Nesta tese, através de métodos perturbativos adequados, resultados rigorosos são obtidos para dois sistemas dinâmicos específicos. Primeiro, apresentamos uma investigação matemática do fenômeno de localização dinâmica em uma classe de sistemas de dois níveis periodicamente e quase-periodicamente dependente do tempo. Nossos resultados são baseados em um procedimento de eliminação iterativa de termos polinominais da série de Lindstedt, a qual é proposta como solução de uma certa equação de Riccati associada. Tal procedimento é desenvolvido aqui de uma forma sistemática para adequá-lo ao efeito de localização em qualquer ordem de perturbação. No caso quase-periódico esse procedimento nos leva apenas a uma série de Lindstedt formal bem definida. No caso periódico, uma solução perturbativa convergente é obtida e, em particular, uma expansão perturbativa convergente para a frequência secular é apresentada. O caso particular do campo monocromático é discutido em detalhes onde cômputos numéricos das soluções são apresentadas e os resultados são exibidos em termos de certas probabilidades de transição entre os dois auto-estados do sistema. Segundo, consideramos em uma equação de Hill perturbada da forma + (p IND.0(t) + p IND.1(t)) = 0 onde p IND.0 é real analítica e periódica, p IND.1 é real analítica quase-periódica e R é pequeno. Assumindo condições Diophantinas nas frequências do sistema desacoplado, i.e., as frequências dos potenciais externos p IND.0 e p IND.1 e a frequência própria da equação de Hill não-perturbado (=0), e assumindo apenas uma condição de não-degenerescência específica sobre o potencial perturbador p IND.1, provamos que soluções quase-periódicas da equação não-pertrubada são estáveis se estiver em um conjunto de Cantor de medida relativamente grande em [- IND.0. IND.0] C R, onde IND.0 é pequeno o suficiente. Nosso método é baseado em um procedimento de resoma da série de Lindstedt formal obtida como solução de uma equação de Riccati associada ao problema de Hill. Finalmente, salientamos que os sistemas acima são matematicamente aparentados. De fato, ambos passam pela solução de certas equações de Riccati bastante parecidas. Tais soluções são procuradas em termos de séries de Lindstedt expandidas em um parâmetro pertrubativo adequado. / In this thesis, through the use of suitable perturbative methods, rigorous results are obtained for two specific dynamical systems. First, we present a mathematical investigation of the phenomenon of dynamical localization in a class of quasi-periodically and periodically time-dependent two-level systems. Our results are based on an interative procedure of elimination of polynomial terms from the Lindstedt series, which is proposed as a solution of a certain associated Riccati equation. Such a procedure is developed here in a systematic way in order to adapt it to the effect of localization in any perturbative order. In the quasi-periodic case, this procedure leads only to a formal well defined Lindstedt series. In the periodic case, a convergent perturbative solution is obtained and, in particular, a convergent perturbative expansion for the secular frequency is presented. The particular case of a monochromatic field is discussed in detail, where numerical computations of the solutions are presented and results are exhibited in terms of certain transition probabilities between the two eigenstates of the system. Second, we consider a perturbed Hill\'s equation of the form + (p0(t) + p1(t)) = 0, where p0 is real analytic and periodic, p1 is real analytic and quasi-periodic and R is small. Assuming Diophantine conditions on the frequencies of the decoupled system i.e., thr frequencies of the external potentials p0nd p1 and the proper frequency of the unperturbed ( = 0) Hills equation and making only one specific non-degeneracy assumption on the perturbating potential p1, we prove that quasi-periodic solutions of the unperturbed equation are stable if lies in a Cantor set of relatively large measure in [-0,0] C R where 0 is small enough. Our method is based on a resummation procedure of a formal Lindstedt series obtained as a solution of a genrelized Riccati equation associated to Hills problem. Finally, we stress that the two systems above are mathematically related. Indeed, both pass through the solutions of certain strongly related Riccati euqations. Such solutions are scarched in terms of Lindstedt series expandend in a suitable pertrubative parameter.

