La teoría económica es un ambiente donde las matemáticas brindan muchos aportes para modelizar comportamientos de agentes económicos. En este contexto, la presente tesis enfatiza el despliegue matemático para tratar el problema del consumidor en una economía descrita por bienes de consumo. Estos conforman canastas de consumo que son identi ficados con elementos de un cono convexo de un espacio vectorial apropiado como es el caso estándar de Rn, y por un sistema de precios, los cuales son identi ficados con vectores del cono dual topológico asociado al cono de las canastas de consumo. El problema del consumidor, es un modelo en el que un consumidor elige canastas de bienes (los cuales son accesibles para él considerando su restricción presupuestaria) de tal forma que maximice su satisfacción por el consumo de estas. El problema del consumidor se puede formular desde dos perspectivas distintas, ya sea mediante preferencias o mediante funciones de utilidad que representan la satisfacción del agente. En ambas formulaciones la solución al problema del consumidor es un conjunto de canastas de bienes dando lugar a una aplicación que asigna a cada vector de precios un conjunto de canastas (puede ser vacío, unitario o de varios elementos), a esta aplicación se le denomina correspondencia de demanda. En el presente trabajo se realiza una exposición pormenorizada de la monotonicidad de la correspondencia de demanda, vía preferencias y vía funciones de utilidad, tomando en cuenta condiciones de diferenciabilidad así como de no diferenciabilidad en lo que concierne a las funciones de utilidad. En algunos casos se debilita la clásica condición de concavidad para la función de utilidad. Asimismo, se evidencia el papel que juega la función de utilidad indirecta en el tratamiento de la monotonicidad de la función de demanda. / Economic theory is an environment where mathematics provides many contributions to model the behavior of economic agents. In this context, this thesis emphasizes the mathematical deployment to deal with the problem of the consumer in an economy described by consumer goods. These form bundles of consumption that are identi ed with elements of a convex cone of an appropriate vector space as is the standard case of Rn, and by a price system, which are identi ed with vectors of the topological dual cone associated with the cone of the bundles of consumption. The problem of the consumer, is a model in which a consumer chooses bundles of goods (which are accessible to him considering his budget constraint) in such a way that maximizes his satisfaction for the consumption of these. The consumer problem can be formulated from two di erent perspectives, either through preferences or through utility functions that represent the agent's satisfaction. In both formulations the solution to the problem of the consumer is a set of bundles of goods giving rise to an application that assigns to each price vector a set of bundles (it can be empty, unitary or of several elements), this application is called correspondence of demand. In the present work a detailed exposition is made of the monotonicity of the correspondence of demand, through preferences and through utility functions, taking into account conditions of di erentiability as well as non-di erentiability with respect to utility functions. In some cases the classic concavity condition for the utility function is weakened. Likewise, the role played by the indirect utility function in the treatment of the monotonicity of the demand function is evident. / Tesis

La presente memoria se centra en la determinación de precios óptimos de una categoría en una cadena de supermercados. Actualmente el proceso para fijar los precios se basa en la intuición o experiencia y es igual para todas las sucursales. Por lo tanto, se busca proponer una política de precios para una categoría, que capture la heterogeneidad del comportamiento de la demanda a través de las distintas tiendas dentro de la cadena. El objetivo principal de esta memoria es desarrollar una metodología para la determinación de precios bases óptimos; a través de datos transaccionales y demográficos que permita a la cadena encontrar una política de precios particular a cada una de sus salas de ventas. La estimación de demanda de los productos se realiza a través de un modelo jerárquico Bayesiano. La ventaja esencial de este modelo, es que esta estimación se realiza a nivel de sala, pero utiliza los puntos comunes de todas las sucursales. Con esta metodología, se obtiene la sensibilidad de la demanda al precio de cada producto, que se representan como elasticidades precio propia y cruzada para todos los productos en estudio Esto parámetros sirven de entrada para los modelos de optimización de precios. Finalmente, para determinar la política óptima de precios, se evalúan tres modelos de optimización no lineal, maximizando ingresos, unidades o margen. La validación de la estimación de la demanda arrojó óptimos resultados. El indicador R-ajustado fue de 0,5, mientras el MAPE fue menor al 25%. Además se pudo determinar que el modelo jerárquico bayesiano entrega mejores indicadores tanto cualitativos como cuantitativos para las matrices de elasticidad que modelos clásicos de regresión; agrega valor además al incluir información de variables demográficas que no habían sido analizadas anteriormente. Se concluye que aplicar políticas óptimas de precio para la cadena se observan aumentos cercanos al 40% en ingresos y unidades para cualquier modelo. Si además estas políticas se aplican de forma diferenciada para cada sucursal, los ingresos se incrementan en un 15% más, de forma que la cadena de supermercados pierde alrededor de diez millones de pesos semanales al no hacerse cargo de las particularidades de cada sala. Como conclusión del trabajo, la metodología aplicada permite abarcar mayor información sobre los productos y las sucursales, realizándose análisis más robustos y mejores interpretaciones del comportamiento del consumidor, lo que se ve reflejado en los resultados finales de la optimización.

