On étudie dans le corps des séries formelles de Puiseux, la résolution des équations algébriques de 2 et 3 variables. Le développement des solutions dépend de la nature du point au voisinage duquel on développe la fonction algébrique associée à cette équation algébrique. Pour les points réguliers on développe un algorithme basé sur la méthode itérative de Newton: xk+1=xk−f(xk)/f'(xk). Pour les points singuliers une méthode constructive appelée polygone de Newton permet de déterminer de proche en proche les approximants des solutions. On donne une application de la méthode du polygone de Newton à la détermination des polynômes facteurs déterminants d'un opérateur différentiel à singularité irrégulière à l'origine

Cette thèse traite des interactions et résonances dans les systèmes quantiques et se subdivise en trois sous-thématiques. Dans les premiers chapitres, nous proposons, dans le cadre de la limite locale, une méthode systématique de construction d'un hamiltonien vibrationnel mis sous forme normale pour des systèmes moléculaires à n degrés de liberté fortement excités, à partir des générateurs d'une algèbre de Lie, l'algèbre des polynômes invariants construite en mécanique classique à partir du noyau de l'opérateur adjoint adH0 . Puis, nous exposons les méthodes de construction en l'absence et en présence d'une résonance p : q. Une application à la molécule triatomique non linéaire ClOH est ensuite envisagée.D'autre part, nous réalisons, à l'aide de l'algorithme LTPA, la normalisation des molécules triatomiques linéaires AB2 et nous comparons, dans le cas de la molécule de CO2, nos résultats à ceux d'autres auteurs qui utilisèrent une approche différente. Par analogie avec la construction des hamiltoniens de systèmes moléculaires AB2 non linéaires, nous montrons ensuite que l'interaction de Fermi permet de décrire le passage d'un condensat de Bose-Einstein (CBE) atomique à un condensat moléculaire.Enfin, le dernier chapitre de cette thèse s'intéresse conjointement au phénomène de résonance1 : 1 entre un système et un champ extérieur et à l'équation de Heun. Nous utilisons le modèledu système quantique à deux niveaux d'énergie interagissant avec un champ extérieur à modulation de phase périodique et à pulsation de Rabi généralisée constante. Nous montrons lors de transitions non adiabatiques, que l'évolution des amplitudes de probabilité des états se déduit de l'équation de Heun générale pour une classe de solutions particulière. Nous mettons également en évidence trois comportements différents pour la fonction de décalage en fréquence : les non-croisements, les croisements et le level-glancing. Pour ces deux derniers comportements, une résonance 1 : 1 se produit périodiquement entre le système et le champ. / This thesis book is concerned with the interactions and resonances in quantum systems and is subdivided into three thematics. First, our work is aimed at constructing in the local limit a systematic method for a normalized vibrational Hamiltonian for a strongly excited n-degree-of-freedom molecular system from the generators of the Lie algebra, the algebra of the invariant polynomials built in classical mechanics from the the kernel of the adjoint operator adH0 . We present both the method of construction in case of absence and in case of a p : q resonance system with n degrees of freedom. Application to the non-linear triatomic molecule ClOH is then given.On the other hand, by using the LTPA Algorithm, we realize normalisation of linear triatomic molecules and we compare in case of the CO2 molecule our results to those of authors who used to another approaches. Then, we are dealing with the Fermi interaction in order to show analogously to the building of Hamiltonians of non-linear molecules AB2, that this interaction is able to describe the transition of a atomic Bose-Einstein condensate (BEC) to a molecular one.Finally, in the last chapter, we explore the non-adiabatic dynamics of a two-state system subject to excitation by a specific constant-amplitude periodic level-crossing model and we show that the evolution of the probability amplitudes of states is deduced from the Heun equation for a particular class of solutions. We also highlight three different behaviors for the detuning : non-crossing, crossing and level-glancing. For these two last behaviors, a 1 : 1 resonance occurs periodically between the system and the field.

