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A constante π

SILVA, Messias Antônio da 14 August 2015 (has links)
Submitted by (lucia.rodrigues@ufrpe.br) on 2017-03-29T14:11:57Z No. of bitstreams: 1 Messias Antonio da Silva.pdf: 2977132 bytes, checksum: a15679b5cedd2062e4385683b350d5f3 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-29T14:11:57Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Messias Antonio da Silva.pdf: 2977132 bytes, checksum: a15679b5cedd2062e4385683b350d5f3 (MD5) Previous issue date: 2015-08-14 / The constant π will be presented in this work since its origin, in length and area problems particularly the problem of squaring a circle -, to the most recent researches on algorithms used for the calculus of its decimal expansion. Using the exhaustion method we calculate the length and area of a circle of radius r. We demonstrate the irrationality of π . We also generalize the constant for π convex, simple and closed curves. At last we suggest some educational activities related to the concepts in study. / A constante π será apresentada desde a sua origem, nos problemas de medidas de comprimento, área, em particular o problema da quadratura do círculo, até as pesquisas mais recentes sobre os algoritmos usados para o cálculo, de sua expansão decimal. Usando o método da exaustão calculamos o comprimento e a área de um círculo de raio r. Mostramos a irracionalidade de π . Apresentamos uma generalização de π para curvas fechadas, simples e convexas. Finalmente, sugerimos algumas atividades didáticas envolvendo os conceitos estudados.
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Os três problemas clássicos da Matemática grega

Freitas, Juliana Martins de [UNESP] 22 September 2014 (has links) (PDF)
Made available in DSpace on 2015-04-09T12:28:28Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2014-09-22Bitstream added on 2015-04-09T12:47:22Z : No. of bitstreams: 1 000809291.pdf: 454961 bytes, checksum: 3231045e46f133324a8aaaf81e96ab6f (MD5) / Os séculos V e IV a.C. constituíram um período extremamente ativo da matemática no mundo grego. Aproximadamente neste período, têm início o estudo dos três problemas clássicos da matemática grega, os quais iremos abordar como tema principal. Esses problemas ficaram conhecidos como duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo. Aparentemente de enunciados simples, são problemas geométricos que envolvem construções utilizando unicamente régua não graduada e compasso. O estudo destes três problemas geométricos desafiaram o poder inventivo de inúmeros matemáticos e intelectuais durante mais de dois mil anos, e somente no século XIX demonstrou-se a impossibilidade dessas construções utilizando-se apenas régua não graduada e compasso. Em suma, a concepção fundamental que este trabalho tem a proporcionar é que a magia da Matemática não se restringe apenas nas respostas dos problemas, antigos ou atuais, mas nas novas descobertas, estratégias e métodos empregados advindos dos caminhos que conduzem às resoluções. O objetivo deste trabalho é apresentar estes três problemas, a impossibilidade da resolução dos mesmos utilizando-se apenas régua não graduada e compasso, resoluções possíveis utilizando-se outros instrumentos e uma aplicação da duplicação do cubo em sala de aula, utilizando origami / The fifth and fourth centuries BC were an extremely active period of mathematics in the Greek world. About this period, begin the study of three classical problems of Greek mathematics, which we will address as the main theme. These problems were known as duplicating the cube, trisection of the angle and squaring the circle. Apparently simple statements are geometric problems involving constructions using only not graduate ruler and compass. The study of these three geometric problems challenged the inventive power of numerous mathematicians and intellectuals for over two thousand years, and only in the nineteenth century demonstrated the impossibility of such constructions using only not graduate ruler and compass. In short, the fundamental conception that this work has to provide is the magic of mathematics is not only restricted in the responses of former and current problems, but the new findings, strategies and methods employed arising out of the paths that lead to resolutions. The objective of this paper is to present these three problems, the impossibility of solving them using only not graduated ruler and compass, possible resolutions using other instruments and an application of the doubling cube in the classroom, using origami
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Os três problemas clássicos da Matemática grega /

Freitas, Juliana Martins de. January 2014 (has links)