Ingeniero Civil Mecánico / Los estándares actuales del tratamiento de implantes dentales apuntan a considerar las siguientes circunstancias: una experiencia no traumática, cirugía mínimamente invasiva y función inmediata. Este último factor es sumamente relevante en el proceso biológico de adaptación del hueso al implante, llamado oseointegración. Cargar un implante antes de que se integre con el hueso que lo aloja genera un fenómeno de movimiento relativo entre el implante y el hueso, conocido en la literatura como micromovimiento. Valores sobre un umbral aproximado de 150 [µm] generan daño en el material óseo impidiendo que ocurra el proceso de oseointegración. Un método útil para estudiar el micromovimiento es realizar simulaciones mediante el Método de Elementos Finitos. Este método permite modelar, simular y obtener resultados que difícilmente pueden ser obtenidos experimentalmente. Para obtener resultados válidos se toman en consideración factores numéricos, biológicos y mecánicos. Se trabajó con un modelo estructural estático con contactos no lineales. Se encontró una formulación adecuada para el tipo de contacto, dividiendo la carga en una cantidad de pasos que permitió la convergencia del modelo. Además se consideró el material óseo como un medio donde se distinguen dos tipos de tejido: cortical y trabecular. Se estudiaron distintos tipos de conjuntos supraestructura-implantes y se analizó la influencia de la sección transversal de la supraestructura así como también su material de fabricación. Un factor que se consideró, y que corresponde a una mejora respecto de trabajos similares anteriores, fue el hilo en los implantes estándar. A lo largo de este trabajo se desarrolló una metodología para generar un modelo, con todos los factores mencionados anteriormente, importable en el software comercial de elementos finitos ANSYS. Se utilizó éste programa para obtener los resultados. Finalmente estos últimos se interpretaron y elaboraron las pertinentes conclusiones. Se determinó que los valores de micromovimiento de todos los casos simulados se encuentran bajo el valor crítico de generación de problemas para la oseointegración. Un factor relevante en la distribución y valor máximo de micromovimiento y esfuerzo es la consideración geométrica del hilo en los implantes. El material de construcción de la supraestructura muestra ser otro factor relevante en los valores máximos de micromovimiento de los distintos modelos. No se encontró una relación clara entre la sección transversal de la supraestructura y el micromovimiento.

