Differentialekvationer med minne är ett redskap som ofta används inom modellering i olika områden. Vid lösning av differentialekvationer använder man sig ofta av integrering, mer specifikt kan man använda sig av Riemann-Stieltjes integral. Det här arbetet kommer bidra till en förståelse för koppligen mellan differentialekvationer med minne och Riemann-Stieltjes integral, samt olika metoder för att lösa problem där dessa involveras. Detta kommer vi göra genom att presentera relevant teori, beräkna olika exempel och avslutningsvis visa att det är möjligt att med hjälp av en differentialekvation med minne som har en diskret integralkärna kunna approximera lösningen till en differentialekvation med minne som har en kontinuerlig integralkärna.

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Riemann problems are of prime importance in computational fluid dynamics simulations using finite elements or finite volumes discretizations. In some applications, billions of Riemann problems might need to be solved in a single simulation, therefore it is important to have reliable and computationally efficient algorithms to do so. Given the nonlinearity of the flux function in most systems considered in practice, to obtain an exact solution for the Riemann problem explicitly is often not possible, and iterative solvers are required. However, because of issues found with existing iterative solvers like lack of convergence and high computational cost, their use is avoided and approximate solvers are preferred. In this thesis work, motivated by the advances in computer hardware and algorithms in the last years, we revisit the possibility of using iterative solvers to compute the exact solution for Riemann problems. In particular, we focus on the development, implementation, and performance comparison of iterative Riemann solvers for the shallow water and Euler equations. In a one-dimensional homogeneous framework for these systems, we consider several initial guesses and iterative methods for the computation of the Riemann solution. We find that efficient and reliable iterative solvers can be obtained by using recent estimates on the Riemann solution to modify and combine well-known methods. Finally, we consider the application of these solvers in finite volume simulations using the wave propagation algorithms implemented in Clawpack.

En géométrie spectrale, on s’intéresse aux liens entre le spectre d’une variété riemannienne et sa géométrie. On recherche notamment des bornes supérieures et inférieures pour les va-leurs propres qui font intervenir des quantités géométriques, comme l’aire et le périmètre. On se questionne aussi sur l’isospectralité : Quelles sont les variétés riemanniennes non iso-métriques qui possèdent le même spectre ? Au cours des dernières années, le problème de Steklov, problème introduit au tout début du 20e siècle en mécanique des fluides, a suscité l’intérêt de plusieurs mathématiciens. Le but de ce mémoire est de donner une banque de variétés riemanniennes Steklov-isospectrales. On y présente aussi une preuve d’une borne supérieure pour la première valeur propre de Steklov pour un domaine borné du plan, sans hypothèse sur sa connexité. / In spectral geometry, we are interested in the links between the spectrum of a Riemannian manifold and its geometry. We are looking for geometric upper and lower bounds for the eigenvalues. These bounds are geometric, for they involve geometric quantities such as area and perimeter. Isospectrality is also a subject of interest in spectral geometry: What are thenon isometric Riemannian manifolds that share the same spectrum? In the last few years, the Steklov problem, introduced in the beginning of the 20th century in fluid mechanics, raised the interest of many mathematicians. In this memoir, we present a bank of Steklov-isospectral Riemannian manifolds. We also give a proof of an upper bound for the first Steklov eigenvalue for a bounded domain of the plane without any connectedness assumption.

Le but de ce mémoire est de présenter une généralisation des algorithmes Zipper et Géodésique, dans les cas de calculs d'applications conformes entre deux domaines doublement connexes. Nous aurons donc besoin dans un premier temps, de connaître les domaines doublement connexes et de classifier les domaines multiplement connexes de référence, ainsi que les applications analytiques permettant de s'y ramener. On définira brièvement, par la suite, les notions de capacité et de capacité hyperbolique. Ceci nous permettra d'énoncer un théorème de représentation conforme en connectivité 2. Nous travaillerons ensuite sur les revêtements universels des domaines considérés, de sorte à pouvoir récupérer les algorithmes existants dans le cas simplement connexe, et principalement, les algorithmes Zipper et Géodésique.

