On étudie l'opérateur de Schrödinger Ha + V(x) + W(x dans L où V est un potentiel périodique générique. On suppose que w est périodique et a (O, 1) de sorte que la perturbation W(x soit à oscillations asymptotiquement lentes. On étudie l'asymptotique des solutions de l'équation propre associée par deux approches différentes. La première approche, qui est basée sur une méthode de Sirnon---Zhu, utilise des approximations périodiques. On obtient une formule explicite pour la densité d'états intégrée pour Ha. Puis, on prouve l'existence et on donne une formule pour l'exposant de Lyapounov pour presque toutes les énergies. Nous décrivons aussi l'ensemble exceptionnel des énergies, qui contient le spectre singulier continu de Ha.La seconde méthode est nouvelle : elle utilise des approximations quasi- périodiques plutôt que périodiques. On approxime la résolvante de Ha par les résolvantes des opérateurs quasi-périodiques Hz,e + V(x) + W(Ex + z) pour des paramètres z et E bien choisis. Afin de pou- voir appliquer la méthode de la résolvante approchée à Ha, on étudie des solutions de l'équation propre pour à l'aide de la méthode BKW complexe de Fedotov--Klopp. On obtient les asymptotiques des solutions et des matrices de monodroimie quand tend vers zéro. Sous la condition c > , on construit des solutions de l'équation propre pour Ha ayant une asymptotique simple en x sur de grands intervalles. Puis, par l'étude des matrices de transfert associées, on obtient une nouvelle description, plus précise que la précédente, de l'ensemble exceptionnel des énergies.

La thèse est consacrée à l'étude des problèmes inverses liés à la localisation des sources acoustiques et élastiques dans des milieux atténués à partir de mesures à la frontière, et de leurs applications à l'imagerie médicale. Nous présentons des algorithmes efficaces et stables pour compenser les effets d'atténuation sur la résolution d'image. Nous développons des algorithmes basés sur la transformée de Radon pour récupérer la distribution de pression initiale dans les milieux atténués, avec et sans conditions aux limites imposées. Nous appliquons le théorème de phase stationnaire à un opérateur d'atténuation mal conditionné pour corriger l'effet d'atténuation et nous utilisons des méthodes de régularisation TV-Tikhonov pour traiter les problèmes de mesure partielle. Nous revisitons les méthodes de retournement temporel pour les milieux idéaux (sans perte d'énergie) et nous les étendons aux milieux atténuées. Comme des ondes atténuées ne sont pas réversibles en temps, nous utilisons la stratégie de back-propagation des approximations régulières des ondes adjointes atténuées pour reconstituer les sources de façon stable avec une correction d'atténuation d'ordre 1. Pour les milieux acoustiques, nous présentons une stratégie alternative basée sur un pré-traitement des données pour les corrections d'ordre supérieur. Aux milieux élastiques, les données consistent en des ondes de cisaillement et des pressions couplées. Nous proposons une approche originale basée sur la décomposition de Helmholtz avec des poids. En outre, nous introduisons des algorithmes efficaces d'imagerie avec des poids pour localiser les sources de bruit acoustique par des techniques de cross-corrélation et en utilisant une version régularisée de back-propagateurs pour corriger l'atténuation. Nous avons également localisé les sources de bruit spatialement corrélées, et nous estimons la matrice de corrélation entre eux. Afin d'étendre les algorithmes de détection d'anomalies élastiques aux milieux visco-élastiques, nous dérivons une expression de la fonction de Green visco-élastique isotrope. Ensuite, nous proposons une technique de correction d'atténuation pour un milieu quasi-incompressible et prouver que l'on peut accéder à la fonction de Green idéale (non visqueux) à partir de la fonction de Green visco-élastique en inversant un opérateur différentiel ordinaire. Enfin, nous fournissons quelques fonctions de Green visco-élastiques anisotropes, dans le but d'étendre nos résultats aux milieux anisotropes.