Nesta Tese de Doutoramento investigamos a influência das órbitas em regime de stickiness, para com a dinâmica de alguns sistemas dinâmicos clássicos. Tais órbitas são caracterizadas como aprisionamentos de tempo finito ao redor de estrututas de regularidade no espaço de fases. Esse comportamento ao longo da dinâmica, pode afetar propriedades estatísticas, de difusão e de transporte, dependendo do ensemble de condições iniciais e parâmetros de controle. Caracterizamos a influência deste fenômeno em três sistemas dinâmicos: (i) modelo Fermi-Ulam (FUM), onde órbitas em regime de stickiness produzem decaimento de correlações em forma de exponencial esticada e de lei de potência, e toda uma análise estatística ao longo da dinâmica é feita, tanto analítica quanto numericamente; (ii) no modelo Bouncer, essas órbitas são caracterizadas via expoentes de Lyapunov e decaimento de correlações, onde elas funcionam como um mecanismo para atrasar a difusão ilimitada de energia; e finalmente (iii) no bilhar Stadium, onde aliado a ressonância, o stickiness atua como um facilitador na troca de comportamento de órbitas, onde as mesmas sofrem uma transição de difusão ilimitada, para platô estacionário, perto da criticalidade ressonante. / In this Doctorate Thesis we investigate how the sticky orbits influence the dynamics of some classical dynamical systems. These orbits are characterized as finite-time trapping around stability islands in the phase space. This behaviour along the dynamics, may affect statistical properties, diffusion and transport, depending on the ensemble of energies, initial conditions and control parameters. We characterize this stickiness influence in three dynamical systems: (i) in the Fermi-Ulam Model (FUM), where orbits in sticky regime produce a decay of correlations, of a stretched exponential and power law kinds and a whole statistics analysis is made concerning numerical and analytical approaches; (ii) in the Bouncer model, these orbits are characterized along the dynamics via Lyapunov exponents and decay of correlations, where they play the role of a mechanism to slow down the unlimited diffusion of energy; and finally (iii) in the Stadium billiard, where allied with the resonance, stickiness allows a change in the orbits behaviour, where we can set a transition from unlimited diffusion to stationary state, near the critical resonance.

Nesta tese investigamos a integrabilidade quântica do modelo de Alday-Arutyunov-Frolov (AAF) através da diagonalização da Hamiltoniana do modelo transformado de AAF. O modelo transformado de AAF é obtido do modelo original após uma redefinição nos campos que tem o objetivo de transformar os parênteses de Dirac na estrutura canônicos padrão entre dois fêrmions. Para diagonalização da Hamiltoniana do modelo transformado nós usamos um método desenvolvido para o modelo de Landau-Lifshitz. Este método exige regularização do produto de operadores definidos no mesmo ponto bem como a construção de extensões auto-adjuntas. Mostramos que a função de onda e os estados do modelo transformado de AAF apresentam descontinuidades que devem ser tratadas cuidadosamente. Nós também investigamos a equivalência entre as matrizes S das duas formulações do modelo de AAF através do cálculo direto da matriz S em ambas as teorias. Também consideramos o teorema da equivalência para o modelo de AAF, para mostrar que a matriz S é invariante por redefinições dos campos da teoria. / In this thesis we investigate the quantum integrability of the Alday-Arutyunov-Frolov model (AAF) by diagonalization of the Hamiltonian of the AAF transformed model. The AAF transformed model is obtained from original model after fields redefinition whose purpose is to transform the Dirac brackets in the standard canonical structure between two fermions. For the diagonalization of the Hamiltonian of the transformed model we use the method developed for the Landau-Lifshitz model. This method requires regularization of the singular product of operators at the same point as well as construction of the selfadjoint extensions. We show that the wave function and the states of the transformed AAF exhibit discontinuities. We also investigated the equivalence of the matrices S of the two formulations of the AAF model through direct calculation of the S-matrix in both theories. We also consider the equivalence theorem applied to AAF model. To shows that the S matrix is invariant under field redefinitions.