Orientador: Clotilzio Moreira dos Santos / Banca: Marcio de Jesus Soares / Banca: Antonio Aparecido de Andrade / Resumo: Os séculos V e IV a.C. constituíram um período extremamente ativo da matemática no mundo grego. Aproximadamente neste período, têm início o estudo dos três problemas clássicos da matemática grega, os quais iremos abordar como tema principal. Esses problemas ficaram conhecidos como duplicação do cubo, trissecção do ângulo e quadratura do círculo. Aparentemente de enunciados simples, são problemas geométricos que envolvem construções utilizando unicamente régua não graduada e compasso. O estudo destes três problemas geométricos desafiaram o poder inventivo de inúmeros matemáticos e intelectuais durante mais de dois mil anos, e somente no século XIX demonstrou-se a impossibilidade dessas construções utilizando-se apenas régua não graduada e compasso. Em suma, a concepção fundamental que este trabalho tem a proporcionar é que a magia da Matemática não se restringe apenas nas respostas dos problemas, antigos ou atuais, mas nas novas descobertas, estratégias e métodos empregados advindos dos caminhos que conduzem às resoluções. O objetivo deste trabalho é apresentar estes três problemas, a impossibilidade da resolução dos mesmos utilizando-se apenas régua não graduada e compasso, resoluções possíveis utilizando-se outros instrumentos e uma aplicação da duplicação do cubo em sala de aula, utilizando origami / Abstract: The fifth and fourth centuries BC were an extremely active period of mathematics in the Greek world. About this period, begin the study of three classical problems of Greek mathematics, which we will address as the main theme. These problems were known as duplicating the cube, trisection of the angle and squaring the circle. Apparently simple statements are geometric problems involving constructions using only not graduate ruler and compass. The study of these three geometric problems challenged the inventive power of numerous mathematicians and intellectuals for over two thousand years, and only in the nineteenth century demonstrated the impossibility of such constructions using only not graduate ruler and compass. In short, the fundamental conception that this work has to provide is the magic of mathematics is not only restricted in the responses of former and current problems, but the new findings, strategies and methods employed arising out of the paths that lead to resolutions. The objective of this paper is to present these three problems, the impossibility of solving them using only not graduated ruler and compass, possible resolutions using other instruments and an application of the doubling cube in the classroom, using origami / Mestre
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Revisão histórica de soluções geométricas do problema da quadratura do círculo

Souza, Djenal dos Santos 26 August 2016 (has links)
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / At this study, we review some of the main geometric solutions in squaring the circle, having a free translation into Portuguese of some articles related to the squaring of the circle second Hobson[5] e analyzing their in uence throughout history in the evolution of mathematics. In this work we try to understand how the problem of squaring the circle is presented throughout history, began reviewing the main registers of the problem, from the century V a-C. Then we wrote a theoretical foundation of squaring the circle and the determination of , displaying ancient accounts of quadrature in dependence on the transcendence of this irrational number. Next, we write some contributions of ancient civilizations, which is cited the work of the Greeks, before and after Archimedes, as well as approximations determined by Indian, Chinese and Arabic. In the Renaissance period we nd mathematicians such as Leonardo Pisano, George Purbach and Cardinal Nicholas of Cusa, which they used the Archimedes method and obtained better results for approach . In the fteenth and sixteenth centuries, with advances in trigonometry introduced by Copernicus, Rheticus, Pitiscus and Johannes Kepler allowed the problem of squaring the circle had a better approach. In this period we reviewed the studies of Snellius and Huygens, the theorems of Huygens and Gregory's work. In the nal part of this work we selected some constructions of recti cation and squaring the circle. Among them stand out: the squaring the circle by Descartes and another by Ramanujan, both with intereszing results. / No seguinte estudo, revisamos algumas das principais soluções geométricas referentes a quadratura do círculo, apresentando uma tradução livre para o português de alguns artigos relacionados como a quadratura do círculo segundo Hobson[5] e analisando