Simuler numériquement de façon précise les matériaux hyperélastiques en grandes déformations par la méthode des éléments finis est encore un problème difficile. Même avec l’aide d’un maillage très raffiné, la formulation lagrangienne totale peut mener à des problèmes de convergence en raison de la dégénérescence des éléments du maillage. L’estimation d’erreur et le remaillage adaptatif sur la géométrie initiale sont des outils utiles qui peuvent améliorer la précision des solutions (avec moins de degrés de liberté), mais ces outils ne sont malheureusement pas suffisants pour atteindre de très hauts niveaux de déformation. La formulation lagrangienne actualisée où la géométrie du domaine de calcul est périodiquement mise à jour est donc préférée, et ceci même si des étapes de remaillage sont encore nécessaires afin de contrôler la qualité des éléments et d’éviter les éléments trop déformés, voire renversés. Suite à une étape de remaillage, le transfert de données (réinterpolation des variables) de l’ancien maillage vers le nouveau maillage est nécessaire, ce qui est un problème délicat. Si les transferts ne sont pas effectués adéquatement, la précision peut être sérieusement affectée. Dans cette thèse, nous présentons une formulation lagrangienne actualisée où l’erreur sur la solution éléments finis est estimée et combinée au remaillage adaptatif afin de raffiner le maillage dans les régions où l’erreur estimée est grande, et au contraire, enlever des éléments là où l’erreur est considérée petite, le tout en contrôlant la qualité des éléments du maillage. En utilisant cette approche, de très hauts niveaux de déformation peuvent être atteints tout en préservant la précision de la solution. Une attention particulière est portée aux méthodes de transfert de données et une méthode de projection cubique très précise est introduite. La méthode de continuation de Moore-Penrose, qui est très efficace, est aussi utilisée pour piloter automatiquement l’algorithme complet qui inclut l’augmentation de la charge, l’estimation d’erreur, le remaillage adaptatif et le transfert de données. Une nouvelle approche pour l’implémentation de la méthode de continuation de Moore-Penrose, facilitant la détection des points de bifurcation, sera aussi présentée de même que plusieurs exemples. / Accurate simulations of large deformation hyperelastic materials by the finite element method is still a challenging problem. In a total Lagrangian formulation, even when using a very fine initial mesh, the simulation can break down due to severe mesh distortion. Error estimation and adaptive remeshing on the initial geometry are helpful and can provide more accurate solutions (with a smaller number of degrees of freedom) but are not sufficient to attain very large deformations. The updated Lagrangian formulation where the geometry is periodically updated is then preferred. Remeshing may still be necessary to control the quality of the elements and to avoid too severe mesh distortion. It then requires frequent data transfer (reinterpolation) from the old mesh to the new one and this is a very delicate issue. If these transfers are not done appropriately, accuracy can be severely affected. In this thesis, we present an updated Lagrangian formulation where the error on the finite element solution is estimated and adaptive remeshing is performed in order to concentrate the elements of the mesh where the error is large, to coarsen the mesh where the error is small and at the same time to control mesh distortion. In this way, we can reach high level of deformations while preserving the accuracy of the solution. Special attention is given to data transfer methods and a very accurate cubic Lagrange projection method is introduced. As large deformation problems frequently have highly nonlinear solutions, the Moore-Penrose continuation method is used to automatically pilot the complete algorithm including load increase, error estimation, adaptive remeshing and data transfer. A new approach for the implementation of the Moore-Penrose continuation method, facilitating the detection of bifurcation points, will also be presented as well as a number of examples.

Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures, 2018-2019 / Dans un article récent de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter, les auteurs ont montré que toute fonction dans un espace avec la propriété de Pick complète peut s’écrire comme un quotient de deux multiplicateurs. Ce résultat était un des deux points clé manquant dans la démonstration d’une version du théorème de Gleason–Kahane–Zelazko pour l’espace de Dirichlet. Le but de ce mémoire est de développer la théorie des espaces de Hilbert à noyau reproduisant et d’utiliser celle-ci afin d’étudier trois espaces importants de fonctions holomorphes sur D, soit l’espace de Hardy, l’espace de Dirichlet et l’espace de Bergman, et de bien comprendre le résultat de Aleman, Hartz, McCarthy et Richter. On est par la suite en mesure de démontrer le théorème GKZ pour l’espace de Dirichlet. iii