Ingeniero Civil en Biotecnología / A lo largo del tiempo, los organismos vivos han desarrollado la capacidad de utilizar y acumular metales de transición. Esta capacidad resulta de suma importancia al considerar que estos elementos, entre los cuales se encuentra el cobre, están asociados a distintos procesos y rutas metabólicas. A pesar de esto, pueden llegar a ser tóxicos para la célula sobrepasando ciertas concentraciones. En el presente trabajo se proponen mecanismos cinéticos de los componentes de la homeostasis del cobre en Escherichia coli para estudiar la resistencia de éste elemento en bacterias. Estos mecanismos se relacionan mediante un modelo cuantitativo de flujos a partir de EDOs, donde se identificó y caracterizó cada componente del sistema. La cinética de tres proteínas (CopA, CueO y CusCBA) es estudiada en base a sus actividades reportadas para la obtención de los parámetros cinéticos, los cuales son ajustados por los mecanismos propuestos mediante la técnica de análisis numérico de mínimos cuadrados. Para desarrollar el modelo se realizaron algunos supuestos, como considerar las concentraciones de ATP, H+ y O2 en exceso para las reacciones, y mantener la cantidad de proteínas constante. Como resultado principal, se obtiene que la cantidad de cobre en el citoplasma y periplasma varía entre 2 a 12 átomos (0.003 a 0.02 [uM]) y 55 a 570 átomos (0.09 a 0.95 [uM]) respectivamente; otorgando a este segundo compartimiento 48 veces más capacidad de almacenamiento de cobre libre. Además, las escalas de tiempo de respuesta de las simulaciones, están en el orden de los 30 minutos, acercándose al tiempo de respuesta que se espera para mantener el supuesto de proteínas constante. Por otra parte, el resultado del modelo es más sensible a perturbaciones de los parámetros cinéticos de CueO y del volumen extracelular; mientras que se observan variaciones menores del 1% al perturbar los parámetros del sistema transportador CusCBA-CusF. El modelo se validó mediante ensayos de comparación entre distintos casos de mutaciones de tipo knockdown y los valores de las MICs asociadas a ellos, pudiendo recuperar los valores vinculando las MICs reportadas con las MICs obtenidas mediante una relación. En los casos de silenciamiento genético de CopA, se observa la importancia de insertar un transportador putativo que transporte cobre desde el periplasma hacia el citoplasma. A través del modelo, es posible estudiar el comportamiento de los elementos principales de la homeostasis de cobre en bacteria, validando la metodología utilizada. A partir de esto, se puede tener aproximaciones de la dinámica del sistema de homeostasis de cobre y dada la flexibilidad del modelo, extrapolarlo a otros organismos para evaluar concentraciones críticas de este elemento en distintos casos como polímeros biocidas o enfermedades relacionadas con la absorción del cobre.

Ingeniero Civil Matemático / En este trabajo buscamos obtener imágenes de las distribuciones internas de fuentes radioactivas y mapa de atenuación para el procedimiento médico usado en tomografía SPECT, usando mediciones balísticas y de primer orden de scattering. Con este objetivo, modelamos matemáticamente el problema tridimensionalmente utilizando la ecuación de transferencia radiativa, logrando explicitar el operador no-lineal que entrega las mediciones en función de la distribución de fuentes radioactivas y mapa de atenuación. Derivando direccionalmente el operador no-lineal, obtuvimos un operador lineal que define el problema inverso linealizado. Bajo hipótesis de regularidad sobre la distribución de fuentes radioactivas y mapa de atenuación y, considerando baja atenuación, se demostró rigurosamente que el operador lineal es invertible y se calculó explícitamente su inversa. La demostración de la invertibilidad del operador linealizado consta de varias etapas. En una primera etapa se descompone el operador en una parte $L$ invertible y una perturbación $Q$ que sea pequeña para pequeñas atenuaciones en el espacio funcional adecuado. En una segunda etapa, se estudian las propiedades de regularidad de $L$ y $Q$ mediante métodos que incluyen estimaciones sobre la inversa de la transformada de Radon atenuada y de la transformada de Radon con pesos como operadores integrales en espacios de Sobolev con exponente fraccionario. Finalmente se concluye la invertibilidad de $L+Q$ acotando la norma de $L^{-1}Q$ y usando series de Neumann. Usando el resultado previo de inversión para el operador lineal, se plantearon en este trabajo nuevos tipos de algoritmos iterativos de recuperación de fuentes y atenuación para la tomografía SPECT. Estos algoritmos incluyen un algoritmo para el problema inverso linealizado usando series de Neumann, un algoritmo para el problema inverso no-lineal usando el método de Newton-Raphson y un algoritmo heurístico para el no-lineal el cual fue implementado numéricamente. El análisis teórico del problema linealizado provisto por este estudio representa un paso previo fundamental para el estudio de la convergencia de los algoritmos numéricos antes propuestos. Al comparar el algoritmo heurístico implementado en este trabajo con la metodología tradicional de SPECT, tanto en experimentos con datos reales como sintéticos, se observa una mejora en la recuperación de fuentes, además de contar con la reconstrucción adicional del mapa de atenuación del medio.