suas in uências ao longo da história na evolução da Matemática. Neste trabalho tentamos compreender como o problema da quadratura do círculo apresentou-se ao longo da histó- ria. Iniciamos revisando os principais registros do problema, desde do século V a.C. Em seguida, escrevemos uma fundamentação teórica da quadratura do círculo e da determina ção de , exibindo relatos antigos da quadratura em dependência com a transcendência deste número irracional. Na sequência, escrevemos algumas contribuições de civilizações da antiguidade, onde são citados os trabalhos dos gregos, antes e depois de Arquimedes, assim como aproximações determinadas pelos indianos, chineses e árabes. No período do Renascimento encontramos matemáticos como Leonardo Pisano, George Purbach e Cardeal Nicolau de Cusa, os quais usaram o método de Arquimedes e obtiveram resultados melhores para aproximação de . Nos séculos XV e XVI, os avanços na trigonometria introduzidos por Copérnico, Rheticus, Pitiscus e Johannes Kepler permitiram que o problema da quadratura do círculo tivesse uma melhor abordagem. Ainda neste período revisamos os estudos de Snellius e Huyghens, os Teoremas de Huyghens e a obra de Gregory. Na parte nal deste trabalho selecionamos algumas construções da reti cação e da quadratura do círculo . Entre elas destacarmos: as construções da quadratura do círculo feitas por Descartes e outra por Ramanujan, ambas com resultados interesantes.
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Modelos de regressão beta com efeitos aleatórios normais e não normais para dados longitudinais / Beta regression models with normal and not normal random effects for longitudinal data

Usuga Manco, Olga Cecilia 01 March 2013 (has links)
A classe de modelos de regressão beta tem sido estudada amplamente. Porém, para esta classe de modelos existem poucos trabalhos sobre a inclusão de efeitos aleatórios e a flexibilização da distribuição dos efeitos aleatórios, além de métodos de predição e de diagnóstico no ponto de vista dos efeitos aleatórios. Neste trabalho são propostos modelos de regressão beta com efeitos aleatórios normais e não normais para dados longitudinais. Os métodos de estimação de parâmetros e de predição dos efeitos aleatórios usados no trabalho são o método de máxima verossimilhança e o método do melhor preditor de Bayes empírico. Para aproximar a função de verossimilhança foi utilizada a quadratura de Gauss-Hermite. Métodos de seleção de modelos e análise de resíduos também foram propostos. Foi implementado o pacote BLMM no R para a realização de todos os procedimentos. O processo de estimação os parâmetros dos modelos e a distribuição empírica dos resíduos propostos foram analisados por meio de estudos de simulação. Foram consideradas várias distribuições para os efeitos aleatórios, valores para o número de indivíduos, número de observações por indivíduo e estruturas de variância-covariância para os efeitos aleatórios. Os resultados dos estudos de simulação mostraram que o processo de estimação obtém melhores resultados quando o número de indivíduos e o número de observações por indivíduo aumenta. Estes estudos também mostraram que o resíduo quantil aleatorizado segue uma distribuição aproximadamente normal. A metodologia apresentada é uma ferramenta completa para analisar dados longitudinais contínuos que estão restritos ao intervalo limitado (0; 1). / The class of beta regression models has been studied extensively. However, there are few studies on the inclusion of random effects and models with flexible random effects distributions besides prediction and diagnostic methods. In this work we proposed a beta regression models with normal and not normal random effects for longitudinal data. The maximum likelihood method and the empirical Bayes approach are used to obtain the estimates and the best prediction. Also, the Gauss-Hermite quadrature is used to approximate the likelihood function. Model selection methods and residual analysis were also proposed.We implemented a BLMM package in R to perform all procedures. The estimation procedure and the empirical distribution of residuals were analyzed through simulation studies considering differents random effects distributions, values for the number of individuals, number of observations per individual and covariance structures for the random effects. The results of simulation studies showed that the estimation procedure obtain better results when the number of individuals and the number of observations per individual increase. These studies also showed that the empirical distribution of the quantile randomized residual follows a normal distribution. The methodolgy presented is a tool for analyzing longitudinal data restricted to a interval (0; 1).
