In this thesis there can be found various examples from Monge projection. The theory is summarized in the beginning, which is important of understanding the projection and for solving the examples. There are also examples of solving axial affinity and central collineation. Then there is a chapter about the projection of all types of angular and rotational solids, which are solved at the secondary schools. Then follows a chapter, where the sections of these solids are constructed. In the last chapter, there are solved intersection of solids from each type. Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

Cette thèse comporte deux parties: - Dans la première partie, nous traitons d'abord une version kahlérienne du célèbre théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi, puis, un problème de prolongement des courants positifs fermés. Notre motivation provient de la conjecture de Siu sur l'invariance des plurigenres dans le cas d'une famille kahlérienne. En effet, dans la preuve du célèbre théorème d'invariance des plurigenres de Siu, le théorème d'extension d'Ohsawa-Takegoshi joue un rôle important. Il est donc naturel de penser que la preuve de la conjecture fera également intervenir un théorème d'extension de type Ohsawa-Takegoshi dans le cas kahlérien. Suite aux difficultés techniques qui proviennent de la régularisation des fonctions quasi-psh sur les variétés kahlériennes compactes, nous obtenons seulement deux cas particuliers du résultat espéré. Pour ce qui est du prolongement des courants positifs fermés, notre résultat est un cas particulier de la conjecture qui prédit que tout courant positif fermé défini sur le fibré central d'une classe de cohomologie kahlérienne tordue par la classe de Chern du fibré canonique admet un prolongement. - Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'unicité des solutions des équations de type Monge-Ampère généralisées. Il s'agit d'une généralisation d'un théorème de Bando-Mabuchi concernant les métriques de Kahler-Einstein sur les variétés de Fano. Nous suivons la méthode introduite par Berndtsson et généralisons son résultat en travaillant avec un courant positif fermé à la place d'une paire klt dans son contexte. Les propriétés de convexité des métriques de Bergman jouent un rôle important dans cette partie / This thesis consists in two parts: -In the first part, we first deal with a Kahler version of the famous Ohsawa-Takegoshi extension theorem; then, a problem of extending the closed positive currents. Our motivation comes from the Siu's conjecture on the invariance of plurigenera over a Kahler family. Indeed, in the proof of his famous theorem, the Ohsawa-Takegoshi theorem plays an important role. It is, therefore, natural to think that the proof for the conjecture involves an extension theorem of Ohsawa-Takegoshi type in the Kahler case. Because of the technical difficulties coming from the regularization process of quasi-psh functions over the compact Kahler manifolds, we only obtain two special cases of the hoped result. As for the extension of closed positive currents, our result is a special case of the conjecture which predicts that every closed positive current defined over the central fiber in a Kahler cohomology class twisted by the first Chern class of the canonical bundle admits an extension. -In the second part, we are interested in the uniqueness of the solutions of the equations of generalized Monge-Ampère type, a generalized Bando-Mabuchi theorem concerning the Kahler-Einstein metrics over Fano manifolds. We follow the method introduced by Berndtsson and generalize his result by working with a closed positive current in place of a klt pair in his context. The properties of the convexity of the Bergman metrics play an important role in this part

Cette thèse est consacrée à l'étude de la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère complexes ainsi que des équations hessiennes complexes dans un domaine borné de Cn. Dans le premier chapitre, on donne des rappels sur la théorie du pluripotentiel. Dans le deuxième chapitre, on étudie le module de continuité des solutions du problème de Dirichlet pour les équations de Monge-Ampère lorsque le second membre est une mesure à densité continue par rapport à la mesure de Lebesgue dans un domaine strictement hyperconvexe lipschitzien. Dans le troisième chapitre, on prouve la continuité hölderienne des solutions de ce problème pour certaines mesures générales. Dans le quatrième chapitre, on considère le problème de Dirichlet pour les équations hessiennes complexes plus générales où le second membre dépend de la fonction inconnue. On donne une estimation précise du module de continuité de la solution lorsque la densité est continue. De plus, si la densité est dans Lp , on démontre que la solution est Hölder-continue jusqu'au bord. / In this thesis we study the regularity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations and also for complex Hessian equations in a bounded domain of Cn. In the first chapter, we give basic facts in pluripotential theory. In the second chapter, we study the modulus of continuity of solutions to the Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations when the right hand side is a measure with continuous density with respect to the Lebesgue measure in a bounded strongly hyperconvex Lipschitz domain. In the third chapter, we prove the Hölder continuity of solutions to this problem for some general measures. In the fourth chapter, we consider the Dirichlet problem for complex Hessian equations when the right hand side depends on the unknown function. We give a sharp estimate of the modulus of continuity of the solution as the density is continuous. Moreover, for the case of Lp-density we demonstrate that the solution is Hölder continuous up to the boundary.

