Dans cette thèse on s'intéresse aux formes de "circularité" qui apparaissent dans la théorie de la preuve de la logique du second ordre et de son contrepartie constructive, le Système F.Ces "circularités", ou "cercles vicieux" (Poincaré 1900), sont analysées sur la base d'une distinction entre deux points de vue distincts et irréductible (à cause des théorèmes d'incomplétude): le premier ("le pourquoi", Girard 1989) concerne la cohérence et l'Hauptsatz et demande des méthodes infinitaires (i.e. non élémentaires) de preuve. Le deuxième ("le comment", Girard 1989) concerne le contenu computationnel et combinatoire des preuves, donné par la correspondance entre preuves et programmes, et ne demande que de méthodes élémentaires de preuve.Dans la première partie de la thèse, dévouée au "pourquoi", les arguments philosophiques traditionnels sur les "cercles vicieux" sont confrontés avec la perspective qui émerge de la démonstration de l' Hauptsatz pour la logique de second ordre (obtenue par Girard avec la technique des candidats de réductibilité).Dans la deuxième partie de la thèse, dévouée au "comment", deux approches combinatoires aux cercles vicieux sont proposés: la première se basant sur la théorie du polymorphisme paramétrique, la deuxième sur l'analyse géométrique du typage qui vient de la théorie de l'unification. / In this dissertation several issues concerning the proof-theory of second order logic and its constructive counterpart (System F, Girard 1971) are addressed. The leitmotiv of the investigations here presented is the apparent "circularity'' or "impredicativity'' of second order proofs. This circularity is reflected in System F by the possibility to type functions applied to themselves, in contrast with Russell's idea that typing should rather forbid such ``vicious circles'' (Poincare 1906). A fundamental methodological distinction between two irreducible (because of incompleteness) approaches in proof theory constitutes the background of this work: on the one hand, "why-proof theory'' ("le pourquoi'', Girard 1989) addresses coherence and the Hauptsatz and requires non-elementary ("infinitary'') techniques; on the other hand, "how-proof theory'' ("le comment'', Girard 1989) addresses the combinatorial and computational content of proofs, given by the correspondence between proofs and programs, and is developed on the basis of elementary ("finitary'') techniques. }In the first part of the thesis, dedicated to "why-proof theory'', the traditional philosophical arguments on "vicious circles'' are confronted with the perspective arising from the proof of the Hauptsatz for second order logic (first obtained in Girard 1971 with the technique of reducibility candidates).In the second part of the thesis, dedicated to "how-proof theory'', two combinatorial approaches to "vicious circles'' are presented, with some technical results: the first one based on the theory of parametric polymorphism, the second one on the geometrical analysis of typing coming from unification theory.

Les couches minces sont utilisées dans un nombre important de domaines industriels comme les Micro- et Nano- Technologies (MNT) ou le traitement de surfaces. Elles peuvent être utilisées soit comme couches de structures, soit pour apporter des fonctions de protection ou de fonctionnalisation à des surfaces. On distingue généralement deux types de couches minces : les couches minces déposées et les couches minces autoportantes. L’objectif du travail présenté dans ce manuscrit est de développer des méthodes de caractérisation mécanique du comportement élasto-plastique des couches minces autoportantes et déposées. Dans un premier temps, nous présentons un essai de microtraction à même de travailler sur des couches d’épaisseur 750 nm et les moyens techniques associés. Ces outils permettent de caractériser les propriétés élasto-plastiques et l’endommagement mécanique des couches minces autoportantes. Dans un second temps, nous nous intéressons à la mise en œuvre de méthodes d’identification paramétrique associées à des essais d’indentation instrumentée dans l’optique de caractériser le comportement élasto-plastique des matériaux en couches minces déposées. Les couches caractérisées dans cette étude sont des multicouches Au-NiCo d’épaisseur totale 22 µm et des couches minces d’aluminium élaborées à partir de plusieurs procédées dont les épaisseurs sont comprises entre 1 et 1,5 µm. / The thin films are used in a large number of industrial fields such as Micro- and Nano- Technology (MNT) or treatment of surfaces. They can be used either as layer structures, or to provide protection functions or functionalized surfaces. There are generally two types of thin layers deposited thin films and self-supporting thin layers. The objective of the work presented in this manuscript is to develop methods for mechanical characterization of elastic-plastic behavior of free-standing thin films and deposited. First, we present a microtensile test able to work on 750 nm thick layers and associated technical means. These tools allow to characterize the elastic-plastic properties and mechanical damage freestanding thin films. In a second step, we focus on the implementation of parametric identification methods associated with implementation of instrumented indentation testing in the context of characterizing the elastic-plastic behavior of the deposited thin film materials. The layers characterized in this study are multilayer NiCo In total thickness 22 microns and thin layers of aluminum produced from several procédées with thicknesses between 1 and 1.5 microns.

