Cette étude porte sur l'influence de la forme des particules sur le comportementmécanique des matériaux granulaires, et les mécanismes de transfert de charge quis'y développent, notamment dans les cas des conduits enterrés. La géométrie desparticules (polygones de forme convexe ou assemblage de particules de forme concaveconstitués de plusieurs disques superposés et indissociables) a été caractérisée par uncoefficient de forme α. Cette étude est basée sur une approche numérique par élémentsdiscrets. Des simulations numériques de l'essai de compression biaxiale montrent queles caractéristiques macroscopiques ou géométriques de l'échantillon granulaire, telque l'angle de frottement macroscopique, la compacité, ou la nature des bandes decisaillement, dépendent fortement du coefficient de forme α et de la convexité ou nonconvexité des grains.Les mécanismes de transfert de charge au dessus d'un conduit souple ont été étudiésexpérimentalement (rouleaux bidimensionnels en condition de déformation plane) etnumériquement (MED). Les expérimentations réalisées montrent que la présence duconduit à peu d'in_uence sur le comportement macroscopique de l'assemblée granulairelors d'une sollicitation biaxiale. Les résultats du modèle numèrique convergentavec les rèsultats expérimentaux et mettent en évidence la présence des mécanismes detransfert de charge au dessus du conduit dont les intensités dépendent du coefficientde forme α. / This study was devoted to the in_uence of grain shape on the mechanical behaviourof granular materials and its e_ect on load transfer over underground pipes. Shapeof convex polygons and concave clumps of discs was generalised with a geometricalparameter α. In the study a Discrete Element Modeling (DEM) approach was used.Biaxial compression of granular assemblies revealed that mechanical and geometricalproperties like porosity, macroscopic friction or shear localisation depends both on αand on grain (non-)convexity.The intergranular load transfer over a _exible pipe was studied both experimentally(2D rods in a plain strain apparatus) and numerically (DEM). The experimentsshowed that the pipe has no signi_cant impact on the macroscopic behaviour of theassembly. The numerical model complied with the experiments and revealed that thearching e_ect in a sheared granular medium exists above the pipe and is magni_edwith the increase of α of the grains.

Comme on l'observe dans le reste du Nunavik, la communauté d'Inukjuak connaît une forte croissance démographique. Il en découle un besoin accru en matière de logements et d'infrastructures. Il est donc essentiel de connaître les caractéristiques du sol lors de la planification urbaine, afin d'adapter les pratiques de construction et l'aménagement du territoire aux conditions de pergélisol locales. Dans cette optique, l'objectif principal de ce mémoire de maîtrise est de préciser la profondeur du roc, ainsi que la répartition et la stratigraphie des sédiments sur le territoire d'Inukjuak afin de fournir des connaissances supplémentaires destinées à l'évaluation des impacts associés au dégel du pergélisol pour les bâtiments et les infrastructures, dans un contexte de changements climatiques. Pour y parvenir, près de 20 km linéaires de levés de géoradar ont été réalisés lors des étés de 2015 et de 2017. L'interprétation de ces levés a nécessité l'utilisation des photographies aériennes, des cartes de dépôts de surface ainsi que des rapports d'excavations et de forages disponibles, en plus d'observations effectuées sur le terrain. Bien que certains secteurs d'Inukjuak reposent sur des sédiments fins et riches en glace, d'autres secteurs, comme la pointe sud-ouest du village, reposent sur des sables stratifiés épais ainsi que sur des dépôts de sables minces sur le roc peu profond. Outre les espaces en dépôts meubles, de nombreux et vastes affleurements rocheux sont également présents dans le village.