Dans cette thèse nous étudions des questions de stabilité géométrique pour des variétés kähleriennes à courbure scalaire constante (cscK) avec classe de cohomologie transcendante. En tant que point de départ, nous introduisons des notions généralisées de K-stabilité, étendant une image classique introduite par G. Tian et S. Donaldson dans le cadre des variétés polarisées. Contrairement à la théorie classique, ce formalisme nous permet de traiter des questions de stabilité pour des variétés kähleriennes compactes non projectives ainsi que des variétés projectives munis de polarisations non rationnelles. Dans une première partie, nous étudions les rayons sous-géodésiques associés aux configurations tests dites cohomologiques, objets introduitent dans cette thèse. Nous établissons ainsi des formules fondamentales pour la pente asymptotique d'une famille de fonctionnelles d'énergie, le long de ces rayons géodésiques. Ceci est lié au couplage de Deligne en géométrie algébrique, et ce formalise permet en particulier de comprendre le comportement asymptotique d'un grand nombre de fonctionnelles d'énergie classiques en géométrie kählerienne, y compris la fonctionnelle d'Aubin-Mabuchi et la K-énergie. En particulier, ceci fournit une approche pluripotentielle naturelle pour étudier le comportement asymptotique des fonctionnelles d'énergie dans la théorie de K-stabilité. En s'appuyant sur cette première partie, nous démontrons ensuite un certain nombre de résultats de stabilité pour les variétés cscK. Tout d'abord, nous prouvons que les variétés cscK sont K-semistables dans notre sens généralisé, prolongeant ainsi un résultat dû à Donaldson dans le cadre projectif. En supposant que le groupe d'automorphisme est discret, nous montrons en outre que la K-stabilité est une condition nécessaire pour l'existence des métriques cscK sur des variétés kähleriennes compactes. Plus précisément, nous prouvons que la coercivité de la K-énergie implique la K-stabilité uniforme, ainsi généralisant des résultats de Mabuchi, Stoppa, Berman, Dervan et Boucksom-Hisamoto-Jonsson pour des variétés polarisées. Cela donne une preuve nouvelle et plus générale d'une direction de la conjecture Yau-Tian-Donaldson dans ce contexte. L'autre direction (suffisance de K-stabilité) est considérée comme l'un des problèmes ouverts les plus importants en géométrie kählerienne. Nous donnons enfin des résultats partiels dans le cas des variétés kähleriennes compactes qui admettent des champs de vecteurs holomorphes non triviaux. Nous discutons également autour des perspectives et applications de notre théorie de K-stabilité pour les variétés kähleriennes avec classe transcendante, notamment à l'étude des lieux de stabilité dans le cône de Kähler. / In this thesis we are interested in questions of geometric stability for constant scalar curvature Kähler (cscK) manifolds with transcendental cohomology class. As a starting point we develop generalized notions of K-stability, extending a classical picture for polarized manifolds due to G. Tian, S. Donaldson, and others, to the setting of arbitrary compact Kähler manifolds. We refer to these notions as cohomological K-stability. By contrast to the classical theory, this formalism allows us to treat stability questions for non-projective compact Kähler manifolds as well as projective manifolds endowed with non-rational polarizations. As a first main result and a fundamental tool in this thesis, we study subgeodesic rays associated to test configurations in our generalized sense, and establish formulas for the asymptotic slope of a certain family of energy functionals along these rays. This is related to the Deligne pairing construction in algebraic geometry, and covers many of the classical energy functionals in Kähler geometry (including Aubin's J-functional and the Mabuchi K-energy functional). In particular, this yields a natural potential-theoretic aproach to energy functional asymptotics in the theory of K-stability. Building on this foundation we establish a number of stability results for cscK manifolds: First, we show that cscK manifolds are K-semistable in our generalized