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As ideias envolvidas na gênese do teorema fundamental do cálculo, de Arquimedes a Newton e Leibniz

Santos, Walkíria Corrêa dos 13 May 2011 (has links)
Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Walkiria Correa dos Santos.pdf: 2202936 bytes, checksum: 0b47cf76b6ab7f2053830abc5b6950c9 (MD5) Previous issue date: 2011-05-13 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / This paper seeks to contribute to the study of the main ideas that involve the Fundamental Theorem of Calculus (FTC) from the Mathematics in Ancient Greece to contributions of Newton (1642 - 1727) and Leibniz (1646 - 1716), the seventeenth century. Given the scope of this theme, we focus our attention on the question of Incommensurability and in consequence, the definition of Proportion of Eudoxus (390 a.C. - 320 a.C.). Such a definition, results in the 'geometrization' of translating the mathematical ideas that culminated in the concepts of derivative and integral, in quadrature issues and calculation of volumes, through method of exhaustion and method Mechanic Archimedes (287 a.C. - 212 a.C.), and the method of tracing the tangent of Apollonius (262 a.C.) - 190 a.C.). The searches tangent to a curve and the problem of quadrature were a predecessor motive for the work of Newton (1642 - 1727) and Leibniz (1646 - 1716) could establish "Infinitesimal Calculus". The revival of mathematical activity in the fifteenth century, with the need for new routes of commerce and navigation, covering arithmetic, algebra and trigonometry and the sixteenth century, were of great importance, forming the basis of all algebraic development. In the seventeenth century, an important area has been established: the Analytic Geometry, which contributed greatly to the achievements of Newton (1642 - 1727), and Leibniz (1646 - 1716), by establishing, in definitive, that the process of integration and differentiation are inverse operations of one another. The result is now known as the Fundamental Theorem of Calculus. The product of the research conducted is a text, drafted with didactic concern, which aims to facilitate understanding of the interconnection of ideas that have contributed, through centuries, to the result that we now know as the Fundamental Theorem of calculus / Esse trabalho busca contribuir com o estudo das principais ideias que envolvem o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), desde a Matemática na Grécia Antiga até as contribuições de Newton (1642 - 1727) e Leibniz (1646 - 1716), no século XVII. Dada a abrangência de tal tema, focamos nossa atenção na questão da Incomensurabilidade e em decorrência, na definição de Proporção de Eudoxo (390 a.C. - 320 a.C.). Tal definição traz como consequência a ‗geometrização da matemática traduzindo as ideias que culminaram nos conceitos de derivada e integral, nas questões de quadratura e cálculo de volumes, por meio dos métodos de Exaustão e o método Mecânico de Arquimedes (287 a.C. - 212 a.C.), e no método do traçado de tangente de Apolônio (262 a.C. - 190 a.C.) . As buscas da tangente a uma curva e a questão da quadratura foram a mola precursora para que os trabalhos de Newton (1642 - 1727) e Leibniz (1646 - 1716) pudessem estabelecer o Cálculo Infinitesimal. O renascimento da atividade matemática no século XV, pela necessidade de novas rotas de comércios e navegação, abordando a aritmética, a álgebra e a trigonometria e o século XVI, foram de grande importância, constituindo a base de todo desenvolvimento algébrico. No século XVII, uma importante área foi estabelecida: a Geometria Analítica que muito contribuiu para os resultados alcançados por Newton (1642 - 1727) e Leibniz (1646 - 1716), estabelecendo, em definitivo, que o processo de integração e derivação são operações uma inversa da outra. O resultado é hoje conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo. O produto da pesquisa realizada é um texto, redigido com preocupação didática, que pretende facilitar o entendimento da interligação das ideias que contribuíram, através de séculos, para o resultado que hoje conhecemos como o Teorema Fundamental do Cálculo
