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La géométrie de Cauchy-Riemann, CR en abrégé, est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles pseudoconvexes de $C^{n+1}$, lorsque $ngeq 1$. Nous considérons le cas générique où les variétés CR considérées sont de contact. La géométrie CR présente de nombreuses similarités avec la géométrie conforme ; les invariants mis au jour et les techniques éprouvées en géométrie conforme peuvent donc être adaptées dans ce contexte. Nous nous intéressons dans cette thèse à deux invariants de ce type. Dans une première partie, en utilisant la géométrie asymptotiquement hyperbolique complexe, nous introduisons un opérateur différentiel CR covariant agissant sur les applications allant d'une variété CR vers une variété riemannienne, égal pour les fonctions à l'opérateur de Paneitz CR. Dans une seconde partie, nous proposons un invariant de Yamabe pour les variétés de contact admettant une structure CR, et nous étudions son comportement sous somme connexe. / Cauchy-Riemann geometry, CR for short, is the natural geometry of real pseudoconvex hypersurfaces of $C^{n+1}$ for $ngeq 1$. We consider the generic case when CR manifolds are contact manifolds. CR geometry presents strong analogies with conformal geometry; hence, known invariants and techniques of conformal geometry can be transported to that context. We focus in this thesis on two such invariants. In a first part, using asymptotically complex hyperbolic geometry, we introduce a CR covariant differential operator on maps from a CR manifold to a Riemannian manifold, which coincides on functions with the CR Paneitz operator. In a second part, we propose a Yamabe invariant for contact manifolds which admit a CR structure, and we study its behaviour under connected sum.

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Cette thèse est principalement consacrée à des problèmes de dynamique linéaire dans les espaces de Banach. Répondant à une question récente de Hajek et Smith, on construit notamment, dans tout espace de Banach séparable, un opérateur borné tel que ses orbites tendent vers l'infini sur une partie ni vide, ni dense. On relie également, à l'aide d'un autre résultat, le module de lissité asymptotique au comportement des opérateurs bornés. / This work is mainly devoted to some problems of linear dynamics in Banach spaces. In particular, we answer a recent question of Hajek and Smith by constructing, in any separable Banach space, a bounded operator such that its orbits tending to infinity form a set which is neither empty, nor dense. We also connect the behaviour of bounded operators with the asymptotic modulus of smoothness.

Dans cette thèse en théorie des opérateurs, on s’intéresse aux projections orthogonales, à l’image numérique d’un opérateur agissant sur un espace de Hilbert, au principe d’incertitude, au problème du sous-espace invariant et aux perturbations d’opérateurs diagonaux.Après un premier chapitre introductif, on s’intéresse à l’image numérique d’un produit de projections orthogonales et aux applications possibles. On donne une formule explicite de l’image numérique d’un produit de projections orthogonales en fonction de son spectre. On montre comment reconstruire une partie du spectre d’un produit de projections à partir de son image numérique. Comme conséquence, on donne de nouvelles caractérisations de vitesse de convergence dans la méthode des projections alternées (Théorème de von Neumann - Halperin), ainsi qu’une nouvelle caractérisation de paires annihilantes (qui est une formulation du principe d’incertitude). Dans le chapitre suivant, on s’intéresse aux différences de projections orthogonales. On discute de la caractérisation des opérateurs qui peuvent s’écrire comme différence de projections orthogonales. On applique ces résultats en écrivant certains opérateurs unitaires (dont l’opérateur de décalage bilatéral) comme combinaisons linéaires de projections orthogonales. Puis on applique encore ces résultats en établissant de nouveaux principes d’incertitudes pour des polynômes orthogonaux, ce qui améliore un résultat récent de W. Erb. Dans la dernière partie de cette thèse, on démontre l’existence des sous-espaces hyperinvariants pour certaines perturbations compactes d’opérateurs de multiplication. Ceci représente une généralisation des résultats antérieurs de Fang-Xia et de Foias-Jung-Ko-Pearcy. Enfin on construit des perturbations de rang un d’opérateurs diagonaux sans valeur propre, ce qui constitue une réponse à un problème ouvert dû à E. Ionascu. / In this PhD thesis in Operator Theory, we are interested in orthogonal projections, numerical ranges of operators acting on a Hilbert space, uncertainty principles, the invariant subspace problem and perturbations of diagonal operators. After an introductory chapter, we investigate the numerical range of a product of two orthogonal projections and possible applications. We give an explicit formula of the numerical range for a product of orthogonal projections depending on its spectrum. We show how to reconstruct some parts of the spectrum of the product of orthogonal projections from its numerical range. As a consequence, we give new characterizations of the speed of convergence in the method of alternating projections (von Neumann-Halperin like Theorems), and a new characterization of annihilating pairs (which is a formulation of the uncertainty principle). In the next chapter, we study differences of orthogonal projections. We give a caracterisation of operators that can be expressed as a difference of orthogonal projections. We apply these results to some unitary operators (including the bilateral shift) by writing them as linear combinations of orthogonal projections. Then we apply again these results by establishing a new uncertainty principle for orthogonal polynomials, improving recent results of W. Erb.In the last part of this thesis, we prove the exitence of hyperinvariant subspaces for some compact perturbations of multiplication operators. This generalize former results of Fang-Xia and Foias-Jung-Ko-Pearcy. Finally, we show the existence of rank-one perturbations of diagonal operators without eigenvalues, solving in this way an open problem of E. Ionascu.

