Cette thèse présente quatre travaux de recherche mêlant probabilités et analyse, ayant en commun de s'appuyer sur l'intuition physique, tant dans la position des problèmes que dans leur résolution : 1. On borne les probabilités de transition des chaînes de Markov réversibles discrètes, améliorant la borne de Carne grâce à une démonstration alternative. 2. On démontre la convergence vers la limite de champ moyen dans une approche uniforme et non asymptotique pour un modèle de Boltzmann spatialement homogène. 3. On étudie le coefficient de rho-mélange entre deux tribus, montrant en particulier comment cette quantité peut être tensorisée dans un cadre général, ce qui implique des résultats de décorrélation entre groupes infinis de spins en physique statistique. 4. On s'intéresse, pour une équation de McKean-Vlasov, à la stabilité de l'équilibre homogène en fonction de la température, minorant notamment l'énergie d'activation.

Le lien entre le spectre de la matrice de transfert de la formulation de spins du modèle de Potts critique et celui de la matrice de transfert double-ligne de la formulation de boucles est établi. La relation entre la trace des deux opérateurs est obtenue dans deux représentations de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique, dont la matrice de transfert de boucles est un élément. Le résultat est exprimé en termes des traces modifiées, qui correspondent à des traces effectuées dans le sous-espace de l'espace de représentation des N-liens se transformant selon la m ième représentation irréductible du groupe cyclique. Le mémoire comporte trois chapitres. Dans le premier chapitre, les résultats essentiels concernant les formulations de spins et de boucles du modèle de Potts sont rappelés. Dans le second chapitre, les propriétés de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique et de ses représentations sont étudiées. Enfin, le lien entre les deux traces est construit dans le troisième chapitre. Le résultat final s'apparente à celui obtenu par Richard et Jacobsen en 2007, mais une nouvelle représentation n'ayant pas été étudiée est aussi investiguée. / The link between the spectrum of the spin transfer matrix of the critical Potts model and that of the double-row transfer matrix of the loop model is established. The relationship between the two operators is obtained in two different representations of the cyclic Temperley-Lieb algebra, whereof the transfer matrix is an element. The result is given in terms of the modified traces that correspond to tracing out the subspace of the N-link representation space that transforms according to the m th representation of the cyclic group. The thesis consists of three chapters. In the first chapter, basic results about the Potts model in the spin and loop pictures are recalled. In the second chapter, the properties of the cyclic Temperley-Lieb algebra and of some of its representations are studied. Finally, the relationship between the traces of the two operators is constructed in the third chapter. The final result is similar to the one obtained by Jacobsen and Richard in 2007, but a new representation that has not been studied is investigated.