sense, extending a result due to S. Donaldson in the projective setting. Assuming that the automorphism group is discrete we further show that K-stability is a necessary condition for existence of constant scalar curvature Kähler metrics on compact Kähler manifolds. More precisely, we prove that coercivity of the Mabuchi functional implies uniform K-stability, generalizing results of T. Mabuchi, J. Stoppa, R. Berman, R. Dervan as well as S. Boucksom, T. Hisamoto and M. Jonsson for polarized manifolds. This gives a new and more general proof of one direction of the Yau-Tian-Donaldson conjecture in this setting. The other direction (sufficiency of K-stability) is considered to be one of the most important open problems in Kähler geometry. We finally give some partial results in the case of compact Kähler manifolds admitting non-trivial holomorphic vector fields, discuss some further perspectives and applications of the theory of K-stability for compact Kähler manifolds with transcendental cohomology class, and ask some questions related to stability loci in the Kähler cone.

Ce travail de thèse porte sur différentes caractérisations des modèles multivariés de stables-Tweedie multiples dans le cadre des familles exponentielles naturelles sous la propriété de "steepness". Ces modèles parus en 2014 dans la littérature ont été d’abord introduits et décrits sous une forme restreinte des stables-Tweedie normaux avant les extensions aux cas multiples. Ils sont composés d’un mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie de variable réelle positive fixée, et des lois stables-Tweedie de variables réelles indépendantes conditionnées par la première fixée, de même variance égale à la valeur de la variable fixée. Les modèles stables-Tweedie normaux correspondants sont ceux du mélange d’une loi unidimensionnelle stable-Tweedie positive fixé et les autres toutes gaussiennes indépendantes. A travers des cas particuliers tels que normal, Poisson, gamma, inverse gaussienne, les modèles stables-Tweedie multiples sont très fréquents dans les études de statistique et probabilités appliquées. D’abord, nous avons caractérisé les modèles stables-Tweedie normaux à travers leurs fonctions variances ou matrices de covariance exprimées en fonction de leurs vecteurs moyens. La nature des polynômes associés à ces modèles est déduite selon les valeurs de la puissance variance à l’aide des propriétés de quasi orthogonalité, des systèmes de Lévy-Sheffer, et des relations de récurrence polynomiale. Ensuite, ces premiers résultats nous ont permis de caractériser à l’aide de la fonction variance la plus grande classe des stables-Tweedie multiples. Ce qui a conduit à une nouvelle classification laquelle rend la famille beaucoup plus compréhensible. Enfin, une extension de caractérisation des stables-Tweedie normaux par fonction variance généralisée ou déterminant de la fonction variance a été établie via leur propriété d’indéfinie divisibilité et en passant par les équations de Monge-Ampère correspondantes. Exprimées sous la forme de produit des composantes du vecteur moyen aux puissances multiples, la caractérisationde tous les modèles multivariés stables-Tweedie multiples par fonction variance généralisée reste un problème ouvert. / In the framework of natural exponential families, this thesis proposes differents characterizations of multivariate multiple stables-Tweedie under "steepness" property. These models appeared in 2014 in the literature were first introduced and described in a restricted form of the normal stables-Tweedie models before extensions to multiple cases. They are composed by a fixed univariate stable-Tweedie variable having a positive domain, and the remaining random variables given the fixed one are reals independent stables-Tweedie variables, possibly different, with the same dispersion parameter equal to the fixed component. The corresponding normal stables-Tweedie models have a fixed univariate stable-Tweedie and all the others are reals Gaussian variables. Through special cases such that normal, Poisson, gamma, inverse Gaussian, multiple stables-Tweedie models are very common