Les radars à nuages sont des atouts indéniables pour la Prévision Numérique du Temps (PNT). De par leur petite longueur d’onde, ils possèdent une excellente sensibilité aux particules nuageuses et ils sont facilement déployables à bord de plates-formes mobiles. Cette thèse a permis d’évaluer l’apport des observations de radars à nuages pour la validation et l’initialisation de modèles de PNT à échelle kilométrique. Dans la première partie, un opérateur d’observation pour la réflectivité en bande W a été conçu en cohérence avec le schéma microphysique à un moment d'Arome, le modèle de PNT à échelle kilométrique de Météo-France, mais de façon suffisamment générale pour pouvoir être adapté à un autre modèle de PNT à échelle kilométrique. Il est adaptable pour des radars à visée verticale aéroportés ou au sol. Afin de dissocier les erreurs de positionnement des nuages prévus par Arome, de celles présentes dans l’opérateur d’observation, une nouvelle méthode de validation, appelée "la méthode de la colonne la plus ressemblante (CPR), a été élaborée. Cette méthode a été employée afin de valider et de calibrer l'opérateur d'observation en utilisant les profils de réflectivité collectés par le radar à nuages aéroporté Rasta dans des conditions variées durant la première période d’observations (SOP1) du programme international HyMeX, qui vise à améliorer notre compréhension du cycle de l'eau en méditerranée. La seconde partie s'est intéressée à l'apport respectif de l'assimilation de profils verticaux de réflectivité et de vents horizontaux mesurés par le radar à nuages Rasta dans le système d'assimilation variationnel tridimensionnel (3DVar) d'Arome. Le bénéfice apporté par des conditions thermodynamiques, via l'assimilation de la réflectivité en bande W, et dynamiques, via l'assimilation des profils de vents horizontaux, cohérentes dans l'état initial a également été étudié. Pour assimiler la réflectivité en bande W, la méthode d'assimilation "1D+3DVar", qui est opérationnelle dans Arome pour assimiler les réflectivités des radars de précipitation au sol, a été employée. La méthode de restitution bayésienne 1D de profils d'humidité a été validée avec des mesures d'humidité in situ indépendantes. Puis, les expériences d'assimilation ont été menées sur un événement fortement convectif, ainsi que sur une plus longue période de 45 jours. Les résultats suggèrent notamment que l'assimilation conjointe des profils de réflectivité en bande W et des profils verticaux de vents horizontaux permet d'améliorer les analyses d'humidité, mais suggèrent également une légère amélioration des prévisions des cumuls de précipitation / Cloud radars are an undeniable assets for Numerical Weather Prediction (NWP) models. Because of their very short wavelength, they are extremely sensitive to cloud microphysical properties and are easily deployable aboard moving platforms such as aircraft or spacecraft. This PhD has explored the potential of cloud radar data for the validation and initialisation of kilometre-scale NWP models. In the first part of the PhD, a W-band reflectivity forward operator was designed. It is consistent with the one-moment microphysical scheme used in the Météo-France kilometre-scale NWP model AROME, but in a sufficiently general way that it could be adapted to other kilometrescale NWP models. It was designed in particular for airborne or ground-based vertically pointing cloud radars. To disentangle spatial location errors in the model from errors in the forward operator, a neighbourhood validation method, called the “Most Resembling Method” (MRC), was designed. This validation method was used to validate and calibrate the forward operator using the data collected by the airborne cloud radar RASTA in diverse conditions during the first Special Observation Period (SOP1) of the HyMeX international program, which aims to improve our understanding of the Mediterranean water cycle. The second part focused on the respective roles of the assimilation of reflectivity and horizontal wind profiles, measured by the cloud radar RASTA, in the three dimensional variational (3DVar) assimilation system of AROME. The benefit brought by consistent thermodynamic conditions in the initial state, through the assimilation of the W-band reflectivity, and dynamic ones, through the assimilation of horizontal wind profiles, was also investigated.To assimilate the W-band reflectivity, the two-step assimilation method “1D+3DVar”, operationally employed in AROME to assimilate ground-based precipitation radar data, was used. The efficiency of the 1D Bayesian method in retrieving humidity fields is assessed using independent in-flight humidity measurements. The assimilation experiments were performed for a heavy convective event, as well as over a longer period of 45 days. In particular, the results indicate that the joint assimilation of W-band reflectivity and horizontal wind profiles suggest an improvement of moisture analyses, along with a slight improvement of the rainfall precipitation forecasts.

