Orientador: Suzete Maria Silva Afonso / Banca: Marta Cilene Gadotti / Banca: Ligia Lais Fêmina / O PROFMAT - Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional é coordenado pela Sociedade Brasileira de Matemática e realizado por uma rede de Instituições de Ensino Superior. / Resumo: Este trabalho está inserido no contexto do Programa de Mestrado Pro ssional de Matemática em Rede Nacional - PROFMAT e traz uma resenha de uma teoria a ser ensinada no Ensino Básico, geralmente na terceira série do Ensino Médio, a saber, a teoria dos números complexos. Além disso, enfoca a necessidade de diversi cadas abordagens didáticas, especialmente com uso de novas Tecnologias de Informação e Comunicação, para superar algumas di culdades com o ensino que, muitas vezes, decorrem de uma apresentação excessivamente formal do tema. A proposta de algumas atividades em ambiente computacional elaboradas com suporte do software livre (GUI) Geogebra está inclusa / Abstract: This work is in the context of Professional Program Master of Mathematics in National Network - PROFMAT and brings an overview of the theory to be taught in Primary School, usually in the third grade of High School. It also focuses on the need for diverse didactic approaches, especially with the use of new Information and Communication Technologies, to overcome some di culties with the teaching of complex numbers, which arise many times stem from an overly formal presentation of the topic. The proposal of activities in some computing environment developed with support of free software (GUI) Geogebra is included / Mestre

Orientador: Claudio Aguinaldo Buzzi / Banca: Juliano Gonçalves Oler / Banca: Jéfferson Luiz Rocha Bastos / Resumo: O objetivo deste trabalho é ampliar os conhecimentos sobre números complexos já adquiridos no ensino médio. Diversas formas de representação e propriedades operatórias são abordadas. Para este fim, primeiramente, os números complexos são definidos a partir do conceito de matrizes quadradas de ordem 2, e portanto, serão definidos como pares ordenados de números reais. Na sequência, a partir da apresentação geométrica dos conceitos e operações, é estudado o plano complexo estendido, as Transformações de Möbius e a Projeção Estereográfica / Abstract: The objective of this paper is to extend the concepts of complex numbers already acquired in high school. Many forms of representation and operative properties are used. For that, first, the complex numbers are defined from the concept of square matrices of order 2, and will therefore be defined as ordered pairs of real numbers. Following, from the geometric presentation of concepts and operations, it is studied the extended complex plane, the M¨obius Transformations and the Stereographic Projection / Mestre

Esta dissertação apresenta os resultados da aplicação de uma sequência didática que teve como objetivo o desenvolvimento de atividades que priorizassem a abordagem geométrica no ensino dos Números Complexos. A pesquisa foi realizada ao longo de nove encontros semanais no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio Técnico de Eletrônica, na modalidade subsequente. Inicialmente, fizemos a revisão da temática valendo-nos da análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais, de diversos livros didáticos e também de pesquisas sobre o tema. Para a aplicação das atividades em sala de aula, consideramos a associação de pares ordenados e pontos do plano e também a associação da soma e da subtração dos pares ordenados com a soma e subtração de vetores. Definimos a unidade imaginária i como o ponto (0,1) e, posteriormente, trabalhamos as operações na forma algébrica. O referencial teórico que deu suporte a este trabalho baseou-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, a qual trata dos aspectos cognitivos relacionados à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita por meio de anotações feitas pela professora pesquisadora, pela filmagem dos encontros e pelo material produzido pelos alunos durante as aulas. Após o término dos nove encontros, os alunos realizaram uma avaliação escrita na qual constatamos que os resultados obtidos mostraram-se satisfatórios. Também verificamos o empenho dos alunos durante a resolução das diferentes tarefas que deram suporte a esta pesquisa. / This master’s degree thesis shows the results from the application of a didactic sequence, which focused on the development of activities regarding Complex Numbers. The research was carried out during nine weekly meetings at the Instituto Federal Sul-rio-grandense in Pelotas/RS, in a 1st year class from the Secondary Technical School in Electronics. Initially, a review of the theme was carried out using the analysis of the National Curriculum Parameters for secondary schools not only from various course books but also from studies regarding the topic. In order to use the activities in the classroom, the association of ordered pairs and their respective points plan were considered as well as the association of the sum and subtraction of the ordered pairs with the sum and subtraction of vectors. The imaginary unit i was defined as point (0,1) and after this, the operations in algebraic form were dealt with. This work was based on Raymond Duval’s Semiotic Representation Register Theory, which deals with the cognitive aspects related to the acquisition of mathematical knowledge. The data collection was carried out using the notes made by the researcher, by filming the meetings and using the material produced by the students during the classes. After the 9 (nine) meetings, students carried out a written assessment in which the obtained results were considered satisfactory. The effort made by the students was also verified during the performance of different tasks, which supported this research.