Nous étudions l’influence du champ magnétique aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d’Ising ; notre approche est basée sur une version non perturbative et fonctionnelle du groupe de renormalisation. Les concepts du groupe de renormalisation non perturbatif sont tout d’abord introduits, puis illustrés dans le cadre simple d’une théorie classique d’un champ scalaire. Nous discutons ensuite les propriétés critiques de cette dernière en présence d’un champ magnétique aléatoire gelé qui traduit le désordre dans le système. Celui-ci est distribué comme un bruit blanc gaussien dans l’espace. Nous insistons principalement sur la propriété de réduction dimensionnelle qui prédit un comportement critique identique pour le modèle en champ aléatoire à d dimensions et le modèle pur (c’est à dire sans champ aléatoire) en dimension d − 2. Bien que cette propriété soit démontrée à tous les ordres par la théorie de perturba- tion, on montre que celle-ci est brisée en dessous d’une dimension critique dDR = 5.13. La réduction dimensionnelle et sa brisure sont alors reliées aux caractéristiques d’échelle des grandes avalanches intervenant dans le système à température nulle. Nous considérons, dans un second temps, une généralisation du modèle d’Ising dans laquelle l’interaction ferromagnétique décroit désormais à longue portée comme r^−(d+σ) avec σ > 0 (d désigne toujours la dimension de l’espace). Dans un tel système, il est possible de travailler en dimension fixée (incluant la dimension d = 1) et de varier l’exposant σ afin de parcourir une gamme de comportements critiques similaire à celle obtenue entre les dimensions critiques inférieure et supérieure de la version à courte portée du modèle. Nous avons caractérisé la transition de phase dans le plan (σ, d), et notamment calculé les exposants critiques en fonction du paramètre σ pour les dimensions physiquement intéressantes d = 1, 2 et 3. Finalement, on s’intéresse aussi à la théorie en présence d’un champ magnétique aléatoire dont les corrélations décroissent à grande distance comme r^−d+ρ avec ρ > −d. Dans le cas particulier où ρ = 2 − σ, on montre que la propriété de réduction dimensionnelle est vérifiée lorsque σ est suffisamment petit, mais brisée à grand σ (en dimension inférieure à dDR ). En particulier, concernant le modèle tridimensionnel, nos résultats prédisent une brisure de réduction dimensionnelle lorsque σ > σDR = 0.71 / We study the influence of the presence of a random magnetic field and of long-ranged interactions on the critical behavior of the Ising model. Our approach is based on a nonperturbative and functional version of the renormalization group. The bases of the nonperturbative renormalization group are introduced first and then illustrated in the simple case of the classical scalar field theory. We next discuss the critical properties of the latter in the presence of a random magnetic field, which is associated with frozen disorder in the system. The distribution of the random field in space is taken as that of a gaussian white noise. We focus on the property of dimensional reduction that predicts identical critical behavior for the random-field model in dimension $d$ and the pure model, \textit{i.e.} in the absence of random field, in dimension d-2. Although this property is found at all orders of the perturbation theory, it is violated below a critical dimension $d_{DR} \approx 5.13$. We show that the dimensional reduction and its breakdown are related to the large-scale properties of the avalanches that are present in the system at zero temperature. We next consider a generalization of the Ising model in which the ferromagnetic interaction varies at large distance like $r^{-(d+\sigma)}$ with $\sigma > 0$ ($d$ being the spatial dimension). In this system, it is possible to obtain a range of critical behavior similar to that encountered in the short-ranged version of the model between the lower and the upper critical dimensions by varying the exponent $\sigma$ while keeping the dimension $d$ fixed (including the case $d=1$).We have characterized the phase transition of this long-ranged model in the plane $(\sigma,d)$ and computed the critical exponents as a function of the parameter $\sigma$ for the physically interesting dimensions, $d=1,2$ and $3$. Finally, we have also studied the long-ranged random-field Ising model when the correlations of the random magnetic field decrease at large distance as $r^{-d+\rho}$ with $\rho > -d$. In the special case where $\rho=2-\sigma$, we have shown that the dimensional-reduction property is satisfied when $\sigma$ is small enough but breaks down above a critical value (when the spatial dimension $d$ is less than $d_{DR}$). In particular, for $d=3$, we predict a breakdown of dimensional reduction for $\sigma_{DR}\approx 0.71$.

Les travaux exposés dans ce manuscrit sont consacrés à l'étude de la dynamique hors équilibre de chaînes quantiques décrites par le modèle XY. Nous commençons par considérer la dynamique unitaire obtenue par la mise en contact de sous-systèmes voisins thermalisés à des températures différentes. L'état initial de la chaîne est alors inhomogène et la dynamique tend à l'homogénéisation. Lorsque le système est initialement divisé en deux sous-systèmes semi-infini préparés aux températures $T_b=\infty$ et $T_s$ nous obtenons analytiquement la fonction de Green associée à la dynamique du courant et du profil d'aimantation. Les résultats sont généralisés pour les températures $T_b$ finies permettant l'étude de l'état stationnaire. Dans le cas particulier où $T_s=T_b=0$, nous étudions le comportement de l'entropie d'intrication entre sous-systèmes. Cette quantité présente un accroissement "rapide", prédit par la théorie conforme (dans le cas d'un système critique), suivi d'une relaxation algébrique vers la valeur d'équilibre. Dans la dernière partie la dynamique du système est obtenue par l'interaction avec l'environnement, décrite par le processus d'interactions répétées. Nous examinons la structure de la matrice densité réduite du système et donnons une équation d'évolution de l'ensemble des corrélateurs à deux points. Finalement, nous étudions l'évolution temporelle du modèle $XX$ en contact avec un ou deux bains aux températures $T_1$ et $T_2$. Lorsque $T_1=T_2$, l'étude du comportement du système, pour les temps courts, dévoile l'état stationnaire. Dans la situation $T_1\ne T_2$, nous vérifions numériquement que le profil d'aimantation est plat et proposons l'introduction d'un désordre dynamique qui permet l'installation d'un gradient d'aimantation.

Nous étudions les interfaces de quatre modèles de spins sur réseau: le modèle d'Ising à basse température, le modèle de Potts à la température critique, un modèle à symétrie continue et son approximation d'horloge.<br />Pour chacun de ces modèles, nous imposons des conditions au bord spécifiques qui assurent l'existence d'une interface ; les mesures de Gibbs associées à de telles conditions au bord satisfont alors de puissantes inégalités de corrélation. Ces inégalités nous permettent de montrer que les interfaces considérées sont rigides, au sens où ce sont des hyperplans légèrement déformés par des aspérités locales. Cette méthode est une version restreinte de la méthode de positivité par réflexion, l'une des directions de réflexion étant prohibée par les conditions au bord choisies.<br />Pour Ising et Potts, notre méthode simplifie considérablement les démonstrations historiques, puisque ni la théorie de Pirogov-Sinai, ni les développements en amas ne sont nécessaires à son application. Par ailleurs, la théorie-PS n'est directement envisageable ni pour le modèle continu ni son approximation car leurs états fondamentaux sont infiniment dégénérés; notre méthode est donc une réelle alternative à ces techniques.