Située dans la région de la rivière Biscarat au Nunavik, l'étude a été réalisée grâce à 18 profils de sols situés sous les sillons de polygones de toundra, un profil au géoradar, deux forages et les données climatiques d'une station automatique locale. Cinq phases de développement du réseau polygonal ont été reconstituées: 1. émersion et fissuration thermique initiale du sol (1041 ans cal. BP); 2. interruption de la fissuration et sédimentation localisée entre 900-700 cal. BP ; 3. réactivation de la fissuration entre 700-50 ans cal. BP ; 4. interruption de la fissuration (1900-1950); 5. fissuration sporadique (depuis 1960). Ces données permettent de mieux définir les conditions régissant l'activité des coins de glace actifs présents sous les sillons des réseaux dans une région climatiquement à la limite méridionale favorable du développement de ces formes. Malgré le réchauffement actuel, le climat demeure propice à une fissuration sporadique du réseau polygonal.

Les polygones à coin de glace sont très répandus dans la zone du pergélisol continu. Lorsque le ruissellement d’eau de fonte nivale s’infiltre de façon concentrée dans une cavité, il peut initier le processus de thermo-érosion du pergélisol (notamment des coins de glace) pouvant mener à la formation de ravins. Dans la vallée de Qalikturvik sur l’Ile Bylot (NU, Canada), le développement de ravins de thermo-érosion dans un milieu de polygones à coins de glace entraîne comme impact : i. la réorganisation des réseaux de drainage impliquant un assèchement des milieux humides en marge des chenaux d’érosion, ii. des variations dans le régime thermique et de l’humidité de proche-surface et iii. la prise en charge et le déplacement des sédiments vers l’extérieur du bassin-versant. L’objectif de cette thèse vise à approfondir les connaissances géomorphologiques propres au ravinement par thermo-érosion, d’examiner, caractériser et quantifier les impacts du ravinement (tel que sus-mentionné en i. ii. iii.) et le rôle de celui-ci dans une optique d’évolution du paysage périglaciaire à l’échelle temporelle de l’année à la décennie. Les ravins sont dynamiques : un ravin en particulier déclenché en 1999 et étudié depuis s’érodait à une vitesse de 38 à 50 m/a durant sa première décennie d’existence, pour atteindre une longueur totale de ~750 m et une surface érodée de ~25 000 m² en 2009. Des puits sont localisés près des zones de ravinement actives ; des levées alluviale, mares et polygones effondrés dans les zones stabilisées post-perturbation. Sur la terrasse de polygones recouvrant le plancher de la vallée au site à l’étude, 35 ravins furent identifiés et 1401 polygones furent perturbés avec 200 000 m³ de sols transportés. Une amélioration du drainage, une dégradation de la capacité de rétention de l’humidité, une transition d’un écoulement de ruissellement vers un écoulement canalisé caractérise les aires ravinées et leurs environs. Les polygones intacts sont homogènes d’un à l’autre et dans leurs centres ; les polygones perturbés ont une réponse hétérogène (flore, humidité et régime thermique). Les milieux érodés hétérogènes succèdent aux milieux homogènes et deviennent le nouvel état d’équilibre pour plusieurs décennies. / Ice wedges polygons are very common features characterizing continuous permafrost environments. When concentrated snowmelt runoff recurrently flows into opened frost cracks in ice wedges (or nearby depressions), thermo-erosion of permafrost leading to gullies can occur. In the valley of Qalikturvik on Bylot Island (NU, Canada), rapid development of gullies due to thermo-erosion processes in wet polygons exert the following: i. forced rerouting of drainage networks, changing moisture input in wetlands adjacent to a gullied channel; ii. variation in near-surface thermal regime and moisture; iii. erosion and displacement of thawed soils outside the watershed. The objectives of this thesis are to quantify and widen the understanding of the thermo-erosion gullying geomorphology, the related impacts (as aforementioned in i. ii. iii.) and the role of such erosion in the context of the periglacial landscape evolution on a short to medium timescale. In this study, gullies are active and dynamic: one gully triggered in 1999 (and monitored since then) elongated at a rate varying between 38 and 50 m/y during the first decade following its initiation. Its total length at the end of that decade (1999-2009) was ~750 m for an eroded surface of ~25 000 m². Sinkholes were exclusive to the active zone of a gully where alluvial levees and collapsed polygons were common in the stable zone. Thirty-five gullies were identified over the polygon terrace featuring the valley floor. 1401 polygons were consequently breached due to thermo-erosion resulting in 200 000 m³ of displaced soils and thawed permafrost. Gullied areas were characterized by improved drainage conditions, a reduced capacity to retain moisture and a transition from dominantly surface runoff toward channelized flow. Intact wet polygons were homogeneous between each other and in their center; disturbed polygons were heterogeneous (for moisture, thermal regime and vegetation) following a breach of at least one side. Wetland polygons, when disturbed due to gullying, evolve toward an heterogeneous landscape which will become the new equilibrium for that terrain for decades to come.

