Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires de type Dirichlet ou Neumann sur un domaine borné régulier, qui sont à structure variationnelle, et<br />qui présentent un défaut de compacité.<br />Dans la première partie, nous étudions une EDP homogène avec un opérateur non linéaire faisant<br />intervenir un poids strictement positif, une non-linéarité critique au sens de Sobolev et un paramètre $\lambda$. Nous établissons des résultats d'existence et de non-existence de solutions qui dépendent du comportement du poids au voisinage de ses minima, du paramètre $\lambda$ et de la géométrie du domaine. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à des EDP non homogènes avec poids et avec une non-linéarité critique au bord au sens de l'inclusion de trace. Nous montrons des résultats d'existence qui dépendent des différents<br />coefficients des EDP étudiées et de la courbure moyenne en un point minimum de poids.

Depuis le début du vingtième siècle, l'usage des matériaux sous la forme de plaques et de poutres s'est considérablement développé jusqu'à nos jours que ce soit dans l'industrie automobile, la construction, et plus récemment en aéronautique. Pourtant une des difficultés dans l’étude du comportement de ces structures réside essentiellement dans leur caractère hétérogène. L'utilisation de méthodes numériques classiques pour estimer les constantes élastiques globales des structures multicouches et hétérogènes est coûteuse en temps de calcul C'est pourquoi de nombreuses méthodes simplifiées ont vu le jour, notamment quand la taille de l'hétérogénéité est petite devant les dimensions caractéristiques de la structure. Dans ce cas cette dernière peut être perçue comme un milieu continu homogène et des méthodes d'homogénéisation peuvent donc très utilisées. En revanche, il existe des structures hétérogènes pour lesquelles la taille de l'hétérogénéité est du même ordre que l'épaisseur. Dans ce cas l'utilisation des méthodes d'homogénéisation n'est plus appropriée. Dans le cadre de cette thèse, nous étudions quelques nouvelles méthodes pour l'estimation des propriétés effectives des plaques hétérogènes. Nous proposons dans la première partie un modèle de plaque basé sur la théorie de déformation en cisaillement de premier ordre pour les matériaux fonctionnellement gradués où les coefficients de correction de cisaillement sont identifiés. Dans la deuxième partie, nous proposons une nouvelle méthode numérique pour calculer des propriétés élastiques effectives des plaques hétérogènes périodiques. La méthode est basée sur un nouvel opérateur de Green pour les milieux périodiques avec des conditions aux limites de bord libre, un procédé itératif et la Transformée de Fourier Rapide. Une étude de l’effet d’échelle des plaques hétérogènes est également effectuée. Le résultat obtenu montre que cet effet est faible / From the beginning of the twentieth century, the use of materials in the form of plates and beams has grown until today, especially in the automobile industry, construction, and more recently in aeronautics. However one of the difficulties of studying the mechanical behavior of these structures consists of its heterogeneous nature. Using conventional numerical methods for estimating the global elastic constants of heterogeneous and multi-layered structures is costly in time of computation. That is why many simplified methods have been presented, particularly when the size of the heterogeneity is much smaller than the characteristic dimensions of the structure. In this case, the latter may be perceived as a continuous homogeneous medium and homogenization methods can be therefore widely used. On the other hand, there are heterogeneous structures for which the size of the heterogeneity is the same order as the thickness. In this case, the use of homogenization methods is not appropriate anymore. In the context of this thesis, we study some new methods for estimating the effective properties of heterogeneous plates. We propose in the first part a plate model based on the first-order shear deformation theory for functionally graded materials where shear correction coefficients are identified. In the second part, we propose a new numerical method for computing the effective elastic properties of periodic heterogeneous plates. The method is based on a new Green’s operator for periodic media with traction-free boundary conditions, an iterative method and the Fast Fourier Transform. A study of scale effect is also performed. The obtained result shows that this effect is small

La présente thèse est consacrée à l’étude de la probabilité du chemin d’un mouvement aléatoire sur la base d’une extension de la mécanique Hamiltonienne/Lagrangienne à la dynamique stochastique. La probabilité d’un chemin est d’abord étudiée par simulation numérique dans le cas du mouvement stochastique Gaussien des systèmes non dissipatifs. Ce modèle dynamique idéal implique que, outre les forces aléatoires Gaussiennes, le système est seulement soumis à des forces conservatrices. Ce modèle peut être appliqué à un mouvement aléatoire réel de régime pseudo-périodique en présence d’une force de frottement lorsque l’énergie dissipée est négligeable par rapport à la variation de l’énergie potentielle. Nous constatons que la probabilité de chemin décroît exponentiellement lorsque le son action augmente, c’est à dire, P(A) ~ eˉγA, où γ est une constante caractérisant la sensibilité de la dépendance