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Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

En utilisant des méthodes fonctionnelles et numériques, on localise le spectre d'un opérateur différentiel et on construit des solutions approchées pour des classes d'équations de Fredholm de seconde espèce, dont deux sont à noyau faiblement singulier. Dans le premier chapitre, on étudie le conditionnement pseudospectral pour un opérateur de convection-diffusion non autoadjoint défini sur un ouvert non borné. A partir du résultat de conditionnement pseudospectral, on localise le spectre de l'opérateur. Dans le deuxième chapitre, on régularise le noyau d'un opérateur intégral en utilisant un produit de convolution, puis on approche le noyau ainsi obtenu par son développement en série de Fourier tronqué. On obtient un opérateur intégral de rang fini, ce qui nous permet de construire une solution approchée / Using functional and numerical methods, we localize the spectrum of a differential operator and we build approximate solutions for classes of Fredholm equations of the second kind, two of which have a weakly singular kernel. In the first chapter, we study the pseudospectral stability of a convection-diffusion nonselfadjoint operator defined on an open unbounded set. From the result of pseudospectral stability, we localize the spectrum of the operator. In the second chapter, we regularize the kernel of an integral operator using a convolution product, then we approach the new kernel by its truncated Fourier series. We obtain an integral operator of finite rank, which allows us to compute an approximate solution numerically

Cette thèse s'inscrit dans le cadre de l'étude de deux sujets concernant les problèmes d'évolution liés au p-laplacien. Le premier sujet concerne l'étude du comportement asymptotique des solutions bornées lorsque le temps $t\to+\infty$. Quant au deuxième sujet, il porte sur l'étude de la non existence des solutions positives non triviales. Cette thèse se répartit en trois chapitres. Le premier chapitre est consacré à une introduction générale. Le deuxième chapitre porte sur l'étude de la convergence, lorsque $t\to+\infty$, des solutions bornées d'une équation parabolique associée au p-laplacien dans un intervalle borné avec des conditions aux limites du type soit Dirichlet, Neumann ou Robin. Ce travail était l'objet d'un article \cite{hauer-convergence-2012} accepté pour publication dans « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Le dernier chapitre concerne l'étude de la non existence des solutions positives des équations paraboliques associées au p-laplacien avec un terme de convection et un potentiel singulier. La deuxième et quatrième section du Chapitre 3 reprennent un article \cite{Hauer:2012fk} accepté pour publication dans le journal « Archiv der Mathematik ». La deuxième sous-section de la Section 4 du Chapitre 3 contient un résultat qui améliore le travail \cite{Goldstein-Rhandi-weighted-hardy-11} de G. Goldstein, J. Goldstein et A. Rhandi et le travail \cite{MR1616905} de J. P. García Azorero et I. Peral Alonso concernant la non existence des solutions positives. Ce résultat n'est pas encore publié / This thesis is dedicated to the study of two subjects in the field of evolution problems associated with the $p$-Laplace operator. The first subject is concerned with the study of long time behavior of bounded solutions and the second subject is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial solutions. The first chapter of this thesis is devoted to a general introduction to the p-Laplace operator and a résumé of this thesis. The first chapter is written in French. Chapter 2 is dedicated to the study of convergence as the time $t\to+\infty$ of bounded solutions of evolution problems associated with the p-Laplace operator on a bounded interval with homogeneous Dirichlet, Neumann, or Robin boundary conditions converges. The results of Chapter 2 are contained in article \cite{hauer-convergence-2012}, which was published in the journal « Nonlinear Differential Equations and Applications NoDea ». Chapter 3 is devoted to the study of nonexistence of positive nontrivial weak solutions of parabolic equations associated to the p-Laplace operator with a convection term and a singular potential. The results of Section 3.2 and Section 3.4.1 of Chapter 3 are contained in article \cite{Hauer:2012fk}, which was accepted for publication in the journal « Archiv der Mathematik ». The results of Section 3.4.2 of Chapter 3 are not yet published