Les travaux regroupés dans cette th`ese traitent de différents aspects de la physique statistique dessystèmes corrélés. Dans la première partie de cette thèse on s'intéresse aux fluctuations de grandeurs globalesdans les systèmes corrélés, dont de nombreux travaux sur des systèmes variés proposent qu'elles soientbien d´ecrites par la distribution BHP issue du modèle XY 2d. Le modèle d'Ising 2d est utilisé pour tester cette proposition et laquantifier. En utilisant des observations issues de simulations Monte Carlo, une étude analytique montre quel'apparente universalité de BHP est reliée au modèle gaussien obtenu par perturbation. et que des écarts àBHP d'importance variable existe, provenant de la contribution d'un terme non-gaussien. Dans la secondepartie, on s'intéresse à l'étude de la décohérence d'un système quantique à deux niveaux, induite par unbruit intermittent présentant un spectre en 1/f et du vieillissement. Un tel bruit peut schématiser l'effet d'unenvironnement corrélé sur un Qbit. En utilisant des résultats de probabilité, on peut calculer le facteur dedécohérence dans de nombreux régimes. On obtient alors des scénarios de décohérence anormaux, présentantune décroissance en loi de puissance aux temps longs, ainsi que de la non-stationnarité. Enfin la dernièrepartie est dédiée `a l'étude des solutions exactes du modèle d'Ising 2d classique, avec un champ magnétiquesur un bord. En généralisant une méthode due à Plechko, on obtient la fonction de partition de ce systèmeau moyen d'une action gaussienne fermionique unidimensionnelle. Dans le cas d'un champ homogène, onretrouve les résultats précédents de McCoy et Wu. On peut aller au-delà en considérant le cas où le champmagnétique change de direction une fois au bord. Cette méthode permet alors de décrire une transition detype mouillage, induite par ce défaut d'orientation. Il est en particulier possible d'obtenir analytiquement lediagramme de phase de ce système.

Cette thèse propose l'étude des propriétés locales satisfaites par le modèle d'Ising défini sur un graphe torique d-dimensionnel. Lorsque la taille n du graphe tend vers l'infini, une limite pour leur probabilité d'apparition est obtenue en fonction des potentiels de surface a=a(n) et de paire b=b(n). En mettant en évidence un phénomème de seuil, nous déterminons le moment d'apparition dans le graphe d'une propriété locale donnée. Puis, en se plaçant à sa fonction seuil, nous démontrons une approximation poissonnienne pour sa probabilité d'apparition. Enfin, deux applications sont proposées : une estimation des potentiels a et b ainsi qu'un algorithme de débruitage d'images en niveaux de gris.

Grand nombre des propriétés des alliages dépend de la structure et de la composition chimique des défauts. Dans ce contexte, nous avons étudié la ségrégation interfaciale d'un système présentant une forte démixtion en volume et une tendance à ségréger en surface (i.e. Cu/Ag), par simulations Monte Carlo avec déplacements et un modèle d'Ising effectif sur réseau rigide. Les interfaces considérées sont le joint de grains de flexion Sigma=5 (310) <001> ainsi que les surfaces (001) et (310). Les résultats obtenus en Monte Carlo pour le joint de grains montrent l'existence d un composé ordonné bi-dimensionnel dans le plan du joint... dans un système à tendance à la démixtion ! Pour la surface (001), nous montrons l'apparition d une surstructure cristallographique illustrant le couplage complexe entre ségrégation et modification structurale. L analyse par le modèle sur réseau rigide nous a permis de déterminer les forces motrices de ségrégation intergranulaire et superficielle. Le couplage des deux méthodes a mis en évidence le rôle important de l'entropie vibrationnelle dans la ségrégation intergranulaire, alors qu'elle peut être négligée pour la ségrégation superficielle. L'évaluation de l'entropie vibrationnelle de ségrégation doit tenir compte des couplages entre vibrateurs premiers voisins (le modèle d Einstein ne pouvant donc être utilisé) et de la dilatation thermique différentielle à proximité du joint de grains. Nous avons alors utilisé l'approche analytique pour déterminer les isothermes de ségrégation intergranulaire. Nous avons ainsi mis en évidence une transition de phase du premier ordre à caractère multicouche. Un comportement identique est obtenu pour la surface (310), les interactions inter-plan étant à l'origine de ces transitions. Cet aspect multicouche de la ségrégation intergranulaire a été confirmé par des simulations Monte Carlo montrant de plus l'apparition d un phénomène de mouillage, le joint de grains initial se scindant en deux interfaces séparées par une phase métastable.