Les données du monde réel sont souvent de très grande dimension, faisant intervenir un grand nombre de variables non pertinentes ou redondantes. La sélection de variables est donc utile dans ce cadre. D'abord, on considère la sélection de variables dans le modèle de régression quand le nombre de variables est très grand. En particulier on traite le cas où le nombre de variables pertinentes est bien plus petit que la dimension ambiante. Sans supposer aucune forme paramétrique pour la fonction de régression, on obtient des conditions minimales permettant de retrouver l'ensemble des variables pertinentes. Ces conditions relient la dimension intrinsèque à la dimension ambiante et la taille de l'échantillon. Ensuite, on considère le problème du test d'une hypothèse nulle composite sous un modèle de régression non paramétrique multi varié. Pour une fonctionnelle quadratique donnée $Q$, l'hypothèse nulle correspond au fait que la fonction $f$ satisfait la contrainte $Q[f] = 0$, tandis que l'alternative correspond aux fonctions pour lesquelles $ |Q[f]|$ est minorée par une constante strictement positive. On fournit des taux minimax de test et les constantes de séparation exactes ainsi qu'une procédure optimale exacte, pour des fonctionnelles quadratiques diagonales et positives. On peut utiliser ces résultats pour tester la pertinence d'une ou plusieurs variables explicatives. L'étude des taux minimax pour les fonctionnelles quadratiques diagonales qui ne sont ni positives ni négatives, fait apparaître deux régimes différents : un régime « régulier » et un régime « irrégulier ». On applique ceci au test de l'égalité des normes de deux fonctions observées dans des environnements bruités / Real-world data are often extremely high-dimensional, severely under constrained and interspersed with a large number of irrelevant or redundant features. Relevant variable selection is a compelling approach for addressing statistical issues in the scenario of high-dimensional and noisy data with small sample size. First, we address the issue of variable selection in the regression model when the number of variables is very large. The main focus is on the situation where the number of relevant variables is much smaller than the ambient dimension. Without assuming any parametric form of the underlying regression function, we get tight conditions making it possible to consistently estimate the set of relevant variables. Secondly, we consider the problem of testing a particular type of composite null hypothesis under a nonparametric multivariate regression model. For a given quadratic functional $Q$, the null hypothesis states that the regression function $f$ satisfies the constraint $Q[f] = 0$, while the alternative corresponds to the functions for which $Q[f]$ is bounded away from zero. We provide minimax rates of testing and the exact separation constants, along with a sharp-optimal testing procedure, for diagonal and nonnegative quadratic functionals. We can apply this to testing the relevance of a variable. Studying minimax rates for quadratic functionals which are neither positive nor negative, makes appear two different regimes: “regular” and “irregular”. We apply this to the issue of testing the equality of norms of two functions observed in noisy environments

Cette thèse comporte plusieurs procédures d'estimation non-paramétrique de densité de probabilité.Dans chaque cas les variables d'intérêt ne sont pas observées directement, ce qui est une difficulté majeure.La première partie traite un modèle linéaire mixte où des observations répétées sont disponibles.La deuxième partie s'intéresse aux modèles d'équations différentielles stochastiques à effets aléatoires. Plusieurs trajectoires sont observées en temps continu sur un intervalle de temps commun.La troisième partie se place dans un contexte de bruit multiplicatif.Les différentes parties de cette thèse sont reliées par un contexte commun de problème inverse et par une problématique commune: l'estimation de la densité d'une variable cachée. Dans les deux premières parties la densité d'un ou plusieurs effets aléatoires est estimée. Dans la troisième partie il s'agit de reconstruire la densité de la variable d'origine à partir d'observations bruitées.Différentes méthodes d'estimation globale sont utilisées pour construire des estimateurs performants: estimateurs à noyau, estimateurs par projection ou estimateurs construits par déconvolution.La sélection de paramètres mène à des estimateurs adaptatifs et les risques quadratiques intégrés sont majorés grâce à une inégalité de concentration de Talagrand. Une étude sur simulations de chaque estimateur illustre leurs performances. Un jeu de données neuronales est étudié grâce aux procédures mises en place pour les équations différentielles stochastiques. / This thesis contains several nonparametric estimation procedures of a probability density function.In each case, the main difficulty lies in the fact that the variables of interest are not directly observed.The first part deals with a mixed linear model for which repeated observations are available.The second part focuses on stochastic differential equations with random effects. Many trajectories are observed continuously on the same time interval.The third part is in a full multiplicative noise framework.The parts of the thesis are connected by the same context of inverse problems and by a common problematic: the estimation of the density function of a hidden variable.In the first two parts the density of one or two random effects is estimated. In the third part the goal is to rebuild the density of the original variable from the noisy observations.Different global methods are used and lead to well competitive estimators: kernel estimators, projection estimators or estimators built from deconvolution.Parameter selection gives adaptive estimators and the integrated risks are bounded using a Talagrand concentration inequality.A simulation study for each proposed estimator highlights their performances.A neuronal dataset is investigated with the new procedures for stochastic differential equations developed in this work.