de l’action à la probabilité de chemin, l’action est calculée par la formule A = ∫T0 Ldt, intégrale temporelle du Lagrangien. L = K–V sur une période de temps fixe T, K est l’énergie cinétique et V est l’énergie potentielle. Ce résultat est une confirmation de l’existence d’un analogue classique du facteur de Feynman eiA/ħ pour le formalisme intégral de chemin de la mécanique quantique des systèmes Hamiltoniens. Le résultat ci-dessus est ensuite étendu au mouvement aléatoire réel avec dissipation. A cet effet, le principe de moindre action doit être généralisé au mouvement amorti de systèmes mécaniques ayant une fonction unique de Lagrange bien définie qui doit avoir la simple connexion habituelle au Hamiltonien. Cela a été fait avec l’aide du Lagrangien suivant L = K − V − Ed, où Ed est l’énergie dissipée. Par le calcul variationnel et la simulation numérique, nous avons prouvé que l’action A = ∫T0 Ldt est stationnaire pour les chemins optimaux déterminés par l’équation newtonienne. Plus précisément, la stationnarité est un minimum pour les mouvements de régime pseudo-périodique, un maximum pour les mouvements d’amortissement apériodique et une inflexion dans le cas intermédiaire. Sur cette base, nous avons étudié la probabilité du chemin du mouvement stochastique Gaussien des systèmes dissipatifs. On constate que la probabilité du chemin dépend toujours de façon exponentielle de l’action Lagrangien pour les mouvements de régime pseudo-périodique, mais dépend toujours de façon exponentielle de l’action cinétique A = ∫T0 Kdt pour régime apériodique. / The present thesis is devoted to the study of path probability of random motion on the basis of an extension of Hamiltonian/Lagrangian mechanics to stochastic dynamics. The path probability is first investigated by numerical simulation for Gaussian stochastic motion of non dissipative systems. This ideal dynamical model implies that, apart from the Gaussian random forces, the system is only subject to conservative forces. This model can be applied to underdamped real random motion in the presence of friction force when the dissipated energy is negligible with respect to the variation of the potential energy. We find that the path probability decreases exponentially with increasing action, i.e., P(A) ~ eˉγA, where γ is a constant characterizing the sensitivity of the action dependence of the path probability, the action is given by A = ∫T0 Ldt, a time integral of the Lagrangian L = K–V over a fixed time period T, K is the kinetic energy and V is the potential energy. This result is a confirmation of the existence of a classical analogue of the Feynman factor eiA/ħ for the path integral formalism of quantum mechanics of Hamiltonian systems. The above result is then extended to real random motion with dissipation. For this purpose, the least action principle has to be generalized to damped motion of mechanical systems with a unique well defined Lagrangian function which must have the usual simple connection to Hamiltonian. This has been done with the help of the following Lagrangian L = K – V – Ed, where Ed is the dissipated energy. By variational calculus and numerical simulation, we proved that the action A = ∫T0 Ldt is stationary for the optimal paths determined by Newtonian equation. More precisely, the stationarity is a minimum for underdamped motion, a maximum for overdamped motion and an inflexion for the intermediate case. On this basis, we studied the path probability of Gaussian stochastic motion of dissipative systems. It is found that the path probability still depends exponentially on Lagrangian action for the underdamped motion, but depends exponentially on kinetic action A = ∫T0 Kdt for the overdamped motion.

L'objectif de cette thèse est d'étudier l'existence, la multiplicité et le comportement des solutions positives de systèmes d'équations aux dérivées <br />partielle faisant intervenir le (p,q)-Laplacien ou des opérateurs anisotropiques dans les cas sous-critique et critique.<br /> Dans le 1er chapitre on s' intéresse au système suivant (S):<br />\begin{eqnarray}<br />\left\{\begin{array}{lll}-\Delta_p u&=&\lambda f(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,\\<br />-\Delta_q v&=&\mu g(x,u,v)\quad\mbox{dans}\quad\Omega,<br />\end{array}<br />\right.<br />\end{eqnarray}<br />avec $f$ et $g$ présentent des termes sous-critiques en u et v . On a pu construire deux suites de Palais-Smale sur la variété de Nehari convergeant <br />fortement dans $W{1,p}(\Omega)\times W{1,q}(\Omega)$ vers deux solutions distinctes.<br /> Dans le 2ème chapitre, on considère la même classe du système (S) dans le cas critique et dans $\mathbb{R}^N$. A la différence du chapitre 1, dans <br />ce cas on retrouve qu'une seule solution positive et pour $p=q$ on retrouve une seconde solution.<br /> Dans le chapitre 3, on généralise l'étude de Brézis-Nirenberg à une équation et puis à un système critique du type (S). On donne une définition plus générale de la notion de niveau critique.<br /> Le Dernier chapitre traîte d'une nouvelle classe de systèmes d'équations elliptiques anisotropiques (puissance dépend de la direction) avec des termes de réaction de type puissance de façon que l'espace fonctionnel naturel devient un espace de Sobolev anisotrope. On démontre l'existence ainsi que la régularité des solutions faibles du système puis l'existence d'une solution dans le cas où on a une sous et une sur-solution du système.