Le sujet de cette thèse porte sur la résolution d'équations d'opérateurs dans l'algèbre B(H) des opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert H. Nous étudié celles qui sont associées aux dérivations généralisées. Mon sujet de thèse explore aussi des équations beaucoup plus générales comme celles du type AXB - XD = E ou AXB - CXD = E où A, B, C, D et E appartiennent à B(H). Plus précisément il s'agit de donner une description des solutions de ces équations pour E appartenant à une famille précise(autoadjoint, normal, rang un, rang fini, compact, couple de Fuglède Putnam) et pour des opérateurs A, B, C et D appartenant à des bonnes classes d'opérateurs ( celles qui interviennent dans les applications, notamment en physique) comme les opérateurs autoadjoints, les opérateurs normaux, sous normaux,... En dehors du cas où les spectres de A et B sont disjoints, il n'existe pas de méthode générale pour construire de manière effective l'ensemble des solutions de l'équation de Sylvester AX - XB = C à partir des opérateurs A, B et C. Un des objectifs de mon travail de thèse est de fournir une méthode constructive dans le cas où A, B et C appartiennent à des bonnes classes d'opérateurs. Une étude spectrale des solutions est également faite. A coté de cette étude qualitative, il y a aussi une étude quantitative.Il s'agit d'obtenir aussi des estimations précises de la norme d'opérateur(ou norme de Schatten) des solutions en fonction des normes des opérateurs correspondants aux données. Ceci nous a d'ailleurs conduit à des résultats concernant quelques inégalités intéressantes pour les dérivations généralisées, et enfin quelques résultats concernant les opérateurs dans un espace de Banach sont également donnés / The subject of this thesis focuses on the resolution of operator equationsin B(H) algebra of bounded linear operators on a Hilbert space. We studythose associated with generalized derivations. In this thesis, we also exploremore general equations such as the type AXB - XD = E or AXB -CXD = E where A, B, C, D and E belong to B(H). Specifically it is adescription of the solutions of these equations for E belongs in a precisefamily (Self-adjoint, normal, rank one, finite rank, compact, pair of FugledePutnam) and the operators A, B, C and D belonging to the good classesof operators (Those involved in applications , especially in physics) as theself-adjoint operators, normal operators, subnormal operators... Apart fromthe case where the spectra of A and B are disjoint, there is not any generalmethod for constructing effectively all solutions of the Sylvester equationAX - XB = C from the given operators A, B and C. One objective of thisthesis is to provide a constructive approach in when A, B and C belong toconventional families of operators. A spectral study of the solutions is alsostudied. Besides this qualitative study, there is also a quantitative study.It is also to obtain accurate estimates of the operator norm (or norm ofSchatten) of the solutions in terms of operator norms corresponding to data.This also led us to obtain results concerning some interesting inequalitiesfor generalized derivations, and finally some examples and properties ofoperators on a Banach space are also given

Le but de cette thèse est d’obtenir des informations sur le spectre discret d’opérateurs non auto-adjoints définis par des perturbations relativement compactes d’opérateurs auto-adjoints. Ces opérateurs auto-adjoints sont choisis parmi les opérateurs classiques de mécanique quantique. Il s’agit des opérateurs de Dirac, de Klein-Gordon et le laplacien fractionnaire qui généralise l’opérateur de Schrödinger habituellement considéré pour de tels problèmes. La principale méthode utilisée ici relève d’un théorème d’analyse complexe donnant une condition de type Blaschke sur les zéros d’une fonction holomorphe du disque unité. Cette condition traduit lecomportement des valeurs propres de l’opérateur perturbé sous forme d’inégalités de type Lieb-Thirring. Une autre méthode venant d’analyse fonctionnelle a été employée pour obtenir de telles inégalités et les deux méthodes sont comparées entre elles. / The topic of this thesis concerns the discrete spectrum of non-selfadjoint operators defined by relatively compact perturbation of selfadjoint operators. These selfadjoint operators are choosen among classical operators of quantum mechanics. These areDirac operator, Klein-Gordon operator, and the fractional Laplacian who generalize the Schrödinger operator. The main method is based on a theorem of complex analysis which gives Blaschke-type condition on the zeros of a holomorphic function on the unit disc. This Blaschke condition gives the information on the behaviour of eigenvalues of the perturbed operator by mean of Lieb-Thirring-type inequalities. Another method using functional analysis is also used to obtain these kind of inequalities and both methods are compared to each other.