Cette thèse est consacrée à l'inférence de certains modèles statistiques mal spécifiés. Chaque résultat obtenu trouve son application dans une étude sur les facteurs pronostiques dans le cancer du sein, grâce à des données collectées par l'Institut Curie. Dans un premier temps, nous nous intéressons au modèle à risques non proportionnels, et exploitons la connaissance de la survie marginale du temps de décès. Ce modèle autorise la variation dans le temps du coefficient de régression, généralisant ainsi le modèle à hasards proportionnels. Dans un deuxième temps, nous étudions un modèle à hasards non proportionnels ayant un coefficient de régression constant par morceaux. Nous proposons une méthode d'inférence pour un modèle à un unique point de rupture, et une méthode d'estimation pour un modèle à plusieurs points de rupture. Dans un troisième temps, nous étudions l'influence du sous-échantillonnage sur la performance des forêts médianes et essayons de généraliser les résultats obtenus aux forêts aléatoires de survie à travers une application. Enfin, nous présentons un travail indépendant où nous développons une nouvelle méthode de recherche de doses, dans le cadre des essais cliniques de phase I à ordre partiel. / The thesis focuses on inference of statistical misspecified models. Every result finds its application in a prognostic factors study for breast cancer, thanks to the data collection of Institut Curie. We consider first non-proportional hazards models, and make use of the marginal survival of the failure time. This model allows a time-varying regression coefficient, and therefore generalizes the proportional hazards model. On a second time, we study step regression models. We propose an inference method for the changepoint of a two-step regression model, and an estimation method for a multiple-step regression model. Then, we study the influence of the subsampling rate on the performance of median forests and try to extend the results to random survival forests through an application. Finally, we present a new dose-finding method for phase I clinical trials, in case of partial ordering.

Les Phases I sont un domaine des essais cliniques dans lequel les statisticiens ont encore beaucoup à apporter. Depuis trente ans, ce secteur bénéficie d'un intérêt croissant et de nombreuses méthodes ont été proposées pour gérer l'allocation séquentielle des doses aux patients intégrés à l'étude. Durant cette Phase, il s'agit d'évaluer la toxicité, et s'adressant à des patients gravement atteints, il s'agit de maximiser les effets curatifs du traitement dont les retours toxiques sont une conséquence. Parmi une gamme de doses, on cherche à déterminer celle dont la probabilité de toxicité est la plus proche d'un seuil souhaité et fixé par les praticiens cliniques. Cette dose est appelée la MTD (maximum tolerated dose). La situation canonique dans laquelle sont introduites la plupart des méthodes consiste en une gamme de doses finie et ordonnée par probabilité de toxicité croissante. Dans cette thèse, on introduit une modélisation très générale du problème, la SPM (semi-parametric methods), qui recouvre une large classe de méthodes. Cela permet d'aborder des questions transversales aux Phases I. Quels sont les différents comportements asymptotiques souhaitables? La MTD peut-elle être localisée? Comment et dans quelles circonstances? Différentes paramétrisations de la SPM sont proposées et testées par simulations. Les performances obtenues sont comparables, voir supérieures à celles des méthodes les plus éprouvées. Les résultats théoriques sont étendus au cas spécifique de l'ordre partiel. La modélisation de la SPM repose sur un traitement hiérarchique inférentiel de modèles satisfaisant des contraintes linéaires de paramètres inconnus. Les aspects théoriques de cette structure sont décrits dans le cas de lois à supports discrets. Dans cette circonstance, de vastes ensembles de lois peuvent aisément être considérés, cela permettant d'éviter les cas de mauvaises spécifications. / Phase I clinical trials is an area in which statisticians have much to contribute. For over 30 years, this field has benefited from increasing interest on the part of statisticians and clinicians alike and several methods have been proposed to manage the sequential inclusion of patients to a study. The main purpose is to evaluate the occurrence of dose limiting toxicities for a selected group of patients with, typically, life threatening disease. The goal is to maximize the potential for therapeutic success in a situation where toxic side effects are inevitable and increase with increasing dose. From a range of given doses, we aim to determine the dose with a rate of toxicity as close as possible to some threshold chosen by the investigators. This dose is called the MTD (maximum tolerated dose). The standard situation is where we have a finite range of doses ordered with respect to the probability of