Esta tesis presenta una visión global y prácticamente autocontenida de los avances que se llevaron a cabo en la décadas de los años 1960 y 1970 con respecto al estudio de las estructuras de contacto en variedades diferenciables. Nuestro objetivo principal sería exhibir explícitamente estructuras métricas de contacto en las denominadas variedades de Brieskorn, que surgen como el conjunto de ceros de los llamados polinomios de Brieskorn-Pham intersecado con la esfera unitaria. Para ello comenzaremos desarrollando a grandes rasgos los conceptos relacionados a la geometría simpléctica, la geometría compleja y las variedades de Kähler. Luego realizaremos un esbozo de prueba del teorema de Boothby-Wang, que constituye una generalización de la fibración de Hopf. A continuación presentaremos la construcción de estructuras métricas de contacto, en particular, las denominadas estructuras de Sasaki. El objetivo de ello es obtener estructuras de Sasaki en las variedades de Brieskorn, las cuales exhibiremos en coordenadas a fin de obtener un procedimiento para construirlas en una variedad de Brieskorn arbitraria. Por último, relacionaremos lo estudiado con la fibración de Boothby-Wang para probar que las estructuras construidas pueden ser proyectadas como hipersuperficies en el espacio proyectivo complejo. Debido a la naturaleza de las nociones presentadas, se espera que el lector tenga un conocimiento elemental de la geometría riemanniana. / Tesis

El propósito de este trabajo es discutir la aplicación de la teoría de las formas armónicas con valores en un fibrado vectorial y su relación con las inmersiones en una variedad riemanniana. Sea M una variedad riemanniana y E un fibrado vectorial riemanniano sobre M, entonces podemos definir de manera natural el operador laplaciano en las formas diferenciales con valores en E y expresaremos el producto escalar ⟨θ, θ⟩, donde θ es una p-forma con valores en E, en términos de la curvatura y la diferencial covariante. Además si M es compacta, obtendremos, mediante integración sobre M una formula análoga a las formas diferenciales ordinarias de Bochner’s. Sea f una inmersión de M en una variedad riemanniana M. Consideramos la segunda forma fundamental α de (M, f) como una 1-forma con valores en Hom (T (M), N(M)). Asumiendo que M′ es de curvatura seccional constante y la curvatura media normal de (M, f ) es paralela, probaremos que la segunda forma fundamental α es armónica, es decir α = 0. En particular, si la inmersión f es una inmersión minimal, entonces α es armónica. Por el contrario, si M es compacta y α es armónica, entonces la curvatura media normal es paralela. / Tesis

acase@tulane.edu / Modular-type transformation formulas are the identities that are invariant under the transformation α → 1/α, and they can be represented as F (α) = F (β) where α β = 1. We derive a new transformation formula of the form F (α, z, w) = F (β, z, iw) that is a one-variable generalization of the well-known Ramanujan-Guinand identity of the form F (α, z) = F (β, z) and a two-variable generalization of Koshliakov’s formula of the form F (α) = F (β) where α β = 1. The formula is generated by first finding an integral J that is comprised of an invariance function Z and evaluating the integral to give F (α, z, w) mentioned above. The modified Bessel function K z (x) appearing in Ramanujan-Guinand identity is generalized to a new function, denoted as K z,w (x), that yields a pair of functions reciprocal in the Koshliakov kernel, which in turn yields the invariance function Z and hence the integral J and the new formula. The special function K z,w (x), first defined as the inverse Mellin transform of a product of two gamma functions and two confluent hypergeometric functions, is shown to exhibit a rich theory as evidenced by a number of integral and series representations as well as a differential-difference equation. The second topic of the thesis is 2-adic valuations of integer sequences associated with quadratic polynomials of the form x 2 +a. The sequence {n 2 +a : n ∈ Z} contains numbers divisible by any power of 2 if and only if a is of the form 4 m (8l+7). Applying this result to the sequences derived from the sums of four or fewer squares when one or more of the squares are kept constant leads to interesting results, that also points to an inherent connection with the functions r k (n) that count the number of ways to represent n as sums of k integer squares. Another class of sequences studied is the shifted sequences of the polygonal numbers given by the quadratic formula, for which the most common examples are the triangular numbers and the squares. / 1 / Aashita Kesarwani

Cette thèse est consacrée à l'étude des valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs. Quatre résultats sont démontrés : - Soit $a$ un nombre rationnel, $\vert a \vert <1$. Le Q-espace vectoriel engendré par $1, Li_1(a), Li_2(a),...$ est de dimension infinie. - Le Q-espace vectoriel engendré par $1, \zeta(3), \zeta(5), \zeta(7),...$ est de dimension infinie. - Il existe un entier impair $j$, $5\le j \le 169$ tel que $1, \zeta(3), \zeta(j)$ sont linéairement indépendants sur Q. - Au moins un des neuf nombres $\zeta(5), \zeta(7),..., \zeta(21)$ est irrationnel.