Ingeniero Civil / Las intensas lluvias del sur de Chile provocan un aumento en las presiones de poros, debido a un aumento del nivel freático, afectando directamente la estabilidad de un talud. Para aumentar el factor de seguridad, se ha observado que un método efectivo es la utilización de drenes subhorizontales. Éstos generan un gradiente de energía entre el interior del dren y el suelo, permitiendo un flujo de agua que disminuye la presión de poros. No obstante, el diseño del espaciamiento, así como el largo y diámetro de los drenes a utilizar no se encuentra detalladamente estudiado. Además, el diseño del sistema de drenaje propuesto es un problema que debe ser abordado tridimensionalmente pues la distribución de presiones de poros (y del nivel freático) es una variable que varía tanto en el plano a lo largo de los drenes como en el plano perpendicular a ellos. El objetivo de esta investigación es desarrollar y permitir determinar las variables más importantes para el diseño adecuado del sistema de drenaje, con un modelo numérico en 3D, con el fin de cuantificar el efecto del largo y espaciamiento de drenes horizontales en un talud. Se utiliza el software FLAC3D para estudiar el efecto de los drenes, bajo régimen permanente, en las tensiones efectivas del talud y en el factor de seguridad estático, utilizando el método de reducción de los parámetros de resistencia al corte. Se ha encontrado en la literatura (Teresik & Kealy, 1984) que la condición de borde que comúnmente es utilizada para representar el comportamiento de drenes, es considerar presiones de poros nula. Bajo esta condición, se ha observado que la distribución de carga hidráulica total no es representativa del fenómeno observado en el laboratorio (Kenney, 1977). Se concluye que solo cuando el dren posee una superficie libre, el comportamiento debe ser modelado con presión nula y cuando éste entra en presión (sin superficie libre, con presión hidráulica en su interior), la condición de borde adecuada es con caudales de extracción. Esto representa ambas formas en que los drenes responden disminuyendo las presiones de poros bajo diferentes gradientes de energía, siendo la condición de presiones de poros nula más efectiva que la de caudales. El parámetro que controla este comportamiento es el diámetro del dren, el cual debe ser diseñado teniendo como dato el caudal que debe ser evacuado. Las simulaciones numéricas con presión de poros nula realizadas permiten concluir que para el diseño del sistema de drenaje, las variables geométricas de largo, espaciamiento y diámetro deben ser abordadas como un conjunto, en donde el largo y espaciamiento especificados arrojan un caudal que debe ser conducido por un dren de diámetro adecuado para que trabaje como un canal y no como una tubería. Se obtiene un procedimiento de modelamiento de drenes validado el cual es aplicado en un talud del sur de Chile, en que sus parámetros de resistencia al corte han sido determinados. Para este talud se obtiene un gráfico que cuantifica el efecto que tienen los parámetros geométricos de drenes horizontales en la estabilidad del talud. Se obtiene que aumentar el largo del dren por sobre 10 m no aumenta considerablemente el factor de seguridad del talud. Por otro lado, el efecto del espaciamiento entre drenes es notorio cuando se trabaja con drenes más cortos. Se concluye que la utilización de drenes es una alternativa adecuada de mejoramiento de la estabilidad del talud.

Ingeniero Civil / Los modelos de elección discreta basados en utilidades o disposiciones a pagar han sido muy utilizados para representar el comportamiento de los consumidores en sistemas de Uso de Suelo y de Transporte. En este trabajo se desarrolla un modelo de elección que usa disposiciones a pagar para representar la elección en mercados de remate, donde los bienes se asignan a los mejores postores. Los modelos tradicionales no consideran el hecho de que estas funciones están siempre acotadas superiormente porque los consumidores tienen restricciones presupuestarias. Si bien se han generado enfoques para representar esta situación, estas son heurísticas solamente. En este trabajo se deduce de un modo riguroso un nuevo modelo de elección discreta binomial donde las funciones de valor son disposiciones a pagar acotadas superiormente. En particular, se obtiene una expresión analítica en el caso en que estas funciones son variables aleatorias idénticamente distribuidas Gumbel. Este modelo junto con incorporar en su formulación la influencia de la restricción presupuestaria, tiene la interesante propiedad de permitir estimar un número mayor de parámetros que en el caso del modelo Logit Binomial clásico. Junto con caracterizar este modelo, se probó empíricamente usando bases sintéticas que es posible estimar sus parámetros y que en muchos casos, entrega estimaciones más precisas que el modelo Logit Binomial tradicional.

