En mécanique des milieux continus, la résolution d'un problème à l'aide de la méthode des éléments finis permet d'obtenir des champs discrétisés aux nœuds ou aux points de Gauss, sur un maillage donné de la structure étudiée. Si l'on souhaite utiliser ces résultats afin d'effectuer un calcul sur un second maillage, un transfert de données est inévitable, notamment dans les études chaînées, lors de processus d'adaptations de maillages ou encore pour des couplages entre codes. La simulation numérique doit tenir compte de cet état de fait, ce qui n'est pas totalement le cas aujourd'hui ; la division R&D d'EDF souhaite donc disposer d'outils permettant de lever ce verrou, au sein du logiciel libre Code_Aster. Le manuscrit présente une synthèse des travaux menés durant la thèse, qui répondent aux objectifs suivants : proposer des méthodes de transfert de champs, comparer et qualifier ces différentes approches à l'aide d'analyses d'erreur théoriques et numériques, implanter l'une de ces méthodes dans Code_Aster, valider cette programmation sur quelques cas industriels.

Dans cette thèse, nous proposons un ensemble d'outils nécessaires à l'élaboration d'un simulateur de chirurgie. Dans un premier temps, nous définissons plusieurs modèles déformables physiques temps réels permettant de simuler les déformations et la découpe d'organes du corps humain. Ces modèles s'appuient sur la théorie de l'élasticité et la méthode des éléments finis. Nous avons tout d'abord travaillé sur l'enrichissement du modèle élastique linéaire en le généralisant au cas des matériaux dont le comportement est anisotrope, soit en raison de la présence de fibres (muscles, tendons), soit parce qu'ils sont entourés d'une peau (capsule de Glisson pour le foie). Cependant, la principale limitation de l'élasticité linéaire est de n'être valable que dans l'hypothèse de petits déplacements. Nous proposons donc un nouveau modèle déformable mettant en oeuvre l'élasticité non-linéaire de St Venant-Kirchhoff, qui reste valable pour les grands déplacements. Après avoir étendu ce modèle aux matériaux anisotropes, nous proposons plusieurs méthodes d'optimisation des calculs, soit en utilisant un algorithme adaptatif qui combine les modèles linéaires et non-linéaires, soit à partir d'une nouvelle formulation. La seconde partie de ces travaux porte sur la simulation des interactions entre les instruments chirurgicaux et les organes virtuels. Pour cela, nous avons modélisé les contacts, ainsi que certaines actions spécifiques comme le glissement, la préhension et la découpe. De plus, nous nous sommes intéressés aux problèmes liés à l'utilisation d'interfaces à retour d'effort.

Les travaux de cette thèse concernent la simulation numérique de la propagation acoustique dans un fluide en écoulement, en régime périodique établi. Le modèle retenu est l'équation de Galbrun, qui modélise la propagation linéaire d'ondes en présence d'un écoulement de fluide parfait en évolution adiabatique et porte sur le déplacement lagrangien. L'analyse mathématique montre qu'une méthode d'éléments finis nodaux ne permet pas, en général, d'approcher la solution de l'équation, les résultats étant alors fortement pollués par des modes numériques "parasites". Dans la première partie de la thèse, nous proposons une méthode de régularisation de l'équation pour laquelle nous prouvons la convergence d'une approximation par éléments finis nodaux pour des problèmes de diffraction dans un conduit en présence d'écoulements subsoniques uniforme ou cisaillé. La deuxième partie du document est consacrée à la construction et l'étude de couches absorbantes parfaitement adaptées, dites PML, pour le rayonnement d'une source localisée en présence d'un écoulement uniforme et dans un conduit. Nous traitons successivement le cas d'une source irrotationnelle, qui conduit à un problème scalaire, et celui d'une source quelconque. Un principe d'absorption limite est établi dans le cas général et nous démontrons un résultat de convergence exponentielle de la méthode de PML en fonction de la longueur des couches. Des résultats numériques illustrant ces approches sont présentés.

Ce travail s'inscrit dans la problématique de la modélisation numérique des phénomènes électromagnétiques présents dans les machines électriques. Il comporte deux parties. La première partie présente une méthode permettant de ramener, par un raisonnement physique adapté au comportement électromagnétique et à la géométrie de la machine, le problème complet des équations aux dérivées partielles de la magnétostatique, à un problème unidimensionnel. C'est ce que nous avons appelé la méthode de découpage en secteurs qui, tout en demeurant une méthode approchée, tient compte "en moyenne" de la géométrie du domaine et présente l'avantage d'une très grande rapidité d'exécution. La seconde partie porte sur l'analyse de la distribution de la densité de courant dans un conducteur massif de forme quelconque, noyé dans une encoche. Nous utilisons la méthode des éléments finis pour résoudre l'équation d'Helmholtz afin de déterminer numériquement les fonctions propres du Laplacien sur le domaine considéré. Il en résulte une méthode de détermination d'un circuit équivalent valable quels que soient les formes des courants et les profils des barres.