Cette thèse propose une étude originale de la propagation d'ondes acoustiques dans un guide d'ondes. La méthode consiste à factoriser l'équation des ondes grâce à la technique du plongement invariant: on introduit dans le domaine une frontière mobile, correspondant à une section du guide, et on résout le problème pour la partie du guide comprise entre cette section et une de ses faces. Cela permet d'obtenir un système couplé d'équations différentielles et de faire apparaître un opérateur de type Dirichlet-to-Neumann, solution d'une équation de Riccati. On étudie alors celui-ci à l'aide d'une formule de représentation: l'opérateur est semblable à un semi-groupe linéaire par une transformation homographique.

Cette these traite du probleme de l'imagerie photo-acoustique. Dans ce systeme d'imagerie, on chauffe un milieu avec une onde electromagnetique. Le milieu se dilate et emet une onde ultrasonique qu'on mesure. Le but est de reconstruire les caracteristiques internes du milieu a partir des mesures de l'onde acoustique sur son bord. C'est un probleme inverse sur la condition initiale pour l'equation des ondes. Dans un cadre idealise, la procedure de reconstruction est connue et a ete etudiee en profondeur. Le but premier de cette these est de s'eloigner du cadre standard en considerant des hypotheses moins restrictives. Pour chaque hypothese (conditions de bord, vue partielle, attenuation, vitesse non-homogene ) la these propose une correction basee sur des outils mathematiques adaptes (analyse asymptotique, approche duale, correlation...). La reconstruction de la condition initiale de l'equation des ondes n'est cependant pas suffisante. Elle depend de l'illumination electromagnetique. Un second probleme inverse doit etre resolu sur la propagation de l'onde electromagnetique pour avoir acces aux coefficients physiques d'interet. La these presente des resultats algorithmiques dans le cadre de l'equation de de diffusion et des estimations theoriques dans le cadre de l'equation de transfert radiatif. La these presente aussi un resultat d'amelioration d'une approche d'imagerie par derivee topologique.

Mon travail de recherche a couvert ces dernières années un spectre assez large de modélisation, analyse numérique et simulation pour des problèmes physiques et biologiques, de la mécanique à l'échelle moléculaire ou particulaire, niveau dit " microscopique ", à la diffusion non-linéaire, niveau " macroscopique ", en passant par des équations cinétiques décrivant la distribution en vitesse de particules, niveau " mésoscopique ". Le point commun de ces travaux est l'étude de comportements asymptotiques et la recherche d'explications de phénomènes observables macroscopiques par des descriptions micro ou mésoscopiques à l'aide d'outils numériques. Les applications auxquelles on s'intéresse ici sont, pour la partie physique, liées à la thermodynamique couplée ou non avec du transfert radiatif ou une dynamique particulaire raréfiée et, pour la partie biologie-chimie, à des problèmes de propagation d'information par des mécanismes de transport ou de diffusion, ainsi qu'à la recherche de formation de motifs et à l'étude d'extinction de populations. Les équations aux dérivées partielles étudiées proviennent de modèles déterministes ou probabilistes et se classent dans les catégories de transport et de diffusion évolutifs. L'apparition, lors de l'adimensionnement des problèmes, de petits paramètres qui augmentent l'influence de certains des phénomènes caractéristiques dans la solution peut entraîner des difficultés importantes lors du traitement numérique, ce qui impose le recours à des solutions nouvelles permettant de recouvrer au minimum le comportement macroscopique prédit par les observations et par l'analyse mathématique.