Esta dissertação apresenta os resultados da aplicação de uma sequência didática que teve como objetivo o desenvolvimento de atividades que priorizassem a abordagem geométrica no ensino dos Números Complexos. A pesquisa foi realizada ao longo de nove encontros semanais no Instituto Federal Sul-rio-grandense, em Pelotas (RS), em uma turma de primeiro ano do Ensino Médio Técnico de Eletrônica, na modalidade subsequente. Inicialmente, fizemos a revisão da temática valendo-nos da análise dos Parâmetros Curriculares Nacionais, de diversos livros didáticos e também de pesquisas sobre o tema. Para a aplicação das atividades em sala de aula, consideramos a associação de pares ordenados e pontos do plano e também a associação da soma e da subtração dos pares ordenados com a soma e subtração de vetores. Definimos a unidade imaginária i como o ponto (0,1) e, posteriormente, trabalhamos as operações na forma algébrica. O referencial teórico que deu suporte a este trabalho baseou-se na Teoria de Registros de Representação Semióticas, de Raymond Duval, a qual trata dos aspectos cognitivos relacionados à aquisição de conhecimentos matemáticos. A coleta de dados foi feita por meio de anotações feitas pela professora pesquisadora, pela filmagem dos encontros e pelo material produzido pelos alunos durante as aulas. Após o término dos nove encontros, os alunos realizaram uma avaliação escrita na qual constatamos que os resultados obtidos mostraram-se satisfatórios. Também verificamos o empenho dos alunos durante a resolução das diferentes tarefas que deram suporte a esta pesquisa. / This master’s degree thesis shows the results from the application of a didactic sequence, which focused on the development of activities regarding Complex Numbers. The research was carried out during nine weekly meetings at the Instituto Federal Sul-rio-grandense in Pelotas/RS, in a 1st year class from the Secondary Technical School in Electronics. Initially, a review of the theme was carried out using the analysis of the National Curriculum Parameters for secondary schools not only from various course books but also from studies regarding the topic. In order to use the activities in the classroom, the association of ordered pairs and their respective points plan were considered as well as the association of the sum and subtraction of the ordered pairs with the sum and subtraction of vectors. The imaginary unit i was defined as point (0,1) and after this, the operations in algebraic form were dealt with. This work was based on Raymond Duval’s Semiotic Representation Register Theory, which deals with the cognitive aspects related to the acquisition of mathematical knowledge. The data collection was carried out using the notes made by the researcher, by filming the meetings and using the material produced by the students during the classes. After the 9 (nine) meetings, students carried out a written assessment in which the obtained results were considered satisfactory. The effort made by the students was also verified during the performance of different tasks, which supported this research.

Orientador: Suzete Maria Silva Afonso / Banca: Eliris Cristina Rizziolli / Banca: Luciane Parron Gimenes Arantes / Resumo: O objetivo principal deste trabalho é desenvolver um estudo introdutório, porém detalhado, sobre Análise Complexa e algumas de suas aplicações. Apresentamos o corpo dos números complexos, exploramos as funções complexas de uma variável complexa, exibimos parte da teoria das funções analíticas e parte da teoria de integração complexa. Provamos importantes resultados, tais como o Teorema de Cauchy, o Teorema de Taylor, o Teorema dos Resíduos, entre outros igualmente relevantes. Como aplicação da teoria, destacamos a utilização do Teorema dos Resíduos para determinar a transformada inversa de Laplace de uma função F(s) / Abstract: The main objective of this work is to develop an introductory but detailed study on Complex Analysis and some of its applications. We present the field of the complex numbers, explore the complex functions of a complex variable, exhibit part of the theory of analytic functions, and part of the complex integration theory. We prove important results, such as Cauchy's Theorem, Taylor's Theorem, Residue Theorem, among others equally relevant. As an application of the theory, we highlight the use of the Residue Theorem to determine the inverse Laplace transform of a function F(s) / Mestre