Depuis le début du vingtième siècle, l'usage des matériaux sous la forme de plaques et de poutres s'est considérablement développé jusqu'à nos jours que ce soit dans l'industrie automobile, la construction, et plus récemment en aéronautique. Pourtant une des difficultés dans l'étude du comportement de ces structures réside essentiellement dans leur caractère hétérogène. L'utilisation de méthodes numériques classiques pour estimer les constantes élastiques globales des structures multicouches et hétérogènes est coûteuse en temps de calcul C'est pourquoi de nombreuses méthodes simplifiées ont vu le jour, notamment quand la taille de l'hétérogénéité est petite devant les dimensions caractéristiques de la structure. Dans ce cas cette dernière peut être perçue comme un milieu continu homogène et des méthodes d'homogénéisation peuvent donc très utilisées. En revanche, il existe des structures hétérogènes pour lesquelles la taille de l'hétérogénéité est du même ordre que l'épaisseur. Dans ce cas l'utilisation des méthodes d'homogénéisation n'est plus appropriée. Dans le cadre de cette thèse, nous étudions quelques nouvelles méthodes pour l'estimation des propriétés effectives des plaques hétérogènes. Nous proposons dans la première partie un modèle de plaque basé sur la théorie de déformation en cisaillement de premier ordre pour les matériaux fonctionnellement gradués où les coefficients de correction de cisaillement sont identifiés. Dans la deuxième partie, nous proposons une nouvelle méthode numérique pour calculer des propriétés élastiques effectives des plaques hétérogènes périodiques. La méthode est basée sur un nouvel opérateur de Green pour les milieux périodiques avec des conditions aux limites de bord libre, un procédé itératif et la Transformée de Fourier Rapide. Une étude de l'effet d'échelle des plaques hétérogènes est également effectuée. Le résultat obtenu montre que cet effet est faible

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.

Dans un contexte industriel, l’utilisation de modèles diphasiques d’ordre réduit est nécessaire pour pouvoir effectuer des simulations numériques prédictives d’injection de combustible liquide dans les chambres de combustion automobiles et aéronautiques, afin de concevoir des équipements plus performants et moins polluants. Le processus d’atomisation du combustible, depuis sa sortie de l’injecteur sous un régime de phases séparées, jusqu’au brouillard de gouttelettes dispersées, est l’un des facteurs clés d’une combustion de bonne qualité. Aujourd’hui cependant, la prise en compte de toutes les échelles physiques impliquées dans ce processus nécessite une avancée majeure en termes de modélisation, de méthodes numériques et de calcul haute performance (HPC). Ces trois aspects sont abordés dans cette thèse. Premièrement, des modèles de mélange, dérivés par le principe variationnel de Hamilton et le second principe de la thermodynamique sont étudiés. Ils sont alors enrichis afin de pouvoir décrire des pulsations des interfaces au niveau de la sous-échelle. Des comparaisons avec des données expérimentales dans un contexte de milieux à bulles permettent de vérifier la cohérence physique des modèles et de valider la méthodologie. Deuxièmement, une stratégie de discrétisation est développée, basée sur une séparation d’opérateur, permettant la résolution indépendante de la partie convective des systèmes à l’aide de solveurs de Riemann approchés standards et les termes sources à l’aide d’intégrateurs d’équations différentielles ordinaires. Ces différentes méthodes répondent aux particularités des systèmes diphasiques compressibles, ainsi qu’au choix de l’utilisation de maillages adaptatifs (AMR). Pour ces derniers, une stratégie spécifique est développée : il s’agit du choix de critères de raffinement et de la projection de la solution d’une grille à une autre (plus fine ou plus grossière). Enfin, l’utilisation de l’AMR dans un cadre HPC est rendue possible grâce à la bibliothèque AMR p4est, laquelle a montré une excellente scalabilité jusqu’à plusieurs milliers de coeurs de calcul. Un code applicatif, CanoP, a été développé et permet de simuler des écoulements fluides avec des méthodes de volumes finis sur des maillages AMR. CanoP pourra être utilisé pour des futures simulations d’atomisation liquide. / In an industrial context, reduced-order two-phase models are used in predictive simulations of the liquid fuel injection in combustion chambers and help designing more efficient and less polluting devices. The combustion quality strongly depends on the atomization process, starting from the separated phase flow at the exit of the nozzle down to the cloud of fuel droplets characterized by a disperse-phase flow. Today, simulating all the physical scales involved in this process requires a major breakthrough in terms of modeling, numerical methods and high performance computing (HPC). These three aspects are addressed in this thesis. First, we are interested in mixture models, derived through Hamilton’s variational principle and the second principle of thermodynamics. We enrich these models, so that they can describe sub-scale pulsations mechanisms. Comparisons with experimental data in a context of bubbly flows enables to assess the models and the methodology. Based on a geometrical study of the interface evolution, new tracks are then proposed for further enriching the mixture models using the same methodology. Second, we propose a numerical strategy based on finite volume methods composed of an operator splitting strategy, approximate Riemann