Dans cette thèse, nous résolvons un problème inverse de type Cauchy associé à l'opérateur biharmonique. Pour des données compatibles, comme ce problème est mal posé au sens d'Hadamard, nous utilisons la méthode de régularisation évanescente. Elle est itérative. Son originalité est de faire intervenir, à chaque itération, un problème d'optimisation bien posé qui dépend d'un terme de régularisation dont les effets se dissipent à la limite du processus itératif. Cette limite n'est autre que la solution du problème de Cauchy. Pour adapter des algorithmes élaborés pour les problèmes de Cauchy associés au laplacien, nous factorisons le problème initial en deux problèmes inverses de Cauchy pour l'opérateur harmonique. Les résultats principaux sont la convergence de la solution discrète vers la solution continue et l'efficacité de la méthode à gérer numériquement, via les éléments finis, le problème factorisé sur différents domaines, même lorsque les données sont bruitées.

Le sujet de la thèse contenue l'étude de propriétés mécaniques des couches minces à base de cuivre. Ces propriétés sont étudiées à aide de la méthode élément finis dans le cadre de la plasticité cristalline classique et dans le cadre de dynamique discrète des dislocations. Les simulations élasto-plastiques montrent que la présence des grains avec une orientation (001) et aléatoire augmentent les contraintes dans les grains adjacents d'orientation (111). La comparaison avec les résultats expérimentaux montre que le modele n'est pas capable de prévoir des contraintes aussi élevées que l'écrouissage quel sont mesurés dans les expériences.L'évolution de l'écrouissage, de la microdéformation plastique, de la rugosité locale et globale de la surface sont étudiées par les simulations de chargement cyclique d'agrégats polycristallins de cuivre. L'écrouissage et la rugosité saturent pendant le chargement. Il existe des régions où la déformation résiduelle cumulée et la rugosité locale évoluent pendant le chargement cyclique. Ces régions favorisent par l'amorçage de l'endommagement. L'autre approche dans les simulations des agrégats polycristallins est représentée par la théorie de la dynamique discrète des dislocations. Les simulations montrent que la plus grande influence est due à la longueur initiale des sources. Par contre, l'épaisseur des films a peu d'influence sur la comportement du film. Les dislocations sont le plus actives dans les grains avec une orientation (001) et l'activité minimale est observée dans les grains avec une orientation (111).

Les départements de conception de pièces industrielles ont de plus en plus à modéliser de grandes structures contenant un nombre important de points d'assemblage (ex : avion, pont, rails, etc.). Cependant, exécuter des simulations avec une représentation explicite de chaque point d'assemblage reste à ce jour inenvisageable : problèmes numériques liés aux nombreux problèmes non-linéaires locaux à résoudre (contact, plasticité, endommagement), temps calculs et besoins mémoires trop importants, etc.). Afin de garder des temps de calcul raisonnables, une méthodologie visant à représenter en 3D le point d'assemblage de manière simple, tout en restant physiquement représentatif de la réalité, est nécessaire. Les travaux de cette thèse portent sur la mise au point d'une méthodologie basée sur une méthode innovante en éléments finis pour représenter de manière précise un point d'assemblage par déformation plastique (rivet, point clinché, vis, etc.) en prenant en compte le passé thermomécanique issu de la pose de ce point. Ces travaux sont réalisés sous FORGE et seront à terme développé dans la Cimlib. Plusieurs représentations du point d'assemblage sont proposées, notamment une représentation virtuelle, élaborée à partir des éléments finis définis par défaut lorsque deux plaques sont mises en contact. Le but d'un tel élément équivalent est de modéliser le comportement mécanique du point d'assemblage aussi précisément que possible selon six sollicitations mécaniques de base. Pour ce faire, le comportement équivalent optimal est identifiée à l'aide des courbes F/d et C/a des différentes sollicitations obtenus à l'aide d'un modèle complet numérique intégrant un comportement élasto-plastique. Une loi d'évolution de l'endommagement équivalent est aussi développée dans l'élément équivalent virtuel pour modéliser la rupture du point d'assemblage. Cette approche peut être assimilée à un problème d'optimisation où une fonction coût, définissant l'écart au sens des moindres carrés entre les deux courbes F/d ou C/a des modèles complet et équivalent, doit être minimisée. Une approche par Stratégie d'Evolution avec Métamodèle a été testée et s'est avérée fructueuse. Enfin, une synthèse du modèle équivalent virtuel vers un modèle simplifié utilisant un élément connecteur– plus rapide encore mais moins précis – est présentée. Toutes ces représentations sont validées sur des assemblages multipoints en comparant les résultats obtenus à la fois au modèle complet numérique et à des essais expérimentaux.