Le but de cette thèse est d'étudier, du point de vue théorique, la contrôlabilité exacte de certaines équations aux dérivées partielles qui modélisent les vibrations élastiques, et d'appliquer les résultats ainsi obtenus à la résolution des problèmes inverses provenant de l'imagerie par résonance magnétique (IRM). Cette thèse comporte deux parties. La première partie, intitulée ''Contrôlabilité et observabilité de quelques équations des plaques'', discute la problématique de la contrôlabilité, respectivement de l'observabilité, de l'équation des plaques perturbées avec des termes linéaires ou non linéaires. Des résultats récents ont prouvé que l'observabilité exacte d'un système qui modélise les vibrations d'une structures élastique (équation des ondes ou des plaques) implique l'existence d'une solution du problème inverse de la récupération d'un terme source dans l'équation à partir de l'observation. Ainsi, dans le Chapitre 2 de cette thèse nous avons démontré l'observabilité interne exacte de l'équation des plaques perturbées par des termes linéaires d'ordre un et dans le Chapitre 3 la contrôlabilité exacte locale d'une équation des plaques non linéaire attribuée à Berger. Le Chapitre 4 introduit une méthode numérique pour l'approximation des contrôles exactes dans des systèmes d'ordre deux en temps. La deuxième partie de la thèse est dédiée à l'imagerie par résonance magnétique. Plus précisément, on s'intéresse aux méthodes de reconstruction des images pour des objets en mouvement, l'exemple typique étant l'imagerie cardiaque en respiration libre. Dans le Chapitre 6, nous avons formulé la reconstruction d'images cardiaques acquises en respiration libre comme un problème des moments dans un espace de Hilbert à noyau reproductif. L'existence d'une solution pour un tel problème des moments est prouvée par des outils bien connus dans la théorie du contrôle. Nous avons validé cette méthode en utilisant des images simulées numériquement et les images de cinq volontaires sains. La connexion entre les deux parties de la thèse est réalisée par le Chapitre 7 où l'on présente le problème inverse d'identification d'un terme source dans l'équation des ondes à partir d'une observation correspondante à un enregistrement IRM. En conclusion, nous avons montré qu'on peut utiliser les outils de la théorie de contrôle pour des problèmes inverses provenant de l'IRM des objets en mouvement, à la condition de connaître l'équation du mouvement.