toxicity at each dose. In this thesis we introduce a very general approach to modeling the problem - SPM (semi-parametric methods) - and these include a large class of methods. The viewpoint of SPM allows us to see things in, arguably, more relevant terms and to provide answers to questions such as asymptotic behavior. What kind of behavior should we be aiming for? For instance, can we consistently estimate the MTD? How, and under which conditions? Different parametrizations of SPM are considered and studied theoretically and via simulations. The obtained performances are comparable, and often better, to those of currently established methods. We extend the findings to the case of partial ordering in which more than one drug is under study and we do not necessarily know how all drug pairs are ordered. The SPM model structure leans on a hierarchical set-up whereby certain parameters are linearly constrained. The theoretical aspects of this structure are outlined for the case of distributions with discrete support. In this setting the great majority of laws can be easily considered and this enables us to avoid over restrictive specifications than can results in poor behavior.

Cette thèse porte sur le développement de méthodes semi-paramétriques robustes pour l'inférence de paramètres complexes émergeant à l'interface de l'inférence causale et la biostatistique. Ses motivations sont les applications à la recherche épidémiologique et médicale à l'ère des Big Data. Nous abordons plus particulièrement deux défis statistiques pour réconcilier, dans chaque contexte, estimation adaptative et inférence statistique. Le premier défi concerne la maximisation de l'information tirée d'essais contrôlés randomisés (ECRs) grâce à la conception d'essais adaptatifs. Nous présentons un cadre théorique pour la construction et l'analyse d'ECRs groupes-séquentiels, réponses-adaptatifs et ajustés aux covariable (traduction de l'expression anglaise « group-sequential, response-adaptive, covariate-adjusted », d'où l'acronyme CARA) qui permettent le recours à des procédures adaptatives d'estimation à la fois pour la construction dynamique des schémas de randomisation et pour l'estimation du modèle de réponse conditionnelle. Ce cadre enrichit la littérature existante sur les ECRs CARA notamment parce que l'estimation des effets est garantie robuste même lorsque les modèles sur lesquels s'appuient les procédures adaptatives d'estimation sont mal spécificiés. Le second défi concerne la mise au point et l'étude asymptotique d'une procédure inférentielle semi-paramétrique avec estimation adaptative des paramètres de nuisance. A titre d'exemple, nous choisissons comme paramètre d'intérêt la différence des risques marginaux pour un traitement binaire. Nous proposons une version cross-validée du principe d'inférence par minimisation ciblée de pertes (« Cross-validated Targeted Mimum Loss Estimation » en anglais, d'où l'acronyme CV-TMLE) qui, comme son nom le suggère, marie la procédure TMLE classique et le principe de la validation croisée. L'estimateur CV-TMLE ainsi élaboré hérite de la propriété typique de double-robustesse et aussi des propriétés d'efficacité du TMLE classique. De façon remarquable, le CV-TMLE est linéairement asymptotique sous des conditions minimales, sans recourir aux conditions de type Donsker. / This dissertation focuses on developing robust semiparametric methods for complex parameters that emerge at the interface of causal inference and biostatistics, with applications to epidemiological and medical research in the era of Big Data. Specifically, we address two statistical challenges that arise in bridging the disconnect between data-adaptive estimation and statistical inference. The first challenge arises in maximizing information learned from Randomized Control Trials (RCT) through the use of adaptive trial designs. We present a framework to construct and analyze group sequential covariate-adjusted response-adaptive (CARA) RCTs that admits the use of data-adaptive approaches in constructing the randomization schemes and in estimating the conditional response model. This framework adds to the existing literature on CARA RCTs by allowing flexible options in both their design and analysis and by providing robust effect estimates even under model mis-specifications. The second challenge arises from obtaining a Central Limit Theorem when data-adaptive estimation is used to estimate the nuisance parameters. We consider as target parameter of interest the marginal risk difference of the outcome under a binary treatment, and propose a Cross-validated Targeted Minimum Loss Estimator (TMLE), which augments the classical TMLE with a sample-splitting procedure. The proposed Cross-Validated TMLE (CV-TMLE) inherits the double robustness properties and efficiency properties of the classical TMLE , and achieves asymptotic linearity at minimal conditions by avoiding the Donsker class condition.