Através de um mapa de ondas de deriva, estudamos o transporte de partículas no Texas Helimak, considerando diversos perfis do campo elétrico radial. O Texas Helimak é um equipamento de confinamento magnético caracterizado por linhas de campo helicoidais e que fornece uma aproximação experimental de um plasma unidimensional. Ele possibilita a imposição de um potencial elétrico externo ao plasma, chamado bias, que altera o perfil radial do campo elétrico de equilíbrio e, consequentemente, possui influência sobre as características de transporte no plasma. Para estudar o efeito do bias sobre o transporte, utilizamos um modelo que considera flutuações eletrostáticas, associadas à deriva E x B, como mecanismo de turbulência. Com isso, introduzimos um mapa de ondas de deriva, cujos parâmetros estão relacionados a dados experimentais para diversos valores de bias. Assim, ao variar o bias, pudemos observar a formação e a destruição da curva sem shear, bem como seu efeito sobre o transporte das trajetórias no espaço de fase. / Using a drift wave map, we studied the particle transport in Texas Helimak considering various electric field radial profiles. Texas Helimak is a device for magnetic confinement characterized by helical field lines, and constitutes an experimental approximation to a one-dimensional plasma. It allows for the imposing of an external electric potential, known as bias, which changes the equilibrium electric field radial profile and hence the transport properties of the plasma. In order to study the effects of the bias potential on the particle transport, we used a model with electrostatic fluctuations associated to E x B drift as the turbulence mechanism. Thus, we introduced a drift wave map whose parameters are related to experimental data for various values of bias. Therefore, by varying the bias, we observed the formation and destruction of the shearless curve, as well as its effects on trajectories transport in the map\'s phase space.

In the present work, Current Reversal Equilibrium Configurations (CRECs) in the context of Magnetohydrodinamic (MHD) equilibrium are considered. The hamiltonian nature of the magnetic field lines is used to introduce the concept of magnetic surfaces and their relation to the Grad-Shafranov (G-S) equation. From a geometrical perspective and the Maxwell equations, it is shown that current reversal configurations in two-dimensional equilibrium do not generate the usual nested topology of the equilibrium magnetic surfaces. The concept of intersecting critical curves is introduced to describe the CRECs and recently published equilibria are shown to be compatible with such description. The equilibrium with a single magnetic island is constructed analytically, through a local successive approximations method, valid for any choice of the source functions of the G-S equation. From the local solution, an estimate of the island width in terms of simple quantities is deduced and verified to a good accuracy with recently published CRECs; the accuracy of this simple model suggests the existence of strong topological constraints in the formation of the equilibria. Lastly, an instability mechanism is conjectured to explain the lack of conclusive experimental evidence of reversed currents, in favor of the current clamp hypothesis. / No presente trabalho, as configurações de equilíbrio com corrente reversa (CRECs), são consideradas no contexto de Equilíbrio Magnetoidrodinâmico. A natureza hamiltoniana das linhas de campo magnético é usada para introduzir o conceito de superfícies magnéticas, e sua relação com a equação de Grad-Shafranov (G-S). Desde uma perspectiva geométrica e usando as equações de Maxwell, é demonstrado que as configurações de corrente reversa em equilíbrios bidimensionais não é compativel com as topologias aninhadas usuais para as superfícies magnéticas de equilíbrio. O conceito de curvas críticas é introduzido para descrever as CRECs e é observado que os equilíbrios recentemente publicados satisfazem esta descrição. O equilíbrio com uma única ilha magnética é construído analiticamente, por meio de aproximações sucessivas locais, este é válido para qualquer escolha das funções arbitrárias da equação G-S. A partir da solução local, se desenvolve uma estimativa do tamanho da ilha magnética em termos de quantidades simples. Esta estimativa concorda bem com as CRECs da literatura recente, sugerindo pela simplicidade do modelo, que existem fortes restrições topológicas no estabelecimento do equilíbrio. Finalmente, na forma de conjectura, introduzimos um mecanismo para instabilidades que tenta dar conta da falta de evidência experimental conclusiva em relação às CRECs em favor da hipótese de corrente unidirecional (current clamp).