Les travaux présentés dans ce mémoire portent sur l'analyse mathématique de modèles dissipatifs en mécanique des milieux continus. Une attention est portée sur des modèles variationnels de mécanique de la rupture, d'endommagement et de plasticité. Par un souci d'unité, nous avons sélectionné le sous-ensemble maximal de nos travaux liés à ces sujets, en mettant ostensiblement de côté les articles \cite{BBDJ9,BBDJ10,BBDJ11,BBDJ13,BBDJ15} dont les domaines d'application diffèrent peu ou prou de ceux présentés ici. En particulier, les articles \cite{BBDJ10,BBDJ11} en collaboration avec V. Millot qui portent sur l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales avec contrainte dans une variété relèvent plutôt de modèles de micromagnétisme. L'article \cite{BBDJ13} en collaboration avec E. Bonnetier et F. Triki traite de la diffraction d'ondes électromagnétiques sur des surfaces rugueuses par des méthodes d'équations intégrales et d'analyse spectrale. Enfin les articles \cite{BBDJ9} avec E. Zappale et H. Zorgati, et \cite{BBDJ15} avec F. Prinari et E. Zappale ont trait à l'étude de problèmes de réduction de dimension pour des énergies à croissance critique. Le cas d'énergies à croissance linéaire dans \cite{BBDJ9} relève d'une analyse dans l'espace des fonctions à variation bornée. Le cas d'énergies à croissance infinie dans \cite{BBDJ15} donne lieu à l'étude de fonctionnelles suprémales, liées au Laplacien infini, et est motivé par des modèles de rupture diélectrique. Dans le chapitre 1, il nous a semblé approprié de rappeler les notions de thermomécanique des milieux continus pour aboutir à la modélisation de milieux dissipatifs. Nous insistons plus particulièrement sur les milieux standards généralisés et les processus indépendants des vitesses. Ce chapitre est le dénominateur commun de la plupart des modèles d'élasticité, d'endommagement, de visco-plasticité, d'élasto-plasticité et de fracture évoqués dans la suite de ce mémoire. Le chapitre 2 est consacré à l'étude d'un modèle de mécanique de la rupture initialement introduit par Griffith et reformulé variationnellement par Francfort et Marigo. Nous présentons tout d'abord un résultat d'existence de solutions fortes dans le cas 2D antiplan. Nous nous concentrons ensuite sur l'étude d'une classe de matériaux particuliers que sont les films minces. Dans un premier temps, nous montrons comment divers modèles de membranes hétérogènes peuvent être obtenus à l'aide d'une analyse asymptotique par Gamma-convergence. Ensuite, nous nous intéressons à la croissance quasi-statique des fissures dans les films minces et établissons que les fissures sont asymptotiquement invariantes dans la direction de l'épaisseur. Enfin, nous étudions le décollement et la délamination de couches minces dont la modélisation repose soit sur la présence de défauts internes au milieu, soit sur un choix approprié de lois d'échelles sur la rigidité et la ténacité du milieu. Le chapitre 3 concerne l'étude de modèles d'endommagement. Une première partie est consacrée à la théorie de l'homogénéisation de fonctionnelles intégrales sur laquelle repose la compréhension de certains de ces modèles. A cet effet, nous rappelons les résultats classiques et exposons une approche par mesures de Young multi-échelles. Nous nous consacrons ensuite à l'étude des matériaux composites ainsi qu'à une propriété de localité pour cette classe de milieux homogénéisés. Dans une seconde partie, nous présentons un modèle d'évolution quasi-statique en endommagement brutal introduit par Francfort et Marigo, ainsi qu'un modèle de couplage entre l'endommagement et la rupture introduit par Fonseca et Francfort. Tels quels, ces modèles s'avèrent être mal posés, ce qui nécessite de définir une notion de solutions relaxées. A cet effet, nous établissons des résultats d'existence d'évolutions quasi-statiques homogénéisées. Dans une troisième partie, nous étudions une évolution par flot gradient d'un modèle d'endommagement non local. L'existence d'un flot gradient unilatéral pour la fonctionnelle d'Ambrosio-Tortorelli est démontrée à l'aide de la méthode des mouvements minimisants et la convergence vers les mouvements minimisants unilatéraux de la fonctionnelle de Mumford-Shah est établie. Le quatrième et dernier chapitre traite de modèles d'élasto-plasticité. Après avoir rappelé des résultats classiques sur la plasticité des métaux et des alliages, nous nous concentrons sur la plasticité des matériaux granulaires en mécanique des sols. Nous étudions tout d'abord un modèle de plasticité associée avec cap et une loi d'écrouissage sur celui-ci. En régime dynamique, nous montrons le caractère bien posé de ce modèle ainsi que la convergence vers un modèle de plasticité parfaite lorsque l'on fait tendre le cap à l'infini. En régime quasi-statique, nous établissons un résultat d'existence où le principe de travail maximal de Hill est remplacé par une identité d'énergie. Enfin nous étudions un modèle d'élasto-plasticité non-associée avec cap, pour lequel la loi de normalité n'est plus valable, en régime quasi-statique. Comme les solutions semblent présenter des discontinuités temporelles, nous établissons un résultat d'existence pour des temps convenablement remis à l'échelle. En annexe, nous regroupons l'ensemble des notations utilisées dans ce mémoire. Nous rappelons également un certain nombre de résultats classiques concernant notamment les fonctions à dérivées mesures et la Gamma-convergence.

