysis and for which two approaches are proposed:~a $\mathcal{H}_{\infty}$ criterion combined with a special Lyapunov-Krasovskii functional depending on disturbances and a $\mathcal{W}^{1,2}$ criterion based on the use of Sobolev norms. The last method is based on the Free Weighting Matrices technique to solve the observation and control problems of a class of nonlinear systems with unknown delays. The proposed solution provides a sufficient LMI synthesis condition ensuring the asymptotic stabilization of the closed loop system, instead of the iterative LMI condition usually found in the literature

L'objectif de cette thèse est de développer des méthodes de synthèses d'observateurs et des contrôleurs basés sur un observateur pour les systèmes à retard. Différentes classes de systèmes ont été traitées avec différents types de retard. Trois méthodes ont été développées. La première méthode traite des systèmes non linéaires avec des non-linéarités lipschitziennes et consiste à transformer le système d'origine à un système LPV grâce à une reformulation de la propriété classique de Lipschitz. Cette technique est formulée pour les cas continu et discret, respectivement. Nous avons démontré, à travers des exemples numériques, que cette technique offre des conditions de synthèse moins restrictives par rapport aux résultats existants dans la littérature. La seconde méthode est développée pour une classe de systèmes singuliers avec des perturbations. La principale difficulté résidait dans la présence des dérivées des perturbations qui entravent l'analyse de la stabilité et pour laquelle deux approches ont été proposées: une approche Hinf en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov-Krasovskii spéciale dépendante des perturbations et une approche basée sur l'utilisation d'un critère de performance W1;2. La dernière méthode est basée sur l'utilisation des matrices de pondération libres pour résoudre le problème de contrôle des systèmes non-linéaires à retards inconnus. La solution proposée fournit une condition de synthèse LMI garantissant la stabilisation du système en boucle fermée malgré la présence du retard inconnu, au lieu d'une inégalité matricielle linéaire itérative ILMI trouvée habituellement dans la littérature.

Tato disertační práce pojednává o řešení diferenciálních rovnic a systémů diferenciálních rovnic. Hlavní pozornost je věnována asymptotickým vlastnostem rovnic se zpožděním a systémů rovnic se zpožděním. V první kapitole jsou uvedeny fyzikální a technické příklady popsané pomocí diferenciálních rovnic se zpožděním a jejich systémů. Je uvedena klasifikace rovnic se zpožděním a jsou zformulovány základní pojmy stability s důrazem na druhou metodu Ljapunova. Ve druhé kapitole jsou studovány odhady řešení rovnic neutrálního typu. Třetí kapitola se zabývá systémy diferenciálních rovnic neutrálního typu. Jsou odvozeny asymptotické odhady pro řešení i pro derivace řešení. V závěru kapitoly jsou uvedeny příklady a srovnání výsledků s pracemi jiných autorů. Výpočty byly prováděny pomocí programu MATLAB. Poslední, čtvrtá kapitola, se zabývá asymptotickými vlastnostmi systémů se speciálním typem nelinearity, tzv. sektorové nelinearity. Jsou odvozeny vlastnosti řešení a derivace řešení. Základní metodou pro důkazy je v celé práci druhá Ljapunovova metoda a použití funkcionálů Ljapunova-Krasovského.

This paper deals with the consensus problem under communication network inducing delays. It is well-known that introducing a delay leads in general to a reduction of the performance or to instability due to the fact that timedelay systems are infinite dimensional. For instance, the set of initial conditions of a time-delay system is not a vector but a function taken in an interval. Therefore, investigating the effect of time-delays in the consensus problem is an important issue. In the present paper, we assume that each agent receives instantaneously its own state information but receives the state information from its neighbors after a constant delay. Two stability criteria are provided based on the frequency approach and on Lyapunov-Krasovskii techniques given in terms of LMI. An analytic expression of the consensus equilibrium which depends on the delay and on the initial conditions taken in an interval is derived. The efficiency of the method is tested for different network communication schemes. / <p>QC 20110120</p>