Le sujet de cette thèse est l’étude de certaines équations de physique mathématique. Dans un premier temps, on étudie les résonances et la fonction de décalage spectral pour les opérateurs de Dirac semi-classique et de Schrödinger magnétique en dimension 3. On dé?nit les résonances comme des valeurs propres d’un opérateur non-autoadjoint obtenu par distortion complexe. Pour l’opérateur de Dirac, on majore le nombre de résonances par O(h-3) où h ? 0 est le paramètre semi-classique. Dans le cas de Schrödinger magnétique, l’opérateur de référence génère des valeurs propres de multipli- cité in?nie plongées dans le spectre continu. Dans une couronne centrée en une de ces valeurs propres et de rayons (r, 2r), on établit une borne supérieure, quand r ? 0, du nombre de résonances. Une approximation de type Breit-Wigner de la dérivée de la fonction de décalage spectral en fonction des résonances et une formule de trace locale sont obtenues pour ces deux opérateurs. De plus, on prouve une formule asymptotique de Weyl pour la fonction de décalage spectral pour l’opérateur de Dirac avec un potentiel électro-magnétique. Dans un deuxième temps, on s’intéresse à l’opérateur de Dirac semi-classique en dimension 1 avec un potentiel ayant des limites constantes mais pas nécessairement les mêmes à ±8. En utilisant la méthode BKW complexe, on construit des solutions analytiques de l’opérateur de Dirac. On étudie la théorie de la di?usion en fonction des solutions entrantes et sortantes. On obtient une asymptotique semi-classique de la matrice de di?usion dans di?érents cas, notamment dans le cas où le paradoxe de Klein apparaît. Le calcul des valeurs propres et des résonances est aussi traité pour l’opérateur de Dirac semi-classique unidimensionnel. / In this thesis, we consider equations of mathematical physics. First, we study the reso- nances and the spectral shift function for the semi-classical Dirac operator and the magnetic Schrö- dinger operator in three dimensions. We de?ne the resonances as the eigenvalues of a non-selfadjoint operator obtained by complex distortion. For the Dirac operator, we establish an upper bound O(h-3), as the semi-classical parameter h tends to 0, for the number of resonances. In the Schrödinger magne- tic case, the reference operator has in?nitely many eigenvalues of in?nite multiplicity embedded in its continuous spectrum. In a ring centered at one of this eigenvalues with radiuses (r, 2r), we establish an upper bound, as r tends to 0, of the number of the resonances. A Breit-Wigner approximation formula for the derivative of the spectral shift function related to the resonances and a local trace formula are obtained for the considered operators. Moreover, we prove a Weyl-type asymptotic of the SSF for the Dirac operator with an electro-magnetic potential. Secondly, we consider the semi-classical Dirac ope- rator on R with potential having constant limits, not necessarily the same at ±8. Using the complex WKB method, we construct analytic solutions for the Dirac operator. We study the scattering theory in terms of incoming and outgoing solutions. We obtain an asymptotic expansion, with respect to the semi-classical parameter h, of the scattering matrix in di?erent cases, in particular, in the case when the Klein paradox occurs. Quantization conditions for the resonances and for the eigenvalues of the one-dimensional Dirac operator are also obtained.