solvers for the resolution of the convective part and specific ODE solvers for the source terms. These methods have been adapted so as to handle several difficulties related to two-phase flows, like the large acoustic impedance ratio, the stiffness of the source terms and low-Mach issues. Moreover, a cell-based Adaptive Mesh Refinement (AMR) strategy is considered. This involves to develop refinement criteria, the setting of the solution values on the new grids and to adapt the standard methods for regular structured grids to non-conforming grids. Finally, the scalability of this AMR tool relies on the p4est AMR library, that shows excellent scalability on several thousands cores. A code named CanoP has been developed and enables to solve fluid dynamics equations on AMR grids. We show that CanoP can be used for future simulations of the liquid atomization.

Cette thèse est une contribution au calcul des variations et à la théorie du contrôle optimal dans les cadres discret, plus généralement time scale, et fractionnaire. Ces deux domaines ont récemment connu un développement considérable dû pour l’un à son application en informatique et pour l’autre à son essor dans des problèmes physiques de diffusion anormale. Que ce soit dans le cadre time scale ou dans le cadre fractionnaire, nos objectifs sont de : a) développer un calcul des variations et étendre quelques résultats classiques (voir plus bas); b) établir un principe du maximum de Pontryagin (PMP en abrégé) pour des problèmes de contrôle optimal. Dans ce but, nous généralisons plusieurs méthodes variationnelles usuelles, allant du simple calcul des variations au principe variationnel d’Ekeland (couplé avec la technique des variations-aiguilles), en passant par l’étude d’invariances variationnelles par des groupes de transformations. Les démonstrations des PMPs nous amènent également à employer des théorèmes de point fixe et à prendre en considération la technique des multiplicateurs de Lagrange ou encore une méthode basée sur un théorème d’inversion locale conique. Ce manuscrit est donc composé de deux parties : la Partie 1 traite de problèmes variationnels posés sur time scale et la Partie 2 est consacrée à leurs pendants fractionnaires. Dans chacune de ces deux parties, nous suivons l’organisation suivante : 1. détermination de l’équation d’Euler-Lagrange caractérisant les points critiques d’une fonctionnelle Lagrangienne ; 2. énoncé d’un théorème de type Noether assurant l’existence d’une constante de mouvement pour les équations d’Euler-Lagrange admettant une symétrie ; 3. énoncé d’un théorème de type Tonelli assurant l’existence d’un minimiseur pour une fonctionnelle Lagrangienne et donc, par la même occasion, d’une solution pour l’équation d’Euler-Lagrange associée (uniquement en Partie 2) ; 4. énoncé d’un PMP (version forte en Partie 1, version faible en Partie 2) donnant une condition nécessaire pour les trajectoires qui sont solutions de problèmes de contrôle optimal généraux non-linéaires ; 5. détermination d’une condition de type Helmholtz caractérisant les équations provenant d’un calcul des variations (uniquement en Partie 1 et uniquement dans les cas purement continu et purement discret). Des théorèmes de type Cauchy-Lipschitz nécessaires à l’étude de problèmes de contrôle optimal sont démontrés en Annexe. / This dissertation deals with the mathematical fields called calculus of variations and optimal control theory. More precisely, we develop some aspects of these two domains in discrete, more generally time scale, and fractional frameworks. Indeed, these two settings have recently experience a significant development due to its applications in computing for the first one and to its emergence in physical contexts of anomalous diffusion for the second one. In both frameworks, our goals are: a) to develop a calculus of variations and extend some classical results (see below); b) to state a Pontryagin maximum principle (denoted in short PMP) for optimal control problems. Towards these purposes, we generalize several classical variational methods, including the Ekeland’s variational principle (combined with needle-like variations) as well as variational invariances via the action of groups of transformations. Furthermore, the investigations for PMPs lead us to use fixed point theorems and to consider the Lagrange multiplier technique and a method based on a conic implicit function theorem. This manuscript is made up of two parts : Part A deals with variational problems on time scale and Part B is devoted to their fractional analogues. In each of these parts, we follow (with minor differences) the following organization: 1. obtaining of an Euler-Lagrange equation characterizing the critical points of a Lagrangian functional; 2. statement of a Noether-type theorem ensuring the existence of a constant of motion for Euler-Lagrange equations admitting a symmetry;3. statement of a Tonelli-type theorem ensuring the existence of a minimizer for a Lagrangian functional and, consequently, of a solution for the corresponding Euler-Lagrange equation (only in Part B); 4. statement of a PMP (strong version in Part A and weak version in Part B) giving a necessary condition for the solutions of general nonlinear optimal control problems; 5. obtaining of a Helmholtz condition characterizing the equations deriving from a calculus of variations (only in Part A and only in the purely continuous and purely discrete cases). Some Picard-Lindelöf type theorems necessary for the analysis of optimal control problems are obtained in Appendices.