in applied probability and statistical studies. We first characterized the normal stable-Tweedie through their variances function or covariance matrices expressed in terms of their means vector. According to the power variance parameter values, the nature of polynomials associated with these models is deduced with the properties of the quasi orthogonal, Levy-Sheffer systems, and polynomial recurrence relations. Then, these results allowed us to characterize by function variance the largest class of multiple stables-Tweedie. Which led to a new classification, which makes more understandable the family. Finally, a extension characterization of normal stable-Tweedie by generalized variance function or determinant of variance function have been established via their infinite divisibility property and through the corresponding Monge-Ampere equations. Expressed as product of the components of the mean vector with multiple powers parameters reals, the characterization of all multivariate multiple stable- Tweedie models by generalized variance function remains an open problem.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de quelques modèles de trafic routier congestionné. La notion essentielle est l'équilibre de Wardrop. Elle poursuit des travaux de Carlier et Santambrogio avec des coauteurs. Baillon et Carlier ont étudié le cas de grilles cartésiennes dans $\RR^2$ de plus en plus denses, dans le cadre de la théorie de $\Gamma$-convergence. Trouver l'équilibre de Wardrop revient à résoudre des problèmes de minimisation convexe. Dans le chapitre 2, nous regardons ce qui se passe dans le cas de réseaux généraux, de plus en plus denses, dans $\RR^d$. Des difficultés nouvelles surgissent par rapport au cas initial de réseaux cartésiens et pour les contourner, nous introduisons la notion de courbes généralisées. Des hypothèses structurelles sur ces suites de réseaux discrets sont nécessaires pour s'assurer de la convergence. Cela fait alors apparaître des fonctions qui sont des sortes de distances de Finsler et qui rendent compte de l'anisotropie du réseau. Nous obtenons ainsi des résultats similaires à ceux du cas cartésien. Dans le chapitre 3, nous étudions le modèle continu et en particulier, les problèmes limites. Nous trouvons alors des conditions d'optimalité à travers une formulation duale qui peut être interprétée en termes d'équilibres continus de Wardrop. Cependant, nous travaillons avec des courbes généralisées et nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème de Prokhorov, comme cela a été le cas dans \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. Pour pouvoir néanmoins l'utiliser, nous considérons une version relaxée du problème limite, avec des mesures d'Young. Dans le chapitre 4, nous nous concentrons sur le cas de long terme, c'est-à-dire, nous fixons uniquement les distributions d'offre et de demande. Comme montré dans \cite{brasco2013congested}, le problème de l'équilibre de Wardrop est équivalent à un problème à la Beckmann et il se réduit à résoudre une EDP elliptique, anisotropique et dégénérée. Nous utilisons la méthode de résolution numérique de Lagrangien augmenté présentée dans \cite{benamou2013augmented} pour proposer des exemples de simulation. Enfin, le chapitre 5 a pour objet l'étude de problèmes de Monge avec comme coût une distance de Finsler. Cela se reformule en des problèmes de flux minimal et une discrétisation de ces problèmes mène à un problème de point-selle. Nous le résolvons alors numériquement, encore grâce à un algorithme de Lagrangien augmenté. / This thesis is devoted to the mathematical analysis of some models of congested road traffic. The essential notion is the Wardrop equilibrium. It continues Carlier and Santambrogio's works with coauthors. With Baillon they studied the case of two-dimensional cartesian networks that become very dense in the framework of $\Gamma$-convergence theory. Finding Wardrop equilibria is equivalent to solve convex minimisation problems.In Chapter 2 we look at what happens in the case of general networks, increasingly dense. New difficulties appear with respect to the original case of