Cette thèse présente une nouvelle classe de schémas de discrétisation spatiale sur maillages polyédriques, nommée Compatible Discrete Operator (CDO) et en étudie l'application aux équations elliptiques et de Stokes. La préservation au niveau discret des caractéristiques essentielles du système continu sert de fil conducteur à la construction des opérateurs. Les opérateurs de de Rham définissent les degrés de liberté en accord avec la nature physique des champs à discrétiser. Les équations sont décomposées de manière à différencier les relations topologiques (lois de conservation) des relations constitutives (lois de fermeture).Les relations topologiques sont associées à des opérateurs différentiels discrets et les relations constitutives à des opérateurs de Hodge discrets. Une particularité de l'approche CDO est l'utilisation explicite d'un second maillage, dit dual, pour bâtir l'opérateur de Hodge discret. Deux familles de schémas CDO sont ainsi considérées : les schémas vertex-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage (primal), et les schémas cell-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage dual (les sommets duaux étant en bijection avec les cellules primales).Les schémas CDO associés à ces deux familles sont présentés et leur convergence est analysée. Une première analyse s'appuie sur une définition algébrique de l'opérateur de Hodge discret et permet d'identifier trois propriétés clés : symétrie, stabilité et $mathbb{P}_0$-consistance. Une seconde analyse s'appuie sur une définition de l'opérateur de Hodge discret à l'aide d'opérateurs de reconstruction pour lesquels sont identifiées les propriétés à satisfaire. Par ailleurs, les schémas CDO fournissent une vision unifiée d'une large gamme de schémas de la littérature (éléments finis, volumes finis, schémas mimétiques…).Enfin, la validité et l'efficacité de l'approche CDO sont illustrées sur divers cas tests et plusieurs maillages polyédriques / This thesis presents a new class of spatial discretization schemes on polyhedral meshes, called Compatible Discrete Operator (CDO) schemes and their application to elliptic and Stokes equations. In CDO schemes, preserving the structural properties of the continuous equations is the leading principle to design the discrete operators. De Rham maps define the degrees of freedom according to the physical nature of fields to discretize. CDO schemes operate a clear separation between topological relations (balance equations) and constitutive relations (closure laws).Topological relations are related to discrete differential operators, and constitutive relations to discrete Hodge operators. A feature of CDO schemes is the explicit use of a second mesh, called dual mesh, to build the discrete Hodge operator. Two families of CDO schemes are considered: vertex-based schemes where the potential is located at (primal) mesh vertices, and cell-based schemes where the potential is located at dual mesh vertices (dual vertices being in one-to-one correspondence with primal cells).The CDO schemes related to these two families are presented and their convergence is analyzed. A first analysis hinges on an algebraic definition of the discrete Hodge operator and allows one to identify three key properties: symmetry, stability, and $mathbb{P}_0$-consistency. A second analysis hinges on a definition of the discrete Hodge operator using reconstruction operators, and the requirements on these reconstruction operators are identified. In addition, CDO schemes provide a unified vision on a broad class of schemes proposed in the literature (finite element, finite element, mimetic schemes...).Finally, the reliability and the efficiency of CDO schemes are assessed on various test cases and several polyhedral meshes

L'arithmétique des ordinateurs est une branche de l'informatique qui traite des systèmes de représentation des nombres, des algorithmes arithmétiques et de leurs implantations matérielles ou logicielles. Cette thèse porte sur l'étude et l'implantation matérielle d'opérateurs pour l'évaluation de fonctions pour des applications spécifiques en traitement du signal et des images et en cryptographie. La première partie présente des opérateurs d'évaluation de fonctions basés sur des approximations polynomiales qui demandent peu de matériel. La seconde partie étudie la génération automatique d'opérateurs à base d'additions et décalages (type SRT) pour l'évaluation de certaines fonctions algébriques. Enfin, la dernière partie présente une implantation efficace et compacte des fonctions de hachage cryptographique de la famille SHA-2. Les différents opérateurs proposés dans cette thèse ont tous été validés sur des circuits FPGA.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées <br />partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.<br /> Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):<br />\begin{eqnarray}<br />\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\<br />-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{eqnarray}<br />avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant <br />fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.<br /> Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans <br />ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.<br /> Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.<br /> Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.