A presente tese analisa diferentes aspectos de sistemas de espalhamento clássico com caos. Espalhamento caótico é uma forma de caos transiente que ocorre em diversos sistemas físicos. Nestes sistemas o espaço de fase é aberto, mas o caos ocorre apenas em uma região restrita do espaço, chamada de região de espalhamento. Os efeitos desta dinâmica apresentam-se em qualquer relação de espalhamento pela presença de conjuntos fractais, que geram hiper-sensibilidade a condições iniciais. Em nosso primeiro trabalho, mostramos que as bifurcações que levam ao caos manifestam-se na Seção de Choque Diferencial (SCD) pela criação de infinitas singularidades arco-íris. Estas singularidades aparecem na forma de cascatas, registrando na SCD todas as transições sofridas pela sela caótica. O segundo trabalho mostra que a introdução de dissipação em sistemas de espalhamento pode limitar a autosimilaridade de conjuntos originalmente fractais. Uma partícula espalhada por potenciais repulsivos encontra regiões não acessíveis, que dependem do valor de sua energia. Estas regiões determinam a estrutura da sela caótica. Com a perda de energia, o cenário de órbitas presas é alterado e, dependendo do valor da dissipação, podem existir nas funções de espalhamento estruturas fractais truncadas. O terceiro estudo aborda a presença de advecção caótica em fluxos sanguíneos. Doenças circulatórias estão geralmente associadas a uma mudança de geometria de artérias ou veias. Essas deformações podem gerar espalhamento caótico das partículas sanguíneas carregadas pelo fluxo. Em nosso trabalho mostramos, a partir de simulações numéricas, que caos pode existir em fluxos sanguíneos e, assim, formar um ciclo no desenvolvimento de anomalias circulatórias. / In this thesis we study different scattering systems with chaos. Chaotic scattering, present in a large variety of physical systems, is a type of transient chaos. While the phase-space of such systems is unbounded, irregular motion occurs only in a bounded area, called the scattering region. Still, any (nontrivial) scattering function relating initial conditions to asymptotic variables contains fractal structures, resulting in a very sharp sensitivity to initial conditions. Our first work shows that bifurcations leading to chaos manifest themselves through an infinitely fine-scale structure of rainbow singularities in the cross section. These singularities appear as cascades, mirroring the bifurcation cascade undergone by the chaotic saddle. The second work shows that the presence of dissipation in scattering systems can limit the auto-similarity of originally fractal structures. Depending on the value of their energy, particles scattered by repulsive potentials find forbidden regions in the space-phase. These regions determinate the structure of the chaotic saddle. With friction, the scenario of trapped orbits changes and, depending on the ammount dissipation, scattering functions follow a truncated fractal structure. Our third study concerns the presence of chaotic advection in blood flows. Typically, circulatory diseases are due to sudden changes on the geometry of vessel walls. These deformations can generate chaotic scattering of blood particles carried by the flow. We show, with numerical simulations, that chaos can occur in blood flows and thus form a hazardous cycle in the further developing of circulatory anomalies.