Le but de l’apprentissage supervisé est d’inférer des relations entre un phénomène que l’on souhaite prédire et des variables « explicatives ». À cette fin, on dispose d’observations de multiples réalisations du phénomène, à partir desquelles on propose une règle de prédiction. L’émergence récente de sources de données à très grande échelle, tant par le nombre d’observations effectuées (en analyse d’image, par exemple) que par le grand nombre de variables explicatives (en génétique), a fait émerger deux difficultés : d’une part, il devient difficile d’éviter l’écueil du sur-apprentissage lorsque le nombre de variables explicatives est très supérieur au nombre d’observations; d’autre part, l’aspect algorithmique devient déterminant, car la seule résolution d’un système linéaire dans les espaces en jeupeut devenir une difficulté majeure. Des algorithmes issus des méthodes d’approximation stochastique proposent uneréponse simultanée à ces deux difficultés : l’utilisation d’une méthode stochastique réduit drastiquement le coût algorithmique, sans dégrader la qualité de la règle de prédiction proposée, en évitant naturellement le sur-apprentissage. En particulier, le cœur de cette thèse portera sur les méthodes de gradient stochastique. Les très populaires méthodes paramétriques proposent comme prédictions des fonctions linéaires d’un ensemble choisi de variables explicatives. Cependant, ces méthodes aboutissent souvent à une approximation imprécise de la structure statistique sous-jacente. Dans le cadre non-paramétrique, qui est un des thèmes centraux de cette thèse, la restriction aux prédicteurs linéaires est levée. La classe de fonctions dans laquelle le prédicteur est construit dépend elle-même des observations. En pratique, les méthodes non-paramétriques sont cruciales pour diverses applications, en particulier pour l’analyse de données non vectorielles, qui peuvent être associées à un vecteur dans un espace fonctionnel via l’utilisation d’un noyau défini positif. Cela autorise l’utilisation d’algorithmes associés à des données vectorielles, mais exige une compréhension de ces algorithmes dans l’espace non-paramétrique associé : l’espace à noyau reproduisant. Par ailleurs, l’analyse de l’estimation non-paramétrique fournit également un éclairage révélateur sur le cadre paramétrique, lorsque le nombre de prédicteurs surpasse largement le nombre d’observations. La première contribution de cette thèse consiste en une analyse détaillée de l’approximation stochastique dans le cadre non-paramétrique, en particulier dans le cadre des espaces à noyaux reproduisants. Cette analyse permet d’obtenir des taux de convergence optimaux pour l’algorithme de descente de gradient stochastique moyennée. L’analyse proposée s’applique à de nombreux cadres, et une attention particulière est portée à l’utilisation d’hypothèses minimales, ainsi qu’à l’étude des cadres où le nombre d’observations est connu à l’avance, ou peut évoluer. La seconde contribution est de proposer un algorithme, basé sur un principe d’accélération, qui converge à une vitesse optimale, tant du point de vue de l’optimisation que du point de vue statistique. Cela permet, dans le cadre non-paramétrique, d’améliorer la convergence jusqu’au taux optimal, dans certains régimes pour lesquels le premier algorithme analysé restait sous-optimal. Enfin, la troisième contribution de la thèse consiste en l’extension du cadre étudié au delà de la perte des moindres carrés : l’algorithme de descente de gradient stochastiqueest analysé comme une chaine de Markov. Cette approche résulte en une interprétation intuitive, et souligne les différences entre le cadre quadratique et le cadre général. Une méthode simple permettant d’améliorer substantiellement la convergence est également proposée. / The goal of supervised machine learning is to infer relationships between a phenomenon one seeks to predict and “explanatory” variables. To that end, multiple occurrences of the phenomenon are observed, from which a prediction rule is constructed. The last two decades have witnessed the apparition of very large data-sets, both in terms of the number of observations (e.g., in image analysis) and in terms of the number of explanatory variables (e.g., in genetics). This has raised two challenges: first, avoiding the pitfall of over-fitting, especially when the number of explanatory variables is much higher than the number of observations; and second, dealing with the computational constraints, such as when the mere resolution of a linear system becomes a difficulty of its own. Algorithms that take their roots in stochastic approximation methods tackle both of these difficulties simultaneously: these stochastic methods dramatically reduce the computational cost, without degrading the quality