L'arithmétique des ordinateurs est une branche de l'informatique qui traite des systèmes de représentation des nombres, des algorithmes arithmétiques et de leurs implantations matérielles ou logicielles. Cette thèse porte sur l'étude et l'implantation matérielle d'opérateurs pour l'évaluation de fonctions en traitement du signal et des images. Sont présentés successivement un générateur d'opérateurs optimisés pour la division, des études portant sur un algorithme d'évaluation de fonctions au moyen d'approximations par fractions rationnelles, et des opérateurs d'évaluation de fonctions basés sur des approximations polynomiales qui demandent peu de matériel. Les différents opérateurs proposés dans cette thèse ont tous été validés sur des circuits FPGA.

Cette thèse se place dans le cadre du vaste domaine s'intitulant géométrie non commutative, domaine dont l'étude est motivée par l'opinion courante des mathématiciens et physiciens selon laquelle les méthodes de la géométrie non commutative peuvent être utiles pour décrire certains processus dynamiques à l'échelle de Planck. Aussi l'objectif principal de cette thèse est de généraliser quelques modèles dynamiques définis sur l'espace de Minkowski sur son q-analogue. Des tentatives d'introduire des modèles dynamiques qui seraient covariants par rapport à l'action de groupes quantiques ont été entrepris juste après la création de la théorie sur les groupes quantiques par Drinfeld. Les modèles les plus intéressants sont ceux qui sont liés au q-analogue de l'espace de Minkowski. C'est P. Kulish qui définit cette algèbre comme étant un cas particulier d'une algèbre appelée modified Reflection Equation Algebra (mREA) elle-même liée à un opérateur appelé symétrie de Hecke. Nous définissons donc certains modèles dynamiques qui sont des déformations de modèles classiques, l'espace des phases de nos modèles déformés n'est autre alors que notre espace de q-Minkowski. Nous recherchons par la suite des intégrales de mouvement de ces dynamiques, ce qui nous amène à définir des analogues de l'énergie et du vecteur de Runge-Lenz. Nous généralisons pour terminer les équations aux dérivées partielles de la théorie des champs et en particulier l'opérateur de Maxwell.

Le modèle autorégressif dans un espace de Banach (ARB) permet<br />de représenter des processus à temps continu. Nous considérons<br />l'estimation de l'opérateur d'autocorrelation d'un ARB(1). Les<br />méthodes classiques d'estimation (maximum de vraisemblance et<br />moindres carrées) s'avèrent inadéquates quand l'espace<br />paramétrique est de dimension infinie, Grenander (1983} a proposé<br />d'estimer le paramètre sur un sous espace de dimension en général<br />finie m, puis d'étudier la consistance de cet estimateur lorsque<br />la dimension m tend vers l'infini avec le nombres d'observations<br />à vitesse convenable. Cette méthode est dite méthode des cribles.<br />Notons que plus généralement il serait possible d'utiliser la<br />méthode des f-divergences. Nous définissons la méthode des<br />moindres carrées comme problème d'optimisation dans un espace de<br />Banach dans le cas ou l'opérateur est p-sommable,<br />p>1. Nous montrons la convergence de l'estimateur<br />crible et sa normalité asymptotique dans le cas d'un opérateur est<br />strictement -intégral. Nous utilisons la représentation duale<br />de la f-divergence pour définir l'estimateur du minimum des<br />f-divergences. Nous nous limitons ici à l'étude de<br />l'estimateur dit du minimum de KL-divergence (divergence de<br />Kullback-Leibler). Cet estimateur est celui<br /> du maximum de vraisemblance. Nous montrons par la suite qu'il<br /> converge presque surement vers la vraie valeur du paramètre<br />pour la norme des opérateurs p-sommables. La démonstration est<br />basée sur les techniques de Geman et Hwang (1982), utilisées pour<br />des observations indépendantes et identiquement distribuées, qu'on<br />a adapté au cas autorégressif.