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:59:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Carlos Nely Clementino de Oliveira.pdf: 5513336 bytes, checksum: 0a24134db1e22f94d6aac26a73b16538 (MD5) Previous issue date: 2010-05-03 / For quite a long time the issue of Complex Numbers has been seen as a minor or unnecessary object of interest and study to be taught in High School. Some teachers and therefore their students believe that applications of such numbers will only be a matter of interest in more advanced courses, in college, or in the area of exact sciences. Weren´t this subject still constant content in the program of entrance university exams, it would have probably been already removed from the curriculum. We believe that it is possible, despite this situation, to explore graphic aspects related to complex numbers, since the operations with these numbers are related to rotation, translation, symmetry, extension and reduction in the Argand-Gauss plane. These are the reasons which have led us to the proposal of this paper, namely, investigating whether a didactic sequence exploring the graphic aspects of complex numbers would make their learning more meaningful. The main theoretical reference points were Registers of Semiotic Representation of Raymond Duval and Theory of Didactic Situations of Guy Brousseau, which permeate the methodology of Didactic Engineering. Our research has shown us, on the one hand, motivated students who started elaborating surmises related to possible results in the complex plane and who wanted to learn more and, on the other hand, the lack of articulation among geometry, complex numbers and vectors in their academic life. After overcoming the initial difficulties of making the conversions of the algebraic register into a graph, the research has shown that the students began to make correct inferences about the results on the changes in the complex plane and mostly displayed that there are possibilities of rescuing a meaningful teaching of complex numbers, provided that the articulation among the different registers of these numbers representation is encouraged. Although the application to the solution of problems in plane geometry has not been completely successful, the possibility of these applications is potential and it should be better explored / O assunto Números Complexos tem sido, já faz algum tempo, objeto visto como desnecessário de ser ensinado no Ensino Médio. Alguns professores e consequentemente seus alunos acreditam que aplicações desses números só serão vistas em cursos mais avançados, nas faculdades, na área de ciências exatas. Não fosse ainda conteúdo constante nos programas de vestibulares, provavelmente tal assunto já teria sido eliminado do currículo. Acreditamos ser possível, não obstante essa situação, explorar aspectos gráficos relacionados aos números complexos, uma vez que as operações com esses números estão relacionadas a rotações, translações, simetrias, ampliações e reduções no plano de Argand-Gauss. Essas são as razões que nos levaram à proposta desse trabalho, a saber, investigar se uma sequência didática explorando os aspectos gráficos dos números complexos tornaria o seu aprendizado mais significativo. Os principais referenciais teóricos foram os Registros de Representação Semiótica, de Raymond Duval e a Teoria das Situações Didáticas, de Guy Brousseau, que permearam a metodologia da Engenharia Didática. Nosso trabalho nos mostrou, por um lado, estudantes motivados que começaram a elaborar conjecturas a respeito de possíveis resultados no plano complexo e que queriam se aprofundar no assunto e, por outro, a falta de articulação entre geometria, números complexos e vetores, na vida acadêmica desses estudantes. Superadas as dificuldades iniciais de se efetuarem as conversões do registro algébrico para o gráfico, a pesquisa mostrou que os alunos passaram a fazer inferências corretas sobre os resultados de transformações no plano complexo e mostrou, sobretudo, que há possibilidades de se resgatar um ensino significativo para os números complexos, desde que se promova a articulação entre os diferentes registros de representação desses números. Embora a aplicação à resolução de problemas de geometria plana não tenha sido completamente exitosa, a possibilidade dessas aplicações é latente e deveria ser melhor explorada

[pt] O ensino da Teoria dos Números Complexos durante o Ensino Médio é apresentado, por vezes, de uma maneira pouco representativa para os alunos levando em consideração a sua importância. Uma das lacunas que pode ser observada é a falta de exemplos de aplicações no cotidiano dos alunos o que, por fim, acaba não gerando significado no aprendizado para eles. No entanto, a aplicação dos números complexos é bem mais abrangente do que se possa imaginar, principalmente no campo das Ciências Exatas, tomando como exemplo a Engenharia. Este trabalho destina-se a ampliar a visão dos alunos do Ensino Médio apresentando aplicações e a maneira de como os Números Complexos são utilizados em outros contextos, assim como no estudo dos Circuitos Elétricos. / [en] The teaching of Complex Numbers Theory during High School is sometimes presented in a way that is not representative for students considering its importance. One of the gaps that can be observed is the lack of examples of applications in the students daily life, which, in the end, does not generate meaning in the learning for them. However, the application of the complex numbers is much more comprehensive than can be imagined, mainly, in the field of Exact Sciences taking as an example Engineering. This work is intended to broaden the view of high school students presenting applications and how Complex Numbers are used in other contexts, as well as in the study of Electrical Circuits.