of the proposed prediction rule, and they can naturally avoid over-fitting. As a consequence, the core of this thesis will be the study of stochastic gradient methods. The popular parametric methods give predictors which are linear functions of a set ofexplanatory variables. However, they often result in an imprecise approximation of the underlying statistical structure. In the non-parametric setting, which is paramount in this thesis, this restriction is lifted. The class of functions from which the predictor is proposed depends on the observations. In practice, these methods have multiple purposes, and are essential for learning with non-vectorial data, which can be mapped onto a vector in a functional space using a positive definite kernel. This allows to use algorithms designed for vectorial data, but requires the analysis to be made in the non-parametric associated space: the reproducing kernel Hilbert space. Moreover, the analysis of non-parametric regression also sheds some light on the parametric setting when the number of predictors is much larger than the number of observations. The first contribution of this thesis is to provide a detailed analysis of stochastic approximation in the non-parametric setting, precisely in reproducing kernel Hilbert spaces. This analysis proves optimal convergence rates for the averaged stochastic gradient descent algorithm. As we take special care in using minimal assumptions, it applies to numerous situations, and covers both the settings in which the number of observations is known a priori, and situations in which the learning algorithm works in an on-line fashion. The second contribution is an algorithm based on acceleration, which converges at optimal speed, both from the optimization point of view and from the statistical one. In the non-parametric setting, this can improve the convergence rate up to optimality, even inparticular regimes for which the first algorithm remains sub-optimal. Finally, the third contribution of the thesis consists in an extension of the framework beyond the least-square loss. The stochastic gradient descent algorithm is analyzed as a Markov chain. This point of view leads to an intuitive and insightful interpretation, that outlines the differences between the quadratic setting and the more general setting. A simple method resulting in provable improvements in the convergence is then proposed.

Pour un réel ξ qui n’est pas algébrique de degré ≤ 2, on peut définir plusieurs exposants diophantiens qui mesurent la qualité d’approximation du vecteur (1, ξ, ξ² ) par des sous-espaces de ℝ³ définis sur ℚ de dimension donnée. Cette thèse s’inscrit dans l’étude de ces exposants diophantiens et des questions relatives à la détermination de leur spectre. En utilisant notamment les outils modernes de la géométrie paramétrique des nombres, nous construisons une nouvelle famille de réels – appelés nombres de type sturmien – et nous déterminons presque complètement le 3-système qui leur est associé. Comme conséquence, nous en déduisons la valeur de leurs exposants diophantiens et certaines informations sur les spectres. Nous considérons également le problème plus général de l’allure d’un 3-système associé à un vecteur de la forme (1, ξ, ξ ²), en formulant entre autres certaines contraintes qui n’existent pas pour un vecteur (1, ξ, η) quelconque, et en explicitant les liens qu’il entretient avec la suite des points minimaux associée à ξ. Sous certaines conditions de récurrence sur la suite des points minimaux nous montrons que nous retrouvons les 3-systèmes associés aux nombres de type sturmien. / Given a real number ξ which is not algebraic of degree ≤ 2 one may defineseveral diophantine exponents which measure how “well” the vector (1, ξ, ξ ²) can be approximated by subspaces of fixed dimension defined over ℚ. This thesis is part of the study of these diophantine exponents and their spectra. Using the parametric geometry of numbers, we construct a new family of numbers – called numbers of sturmian type – and we provide an almost complete description of the associated 3-system. As a consequence, we determine the value of the classical exponents for numbers of sturmian type, and we obtain new information on their joint spectra. We also take into consideration a more general problem consisting in describing a 3-system associated with a vector (1, ξ, ξ²). For instance we formulate special constraints which do not exist for a general vector (1, ξ, η) and we also clarify connections between a 3-system which represents ξ and the sequence of minimal points associated to ξ. Under a specific recurrence relation hypothesis on the sequence of minimal points, we show that the previous 3-system has the shape of a 3-system associated to a number of sturmian type.