cartesian networks. To deal with these difficulties we introduce the concept of generalized curves. Structural assumptions on these sequences of discrete networks are necessary to obtain convergence. Sorts of Finsler distance are used and keep track of anisotropy of the network. We then have similar results to those in the cartesian case.In Chapter 3 we study the continuous model and in particular the limit problems. Then we find optimality conditions through a duale formulation that can be interpreted in terms of continuous Wardrop equilibria. However we work with generalized curves and we cannot directly apply Prokhorov's theorem, as in \cite{baillon2012discrete, carlier2008optimal}. To use it we consider a relaxed version of the limit problem with Young's measures. In Chapter 4 we focus on the long-term case, that is, we fix only the distributions of supply and demand. As shown in \cite{brasco2013congested} the problem of Wardrop equilibria can be reformulated in a problem à la Beckmann and reduced to solve an elliptic anisotropic and degenerated PDE. We use the augmented Lagrangian scheme presented in \cite{benamou2013augmented} to show a few numerical simulation examples. Finally Chapter 5 is devoted to studying Monge problems with as cost a Finsler distance. It leads to minimal flow problems. Discretization of these problems is equivalent to a saddle-point problem. We then solve it numerically again by an augmented Lagrangian algorithm.

Traditional methods in optical design like ray tracing suffer from slow convergence and are not constructive, i.e., each minimal perturbation of input parameters might lead to “chaotic” changes in the output. However, so-called inverse methods can be helpful in designing optical systems of reflectors and lenses. The equations in R2 become ordinary differential equations, while in R3 the equations become partial differential equations. These equations are then used to transform source distributions into target distributions, where the distributions are arbitrary, though assumed to be positive and integrable. In this project, we derive the governing equations and solve them numerically, for the systems presented by our instructor Martijn Anthonissen [Anthonissen et al. 2021]. Additionally, we show how point sources can be derived as a special case of a interval source with di- rected source interval, i.e., with each point in the source interval there is also an associated unit direction vector which could be derived from a system of two interval sources in R2. This way, it is shown that connecting source distributions with target distributions can be classified into two instead of three categories. The resulting description of point sources as a source along an interval with directed rays could potentially be extended to three dimensions, leading to interpretations of point sources as directed sources on convex or star-shaped sets.:1 Abstract 4 2 Notation And Conventions 4 3 Introduction 5 4 ECMI Modeling Week Challenges 5 4.1 Problem 1 - Parallel to Near-Field Target 5 4.1.1 Description 5 4.1.2 Deriving The Equations 5 4.2 Problem 2 - Parallel Source To Two Targets 8 4.3 Problem 3 - Point Source To Near-Field Target 9 4.3.1 Deriving The Equations 9 4.4 Problem 4 - Point Source To Two Targets 11 5 Validation - Ray tracing 13 5.1 Splines 13 5.1.1 Piece-Wise Affine Reflectors 13 5.1.2 Piece-Wise Cubic Reflectors 14 5.2 Error Estimates For Spline Reflectors 14 5.2.1 Lemma: A Priori Feasibility Of Starting Values For Near-Field Problems 15 5.2.2 Estimates for single reflector, near-field targets 16 5.3 Ray Tracing Errors - Illumination Errors 17 5.3.1 Definition: Axioms For Errors 18 5.3.2 Extrapolated Ray Tracing Error (ERTE) 18 5.3.3 Definition: Minimal Distance Ray Tracing Error (MIRTE) 19 5.3.4 Lemma: Continuity Of The Ray Traced Reflection Projection Of Smooth Reflectors 19 5.3.5 Theorem: Convergence Of The MIRTE 20 5.3.6 Convergence Of The ERTE 21 5.3.7 Application 21 6 Numerical Implementation 21 6.1 The DOPTICS Library 21 6.2 Pseudocode Of The Implementation 21 6.2.1 Solutions Of The Problems 22 6.2.2 Ray Tracing And Ray Tracing Error 22 6.3 ERTE Implementation 25 7 Results 26 7.1 Problem 1: Results 26 7.2 Problem 2: Results 26 7.3 Problem 3: Results 27 7.4 Problem 4: Results 27 8 Generalizations In Two Dimensions 29 8.1 Directed Densities 29 8.2 Generalized, Orthogonally Emitting Sources in R2 30 8.2.1 Point Light Sources As Orthogonally Emitting Sources 30 9 Conclusion and Future Research 32 10 Group Dynamic 32 References 32