Cette thèse est dédiée à la résolution numérique tridimensionnelle des équations de Maxwell harmoniques, par des méthodes de décomposition de domaine couplant des résolutions par équations intégrales entre elles. Pour traiter les problèmes de diffraction d'ondes, la méthode des équations intégrales est un outil précieux. Elle consiste à paramétrer le champ électromagnétique solution par une source définie sur la surface de l'objet diffractant, solution d'une nouvelle équation linéaire (l'équation intégrale). Pour des applications à haute fréquence, le grand nombre d'inconnues (de l'ordre du million) nous oblige à utiliser un solveur itératif pour résoudre l'équation intégrale. Le problème du conditionnement des systèmes linéaires est alors crucial. De récents développements ont permis de construire une équation intégrale performante (la GCSIE) et de conditionnement stable avec la montée en fréquence. Cependant, la présence d'une cavité large et résonnante dans l'objet diffractant (telle que la cavité moteur d'un avion) dégrade le conditionnement de cette équation. Nous proposons deux méthodes de décomposition de domaine (DDM) afin de découpler le problème de la cavité du problème extérieur. La première (DDM en Y) s'exprime en fonction des opérateurs Dirichlet-to-Neumann Y, qui sont synthétisés via la résolution de problèmes métalliques par équations intégrales dans chaque sous-domaine. La seconde (DDM en S) s'exprime en fonction des opérateurs de scattering S, synthétisés par résolution de problèmes de type métal-impédant, donc bien posés à toute fréquence. La DDM en S permet ainsi de se débarrasser des phénomènes de résonance dans les cavités. Nous proposons dans un premier temps un préconditionneur analytique pour la DDM en Y, basé sur l'opérateur électromagnétique de simple couche. Nous calculons ensuite les modes guidés le long d'un cylindre infini tangent à la cavité près de l'interface, et nous diagonalisons les opérateurs Dirichlet-to-Neumann et scattering dans la base des traces de modes guidés sur l'interface. On extrait de cette étude deux préconditionneurs spectraux respectivement pour la DDM en Y et la DDM en S. Les résultats numériques confirment l'efficacité des préconditionneurs proposés / This work is dedicated to the numerical solution of the tridimensional harmonic Maxwell equations, using domain decomposition methods coupling integral equations between them. To deal with scattering problems, integral equations methods are a precious tool. They allow to look for the electromagnetic field by parameterizing it with a source only defined on the boundary of the scattering object, solution of a new linear equation (the integral equation). For applications at high frequency, the great number of unknowns forces the use of iterative methods. To accelerate the solution of integral equations, one moreover has to ensure the good condition number of the linear systems, or to propose well-suited preconditioners. An efficient method, the GCSIE, was developed in Onera. It is an intrinsically well-conditioned integral equation whose condition number remains stable whith the frequency increase. However, the existence of large and resonant cavities (such as air intakes) deteriorates the condition number. In order to circumvent this problem, we propose two domain decomposition methods (DDM) allowing to decouple the exterior problem from the problem of the cavities. The first one (Y-DDM) is based on Dirichlet-to-Neumann operators Y, which are built through the solution of metallic problems using integral equations in each subdomain. The second one (S-DDM) is based on scattering operators S, built through the solution of problems of metallic-impedant type, which are well-posed at any frequency. The S-DDM allows to avoid the resonance phenomena inside the cavities. First, we propose an analytic preconditioner for the Y-DDM, based on the electromagnetic single layer operator. We then calculate the modes guided along an artificial infinite cylinder, that is tangent to the cavity near the interface. We diagonalize the Dirichlet-to-Neumann and scattering operators in the basis of the traces of the guided modes on the interface. We deduce from this study two spectral preconditioners for the Y-DDM and the S-DDM. The numerical results confirm the efficiency of the employed preconditioners.