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Étudier l'émergence de savoirs lors de situations didactiques non finalisées par un savoir préfabriqué et pré-pensé nécessite un bouleversement des points de vue, aussi bien épistémologique que didactique. C'est pourquoi, pour l'étude de situations didactiques pour lesquelles le problème est l'essence, nous développons une nouvelle approche historique et repensons des outils pour les analyses didactiques. Nous proposons alors, pour un problème particulier, l'exploration des pavages archimédiens du plan, une enquête historique centrée sur l'activité du savant cherchant et sur l'influence de la relation aux objets dans la recherche. De ce point de vue, l'étude des travaux de Johannes Kepler à la recherche d'une harmonie du monde est particulièrement instructive. Nous proposons également, pour l'analyse des savoirs émergents en situation didactique, une utilisation d'outils liés à la sémiotique qui permet de mettre en évidence la dynamique de l'évolution des objets mathématiques. Nous pouvons finalement conclure quant à la possibilité de construire et mettre en œuvre des ≪ Situations Didactiques de Recherche de Problème ≫ assurant l'engagement du sujet dans la recherche, l'émergence et le développement d'objets mathématiques, la genèse de savoirs. L'étude nous conforte dans la nécessité d'une approche pragmatique des situations et la pertinence d'un regard différent sur les savoirs à l'école / The study of the emergence of knowledges in teaching situations not finalized by a prefabricated and pre-thought knowledge requires an upheaval of point of view, epistemological as well as didactic. For the study of learning situations in which the problem is the essence, we develop a new historical approach and we rethink the tools for didactic analyzes. We propose, then, for a particular problem, exploration of Archimedean tilings of the plane, a historical inquiry centered on the activity of the scientist in the process of research and on the influence of the relationship with objects. From this perspective, the study of Johannes Kepler’s work in search of a world harmony is particularly instructive. We also propose, for the analysis of the emerging knowledge in teaching situations, to use tools related to semiotics, which allows to highlight the dynamic of evolution of mathematical objects. We can finally conclude on the opportunity to build and implement “Didactic Situations of Problem Solving”, which ensure the commitment of the subject in the research, the emergence and development of mathematical objects, the genesis of knowledges. The study reinforces the necessity of a pragmatic approach of situations and the relevance of a different look at the knowledge at school

Dans ce mémoire de thèse, on étudie le morphisme de monoïde $mu$du monoïde libre sur l'alphabet des entiers $nb$,`a valeurs dans le groupe modulaire $PSL_2(zb)$,considéré comme monoïde, défini pour tout entier $a$ par $mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.$Les nombres de Catalan apparaissent naturellement dans l'étudede sous-ensembles du noyau de $mu$.Dans un premier temps, on met en évidence deux systèmes de réécriture, l'un sur l'alphabet fini ${0,1}$, l'autresur l'alphabet infini des entiers $nb$ et on montreque ces deux systèmes de réécriture définissent des présentations de monoïde de $PSL_2(zb)$ par générateurs et relations.Par ailleurs, on introduit le morphisme d'indice associé `a l'abélianisé du rev^etement universel de $PSL_2(zb)$,le groupe $B_3$ des tresses `a trois brins. Interprété dans deux contextes différents,le morphisme d'indice est associé au nombre de "demi-tours".Ensuite, dans les quatrième et cinquième parties, on dénombre des sous-ensembles du noyau de $mu_{|{0,1}}$ etdu noyau de $mu$, bigradués par la longueur et l'indice. La suite des nombres de Catalan et d'autres diagonales du triangle de Catalan interviennentsimplement dans les résultats.Enfin, on présente l'origine géométrique de cette étude : on explicite le lien entre l'objectif premier de la thèse qui était l'étudedes polygones convexes entiers d'aire minimale et notre intéret pour le monoïde engendré par ces matrices particulières de $PSL_2(zb)$. / In this thesis, we study a morphism of mono"id $mu$ between the free mono"id on the alphabet of integers $nb$and the modular group $PSL_2(zb)$ considered as a mono"id, defined for all integer $a$by $mu(a)=begin{pmatrix} 0 & -1 1 & a+1 end{pmatrix}.