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Modelos log-Birnbaum-Saunders mistos / Log-Birnbaum-Saunders mixed models

Lobos, Cristian Marcelo Villegas 06 October 2010 (has links)
O objetivo principal deste trabalho é introduzir os modelos log-Birnbaum-Saunders mistos (log-BS mistos) e estender os resultados para os modelos log-Birnbaum-Saunders t-Student mistos (log-BS-t mistos). Os modelos log-BS são bastante conhecidos desde o trabalho de Rieck e Nedelman (1991) e particularmente receberam uma grande atenção nos últimos 10 anos com vários trabalhos publicados em periódicos internacionais. Contudo, o enfoque desses trabalhos tem sido em modelos log-BS ou log-BS generalizados com efeitos fixos, não havendo muita atenção para modelos com efeitos aleatórios. Inicialmente, apresentamos no trabalho uma revisão das distribuições Birnbaum-Saunders e Birnbaum-Saunders generalizada (BSG) e em seguida discutimos os modelos log-BS e log-BS-t com efeitos fixos, para os quais revisamos alguns resultados de estimação e diagnóstico. Os modelos log-BS mistos são então apresentados precedidos de uma revisão dos métodos de quadratura de Gauss Hermite (QGH). Embora a estimação dos parâmetros nos modelos log-BS mistos seja efetuada através do procedimento Proc NLMIXED do SAS (Littell et al, 1996), aplicamos o método de quadratura não adaptativa a fim de obtermos aproximações para o logaritmo da função de verossimilhança do modelo log-BS de intercepto aleatório. Com essas aproximações derivamos as funções escore e a matriz hessiana, além das curvaturas normais de influência local (Cook, 1986) para alguns esquemas de perturbação usuais. Os mesmos procedimentos são aplicados para os modelos log-BS-t de intercepto aleatório. Discussões sobre a predição dos efeitos aleatórios, teste para o componente de variância dos modelos com intercepto aleatório e análises de resíduos são também apresentados. Finalmente, comparamos os ajustes de modelos log-BS e log-BS mistos a um conjunto de dados reais. Métodos de diagnóstico são utilizados na comparação dos modelos ajustados. / The aim of this work is to introduce the log-Birnbaum-Saunders mixed models (log-BS mixed models) and to extend the results to log-Birnbaum-Saunders Student-t mixed models (log-BS-t mixed models). The log-BS models are well-known since the work by Rieck and Nedelman (1991) and particularly have received great attention in the last 10 years with various published papers in international journals. However, the emphasis given in such works has been in fixed-effects models with few attention given to random-effects models. Firstly, we present in this work a review on Birnbaum-Saunders and generalized Birnbaum-Saunders distributions and so we discuss log-BS and log-BS-t fixed-effects models for which some results on estimation and diagnostic are presented. Then, we introduce the log-BS mixed models preceded by a review on Gauss-Hermite quadrature. Although the parameter estimation of the marginal log-BS and log-BS-t mixed models are performed in the procedure NLMIXED of SAS (Littell et al., 1996), we apply the quadrature methods in order to obtain approximations for the likelihood function of the log-BS and log-BS-t random intercept models. These approximations are used to derive the respective score functions, observed information matrices as well as the normal curvature of local influence (Cook, 1986) under some usual perturbation schemes. Discussions on the prediction of the random effects, variance component tests and residual analysis are also given. Finally, we compare the fits of log-BS and log-BS-t mixed models to a real data set. Diagnostic methods are used in the comparisons.