Cette thèse porte sur certaines familles à un paramètre de surfaces de Riemann compactes de genre 2 définies par des surfaces de translation. Les familles que nous considérons constituent des géodésiques de Teichmüller dans l'espace des modules.Nous nous attachons en particulier à décrire ces surfaces par leurs matrices des périodes et par les équations des courbes algébriques associées.Nous étudions notamment les automorphismes admissibles par les surfaces de certaines de ces familles.Le principal résultat consiste en une caractérisation explicite des matrices des périodes des courbes réelles à trois composantes réelles appartenant à la famille obtenue par projection dans l'espace des modules de la SL(2,R)-orbite de la surface de translation en «L» pavée par trois carreaux.Nous montrons enfin, grâce à une interprétation en termes de transformations de Schwarz-Christoffel, comment calculer numériquement une équation de la courbe algébrique définie par une surface de translation en «L». / In this thesis we study some one parameter families of compact Riemann surfaces of genus 2 defined by translation surfaces.The families we consider are Teichmüller geodesics in the moduli space.We mainly describe these surfaces by means of period matrices and equations of the associated algebraic curves.We study admissible automorphisms for surfaces in some of those families.The main result is an explicit characterisation of period matrices of real curves with three real components belonging to the family obtained by projecting the SL(2,R)-orbit of the «L»-shaped translation surface tiled by three squares into the moduli space.We finally show, using an interpretation in terms of Schwarz-Christoffel transformations, how to numerically compute an equation of the algebraic curve defined by a «L»-shaped translation surface.

Ces travaux portent sur la modélisation et la simulation numérique de la dispersion de matériaux nocifs (pulvérisations liquides ou gazeuses) en milieu urbain ou naturel (attentat ou explosion accidentelle survenant en zone peuplée, fuites de produits toxiques gazeux ou liquides, éclatement de réservoir..). Afin de prédire ces risques un outils de simulation tridimensionnel a été développé. Celui-ci est basé sur un modèle de milieu hétérogène afin de traiter des phénomènes dont la durée et les distances associées peuvent être très grandes. La topographie des milieux étudiées est prise en compte grâce à des données numériques d'´elévation ainsi que les conditions météo permettant l'utilisation de profils de température et de vent complexes. Les transferts de chaleur et de masse sont considérés, notamment au niveau des obstacles. Un schéma numérique d'ordre élevé en temps et en espace est utilisé pour calculer les concentrations massiques de polluants. Par ailleurs, un modèle d'écoulement gaz-particule a été développé et implémenté dans le code de calcul. L'instabilité d'une couche de fluide soumise à un important gradient de pression est également étudiée, ceci afin de mieux comprendre et de caractériser les conditions initiales à utiliser pour ce type d'écoulement, impliquant des couches de particules. / This work deals with the modeling and the numerical simulation of the dispersion of toxic cloud of dropplets or gas in uneven geometry such as urban environment, industrial plants and hilly environment. Examples of phenomena under study are the dispersion of chemical products from damaged vessels, gas diffusion in an urban environment under explosion conditions, shock wave propagation in urban environment etc. A 3D simulation code has been developed in this aim. To simplify the consideration of complex geometries, a heterogeneous discrete formulation has been developed. When dealing with large scale domains, such as hilly natural environment, the topography is reconstructed with the help of numerical elevation data. Meteorological conditions are also considered, concerning temperature and wind velocity profiles. Heat and mass transfers on subscale objects, such as buildings are studied. A high order numerical scheme in space and time is used to compute mass concentration of pollutant. A two-phase model for dilute gas-particles flow has been developed and implemented in the 3D simulation code. The instability of a fluid layer appearing under high pressure gradient is also studied. This analysis allows us a better understanding of initial conditions for similar problems involving particles layer.

