Condensação de Bose-Einstein é um fenômeno quântico que pode ser observado macroscopicamente. Para a sua obtenção são necessários aprisionamentos externos, porém a presença desses leva ao colapso da função de onda. As interações de longo alcance são propostas como uma forma alternativa ao confinamento externo, um vez que podem prevenir o colapso da função de onda. Neste trabalho será apresentada uma revisão sobre os estudos de condensados de Bose-Einstein. Também, será buscada a solução aproximada da equação de Schrödinger não linear e não-local, a qual descreve condensados de Bose-Einstein com auto-interações de longo alcance. Para isso, será suposta uma forma espacial da função de onda, permitindo o tratamento analítico do sistema dinâmico resultante. Ao fim, por meio do método variacional dependente do tempo, será demonstrado que existem soluções estáveis para a função de onda sujeito a interações de longo alcance na forma gaussiana e gravitacional. / Bose-Einstein condensation is a quantum phenomenon that can be observed macroscopically. External trappings are required to obtain them, however the presence of these leads to the collapse of the wave function. Long-range interactions are proposed as an alternative to external confinement, since they can prevent the collapse of the wave function. In this work a review will be presented on the Bose-Einstein condensate studies. Also, we review the approximate solution of the non-linear and non-local Schrödinger equation, which describes Bose-Einstein condensates with long-range auto-interactions. For this, a spatial form of the wave function will be assumed, allowing the analytical treatment of the system. Finally, through the time-dependent variational method, it will be demonstrated that there are stable solutions for the wave function subject to long-range interactions in gaussian and gravitational form.

Sistemas cujos componentes interagem por meio de forças de longo alcance não-blindadas por exemplo, sistemas estelares e plasmas não-neutros têm algumas características anô- malas em relação a sistemas com forças blindadas ou de curto alcance. Além de apresentarem características termodinâmicas peculiares como calor especí co negativo e inequivalência de ensembles, sua dinâmica é predominantemente não-colisional e leva à estados quasiestacion ários fora de equilíbrio. Esses estados são notoriamente difíceis de prever dada uma condição inicial qualquer, e ainda não existe uma teoria uni cada para tratá-los. O equilíbrio termodinâmico é atingido somente após tempos longos que escalam com o tamanho do sistema, muitas vezes excedendo o tempo de vida do universo. A relaxação para o equilíbrio, portanto, tem duas escalas de tempo: uma, curta, que leva a estados quasi-estacionários fora de equilíbrio, e a segunda, longa, que leva ao equilíbrio termodinâmico. Nesta tese de doutorado, examinamos esses fenômenos aplicando modelos teóricos e simulação numérica para diferentes sistemas de interação de longo-alcance, incluindo um modelo de spins clássicos tipo XY com longo alcance, e o sistema auto-gravitante em três dimensões. Em uma segunda etapa, estudamos a relaxação para o equilíbrio termodinâmico, a relaxação colisional, através de equações cinéticas e simulação numérica. Desta forma, buscamos esclarecer os mecanismos por trás dos estados quasi-estacionários e da relaxação colisional. / Systems whose components interact by unscreened long-range forces for example, stellar systems and non-neutral plasmas have characteristics that are anomalous with respect to systems with shielded or short-range forces. Besides presenting unique thermodynamic properties such as negative speci c heat and inequivalence of ensembles, their dynamics is predominantly collisionless and leads to out-of-equilibrium quasi-stationary states. These states are notoriously di cult to predict given an arbitrary initial condition, and there is still no uni ed theory to treat them. Thermodynamic equilibrium is reached only after long timescales that increase with the system size and often exceed the lifetime of the universe. Relaxation to equilibrium, therefore, has two timescales: one short, leading to outof- equilibrium quasi-stationary states, and a second, longer, which leads to thermodynamic equilibrium. In this thesis, we examine these phenomena by applying theoretical models and numerical simulation for di erent long-range interacting systems, including a model of classical XY-type spins with long-range interactions, and the self-gravitating system in three dimensions. In a second stage we study the collisional relaxation to thermodynamic equilibrium through kinetic equations and numerical simulation. We thus seek to clarify the mechanisms behind the quasi-stationary states and collisional relaxation.