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Modelos de regressão beta com efeitos aleatórios normais e não normais para dados longitudinais / Beta regression models with normal and not normal random effects for longitudinal data

Olga Cecilia Usuga Manco 01 March 2013 (has links)
A classe de modelos de regressão beta tem sido estudada amplamente. Porém, para esta classe de modelos existem poucos trabalhos sobre a inclusão de efeitos aleatórios e a flexibilização da distribuição dos efeitos aleatórios, além de métodos de predição e de diagnóstico no ponto de vista dos efeitos aleatórios. Neste trabalho são propostos modelos de regressão beta com efeitos aleatórios normais e não normais para dados longitudinais. Os métodos de estimação de parâmetros e de predição dos efeitos aleatórios usados no trabalho são o método de máxima verossimilhança e o método do melhor preditor de Bayes empírico. Para aproximar a função de verossimilhança foi utilizada a quadratura de Gauss-Hermite. Métodos de seleção de modelos e análise de resíduos também foram propostos. Foi implementado o pacote BLMM no R para a realização de todos os procedimentos. O processo de estimação os parâmetros dos modelos e a distribuição empírica dos resíduos propostos foram analisados por meio de estudos de simulação. Foram consideradas várias distribuições para os efeitos aleatórios, valores para o número de indivíduos, número de observações por indivíduo e estruturas de variância-covariância para os efeitos aleatórios. Os resultados dos estudos de simulação mostraram que o processo de estimação obtém melhores resultados quando o número de indivíduos e o número de observações por indivíduo aumenta. Estes estudos também mostraram que o resíduo quantil aleatorizado segue uma distribuição aproximadamente normal. A metodologia apresentada é uma ferramenta completa para analisar dados longitudinais contínuos que estão restritos ao intervalo limitado (0; 1). / The class of beta regression models has been studied extensively. However, there are few studies on the inclusion of random effects and models with flexible random effects distributions besides prediction and diagnostic methods. In this work we proposed a beta regression models with normal and not normal random effects for longitudinal data. The maximum likelihood method and the empirical Bayes approach are used to obtain the estimates and the best prediction. Also, the Gauss-Hermite quadrature is used to approximate the likelihood function. Model selection methods and residual analysis were also proposed.We implemented a BLMM package in R to perform all procedures. The estimation procedure and the empirical distribution of residuals were analyzed through simulation studies considering differents random effects distributions, values for the number of individuals, number of observations per individual and covariance structures for the random effects. The results of simulation studies showed that the estimation procedure obtain better results when the number of individuals and the number of observations per individual increase. These studies also showed that the empirical distribution of the quantile randomized residual follows a normal distribution. The methodolgy presented is a tool for analyzing longitudinal data restricted to a interval (0; 1).
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A quadratura do círculo e a gênese do número (pi)

Vendemiatti, Aloísio Daniel 24 April 2009 (has links)
Made available in DSpace on 2016-04-27T16:58:52Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Aloisio Daniel Vendeniatti.pdf: 1272014 bytes, checksum: 1262d89ac2880970c73eca396d22ca43 (MD5) Previous issue date: 2009-04-24 / Secretaria da Educação do Estado de São Paulo / The goal of this essay is to show aspects of genesis of number π, inherent to the question of squaring the circle, which consists in constructing a square which has the same area as a given circle. This problem does not refer to a practical application of mathematics, but to the theoretic question that involves the distinction between a valid approach and thinking accuracy. The first attempt to squaring the circle dates back in the fifth century before Christ. After that, it was established that this construction should be carried through using a finite number of times, also the non-graduated ruler and the drawing compass itself. In the constructions with ruler and drawing compass we are referring to the first three postulates of Euclides Elements: 1) It´s possible to join two points by a straight line, 2) to expand a straight line until the necessary point, and 3) to draw a circumference around any point and with any radius. These postulates are the base of these constructions, sometimes called euclidean´s constructions. A real number α is constructible, if feasible building a segment of legth α with ruler and drawing compass, since a segment is taken as a unity. We show the idea of translating the geometrical problem of constructions made with ruler and drawing compass to the algebraic language and this allowed us to solve the problem of squaring the circle. We exposed that all constructible numbers are algebraic, over the rational numbers, establishing the impossibility of