Ingeniero Civil Mecánico / Los Elastómeros Electro-Sensibles son materiales que se caracterizan por sufrir grandes deformaciones en presencia de un campo eléctrico. Debido a esto la atención de los científicos se ha centrado en estudiar el comportamiento de estos materiales con el propósito de determinar su potencial uso como actuadores, para músculos artificiales en robótica y para aplicaciones biomédicas en prótesis entre otras aplicaciones. El comportamiento de estos materiales ha recibido la atención de los investigadores solo recientemente, y el objetivo de este trabajo es abordar en más detalle algunos aspectos de la modelación del comportamiento de estos materiales. Los conceptos básicos a considerar para el estudio del comportamiento de los elastómeros electro-sensibles en presencia de un campo eléctrico son la cinemática de los cuerpos al momento de la deformación, las ecuaciones de Maxwell para las variables de campo eléctrico en ausencia de campos magnéticos, corrientes libres y cargas eléctricas, y sin dependencia del tiempo; además de las leyes del balance de masa, la formulación Lagrangiana y la simetría de los materiales. Este trabajo consiste en estudiar el comportamiento de la segunda variación para tres problemas de valor de frontera por medio del software Mathematica con diferentes geometrías para los cuerpos electro-activos y diferentes vectores de campo eléctrico, considerando ademas algunos ejemplos simples de ecuaciones constitutivas para el material. La segunda variación, y en particular su signo, se estudió como criterio para predecir la aparición de inestabilidades electro-elásticas.

Ingeniero Civil en Biotecnología / Ingeniero Civil Químico / El metabolismo de los microorganismos, así como la dinámica de sus cambios, son cada vez más importantes en el desarrollo de la industria y la investigación. El desarrollo de modelos matemáticos es una herramienta que permite estudiar, comprender y simular estos procesos. El objetivo de este trabajo es la construcción de un modelo de red metabólica que incorpore la regulación génica de sus vías mediante la simulación de síntesis enzimática, además de la validación de una metodología de obtención de parámetros. La red metabólica propuesta para modelar el metabolismo de Escherichia coli está constituida por las reacciones de la vía de la glicólisis, el ciclo TCA, la producción y consumo de acetato y la degradación de lactosa y galactosa. Las fuentes de carbono utilizadas durante el crecimiento del microorganismo fueron glucosa y lactosa, que una vez consumidas dan paso al consumo de galactosa y acetatos secretados previamente, en un proceso conocido como diaúxia. La red da cuenta de las relaciones de entre los metabolitos a través 45 flujos. Los cambios en el metabolismo, a medida que se pasa de consumir una fuente de carbón a otra, son representados por la síntesis de las enzimas que controlan las vías responsables de estos cambios. La síntesis de enzimas es a partir de genes cuya expresión en reprimida o inducida por los metabolitos presentes en el medio o al interior de la célula. La metodología utilizada consiste en el desarrollo de ecuaciones cinéticas simplificadas para las reacciones de la red. Estas cinéticas se basan en ley de acción de masa, cinética de Michaelis-Menten y ecuaciones de transporte. La regulación génica representada por la concentración de enzimas, relativa a su máximo, está acoplada al sistema de ecuaciones diferenciales que dan cuenta de las variaciones de concentración de metabolitos. La obtención de los parámetros cinéticos y las condiciones iniciales de simulación se obtiene a través de un ajuste de parámetros de las expresiones cinéticas sobre los valores de flujos obtenidos a través de un MFA. Para el desarrollo del MFA se utilizan flujos de consumo o producción de metabolitos obtenidos de datos experimentales en tres momentos del cultivo, uno por cada fase. A partir de la simulación de este modelo se obtuvo perfiles de concentración para los metabolitos extracelulares (glucosa, lactosa, galactosa y acetato), así como también para el crecimiento de biomasa. Los coeficientes de determinación de las curvas superan el valor de 0.83 para el acetato, y el de 0.94 para el resto de los metabolitos y la biomasa. Con estos resultados se concluye que el modelo es capaz de representar de forma cuantitativa el crecimiento diaúxico de Escherichia coli.