Cette thèse s'articule autour d'une notion spectrale assez récente, appelée le spectre étendu des opérateurs. Dans la première partie nous fournissons des propriétés générales du spectre étendu d'un opérateur dans certains cas particuliers, tels que le cas de dimension finie et celui des opérateurs inversibles. Nous nous intéressons dans la deuxième partie à l'étude du spectre étendu de l'opérateur shift tronqué Su. En particulier, nous donnons une description complète des vecteurs propres étendus associes à chaque valeur propre étendue de Sb, ou b est un produit de Blaschke quelconque. Dans la troisième partie nous décrirons complètement le spectre étendu et les sous espaces propres étendus d'une classe d'opérateurs très importante : celle des opérateurs normaux. Nous commençons d'abord par la classe des opérateurs qui sont produits d'un opérateur positif par un autoadjoint. Ensuite, nous utilisons le théorème de Fuglede-Putnam pour déduire une description complète des valeurs et des vecteurs propres étendus des opérateurs normaux, en fonction de leur mesure spectrale. Dans la dernière partie, nous appliquons nos résultats des trois premières parties sur des exemples concrets. En particulier, nous traitons= le problème des sous espaces propres étendus des opérateurs définis dans un espace de dimension finie. Ensuite, nous montrons l'existence d'un opérateur compact quasinilpotent dont le spectre étendu est réduit au singleton {1}. Enfin, nous traitons deux opérateurs de Cesaro très importants dans les applications / This thesis is based on a relatively new spectral notion, called extended spectrum of operators. In the first part, we provide general properties of extended spectrum of an operator in some special cases, such as the case of finite dimension and the case of invertible operator. We focused in the second part on characterizing the extended spectrum of truncated shift operator Su. In particular, we give a complete description of the extended eigenvectors associated to each extended eigenvalue of Sb, where b is a Blaschke product. In the third part, we describe the extended spectrum and the extended eigenvectors of a very important class of operators , that is the normal operators. We first start by describing these last sets for the product of a positive and a self-adjoint operator which are both injective. After, we use the Fuglede-Putnam theorem to describe the same sets for normal operators, in terms of their spectral measure. In the last part, we apply our results from the last three parts on concrete examples. In particular, we address the problem of extended eigenvectors of operators defined in a finite dimension space. Next, we show the existence of a quasinilpotent compact operator whose extended spectrum is reduced to {1}. Finally, we study two Cesaro operators which are very important in applications

Dans les disciplines de l'intelligence artificielle et de la recherche opérationnelle, on rencontre de nombreux problèmes comme l'allocation de ressources, l'ordonnancement, la, conception, le diagnostic automatisé. Ces problèmes se formulent aisément comme des problèmes de satisfaction de contraintes (CSP). Un CSP est défini comme étant un ensemble de contraintes impliquant un certain nombre de variables. L'objectif consiste simplement à trouver un ensemble de valeurs à affecter aux variables, de sorte que toutes les contraintes soient satisfaites. Dans le cas le plus général, les problèmes de satisfaction de contraintes ont un aspect fortement combinatoire qui leur confère une grande complexité. Nous nous intéressons dans le cadre de cette thèse aux problèmes de satisfaction de contraintes binaires en domaines finis. Les méthodes auxquelles nous nous intéressons pour résoudre un CSP sont, les méthodes dites incomplètes : elles font une réparation d'une configuration en parcourant de manière non systématique l'espace des configurations. Dans cette catégorie de méthodes, notre intérêt s'est plus particulièrement tourné vers les Algorithmes Evolutionnistes. Ce sont des méthodes générales d'optimisation combinatoire qui sont inspirées de la théorie de l'évolution. Dans un CSP classique, on recherche une solution, sans avoir à optimiser de fonction. Pour entrer dans le cadre des Algorithmes Évolutionnistes, on se doit de définir une fonction d'évaluation pour les CSP qui prend ses valeurs minimales sur les solutions du problème. Cette fonction pourrait être utilisée par toutes méthodes incomplètes, telles que les techniques min-conflits, GSAT et leurs variantes. Nous montrons dans cette thèse l'application de notre fonction d'évaluation pour la méthode min-conflits ainsi que pour un algorithme évolutionniste. D'un autre côté, dans le contexte plus spécifique des algorithmes génétiques, nous souhaitons guider l'évolution (i.e. recherche d'une solution), en faisant des transformations sur la population plus orientées vers le problème de satisfaction de contraintes. Nous définissons ainsi des opérateurs de mutation et de croisement spécialisés pour les CSP qui sont basés sur la structure du graphe de contraintes. Ensuite, nous incorporons le concept d'adaptation dans l'opérateur de croisement, afin d'améliorer la recherche de l'algorithme. Dans ce mémoire, nous décrivons et justifions les algorithmes mis en oeuvre, en illustrant les techniques implémentées par la résolution de problèmes de coloriage de graphe avec trois couleurs, et de CSP générés aléatoirement.