Les nano-objets unidimensionnels alliés présentent des propriétés physiques spécifiques qui résultent à la fois de leur morphologie, de leur taille et de la répartition chimique des atomes. Nous exploitons un modèle d'Ising sur réseau qui rend compte en particulier des effets de ségrégation au sein de nanofils bimétalliques pour obtenir une compréhension fine des effets gouvernant cette répartition à l'équilibre.Dans une première section, nous détaillons l'équilibre d'un nanofil en fonction de sa taille et de sa composition, de manière à mettre en évidence le rôle des effets de taille finie sur la thermodynamique d'équilibre d'objets bimétalliques 1D. Contrairement aux systèmes infinis, l'équilibre dépend de l'ensemble statistique considéré. Ainsi la ségrégation est plus marquée dans l'ensemble canonique, où la concentration du nanofil est imposée, que dans l'ensemble pseudo-Grand Canonique (p-GC) où le nanofil est en équilibre avec un réservoir qui fixe la différence de potentiel chimique entre les espèces. De même, la contrainte de composition dans l'ensemble canonique induit des corrélations chimiques d'occupation des sites qui favorisent davantage les paires hétéroatomiques. Nous montrons que l'écart observé entre les isothermes des deux ensembles croît avec la courbure de l'isotherme canonique et avec l'amplitude des fluctuations de la concentration nominale dans l'ensemble p-GC. Ces fluctuations diminuant avec la taille du nanofil considéré, l'écart entre les ensembles s'annule à la limite thermodynamique. Les effets de taille finie se traduisent par ailleurs par l'apparition, à basse température et pour de petits nanofils, d'une coexistence d'un mode pur en l'espèce ségrégeante et d'un mode de faible concentration nominale constitué principalement de configurations de type cœur-coquille et Janus. Nous développons alors un formalisme permettant de caractériser cette bimodalité.Alors que les résultats évoqués précédemment concernent un nanofil considéré seul, nous étudions dans la deuxième section l'équilibre de l'ensemble des nanofils formant un co-dépôt unidimensionnel inférieur à la mono-couche. Nous montrons que la distribution en taille de ces nanofils varie globalement selon une loi de puissance, quelle que soit la composition du codépôt, de sorte que la ségrégation n'a que peu d'influence sur la microstructure observée. Par contre, en raison du rapport surface/volume et des corrélations chimiques dans ces objets, la composition des nanofils du co-dépôt varie très fortement selon leur taille, les petits nanofils étant plus riches en l'espèce ségrégeante que les plus grands. Enfin, nous étendons le diagramme de bimodalité d'un nanofil seul à l'ensemble des nanofils du co-dépôt et montrons que cette bimodalité est difficilement observable car elle ne concerne que des amas de petite taille qui sont très minoritaires du fait de la cohésion atomique.

Le lien entre le spectre de la matrice de transfert de la formulation de spins du modèle de Potts critique et celui de la matrice de transfert double-ligne de la formulation de boucles est établi. La relation entre la trace des deux opérateurs est obtenue dans deux représentations de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique, dont la matrice de transfert de boucles est un élément. Le résultat est exprimé en termes des traces modifiées, qui correspondent à des traces effectuées dans le sous-espace de l'espace de représentation des N-liens se transformant selon la m ième représentation irréductible du groupe cyclique. Le mémoire comporte trois chapitres. Dans le premier chapitre, les résultats essentiels concernant les formulations de spins et de boucles du modèle de Potts sont rappelés. Dans le second chapitre, les propriétés de l'algèbre de Temperley-Lieb cyclique et de ses représentations sont étudiées. Enfin, le lien entre les deux traces est construit dans le troisième chapitre. Le résultat final s'apparente à celui obtenu par Richard et Jacobsen en 2007, mais une nouvelle représentation n'ayant pas été étudiée est aussi investiguée. / The link between the spectrum of the spin transfer matrix of the critical Potts model and that of the double-row transfer matrix of the loop model is established. The relationship between the two operators is obtained in two different representations of the cyclic Temperley-Lieb algebra, whereof the transfer matrix is an element. The result is given in terms of the modified traces that correspond to tracing out the subspace of the N-link representation space that transforms according to the m th representation of the cyclic group. The thesis consists of three chapters. In the first chapter, basic results about the Potts model in the spin and loop pictures are recalled. In the second chapter, the properties of the cyclic Temperley-Lieb algebra and of some of its representations are studied. Finally, the relationship between the traces of the two operators is constructed in the third chapter. The final result is similar to the one obtained by Jacobsen and Richard in 2007, but a new representation that has not been studied is investigated.