$ The Catalan Numbers arised naturally in the study ofsubsets of the kernel of the morphism $mu$.Firstly, we introduce two rewriting systems, one on the finite alphabet ${0,1}$, and the other on the infinite alphabet of integers $nb$. We proove that bothof these rewriting systems defines a mono"id presentation of $PSL_2(zb)$ by generators and relations.On another note, we introduce the morphism of loop associated to the abelianised of the universal covering group of $PSL_2(zb)$, the group $B_3$ ofbraid group on $3$ strands. In two different contexts, the morphism of loop is associated to the number of "half-turns".Then, in the fourth and the fifth parts, we numerate subsets of the kernel of $mu_{|{0,1}}$ and of the kernel of $mu$,bi-graduated by the morphism of lengthand the morphism of loop. The sequences of Catalan numbers and other diagonals of the Catalan triangle come into the results.Lastly, we present the geometrical origin of this research : we detail the connection between our first aim,which was the study of convex integer polygones ofminimal area, and our interest for the mono"id generated by these particular matrices of $PSL_2(zb)$.

Cette thèse est une contribution à un problème classique de la géométrie algorithmique et combinatoire : l’étude des k-sets d’un ensemble V de n points du plan. Nous introduisons d’abord la notion de chaîne d’inclusion de convexes qui est un ordonnancement des points de V tel qu’aucun point n’appartient à l’enveloppe convexe de ceux qui le précèdent. Tout k-set d’une sous-suite commençante de la chaîne est appelé un k-set de la chaîne. Nous montrons que le nombre de ces k-sets est un invariant de V et qu’il est égal au nombre de régions du diagramme de Voronoï d’ordre k de V. Nous en déduisons un algorithme en ligne pour construire les k-sets des sommets d’une ligne polygonale simple dont chaque sommet est à l’extérieur de l’enveloppe convexe des sommets qui le précèdent sur la ligne. Si c est le nombre total de k-sets construits, la complexité de notrealgorithme est en O(n log n+c log^2 k) et est équivalente, par k-set construit, à celle du meilleur algorithme connu. Nous montrons ensuite que la méthode algorithmique classique de division-fusion peut être adaptée à la construction des k-sets de V. L’algorithme qui en résulte a une complexité enO(n log n+c log^2 k log(n/k)), où c est le nombre maximum de k-sets d’un ensemble de n points.Nous prouvons enfin que les centres de gravité des k-sets d’une chaîne d’inclusion de convexes sont les sommets d’une triangulation qui appartient à la même famille de triangulations, dites centroïdes, que le dual du diagramme de Voronoï d’ordre k. Nous en d´déduisons un algorithme qui construit des triangulations centroïdes particulières en temps O(n log n+k(n-k) log^2 k), ce qui est plus efficace que les algorithmes connus jusque là. / This thesis is a contribution to a classical problem in computational and combinatorial geometry: the study of the k-sets of a set V of n points in the plane. First we introduce the notion of convex inclusion chain that is an ordering of the points of V such that no point is inside the convex hull of the points that precede it. Every k-set of an initial sub-sequence of the chain is called a k-set of the chain. We prove that the number of these k-sets is an invariant of V and is equal to the number of regions in the order-k Voronoi diagram of V. We then deduce an online algorithm for the construction of the k-sets of the vertices of a simple polygonal line such that every vertex of this line is outside the convex hull of all its preceding vertices on the line. If c is the total number of k-sets built with this algorithm, the complexity of our algorithm is in O(n log n + c log^2k) and is equal, per constructed k-set, to the complexity of the best algorithm known. Afterward, we prove that the classical divide and conquer algorithmic method can be adapted to the construction of the k-sets of V. The algorithm has a complexity of O(n log n + c log^2k log(n/k)), where c is the maximum number of k-sets of a set of n points. We finally prove that the centers of gravity of the k-sets of a convex inclusion chain are the vertices of a triangulation belonging to the family of so-called centroid triangulations. This family notably contains the dual of the order-k Voronoi diagram. We give an algorithm that builds particular centroid triangulations in O(n log n + k(n- k) log^2 k) time, which is more efficient than all the currently known algorithms.