Ce travail de thèse a pour but d'étudier des écoulements non stationnaires de fluides incompressibles Newtoniens et non isothermes. Le problème est décrit par les lois de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l'énergie. Nous nous intéressons au couplage entre le système de Navier-Stokes et l'équation de la chaleur hyperbolique (le résultat de la combinaison entre la loi de conservation d'énergie et la loi de Cattaneo). Cette dernière est une modification de la loi de Fourier utilisée habituellement, elle permet de surmonter ''le paradoxe de la chaleur'' et d'obtenir une description plus précise de la propagation de la chaleur. Le système couplé est un problème hyperbolique-parabolique dont la viscosité dépend de la température, alors que la capacité thermique et le terme de dissipation dépendent de la vitesse. Afin d'obtenir un résultat d'existence de solutions du problème couplé, nous démontrons d'abord l'existence et l'unicité de la solution du problème hyperbolique puis nous introduisons une discrétisation en temps et nous étudions la convergence des solutions approchées vers celles du problème original. Dans un deuxième temps nous étudions l'existence et l'unicité de la solution du système de Navier-Stokes muni des conditions aux limites de type Tresca puis de type Coulomb en dimension 2 et 3. Dans le chapitre 3, nous proposons une discrétisation en temps du problème d'écoulement dans le cas de la condition au limite de type Tresca et nous établissons la convergence des solutions approchées. Le dernier chapitre de ce mémoire est consacré à l'étude du problème couplé dans le cas de conditions aux limites de type Tresca. L'existence d'une solution est obtenue par un argument théorique de point fixe en dimension 2 et également par une méthode de discrétisation en temps qui conduit à résoudre sur chaque sous intervalle de temps un problème découplé pour la vitesse et la pression d'une part et la température d'autre part.

Ce travail est consacré à l'étude d'un problème issu de la physique des plasmas: le transfert thermique des électrons dans un plasma proche de l'équilibre maxwellien. Dans un premier temps, le régime asymptotique de Spitzer-Harm est étudié. Un modèle proposé par Schurtz et Nicolai est analysé et situé dans le cadre des modeles hydrodynamiques en dehors de la limite strictement asymptotique. Le lien avec les modèles non-locaux de Luciani et Mora est établi, ainsi que les propriétés mathématiques tels que le principe du maximum et la dissipation entropique. Ensuite, une dérivation formelle à partir des équations de Vlasov est proposée. Une hiérarchie de modèles intermédiaires entre les équations cinétiques et la limite hydrodynamique est décrite. En particulier, un nouveau système hydrodynamique, de nature intégro-différentielle, est proposé. Le système Schurtz et Nicolai apparaît comme une simplification du modèle issu de la diversion. L'existence et l'unicité de la solution du système non-stationnaire sont établies dans un cadre simplifié. La dernière partie est consacrée à la mise en œuvre d'un schéma numérique spécifique pour la résolution de ces modèles. Nous proposons une approche par volumes finis efficace sur des maillages non-structurés. La précision de ce schéma permet de capturer des effets spécifiques aux modèles cinéiques, qui ne peut être reproduit par le modèle asymptotique de Spitzer-Harm. La consistance de ce schéma avec celui de l'équation Spitzer-Harm est mise en evidence, ouvrant la voie à une stratégie de couplage entre les deux modèles.

Ce travail est constitué de deux parties indépendantes traitant chacune d'un problème issu de la théorie du contrôle des équations aux dérivées partielles. La première partie est consacrée à l'étude d'un feedback explicite et déjà connu, s'appliquant à des systèmes linéaires, réversibles en temps et éventuellement munis d'un opérateur de contrôle non-borné. On justifie le caractère bien posé du problème en boucle fermée via la théorie des semi-groupes puis on étudie le taux de décroissance des solutions du système régulé. La seconde partie concerne un problème d'observation pour la corde vibrante : on détermine comment choisir des instants d'observation pour que la position de la corde à ces instants permette de retrouver les conditions initiales tout en préservant une certaine régularité. La méthode, qui repose sur des résultats d'approximation diophantienne, est ensuite étendue à d'autres systèmes. En utilisant une méthode de dualité on démontre aussi un résultat de contrôlabilité exacte.