Ce travail traite des méthodes de calcul numérique pour les simulations hydrodynamiques appliquées principalement sur des produits développés par ANDRITZ HYDRO. Il s’agit ici de mettre en place des schémas d’ordre élevé pour des simulations CFD en utilisant le code de calcul ASPHODEL développé et utilisé par ANDRITZ HYDRO. Les principales motivations sont l’augmentation de la fiabilité des résultats de calculs numériques avec un coût de calcul raisonnable. Cette fiabilité s’exprime à travers l’augmentation de la précision et de la robustesse des schémas numériques. Le code de calcul ASPHODEL est basé sur la méthode sans maillage SPH-ALE. Mélange entre les volumes finis et la méthode SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), la méthode SPH-ALE emploie un ensemble de points appelés particules servant à la discrétisation du domaine fluide. Elle permet en particulier de par son caractère sans maillage, un suivi des surfaces libres sans effort de calcul supplémentaire. Cet aspect est véritablement attrayant pour bon nombre d’applications industrielles notamment la simulation des écoulements à surface libre se produisant dans une turbine Pelton, mais également le remplissage d’une turbine Francis. Cependant, le bémol à cette méthode est son manque de précision spatiale. En effet les points de calcul étant mobiles, les opérateurs spatiaux doivent être en mesure de conserver leur précision et leur robustesse au cours du temps. La qualité des résultats en est du coup impactée, en particulier le champ de pression souvent excessivement bruité. La montée en ordre et l’amélioration de la consistance des opérateurs pour un vaste panel de configurations géométriques sont donc les enjeux de ce travail. En utilisant des outils inspirés par les volumes finis non-structurés, il est possible d’améliorer les opérateurs spatiaux. En effet, la montée en ordre ou p-raffinement peut notamment se faire avec des reconstructions d’ordres élevés pour évaluer les états aux interfaces des problèmes de Riemann. La sommation des flux numériques résolus par un solveur de Riemann est ensuite retravaillée pour obtenir un schéma numérique d’ordre global cohérent. Le même soucis de cohérence avec les schémas en temps doit d’ailleurs être pensé. Le gain de précision apporté par les schémas numériques d’ordre élevé est comparé avec un raffinement spatial, c’est à dire une augmentation du nombre des particules de taille plus petite, aussi appelé h-raffinement. La méthode SPH-ALE améliorée est ensuite testée sur des cas représentatifs des applications visées. En conclusion, les développements effectués dans cette étude ont été guidés par l’application en turbine Pelton principalement mais il va de soi qu’ils sont applicables à des écoulements sans surface libre dans les turbines Francis par exemple. Ce travail montre les possibilités d’une méthode sans maillage pour des cas d’écoulements complexes autour de géométrie tournantes. / This work deals with numerical methods for hydrodynamic testing applied mainly on products developed by ANDRITZ HYDRO. This is to put in place high order schemes for CFD simulations using the ASPHODEL calculation code developed and used by ANDRITZ HYDRO. The main reasons are the increased reliability of the results of numerical calculations with a reasonable computational cost. This reliability is expressed through increasing the accuracy and robustness of numerical schemes. The ASPHODEL computer code is based on the meshfree method SPH-ALE. Mix between finite volume method and SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics), the SPH-ALE method uses a set of points called particles serving as the fluid domain discretization. It allows track free surfaces without additional computational effort. This is truly attractive for many industrial applications including the simulation of free surface flows occurring in a Pelton turbine, but also filling a Francis turbine. However, the downside of this method is its lack of spatial accuracy. Indeed calculation points are mobile, space operators must be able to keep their accuracy and robustness over time. The quality of results is impacted especially the pressure field is often excessively noisy. The rise in order and improving the consistency of the operators for a wide range of geometric configurations are the challenges of this work. Using tools inspired by the unstructured finite volume, it is possible to improve the spatial operators. Indeed, the increasing order or p-refinement particular can be done with reconstructions of high order to assess the conditions at the interfaces of Riemann problems. The summation of discret fluxes solved by Riemann solver is then reworked to obtain a coherent global order scheme. The same concern for consistency with temporal schemes should also be considered. The precision gain provided by numerical schemes of higher orders is compared with a spatial refinement ie an increase in the number of smaller particles ; also called h -refinement . Improved SPH -ALE method is then tested on representative cases of intended applications. In conclusion, the developments made in this study were guided in accordance mainly with the Pelton turbine but it goes without saying that they are applicable to non- free surface flows in Francis turbines for example. This work shows the possibilities of a free mesh method for cases of complex flow around rotating geometry.

Nesta dissertação, definimos a geometria hiperbólica usando o disco de Poincaré (D2) e o semiplano superior (H2) com as respectivas propriedades. Além disso, apresentamos algumas funções e relações importantes da geometria hiperbólica; conceituamos as superfícies de Riemann, analisando suas propriedades e representações; estudamos o espaço de Teichmüller com a devida decomposição em calças. Esses temas são ferramentas necessárias para atingir o objetivo da dissertação: definir as coordenadas de Fenchel Nielsen como um sistema de coordenadas locais do espaço de Teichmüller Tg. / In this dissertation, we defined the hyperbolic geometry using the Poincares disk (D2) and upper half-plane (H2) with its properties. Besides, we presented some functions and important relations of the hyperbolic geometry; we conceptualize the Riemann surfaces, analyzing its properties and representations; we studied the Teichmüller Space with proper decomposition pants. These themes are essential tools to reach the goal of the work: The definition of the Fenchel Nielsen coordenates as local coordinate system of the Teichmüller space Tg.