Dans ce mémoire, on se propose de décrire certains résultats de l'auteur sur les propriétés $p$-adiques des fonctions $L$ associées à des caractères sur les corps finis, à la suite des travaux de Dwork, Robba, Adolphson et Sperber, Wan, entre autres. On parlera aussi de sommes de caractères (et de leurs fonctions $L$) définies sur certains anneaux locaux.

Cette thèse se compose de plusieurs travaux portant sur l'énumération et le comportement asymptotique de structures combinatoires apparentées aux partitions d'entiers. Un premier travail s'intéresse aux partitions d'entiers bipartites, qui constituent une généralisation bidimensionnelle des partitions d'entiers. Des équivalents du nombre de partitions sont obtenus dans le régime critique où l'un des entiers est de l'ordre du carré de l'autre entier et au delà de ce régime critique. Ceci complète les résultats établis dans les années cinquante par Auluck, Nanda et Wright. Le deuxième travail traite des chaînes polygonales à sommets entiers dans le plan. Pour un modèle statistique introduit par Sinaï, une représentation intégrale exacte de la fonction de partition est donnée. Ceci conduit à un équivalent du nombre de chaînes joignant deux points distants qui fait intervenir les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann. Une analyse combinatoire détaillée des chaînes convexes est présentée. Elle permet de montrer l'existence d'une forme limite pour les chaînes convexes aléatoires ayant peu de sommets, répondant ainsi à une question ouverte de Vershik. Un troisième travail porte sur les zonotopes à sommets entiers en dimension supérieure. Un équivalent simple est donné pour le logarithme du nombre de zonotopes contenus dans un cône convexe et dont les extrémités sont fixées. Une loi des grands nombres est établie et la forme limite est caractérisée par la transformée de Laplace du cône. / This thesis consists of several works dealing with the enumeration and the asymptotic behaviour of combinatorial structures related to integer partitions. A first work concerns partitions of large bipartite integers, which are a bidimensional generalization of integer partitions. Asymptotic formulæ are obtained in the critical regime where one of the numbers is of the order of magnitude of the square of the other number, and beyond this critical regime. This completes the results established in the fifties by Auluck, Nanda, and Wright. The second work deals with lattice convex chains in the plane. In a statistical model introduced by Sinaï, an exact integral representation of the partition function is given. This leads to an asymptotic formula for the number of chains joining two distant points, which involves the non trivial zeros of the Riemann zeta function. A detailed combinatorial analysis of convex chains is presented. It makes it possible to prove the existence of a limit shape for random convex chains with few vertices, answering an open question of Vershik. A third work focuses on lattice zonotopes in higher dimensions. An asymptotic equality is given for the logarithm of the number of zonotopes contained in a convex cone and such that the endings of the zonotope are fixed. A law of large numbers is established and the limit shape is characterized by the Laplace transform of the cone.