Ingeniero Civil / Las ménsulas de hormigón armado corresponden a voladizos de esbeltez largo de corte sobre altura menor a la unidad. Son generalmente utilizadas para la transferencia de cargas dentro de un sistema estructural, como lo puede ser un edificio, puente, e instalaciones en general. Debido a tan baja razón luz de corte sobre altura de las ménsulas, es que generalmente estas se encuentran gobernadas por la falla de corte y su predicción de capacidad establece mayores dificultades que la falla de flexión. El modelo panel implementado para predecir la capacidad al corte de ménsulas, asume que la dirección principal de tensiones es igual a la dirección de principal de deformación, donde se modela la ménsula mediante un elemento denominado panel, el cual representa tanto el estado de deformación, como de tensión. Además, supone que el ángulo del puntal de compresión es fijo para el proceso de carga. El hormigón se modela con un comportamiento biaxial, en el cual se considera la pérdida de rigidez y resistencia en el puntal de compresión producto de la tracción en la dirección ortogonal. El acero sigue un comportamiento uniaxial elasto-plástico perfecto. El modelo panel modificado de ángulo fijo (Ulloa, 2013) se sustenta en que el ángulo de compresión principal se fija a un cierto nivel de tracción, y desde ese instante permanece invariable ante desplazamientos laterales de la zona superior del muro. Al aplicar el modelo que fija el ángulo de fisuras a la tensión de inicio de fisuras "σ_r=f_ct" se da origen al modelo de ángulo fijo "α(σ_r=f_ct)", el que se usa en conjunto con la ecuación de equilibrio longitudinal en ménsulas para resolver la estimación de la capacidad al corte. Para analizar el comportamiento del modelo teórico se generó una base de datos unificada con 109 ensayos de ménsulas disponibles en la literatura, en los cuales se varía la resistencia a compresión del concreto, las cuantías de estribos horizontales, cuantías de refuerzo principal de borde, y la razón luz de corte sobre altura. Las ménsulas estudiadas son solicitadas exclusivamente por cargas de corte. La comparación entre los modelos panel modificado de ángulo fijo (Ulloa, 2013) y los resultados experimentales, dan resultados conservadores para la estimación de la capacidad, obteniendo la mejor estimación para el modelo que fija el ángulo de compresión principal al nivel de tracción "σ_r=f_ct". La razón promedio entre capacidad predicha versus capacidad experimental alcanza un valor de 0.77 y una desviación estándar de 0.18. Tras observar el carácter conservador de tales resultados, se plantearon diversas modificaciones con el objetivo de mejorar la predicción, obteniendo los mejores resultados al formular un nuevo modelo denominado "modelo de modificaciones simultáneas α(σ_r=f_ct) y σ_L=N/A", el cual considera 1) una re-calibración de la dirección principal de compresión para capturar la ausencia de armadura transversal y carga axial en las ménsulas estudiadas, 2) la inclusión eficiente del refuerzo de borde en la ecuación de equilibrio longitudinal para captar su participación en el mecanismo de enrejado, y 3) la disminución de la razón luz de corte sobre altura al considerar el ancho de la placa de carga. Tal modelo obtuvo un promedio de 0.98 y desviación estándar de 0.16, mostrando baja dependencia ante los parámetros de entrada en la modelación, y además captura de mejor forma la tensión de ensayo que los modelos de Ulloa (2013). Al comparar el modelo simultáneo con otros modelos de la literatura se obtienen resultados comparables a modelos de alta precisión como el de Russo (2006), y una mejor medición del tipo de falla respecto al código ACI 318-08.