Pour l'algèbre de Banach complexe A ayant l'élément unité, on dénote par G(A) l'ensemble des éléments inversibles de A, et par G1(A) on dénote la composante qui contient l'unité. Le spectre de a ∈ A est l'ensemble de tous les nombres complexes λ tels que λ1 - a ∉ G(A), et le spectre exponentiel de a est l'ensemble de tous les nombres complexes tels que λ1 - a ∉ G1(A). Évidemment, pour chaque élément de l'algèbre, son spectre exponentiel contient le spectre habituel. Il est bien connu que le spectre habituel a une propriété que l'on nommera "propriété de commutativité". Cela signifie que, pour chaque choix des deux éléments a; b ∈ A, nous avons Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, où Sp est le spectre. Avons-nous la même propriété pour les spectres exponentiels? Cette question n'est toujours pas résolue. L'objectif de ce mémoire est d'étudier le spectre exponentiel, et plus particulièrement sa propriété de commutativité. Dans le premier chapitre, nous donnerons les définitions d'algèbre de Banach complexe, spectre et spectre exponentiel de ses éléments, et leurs propriétés de base. Aussi nous établirons des relations topologiques entre les spectres exponentiel et habituel. Dans le deuxième chapitre, nous définirons les fonctions holomorphes sur une algèbre de Banach, et discuterons du problème de la propriété de commutativité de spectre exponentiel, en établissant des résultats positifs connus. Dans le troisième et dernier chapitre, nous examinerons quelques exemples d'algèbres de Banach, décrivant les ensembles G(A) et G1(A), et discuterons de la propriété de commutativité pour ces algèbres. / For a complex Banach algebra A with unit element, we denote by G(A) the set of invertible elements of A, and by G1(A) we denote the component of G(A) which contains the unit. The spectrum of a ∈ A is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G(A), and the exponential spectrum of a is the set of all complex numbers λ such that λ1 - a ∉ G1(A). Of course for each element of the algebra its exponential spectrum contains the usual spectrum. It is well known that the usual spectrum has the so-called commutativity property. This means that, for any two elements a and b of A, we have Sp(ab) \ {0} = Sp(ba) \ {0}, where Sp denotes the spectrum. Does this property hold for exponential spectra? This is still an open question. The purpose of this memoir is to study the exponential spectrum, and particularly its commutativity property. In chapter one, we will give definitions of a complex Banach algebra, the spectrum and exponential spectrum of its elements, and their basic properties. Also we will establish topological relations between exponential and usual spectra. In chapter two, we will define holomorphic functions on a Banach algebra, and also discuss the commutativity property problem for the exponential spectrum, establishing some known positive results. In the last chapter, we will consider some examples of Banach algebras, describing the sets G(A) and G1(A), and discuss the commutativity property for these algebras.

Tout entier positif peut être représenté comme le produit de sa partie puissante et de sa partie libre de carrés. Comme nous le verrons dans ce mémoire, pour la plupart des entiers n, c'est leur partie libre de carrés sq(n), et non leur partie puissante pow(n), qui est la plus « dominante ». C'est ainsi que ∑n≤x sq(n) est de l'ordre de x² tout comme l'est ∑n≤xn-> alors que ∑n≤xPow(n) est beaucoup plus petite, soit de l'ordre de x³/². Notre objectif dans ce mémoire est, dans un premier temps, d'établir le comportement asymptotique de diverses sommations ∑n≤x pow(n)asq(n)b, où a et b sont des entiers donnés. Dans un deuxième temps, nous remarquerons qu'en ajoutant la restriction « n est y-friable » aux sommations ∑n≤x sq(n) et ∑n≤xpow(n), alors c'est l'ordre de grandeur de y (par rapport à x) qui déterminera laquelle des deux sommes est la plus dominante.

En finance, la gestion passive consiste à gérer un portefeuille d’actifs afin d’obtenir un rendement similaire à un indice de marché ciblé. La gestion active quant à elle vise à obtenir un rendement supérieur. Les coûts reliés à une gestion active et les risques associés sont plus élevés. Une compagnie d’assurance se pose la question si les gestionnaires d’actifs ont les capacités de battre l’indice de marché de façon statistiquement significative. Un modèle au coeur du type d’analyse permettant de répondre à cette question est le modèle d’évaluation des actifs financiers (MÉDAF). Dans ce mémoire, différents modèles de régression et deux approches ont été retenus pour évaluer la performance de ces gestionnaires dans le cadre du MÉDAF, soit une approche par critère et une approche par prévision. Nos résultats suggèrent que certains gestionnaires d’obligations ont les capacités de battre l’indice de marché de façon significative alors que ce n’est pas le cas pour les gestionnaires d’actions. / In finance, passive management is about managing assets to achieve a return similar to a targeted market index, whereas active management aims to achieve superior performance. The costs associated with active management and the associated risks are higher. An insurance company wants to know whether the asset managers have the ability to beat the market index, statistically speaking. The principal model to answer this question is the CAPM. In this thesis, different regression models and two approaches were used to evaluate the performance of these managers under the CAPM, an approach based on criteria and an approach based on forecasts. Our results suggest that some bond managers have the ability to beat the market index significantly, while this is not the case for stock managers.