La portée des communications quantiques est limitée à quelques dizaines de km en raison de l’atténuation dans les fibres. Les répéteurs quantiques (relais quantiques synchronisés par des mémoires quantiques photoniques) furent introduits afin d’accroître ces distances. Or, pour le moment, les mémoires les plus performantes fonctionnent à des longueurs d’onde n’appartenant pas à la bande C télécom. Afin de profiter de ces mémoires, l’utilisation d’interfaces quantiques (milieu non linéaire quadratique) fut proposée comme alternative. En ajoutant ainsi par somme de fréquences un photon de pompe de longueur d’onde appropriée au photon télécom portant l’information, on transfère l’information à une longueur d’onde compatible avec les mémoires, et ceci sans dégradation de l’information portée initialement par le photon télécom. Notre but est ainsi de construire un oscillateur paramétrique optique continu simplement résonant (SRO) qui fournira un faisceau à 1648 nm qui sera sommé en fréquence aux photons télécom à 1536 nm pour transférer l’information vers un photon stockable dans une mémoire à base d’atomes alcalins. Pour transférer efficacement l’information, le SRO doit satisfaire quelques critères : une haute finesse spectrale (largeur de raie ~kHz), une forte puissance (~1W) et une longueur d’onde plus grande que celle du photon télécom à convertir. Pour ce faire, nous utilisons le faisceau non-résonant d’un SRO continu. Le premier travail réalisé dans cette thèse a été de faire la démonstration de la possibilité d’avoir un faisceau à la fois intense et pur spectralement en sortie d’un SRO continu. En réutilisant un SRO déjà développé durant nos travaux antérieurs, nous avons pu stabiliser au niveau du kHz la fréquence du faisceau non résonant à 947 nm (onde signal) de ce SRO, tout en émettant une puissance de plus d’un watt. Ensuite, nous avons conçu le SRO dont le faisceau non résonant à 1648 nm (onde complémentaire) a été stabilisé à court terme en-dessous du kHz avec une puissance de l’ordre du watt. Nous avons ensuite étudié la stabilité à long terme de la longueur d’onde du complémentaire à 1648 nm. Nous avons mesuré des dérives de fréquences de l’ordre de 10 MHz/mn. Ces dérives, venant essentiellement de la cavité de référence sur laquelle le SRO est asservi, peuvent être réduites en contrôlant activement la cavité d’une part, et en utilisant des techniques de stabilisation en fréquence robustes, d’autre part. / Long distance quantum communications are limited to few tens of km due to the attenuation of light in telecom fibres. Quantum repeaters (quantum relays synchronized by photonic quantum memories) were introduced in order to increase distances. Or, currently, the most efficient memories do not operate at wavelengths in the telecom C band. In order to take advantage of these memories, the use of quantum interfaces (second order nonlinear medium) was proposed as an alternative. Thus, by adding by sum frequency generation a pump photon at an appropriate wavelength to the telecom photon carrying the information, one transfers the information to a wavelength compatible with these memories, and this with a preservation of the information initially carried by the telecom photon. Our aim is thus to build a continuous-wave singly resonant optical parametric oscillator (cw SRO) which will provide a wave at 1648 nm that will be frequency summed to telecom photons at 1536 nm to transfer the information to a photon storable into alkali atoms based memory. To efficiently transfer the information, the cw SRO has to fulfill some requirements: a high spectral purity (linewidth ~kHz), a high output power (~1 W) and a wavelength longer than that of the telecom photon to be converted. To this aim, we use the non-resonant wave of a cw SRO. The first work done during this thesis was to experimentally prove the possibility to have both high output power and high spectral purity from a cw SRO. By reusing a cw SRO already built during our previous works, we were able to stabilize at the kHz level the frequency of the non-resonant wave at 947 nm (signal wave) of this SRO, with an output power of more than one watt. Then, we built the cw SRO of which non-resonant wave at 1648 nm (idler wave) has been frequency stabilized below the kHz level along with an output power of the order of one watt. We next studied the long term stability of the idler wavelength at 1648 nm. We have measured frequency drifts of the order of 10 MHz/mn. These drifts originating mainly from the reference cavity to which the SRO is locked, can be reduced by, firstly, an active control of the cavity and by, secondly, the use of robust frequency stabilization techniques.