Le sujet principal de cette thèse est d'exploiter les structures Spinc dans le but d'étudier la géométrie de certaines sous-variétés. Dans un premier temps, nous commençons par établir des résultats de base pour l'opérateur de Dirac Spinc. On donne ainsi des inégalités de type Hijazi en terme du tenseur d'énergie-impulsion. Ce tenseur intervient dans l'étude des variations du spectre de l'opérateur de Dirac et dans les équations de Dirac-Einstein. L'étude des hypersurfaces des variétés Spinc permet de mieux comprendre ce tenseur puisque ce dernier est le tenseur de Weingarten de l'immersion. Étant des structures naturelles sur les variétés homogènes de dimension 3 dont le groupe d'isométries est de dimension 4, les structures Spinc permettent d'aborder des problèmes riemanniens sur les hypersurfaces de ces variétés. En effet, on donne une correspondance de Lawson pour les surfaces à courbure moyenne constante. Finalement, on caractérise les structures complexes et CR sur une variété par les structures Spinc admettant un champ de spineurs spécial appelé un spineur pur ou bien un spineur transversal. / In this thesis, we aim to make use of Spinc geometry to study special submanifolds. We start by establishing basic results for the Spinc Dirac operator. We give then inequalities of Hijazi type involving the energy-momentum tensor. Studying the energy-momentum tensor on a Spinc manifold is related to several geometric situations. Indeed, it appears in the study of the variations of the spectrum of the Dirac operator and in the Einstein-Dirac equation. The study of hypersurfaces of Spinc manifolds allows us for a better understanding of this tensor since it is the second fundamental form of the immersion. Being natural structures on the 3-homogeneous manifolds with 4-dimensional isometry group, Spinc structures will be investigated in the study of some Riemannian problems on hypersurfaces of these manifolds. In fact, we prove a Lawson correspondence for constant mean curvature surfaces. Finally, we characterize complex structures and CR structures by Spinc structures admitting a special spinor, called pure spinor or transversal spinor

Dans cette thèse, nous nous intéressons au comportement asymptotique des distributions de coûts associés à des algorithmes d'Euclide de la classe rapide. Nous commençons dans un premier chapitre par des rappels sur les propriétés dynamiques des systèmes euclidiens et introduisons la propriété de moments forts pour les coûts additifs non-réseau. Nous établissons ensuite la condition de coût fortement diophantien et montrons sa généricité. Dans le deuxième chapitre, nous analysons, en adaptant des techniques de Dolgopyat-Melbourne, des perturbations d'opérateurs de transfert associés à des applications de la bonne classe. Ces résultats sont utilisés dans le troisième chapitre pour obtenir des estimations sur la fonction génératrice des moments où nous montrons sa quasi-décroissance exponentielle. <br /><br />Le dernier chapitre est consacré aux démonstrations de téorèmes de la limite locale. Le premier théorème est sans vitesse de convergence et concerne tous les coùts non-réseau ayant des moments forts à l'ordre trois. La condition diphantienne nous permet ensuite d'établir un théorème de la limite locale avec contrôle de la vitesse de convergence. Pour des observables suffisament régulières, nous obtenons une vitesse de convergence optimale.