Dans ce mémoire, il sera question de la modélisation de réserve en assurances générales. Puisqu’une base de données provenant de l’industrie a été utilisée dans le cadre de ce projet, une attention particulière a été portée à des considérations pratiques. Encore aujourd’hui, les modèles appliqués en pratique sont souvent des modèles simples qui sont utilisés à cause de leur commodité. Par contre, de plus en plus de données sont disponibles et la possibilité d’en tirer profit est de plus en plus grande grâce à l’augmentation de la capacité computationnelle. Les méthodes classiques de provisionnement délaissent donc le potentiel de perfectionnement que permet le détail des données. Les modèles dits « individuels », dont il sera question dans ce projet, cherchent à expliquer la dynamique de l’évolution des sommes payées par réclamation. Ces modèles tirent parti des informations détaillées de chaque paiement pour modéliser la réserve du portefeuille. Il a été décidé de reprendre l’idée des facteurs de développement utilisés par Pigeon et al. (2013) qui sont inspirés de ceux de la méthode de Chain-Ladder. On considérera toutefois une loi multivariée construite par copule pour modéliser conjointement les variables de ce vecteur de développement plutôt qu’une loi normale multivariée asymétrique telle qu’utilisée dans l’article précédemment mentionné. On s’est également intéressé à la dépendance présente entre certaines composantes caractérisant la réclamation, comme le délai de déclaration (en années), le délai de premier paiement (en années) et le nombre de paiements.

En statistique, les modèles linéaires généralisés (GLM) sont utilisés pour développer des modèles pouvants s'adapter à plusieurs types de données. Cependant, leur présence en actuariat et dans les compagnies d'assurance est plus récente. Dans'ce mémoire, on présente d'abord brièvement des méthodes traditionnelles de tarification et de crédibilité. Par la suite, on décrit de façon exhaustive les modèles linéaires généralisés, auxquels on ajoute des effets aléatoires pour qu'ils soient applicables aux contextes de données longitudinales qui sont répendus en actuariat. On termine en démontrant certains liens existant entre la théorie statistique et la pratique actuarielle et un exemple avec les données de la Société d'Assurance Automobile du Québec (SAAQ) est présenté.

Il arrive parfois lors de l'utilisation de la méthode multi-liste que les listes administratives ne couvrent pas exactement la même période. On appelle ce problème un problème de listes incomplètes. La façon la plus courante pour résoudre ce problème est de se servir exclusivement des parties des listes où il y a un chevauchement complet. Cette méthode entraîne beaucoup d'imprécision. Afin de tenir compte de toute l'information disponible, il est possible de modéliser conjointement les strates. Deux méthode de modélisation conjointe sont présentées. Premièrement, il est possible d'estimer les valeurs manquantes à l'aide le l'algorithme EM et ainsi travailler avec des listes complètes. Deuxièmement, un modèle log-linéaire avec effet de strate qui permet de tenir compte de toute l'information tout en demeurant beaucoup plus simple à utiliser. En mesurant l'efficacité de façon explicite, on voit que la modélisation conjointe est plus avantageuse que la modélisation strate par strate.

La régression linéaire est souvent utilisée en pratique afin de trouver une relation entre une variable réponse et une ou plusieurs variable(s) explicative(s). Une lacune de cette méthode est qu'elle est inappropriée si la variable réponse en est une de dénombrement. Dans un tel cas, la régression de Poisson doit être utilisée. Ce mémoire décrira de façon détaillée la régression de Poisson. Les propriétés de la loi de Poisson seront énoncées dans le but d'expliquer la régression de Poisson. Les équations d'estimation généralisées (GEE) seront ensuite introduites dans un éventuel but d'élargir la régression de Poisson dans les situations où les données sont corrélées (par exemple, les données longitudinales). Les modèles linéaires généralisés mixtes seront aussi considérés. Les modèles additifs généralisés seront ensuite brièvement expliqués et nous présenterons finalement une étude détaillée d'une base de données sur les trajectoires criminelles de jeunes contrevenants.

Dans une étude récente qui porte sur les employés des principales universités québécoises, Bédard et Léveillé remarquent que les employés universitaires présentent des caractéristiques démographiques bien différentes de celles de la population normale et que les professeurs vivent plus longtemps que les non professeurs et prennent leur retraite plus tard. Dans ce mémoire nous nous proposons de mettre à jour, en partie les tables de décroissance obtenues par Bédard et Léveillé (2005, 2008) et de vérifier leurs hypothèses. Dans un premier chapitre, nous retraçons les principales études liées au contexte démographique des régimes de retraite au Canada, au Québec et récemment dans la souspopulation des universités québécoises. Puis, nous présentons la problématique ainsi que les hypothèses de recherche. Un second chapitre aborde des notions actuarielles et statistiques liées aux tables de mortalité, de prise de retraite et de cessation d'emploi. La méthodologie est discutée dans un troisième chapitre. Nous exposons les données de notre étude ainsi que les méthodes que nous allons utiliser pour la construction de tables de décroissance et pour le lissage des taux de mortalité. Dans un quatrième chapitre, nous présentons les résultats de notre étude. Nous exposons tout d'abord les résultats globaux des trois universités participantes confondues pour vérifier nos hypothèses de recherche. Ensuite, nous entrons plus en détail et exposons les caractéristiques statistiques et actuarielles liées à la mortalité ainsi que leurs conséquences financières pour un régime de retraite. Ce mémoire se termine par une conclusion générale qui rappelle les grandes lignes de l'étude et présente les connaissances principales produites par ce travail.