Este trabalho aborda o problema de seguimento e rejeição de sinais periódicos em sistemas lineares sujeitos a saturação nos atuadores. Para garantir o seguimento/rejeição, dois controladores baseados no princípio do modelo interno são considerados: o primeiro baseia-se no modelo interno em sua formulação clássica, isto é, um controlador dinâmico contendo um número finito de modos (marginalmente) instáveis da referência/perturbação é introduzido na malha de controle, em uma abordagem chamada de controladores ressonantes; a segunda abordagem considera o controlador repetitivo, onde um elemento de atraso é inserido namalha de controle emumlaço de realimentação positiva, fazendo o papel do modelo interno de ordem infinita. Nos dois casos, o objetivo principal é a obtenção de condições na forma de inequações matriciais lineares (do inglês, Linear Matrix Inequalities - LMIs) para a síntese simultânea de uma realimentação de estados estabilizante e do ganho do laço estático de anti-windup. Partindo do pressuposto que as referências e perturbações pertencem a um certo conjunto admissível, estes ganhos garantem que as trajetórias do sistema em malha fechada inciadas em um certo conjunto elipsoidal convergem para outro conjunto elipsoidal invariante contido na região de operação linear do sistema. Nesta região, a presença do modelo interno na malha de controle garante o seguimento e a rejeição dos sinais de interesse. Nas duas abordagens são propostos problemas de otimização visando a maximização do conjunto invariante de estados admissíveis e/ou a maximização do conjunto de referências/perturbações admissíveis. Extensões da metodologia para sistemas de tempo discreto também são apresentadas. / This work addresses the tracking/rejection problem of periodic signals for linear systems subject to control saturation. To ensure the tracking/rejection, two internal model based controllers are considered: the first one considers the internal model in a classical framework, i.e. a dynamic controller containing a finite number of (marginally) unstable modes of the reference/disturbance signal is introduced in the control loop. In this work, this approach is called resonant controller. The second approach considers the repetitive controller, where a delay element is introduced in the control loop in a positive feedback loop, playing the role of an infinite order internal model. In both cases, the main objective is to obtain conditions in the form of LMIs to simultaneously compute a stabilizing state feedback gain and an anti-windup gain. Assuming that the references and disturbances signals belong to a certain admissible set, these gains guarantee that the trajectories of the closed-loop system starting in a certain ellipsoidal set contract to another invariant ellipsoidal set inside the linearity region of the closed-loop system. In this region the presence of the internal model ensures tracking/rejection of the considered periodic signals. In both frameworks, optimization problems aiming at the maximization of the invariant set of admissible states and/or the maximization of the set of admissible references/disturbances are proposed. Extensions of the proposed framework to discrete-time systems are also presented.

A atividade de neurônios em rajadas de disparo (bursts) é onipresente em sistemas nervosos. No entanto, o papel funcional dos bursts na codificação de informação ainda não é completamente compreendido. A dinâmica de burst tem sido intensivamente estudada em centros geradores de padrões (CPGs) que são exemplos clássicos de sistema nervoso autônomo em que a atividade em bursts está diretamente associada ao controle motor. Estudos recentes investigaram pequenas perturbações na dinâmica aparentemente periódica de neurônios com atividade em burst (bursters): padrões sutis nos tempos de disparo (spikes) dentro de um mesmo burst. Padrões de spikes intraburst (PSIBs) são tradicionalmente negligenciados por falta de relação com a função motora do CPG, no entanto, esses estudos mostraram que PSIBs são específicos para cada tipo de célula do CPG estomatogástrico de crustáceos e além disso, são capazes de refletir mudanças na conectividade da rede, indicando um possível papel na codificação de informação. Nesse trabalho, abordamos esse assunto investigando como um neurônio motor com atividade em bursts expressa informação a respeito de outros neurônios da rede através dos PSIBs. Realizamos experimentos registrando a atividade de neurônios pilóricos do gânglio estomatogástrico tanto na rede intacta como em uma rede híbrida na qual um neurônio pilórico interage em tempo real com um neurônio modelo através de uma sinapse artificial. Para inferir a sensibilidade dos PSIBs pós sinápticos aos pré-sinápticos desenvolvemos uma ferramenta de análise baseada em Teoria da Informação para encontrar padrões de máxima informação (ou seja, encontrar o bin que produz PSIBs de máxima entropia) e calcular informação