Cette thèse se propose d'explorer de nouvelles méthodes morphologiques permettant d'extraire les caractéristiques des régions qui composent une image. Ces méthodes sont en- suite destinées à être appliquées au problème de la segmentation d'image. Nous présentons tout d'abord deux approches classiques du problème de l'extraction de caractéristiques : celles basées sur les granulométries (opérations de tamisage) et celles basées sur l' étude des extrema des images numériques, en consacrant une attention particulière à la notion de dynamique. La dynamique value les extrema d'une image selon le contraste des régions qu'ils marquent ; nous montrons qu'elle équivaut à une opération de tamisage en contraste et que son principe rejoint celui des granulométries. Nous nous concentrons ensuite sur une généralisation du principe de la dynamique. Nous basons notre approche sur les opérateurs morphologiques connexes. Ces opérateurs ont pour spécificité d'agir sur les images en fusionnant leurs zones plates. Lorsqu'on ap- plique des opérateurs connexes de plus en plus sélectifs, des régions de l'image disparais- sent progressivement. Le niveau pour lequel une région disparaît caractérise la région au sens du critère du filtrage (en forme, en taille, en contraste, en volume...). Ceci nous conduit à introduire une nouvelle classe de transformations morphologiques, les fonctions d'extinction, qui valuent les extrema des images numériques selon les caractéristiques des régions qu'ils marquent. Une particularité importante des fonctions d'extinction, mise en évidence par l'algorithme de calcul efficace que nous proposons, est de fournir une descrip- tion hiérarchique des régions de l'image. Ceci se traduit, dans le calcul algorithmique, par la construction d'un arbre de fusion des extrema de l'image. Les fonctions d'extinction peuvent être utilisées pour sélectionner les régions perti- nentes d'une image et sont donc de grand intérêt dans les applications de filtrage et surtout de segmentation d'image (pour extraire les marqueurs des régions avant le cal- cul de la ligne de partage des eaux). Ce dernier point fait l'objet d'une étude appro- fondie. Nous donnons de nombreux exemples permettant d'illustrer leur intérêt pour la segmentation d'images complexes. Les résultats obtenus par cette méthode sont com- parés à ceux déduits de méthodes de marquage plus traditionnelles. L'apport le plus significatif des fonctions d'extinction pour la segmentation d'image est de systématiser et de simplifier considérablement la mise au point des algorithmes. Notamment, elles perme- ttent de mettre en oeuvre des processus rapides de segmentation hi érarchique interactive.

Méthode d'itération pour le calcul de valeurs propres et de vecteurs propres d'opérateurs linéaires. Approximation par itération des éléments propres d'un opérateur linéaire ferme quasi décomposé par une projection de rang 1. Approximation des éléments propres d'un opérateur linéaire ferme par itération : cas général. Approximation d'un sous-espace invariant d'un opérateur linéaire par itération.

Cette thèse s'intéresse au problème de la diffraction d'ondes par un obstacle borné, <br />et plus particulièrement à l'étude de sa Surface Equivalente Radar (SER). <br /><br />Etant donné une onde incidente sur l'objet, la détermination des courants induits sur la <br />surface de celui-ci, des champs diffractés puis, par la suite, de leur comportement à <br />l'infini, est un problème couramment abordé dans la littérature. <br />De plus, pour des longueurs d'onde comparables à la taille de l'objet, ces grandeurs <br />peuvent maintenant être approximées numériquement par des méthodes à la fois rapides <br />et précises. <br /><br />Néanmoins, au contraire des nombreuses théories développées dans les domaines hautes <br />fréquences (tracés de rayon, points brillants, TGD, ...), les phénomènes produits sur la <br />surface de l'objet, et en particulier leur effet sur le champ diffracté et la SER, <br />demeurent mal compris et maîtrisés. <br /><br />La notion de courants caractéristiques, initialement introduite par J.R. Harrington et <br />R.F. Mautz dans les années 70 dans pour des objets parfaitement conducteurs, permet la <br />décomposition d'un courant induit quelconque en courants ``élémentaires''. <br />Cette décomposition semble alors particulièrement adaptée à l'étude de la SER de l'objet, <br />grâce notamment à des propriétés d'orthogonalités des champs lointains rayonnés <br />permettant d'identifier directement entres elles les composantes d'un courant (les zones <br />sollicités sur l'objet) et celles de son champ rayonné. <br /><br />Nous revenons dans un premier temps dans cette thèse sur cette décomposition modale, <br />en fournissant un cadre et les résultats mathématiques nécessaires à la bonne <br />compréhension et utilisation de cette décomposition. <br /><br />L'introduction de ce cadre permet alors de donner une première généralisation de ce type <br />de décomposition à des objets modélisés par une condition d'impédance. <br /><br />Ces courants et champs caractéristiques peuvent de plus se révéler intéressant d'un point <br />de vue théorique, de par les bases adaptés qu'ils fournissent. <br />L'application au problème inverse, à savoir celui de la reconstruction de la surface de <br />l'objet à partir de la connaissance des champs lointains diffractés, donne un exemple <br />d'utilisation théorique de ces modes caractéristiques.