A presente dissertação tem como propósito apresentar uma proposta didática para o ensino de números complexos e funções de variável complexa, fazendo uso de um objeto de aprendizagem. Para o embasamento teórico, quanto ao processo de construção de conhecimento, referenciamos Vygotsky e Piaget. Também foi feita uma análise das tecnologias como ferramenta para o ensino e, em especial quanto às possibilidades que dizem respeito aos registros dinâmicos de representação semiótica. A metodologia para conceber, realizar e analisar a proposta didática é a Engenharia Didática. Essa metodologia permitiu uma detalhada validação da sequência didática que integra o uso do objeto de aprendizagem "Números Complexos" com animações interativas, vídeos, explicações e exercícios. A sequência foi implementada em um terceiro ano do Ensino Médio. / This work presents a suggestion of a didactical sequence for teaching complex numbers and functions in high school. The sequence supposes the use of the learning object "Complex Numbers" with interactive animations, videos and exercises. As a theoretical frame to support our understanding of the knowledge construction process it was taken into account the Vygotsky´s theory and Piaget´s theory. A discussion about the potential of technologies as a teaching tool is also presented, specially about the possibilities related to dynamical semiotic representation in mathematics. The research methodology used was Didactical Engineering. With this methodology was possible to implemented and validate the didactical sequence.

Orientador: José Roberto Nogueira / Banca: Marluce da Cruz Scarabello / Banca: Suetônio de Almeida Meira / Resumo: Este trabalho tem por objetivo principal apresentar uma sugestão de como introduzir e contextualizar os conceitos de números complexos, utilizando como motivações áudios, vídeos e software, além de outras atividades complementares sugeridas. Os áudios tratam dos números complexos através de uma história livremente inspirada no livro O Médico e o Monstro, do escritor escocês Robert Louis Stevenson. Os vídeos mostram uma maneira divertida e curiosa de olhar para os números complexos contando um pouco sobre sua história. O software tem a finalidade de estudar as transformações geométricas no plano (translação, rotação, dilatação e contração), utilizando os conceitos e operações de números complexos, propriedades e características geométricas. Este material faz parte da coleção M3 - Matemática Multimídia da Universidade Estadual de Campinas, e serviu como base para organizarmos o nosso trabalho. Outro software utilizado é o GeoGebra que servirá de suporte para a realização das soluções das demais atividades sugeridas / Abstract: This work has as main objective to present a suggestion of how to introduce and contextualize the concepts of complex numbers, using as motivation audios, videos and software, and other complementary activities suggested. Audios deal with complex numbers through a story loosely inspired by the book The Doctor and Monster, the Scottish writer Robert Louis Stevenson. The videos show a fun and funny way to look at the complex numbers telling a little about their history. The software aims to study the geometric transformations in the plane (translation, rotation, expansion and contraction), using the concepts and operations of complex numbers, geometric properties and characteristics. This material is part of the M3 - Multimedia Mathematics collection of the State University of Campinas, and served as a basis for organizing our work. Another software used is "GeoGebra" that will be used to support the solutions of the other suggested activities / Mestre

A presente dissertação tem como propósito apresentar uma proposta didática para o ensino de números complexos e funções de variável complexa, fazendo uso de um objeto de aprendizagem. Para o embasamento teórico, quanto ao processo de construção de conhecimento, referenciamos Vygotsky e Piaget. Também foi feita uma análise das tecnologias como ferramenta para o ensino e, em especial quanto às possibilidades que dizem respeito aos registros dinâmicos de representação semiótica. A metodologia para conceber, realizar e analisar a proposta didática é a Engenharia Didática. Essa metodologia permitiu uma detalhada validação da sequência didática que integra o uso do objeto de aprendizagem "Números Complexos" com animações interativas, vídeos, explicações e exercícios. A sequência foi implementada em um terceiro ano do Ensino Médio. / This work presents a suggestion of a didactical sequence for teaching complex numbers and functions in high school. The sequence supposes the use of the learning object "Complex Numbers" with interactive animations, videos and exercises. As a theoretical frame to support our understanding of the knowledge construction process it was taken into account the Vygotsky´s theory and Piaget´s theory. A discussion about the potential of technologies as a teaching tool is also presented, specially about the possibilities related to dynamical semiotic representation in mathematics. The research methodology used was Didactical Engineering. With this methodology was possible to implemented and validate the didactical sequence.