Au cours de la dernière décennie, l'apprentissage profond est devenu une composante majeure de l'intelligence artificielle, ayant mené à une série d'avancées capitales dans une variété de domaines. L'un des piliers de l'apprentissage profond est l'optimisation de fonction de coût par l'algorithme du gradient stochastique (SGD). Traditionnellement en apprentissage profond, les réseaux de neurones sont des fonctions mathématiques différentiables, et les gradients requis pour l'algorithme SGD sont calculés par rétropropagation. Cependant, les architectures informatiques sur lesquelles ces réseaux de neurones sont implémentés et entraînés souffrent d’inefficacités en vitesse et en énergie, dues à la séparation de la mémoire et des calculs dans ces architectures. Pour résoudre ces problèmes, le neuromorphique vise à implementer les réseaux de neurones dans des architectures qui fusionnent mémoire et calculs, imitant plus fidèlement le cerveau. Dans cette thèse, nous soutenons que pour construire efficacement des réseaux de neurones dans des architectures neuromorphiques, il est nécessaire de repenser les algorithmes pour les implémenter et les entraîner. Nous présentons un cadre mathématique alternative, compatible lui aussi avec l’algorithme SGD, qui permet de concevoir des réseaux de neurones dans des substrats qui exploitent mieux les lois de la physique. Notre cadre mathématique s'applique à une très large classe de modèles, à savoir les systèmes dont l'état ou la dynamique sont décrits par des équations variationnelles. La procédure pour calculer les gradients de la fonction de coût dans de tels systèmes (qui dans de nombreux cas pratiques ne nécessite que de l'information locale pour chaque paramètre) est appelée “equilibrium propagation” (EqProp). Comme beaucoup de systèmes en physique et en ingénierie peuvent être décrits par des principes variationnels, notre cadre mathématique peut potentiellement s'appliquer à une grande variété de systèmes physiques, dont les applications vont au delà du neuromorphique et touchent divers champs d'ingénierie. / In the last decade, deep learning has become a major component of artificial intelligence, leading to a series of breakthroughs across a wide variety of domains. The workhorse of deep learning is the optimization of loss functions by stochastic gradient descent (SGD). Traditionally in deep learning, neural networks are differentiable mathematical functions, and the loss gradients required for SGD are computed with the backpropagation algorithm. However, the computer architectures on which these neural networks are implemented and trained suffer from speed and energy inefficiency issues, due to the separation of memory and processing in these architectures. To solve these problems, the field of neuromorphic computing aims at implementing neural networks on hardware architectures that merge memory and processing, just like brains do. In this thesis, we argue that building large, fast and efficient neural networks on neuromorphic architectures also requires rethinking the algorithms to implement and train them. We present an alternative mathematical framework, also compatible with SGD, which offers the possibility to design neural networks in substrates that directly exploit the laws of physics. Our framework applies to a very broad class of models, namely those whose state or dynamics are described by variational equations. This includes physical systems whose equilibrium state minimizes an energy function, and physical systems whose trajectory minimizes an action functional (principle of least action). We present a simple procedure to compute the loss gradients in such systems, called equilibrium propagation (EqProp), which requires solely locally available information for each trainable parameter. Since many models in physics and engineering can be described by variational principles, our framework has the potential to be applied to a broad variety of physical systems, whose applications extend to various fields of engineering, beyond neuromorphic computing.