Processos de sincronização são observados em uma imensa quantidade de sistemas físicos, biológicos, químicos, tecnológicos e sociais. Tais sistemas podem ser descritos e modelados utilizando a teoria das redes complexas, de forma que o completo entendimento da emergência do comportamento coletivo nestes sistemas complexos só é alcançado por teorias que englobam a interação entre seus elementos. Nesta dissertação, estudamos a emergência de transições de fase de primeira-ordem na sincronização de osciladores acoplados através de estruturas heterogêneas e não-triviais. Utilizando teorias de campo médio, obtemos a expressão analítica do acoplamento crítico necessário para a ocorrência de sincronização explosiva em redes livre-escala. Além disso, estudamos o comportamento de tais transições na presença de atrasos temporais e verificamos que é possível elevar o grau de sincronismo dos osciladores quando a interação se dá de forma não-instantânea. Os resultados obtidos contribuem para um melhor entendimento da relação entre topologia e dinâmica em redes. / Synchronization processes are observed in many physical, biological, chemical, technological and social systems. These systems can be described and modelled through the theory of complex networks, in a way that the full comprehension of the emergence of collective behavior in these complex systems will only be achieved by theories that encompass the interaction of its elements. In this thesis, we study the emergence of first-order phase transitions in the synchronization of oscillators coupled through heterogeneous and non-trivial structures. By using mean-field theories, we obtain an analytical expression for the critical coupling necessary for the occurrence of explosive synchronization in scale-free networks. Furthermore, we study the behavior of such transitions in the presence of time delays, verifying that is possible to enhance the synchronization level of the oscillators when the interaction is non-instantaneous. The obtained results contribute for the better understanding of the interplay between topology and dynamics in networks.

O estudo dos processos quebra espontânea de simetria na natureza têm atraído interesse em diversas áreas da física, como por exemplo em física quântica no estudo das energias de um átomo tal como em física de altas energias, no estudo das partículas elementares. Esses processos até então envolviam sistemas físicos microscópicos, em 1993 surge uma proposta de agregar as idéias de quebra de simetria à um sistema macroscópico, o código genético. A idéia básica é que os códons que formam código se diferenciam em um processo de quebra de simetria, preservando suas propriedades de degenerescência, nos dando uma \"picture\" de como se fez essa diferenciação que resultam nos 20 aminoácidos e do sinal de terminação que se conhece nos dias atuais. Esse modelo nos diz por exemplo, quantos eram os aminoácidos primordiais. Nosso interesse está na verificação dessa quebra de simetria e estudar as relações entre os códons do ponto de vista temporal para tanto, usamos aqui um sistema dinâmico. Esse sistema conserva no princípio de sua evolução a simetria proposta pelo modelo e através de um processo de quebra de simetria estudaremos se esse processo reproduz a cadeia de quebra de simetria proposta no modelo. Como primeiro passo estudamos a representação tridimensional do grupo Sp( 6), que serve como ponto de partida no processo de quebra de simetria no modelo, essa representação é conhecida como grupo de Weyl do Sp(6). É possível construir um sistema dinâmico ou mapa, que na verdade é uma função do R3, com as mesmas propriedades de simetria do grupo de Weyl do Sp(6). A construção desse sistema e seu estudo matemático acarreta no segundo passo deste trabalho. O mapa construído depende de parâmetros que variados de forma correta produzem uma cadeia de quebra de simetria. O estudo dessa quebras consiste no terceiro passo deste trabalho. Por fim determinamos a ação ou seja, como esse sistema muda a rotulação dos códons anteriormente proposta no modelo e mais ainda, que informação biológica poderá ser extraída desse sistema. Como resultado obtivemos em grande parte a ratificação do modelo proposto mostrando que a quebra proposta e a rotulação dos códons de acordo com a ordem evolutiva dada pela quebra de simetria segue também uma coerência dinâmica. / The study of natural symmetry breaking processes have attracted interest in many physics areas including energy atoms studies in quantum physics as well elementary particles in high energy physics. These processes were related with microscpics physic systems, in 1993 appears one propose to use the ideas of symmetry breaking in one macroscopic system the genetic code. The basic idea is that the differentiation of the codons wich are components of the code was done in a process of symmetry breaking preserving the degeneracy properties given to us one picture of how this process occour resulting in 20 aminoacids and termination sign known in the present days. With this model for example, we can predict how many aminoacids were primordial\'s. Our interest is in verify this symmetry breaking and study the codon temporal relations for this we use a dynamical system. The preservation of the starting symmetry proposed by the model is the main caracteristic of our system and through of the symmetry breaking we will study what relations between the symmetry breaking proposed by the model and the dynamical symmetry breaking. As a first step we will study the group Sp(6) in its tridimensional representation which is the starting point in the symmetry breaking process in the mode!. This representation in known as Weyl group of Sp(6). It is possible construct this dynamical system or map, which is one function in the R3 with the same symmetry properties of the Weyl group of Sp(6). The construction of this map and its mathematical study is our second step of this work. The map depends on parameter\'s which are changed in a correct way to produce some symmetry breaking chain. The symmetry breaking studies is our third step. At the end we look at the action of our map in the codons, in other words, how this action change the codons labelling proposed by the model Moreover, what kind of biological information can be extract from this action. As a result the symmetry breaking and the labelling of codons proposed by the model are isomophics, with little restrictions, when compared with the dynamical systems.