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<p>A closed Riemann surface which can be realized as a 3-sheeted covering of the Riemann sphere is called trigonal, and such a covering is called a trigonal morphism. Accola showed that the trigonal morphism is unique for Riemann surfaces of genus g ≥ 5. This thesis will characterize the Riemann surfaces of genus 4 wiht non-unique trigonal morphism. We will describe the structure of the space of cyclic trigonal Riemann surfaces of genus 4.</p> / Report code: LiU-Tek-Lic-2004:54. The electronic version of the printed licentiate thesis is a corrected version where errors in the calculations have been corrected. See Errata below for a list of corrections.

The Cauchy–Riemann equations admit a bilinear multiplication of solutions, since the product of two holomorphic functions is again holomorphic. This multiplication plays the role of a nonlinear superposition principle for solutions, allowing for construction of new solutions from already known ones, and it leads to the exceptional property of the Cauchy–Riemann equations that all solutions can locally be built from power series of a single solution z = x + iy ∈ C. In this thesis we have found a differential algebraic characterization of linear first order systems of partial differential equations admitting a bilinear ∗-multiplication of solutions, and we have determined large new classes of systems having this property. Among them are the already known quasi-Cauchy–Riemann equations, characterizing integrable Newton equations, and the gradient equations ∇f = M∇g with constant matrices M. A systematic description of linear systems of PDEs with variable coefficients have been given for systems with few independent and few dependent variables. An important property of the ∗-multiplication is that infinite families of solutions can be constructed algebraically as power series of known solutions. For the equation ∇f = M∇g it has been proved that the general solution, found by Jodeit and Olver, can be locally represented as convergent power series of a single simple solution similarly as for solutions of the Cauchy–Riemann equations.

Le thème principal de cette thèse est l'étude des métriques presque-kählériennes extrémales compatibles sur une variété symplectique compacte. Nous allons généraliser les notions d'invariant de Futaki et du champ de vecteurs extrémal sur une variété kählérienne compacte au cas presque-kählérien. Nous allons montrer la périodicité du champ de vecteurs extrémal quand la forme symplectique représente une classe cohomologique entière modulo torsion. Nous donnerons une formule explicite de la courbure scalaire hermitienne en coordonnées de Darboux. Ceci nous permettra, en dimension 4, de construire des exemples de métriques strictement presque-kählériennes qui satisfont l'égalité dans les estimations de LeBrun. Nous allons étudier la stabilité sous déformations des métriques presque-kählériennes extrémales en dimension 4. Étant donné un chemin lisse de métriques presque-kählériennes compatibles avec une forme symplectique fixe, tel que au temps zéro la métrique est kählérienne et extrémale, nous prouverons, pour un temps assez petit et sous une certaine condition, l'existence d'une famille de métriques presque-kählériennes extrémales, compatibles avec la même forme symplectique, telle que chaque structure presque-complexe induite est difféomorphe à celle induite par le chemin. En particulier, le difféomoprhisme est l'identité au temps zéro. Sur une variété torique, nous allons discuter de l'unicité et la stabilité des métriques presque-kählériennes extrémales invariantes par un tore dans l'orbite 'complexifié' par l'action du groupe des hamiltoniens. ______________________________________________________________________________

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Riemann-Hilbert-Probleme sind Randwertaufgaben für im Einheitskreis $\mathbb D$ holomorphe Funktionen $w$, deren Randwerte $w(t)$ auf gewissen Kurven $M_t$ liegen sollen. Ein Teil der Untersuchungen ist dem Fall explizit gegebener Kurven gewidmet. Dabei werden bekannte Resultate über glatte Kurven auf stetige Restriktionskurven erweitert, und die Existenz von Lösungen in gewissen Hardy-Räumen gezeigt. Die Eindeutigkeitsfrage führt auf ein Gegenbeispiel, das zugleich eine Vermutung aus einer Dissertation von Belch widerlegt. Der andere Teil der Untersuchungen ist dem klassischen Fall geschlossener Restriktionskurven gewidmet. Hier steht statt der Abschwächung von Glattheitsvoraussetzungen die Formulierung geeigneter Nebenbedingungen im Mittelpunkt. Die Abhängigkeit der Lösung von Zusatzbedingungen erweist sich als Verallgemeinerung des Verhaltens von Blaschkeprodukten. Für drei Interpolationpunkte kann charakterisiert werden, wann durch sie eine Lösung mit Windungszahl 1 verläuft, durch $k$ Interpolationspunkte wird die Existenz einer Lösung mit Windungszahl $k-1$ gezeigt.