Le SPS (Spark plasma sintering) ou frittage flash est une technique innovante de compaction de poudre. Ce procédé fait intervenir le courant électrique pour chauffer l'échantillon en appliquant simultanément une pression. Grâce à la vitesse de chauffage, le procédé SPS apparaît comme étant une technologie prometteuse dans le secteur aéronautique servant à produire des matériaux denses à microstructure fine, composés par des intermétalliques difficiles à fondre, à former et à usiner avec les procédés conventionnels. Cependant, la fabrication de formes complexes est problématique à cause des hétérogénéités en densité qui peuvent apparaître lors de la compaction et qui proviennent de la distribution de la température et des contraintes dans la poudre compactée. La distribution du courant, de la température et des contraintes, ainsi que leurs différents effets, font l'objet d'une large étude, étant responsables de l'homogénéité de la microstructure. Une modélisation numérique 3D du procédé est réalisée, dans le cadre de la librairie CimLib. Elle englobe trois problèmes physiques fortement couplés : électrique, thermique et mécanique. Nous utilisons une approche monolithique qui consiste à résoudre une équation pour chaque problème sur un maillage unique représentant outils et poudre. Tout d'abord le couplage électrique-thermique est modélisé et les simulations numériques sont validées. Une loi de comportement viscoplastique compressible s'appuyant sur un modèle d'Abouaf est utilisée pour modéliser la densification de la poudre de TiAl. Ce modèle est validé par plusieurs cas tests de compaction de poudre dans un contexte lagrangien puis eulérien avant de passer à une simulation complète de couplage électrique-thermique-mécanique. Dans ce contexte monolithique, nous développons un modèle pour prendre en compte les effets du frottement entre la poudre et le moule. Enfin, la loi de comportement utilisée est identifiée pour la poudre intermétallique de TiAl. Le frittage par SPS d'échantillons de différentes tailles est simulé. Les résultats en termes de distribution de densité et déplacement sont validés grâce à une comparaison avec l'expérience.

L'alliage d'aluminium AA5182, largement employé sous forme de tôles embouties pour les carrosseries, contient des particules intermétalliques Mg2Si et Alx(Fe,Mn). Dans le matériau brut de coulée, ces particules (d'une taille > 50 µm) présentent des formes complexes. Pendant le laminage à chaud, ces particules sont cassées et redistribuées dans le métal. Or, la taille et la distribution spatiale des particules intermétalliques contrôlent en grande partie la formabilité des tôles après transformation à froid.<br /><br />Cette étude identifie les paramètres morphologiques et mécaniques contrôlant la fragmentation des particules pendant le laminage à chaud. La rupture des particules intermétalliques a été caractérisée d'une part expérimentalement à l'aide d'observations par tomographie X (sur des tôles laminées industriellement) et d'autre part mécaniquement à partir de calculs éléments finis. <br />Le nouveau modèle micromécanique prédit les champs de contraintes dans les particules et à l'interface particule-matrice pendant le laminage à chaud. Ce travail contribue d'un point de vue théorique à la mis en place d'un nouveau critère de rupture pour les particules intermétalliques et pour l'interface particule-matrice.<br /><br />Ce modèle a permis de mettre en avant plusieurs conclusions majeures quand à la prédiction de la rupture des particules pendant le laminage. En effet, l'orientation, l'étendue et la ténacité des particules jouent un rôle essentiel pour la rupture des particules. En revanche, les propriétés rhéologiques de la matrice (dans la gamme de laminage à chaud) ont une influence réduite. <br />Enfin, l'étude a permis de confirmer, mécaniquement, l'existence de trois classes de particules obtenues par analyse morphologique (travaux d'E. Parra-Denis).

Modéliser la déformation de structures anatomiques en temps réel est un problème crucial en simulation médicale. En raison des grandes différences existantes dans leur forme et leur constitution, un modèle unique est insuffisant face à la variété des comportements mécaniques. Par conséquent, nous avons identifié deux principaux types de structures: les organes pleins (cerveau, foie, prostate etc.) et les organes creux (colon, vaisseaux sanguins, estomac etc.). Notre réponse à cette problématique est double. Notre première contribution est une implémentation GPU d'un modèle éléments finis qui est non-linéaire, anisotropique et viscoélastique pour les structures pleines. Notre seconde contribution est un environnement pour modéliser en temps réel les structures fines via un modèle parallèlisable et co-rotationnel utilisant des éléments coques et une approche pour mailler une surface complexe avec des éléments coques courbes. Bien que les deux modèles de tissus soient basés sur la mécanique continue pour une meilleure précision, ils sont tous les deux capables de simuler la déformation d'organes en temps réel. Enfin, leur implémentation dans l'environnement open source SOFA permettra la diffusion de ces deux modèles afin de participer à l'amélioration du réalisme des simulateurs médicaux.