squaring the circle, with Lindemann´s demonstration, in 1882, of the number π transcendence. This problem has been fascinating people for more than twenty centuries. We tried to supply all mathematical tools needed for this demonstration. Demonstrations play a fundamental role in the development of this essay, which purpose is not only to contribute to the math teacher formation, but also to detail the resolution of the problem of squaring the circle / O objetivo deste trabalho é apresentar aspectos da gênese do número π, inerentes à questão da quadratura do círculo, a qual consiste em construir um quadrado de área igual à área de um círculo de raio r dado. Esse problema não diz respeito a uma aplicação prática da matemática, mas sim a uma questão teórica que envolve uma distinção entre uma boa aproximação e a exatidão do pensamento. O registro da primeira tentativa de se quadrar o círculo remonta a Anaxágoras, no século V a.C. Posteriormente, ficou estabelecido que essa construção deveria ser realizada utilizando-se, um número finito de vezes, a régua não graduada e o compasso. Nas construções com régua e compasso, estamos nos referindo aos três primeiros postulados dos Elementos de Euclides: 1) é possível unir dois pontos por uma reta, 2) prolongar uma linha reta até onde seja necessário e 3) traçar uma circunferência em torno de qualquer ponto e com qualquer raio. Esses postulados são a base dessas construções, muitas vezes chamadas de construções euclidianas. Um número real α é construtível, se for possível "construir com régua e compasso um segmento de comprimento igual a α, a partir de um segmento tomado como unidade". Apresentamos a idéia de traduzir o problema geométrico das construções com régua e compasso para a linguagem algébrica, e isso permitiu solucionar o problema da quadratura do círculo. Expomos que todo número construtível é algébrico sobre os racionais, estabelecendo a impossibilidade de quadrar o círculo com a demonstração de Lindemann, em 1882, da transcendência do número π. Vemos que esse problema fascinou estudiosos por mais de 20 séculos. Procuramos fornecer todas as ferramentas matemáticas necessárias para essa demonstração. As demonstrações desempenham um papel fundamental no desenvolvimento deste trabalho, que tem por finalidade não só contribuir para a formação do professor de matemática, mas também detalhar a resolução do problema da quadratura do círculo
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A simulação de variáveis aleatórias e os métodos Monte Carlo e Quase-Monte Carlo na quadratura multidimensional

Dornelles Filho, Adalberto Ayjara January 2000 (has links)
Monte Carlo é o nome dado de forma geral às técnicas de resolução de problemas numéricos através do uso intensivo de números aleatórios. No trato computacional, esses números não são, de fato, aleatórios, mas pseudo-aleatórios, pois são gerados por algoritmos determinísticos que, no entanto, “parecem” aleatórios, isto é, são aprovados em testes de aleatoriedade. Variáveis aleatórias com quaisquer distribuições de probabilidade são então simuladas a partir de números pseudo-aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo (0;1) através de certas transformações. Entre as diversas aplicações do método Monte Carlo destaca-se a quadratura numérica multidimensional, que consiste essencialmente em estimar o valor médio da função integranda através do valor médio da função em pontos escolhidos de modo aleatório no interior da região de integração. Técnicas especiais de amostragem permitem a redução da variância e, em conseqüência, do erro nos valores estimados. O erro de convergência do método é, no pior caso, de ordem O(n-1/2). No entanto o uso de pontos amostrais quase-aleatórios pode levar a convergência mais rápida de ordem O(n-1). O presente trabalho descreve uma grande quantidade de algoritmos para obtenção de variáveis pseudo-aleatórias e quasealeatórias ; para a transformação de diversas distribuições de probabilidade e para quadratura multidimensional. / Monte Carlo is the name usually given to numerical problems resolution techniques by intensive use of random numbers. In computer procedures, this numbers are not, in fact, random but pseudo-random because they are generated by deterministic algorithms, but “look like” random, that is, they pass on randomness tests. Such random variables with any probability distribution are simulated on pseudo-random numbers with uniform distribution in (0;1) by certain transformations. Among a diversity of Monte Carlo methods applications, a special one is the multidimensional numeric quadrature which consists essentially of estimating tha integrand function mean value by the mean that function at random points in the integration region. Sampling techniques allow a variance reduction and hence an estimated error reduction. The error convergence order is, in the worst case, O(n-1/2). However quasi-random sampling points could bring a faster convergence order of O(n-1). The present work describes a wide quantity of algorithms for producing pseudo-random and quasi-random variables; for transforming a diversity of probability distributions, and for multidimensional quadrature.

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