Estudamos o modelo spin-boson, principalmente no limite semiclassico (muitos fotons) e classico (muitos atomos), e as estatisticas dos niveis de energia nnd e DELTA IND.3 a ele relacionadas. No caso classico, encontramos que o comportamento caotico do sistema para baixas energias esta fortemente relacionado com polarizacao nula e quase nenhum foton presente no estado inicial. / The spin-boson model, its classical (many atoms) and semiclassical (many fotons) limits are studied. The NND and IND. 3 statistics of the energy are showed in a quantum and semiclassical calculations. In the classical case, the chaotic behaviour of the system for low energies is related to the fact that, in the initial states, the atoms have zero polarization and no fotons are included.

No que segue, propõe-se uma classe de sistemas robóticos multi-corpos, cujos corpos componentes estão fisicamente acoplados através de juntas rotativas ativas. Os sistemas da classe considerada possuem mobilidade irrestrita no espaço plano uma vez que propulsores distribuídos ao longo dos corpos do sistema. A modelagem dinâmica destes sistemas é apresentada sob as abordagens Hamiltoniana e Lagrangiana da mecânica analítica. A descrição destes métodos de modelagem, assim como os modelos por eles obtidos, é realizada com ênfase na interpretação geométrica da matemática envolvida. Alguns exemplos de parametrizações do espaço de fase do sistema são discutidos e exemplos de modelagem em função destas parametrizações são obtidos. Ademais, alguns critérios de análise de controlabilidade não-linear são revisados e aplicados aos modelos do sistema com a estrutura de entradas considerada. Alguns casos de estabilização da classe de sistemas são também discutidos. Resultados de simulação de estabilização são obtidos para sistemas através de estudos de casos. Sistemas completamente controlados no espaço de estados podem ser linearizados através de uma técnica de linearização por realimentação e estabilizados com uma realimentação de estados. Para os sistemas cuja controlabilidade é deficiente, propõe-se a modificação de um método de controle de sistemas sub-atuados e uma lei de controle por realimentação é obtida pela teoria de estabilidade de Lyapunov. A classe de sistemas aqui discutida possui grande potencial de aplicação nos ambientes espacial e submarino. / In the following, a class of multi-body robotic systems is proposed in which its system component bodies are physically coupled by active rotating joints. The systems belonging to the proposed class have unrestricted mobility on the plane since thrusters are distributed along the system. System dynamical modeling is obtained through the analytic mechanical Hamiltonian and Lagrangian methods. The presentation of these methods, as well as the dynamical models obtained by them, is realized with an emphasis in the geometrical interpretation of the corresponding mathematics. A few different system phase space parameterizations approaches are discussed and modeling examples are presented under these parameterizations. Additionally, some nonlinear controllability analysis criteria are reviewed and applied to system dynamical models composed by the input structure mentioned above. A few stabilization case studies for the class of systems are also discussed and simulation results are presented. Totally controlled systems in the phase space can be linearized by feedback linearization techniques and stabilized through a state feedback. For partially controllable systems a modification of a stabilization method for under-actuated systems is proposed which renders feedback control via Lypunov stability theory. The class of systems discussed has great potential for space and underwater applications.