This diploma thesis Tetrahedra and their properties summarizes the basic properties of tetrahedron. The main goal is to introduce the topic to a reader of this thesis. Author would like to provide basic information about the particular types of tetrahedra and their properties. I try to examine there a spatial analogy of selected terms of a triangle. Conditions for the existence of the orthocenter of a tetrahedron are derived. Then for a non-orthocetric tetrahedron the Monge point as its generalization is introduced. By most properties their proofs are given. In the final part worksheets for pupils of primary and secondary schools are designed. Pictures in the thesis are created in a geometrical program called GeoGebra 3D. These pictures can help the reader to understand this problem.

On généralise d'abord le théorème de prolongement $L^2$ d'Ohsawa-Takegoshi-Manivel au cas des jets de sections holomorphes d'un fibré en droites hermitien au-dessus d'une variété kählérienne faiblement pseudoconvexe. On donne ensuite une démonstration simple, en étudiant un courant de type $(1, 1),$ d'un résultat d'Uhlenbeck et Yau qui avait permis d'établir la correspondance de Kobayashi-Hitchin sur les variétés kählériennes compactes. Dans la troisième partie on étudie une conjecture sur l'existence de régularisations des courants quasi-positifs fermés, avec contrôle des masses de Monge-Ampère, qui permettrait d'obtenir une nouvelle caractérisation des variétés de Moishezon généralisant celles de Siu et de Demailly qui répondaient à la conjecture de Grauert-Riemenschneider. On donne une estimation uniforme de la perte de positivité dans le théorème de régularisation des courants de Demailly et on obtient une version effective de la génération globale des faisceaux d'idéaux multiplicateurs sur un ouvert pseudoconvexe de $(\bf C)^n.$

<p>In the theory of holomorphic functions of one complex variable it is often useful to study subharmonic functions. The subharmonic can be described using the Laplace operator. When one studies holomorphic functions of several complex variables one should study the plurisubharmonic functions instead. Here the complex Monge--Ampère operator has a role similar to that of the Laplace operator in the theory of subharmonic functions. The complex Monge--Ampère operator is nonlinear and therefore it is not as well understood as the Laplace operator. We consider two types of boundary value problems for the complex Monge--Ampere equation in certain pseudoconvex domains. In this thesis the right-hand side in the Monge--Ampère equation will always be smooth, strictly positive and meet a monotonicity condition. The first type of boundary value problem we consider is a Dirichlet problem where we look for plurisubharmonic solutions which are zero on the boundary of the domain. We show that this problem has a unique smooth solution if the domain has a smooth bounded plurisubharmonic exhaustion function which is globally Lipschitz and has Monge--Ampère mass larger than one everywhere. We obtain some results on which domains have such a bounded exhaustion function. The second type of boundary value problem we consider is a boundary blow-up problem where we look for plurisubharmonic solutions which tend to infinity at the boundary of the domain. Here we also assume that the right-hand side in the Monge--Ampère equation satisfies a growth condition. We study this problem in strongly pseudoconvex domains with smooth boundary and show that it has solutions which are Hölder continuous with arbitrary Hölder exponent α, 0 ≤ α < 1. We also show a uniqueness result. A result on the growth of the solutions is also proved. This result is used to describe the boundary behavior of the Bergman kernel.</p>