mútua média entre eles (IMM) ao longo do burst de cada neurônio. Esta ferramenta também é potencialmente útil à análise de outros tipos de processos puntuais por fornecer um método de revelar informação oculta em padrões de eventos. Encontramos que um único neurônio motor é capaz de expressar no início de seu burst informação contida nos PSIBs do início do burst anterior do neurônio pré-sináptico. Esse fenômeno é observado em diferentes espécimes e espécies, o que sugere um mecanismo geral de codificação de informação. Além disso, esse efeito foi reproduzido em experimentos com uma rede híbrida, onde os estímulos pré-sinápticos são totalmente controlados, livre de qualquer influência de outros elementos no circuito. Esses resultados sugerem que a microestrutura dos padrões de disparo pré-sinápticos são codificadas se dá através de uma única sinapse, de maneira não linear e não homogênea nos PSIBs pós sinápticos. Dessa forma, neurônios motores são capazes de usar escalas de tempo diferentes para expressar dois tipos de informação: o ritmo de burst (associado à taxa de disparo) carrega informação sobre a contratação motora, enquanto que em uma escala de tempo muito menor, os PSIBs (associados à codificação temporal) expressam informação sobre o comportamento de outros neurônios do CPG. Além disso, encontramos que a informação dos PSIBs de um neurônio pilórico é codificada na estrutura temporal de disparo das unidades ativas registradas em um nervo do sistema estomatogástrico que projeta em áreas sensoriais do cérebro do animal. Assim, o mecanismo de codificação descrito pode ser parte de uma via de transmissão de informação previamente desconhecida, sugerindo que a codificação de informação através dos PSIBs poderia ser aproveitada para a regulação dos padrões de disparo em circuitos remotos pelo sistema nervoso central. / Burst firing is ubiquitous in nervous systems. However, the functional role of burst firing in information coding is mostly unknown. Bursting dynamics have been intensively studied in Central Pattern Generators (CPGs), classical examples of autonomous nervous circuits in which the most conspicuous bursting activity is clearly associated to motor function. Recent studies have investigated small perturbations embedded in the otherwise seemingly periodic bursting: the subtle intra-burst spike timing patterns (IBSPs), traditionally neglected for their lack of relation to the CPG motor function. Moreover, IBSPs were found to be cell-type specific and able to reflect changes in CPG connectivity, indicating a potential role in information coding. Here we addressed this matter by investigating how a bursting motor neuron expresses information about other neurons in the network. We performed experiments on the crustacean stomatogastric pyloric CPG, both in control conditions and when interacting in real-time with computer model neurons. The sensitivity of post- to pre-synaptic IBSPs was inferred by computing their average mutual information along each neuron burst. We found that a single motor neuron is able to express, at the beginning of its burst, information about the IBSPs of the beginning of the pre synaptic neuron\'s burst. This phenomenon is observed in different specimens and species, sugesting a genera information coding mechanism. Moreover, this effect was reproduced in a hybrid circuit, in which the presynaptic stimuli are completely controled by the experimenter free of any influence of other elements in the circuit. These results suggest that the presynaptic spiking microstructure are non-linearly and in homogeneously encoded through a single synapse in the post synaptic IBSPs. This way, motor neurons are able to use different time scales to express two types of information simultaneously: muscle contraction (related to bursting rate), and the behavior of other CPG neurons (in a much smaller timescale by using IBSPs as information carriers). Therefore, the coding mechanism described takes part in a previously unsuspected information pathway, providing evidence of the general physiological role of information coding through IBSPs in the regulation of neuronal _ring patterns in remote circuits by the central nervous system.

A dinâmica da equação diferencial com retardo x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), para a função não linear f(x) = tanh(x), foi analisada como função dos parâmetros a, b, e do retardo , onde x = x(t ). Esse modelo descreve um oscilador harmônico amortecido sujeito a retroalimentação com retardo . Nesse estudo, examinamos os casos de retroalimentação negativa ( < 0) e positiva ( > 0). Usamos o método de passos para mostrar a propriedade de suavização da solução, da equação diferencial não linear com retardo, com o crescimento de t. Fizemos a análise da estabilidade local, construímos as cartas de estabilidade no espaço de parâmetros, e mostramos que o espectro de autovalores é discreto e, no máximo, enumerável. Foram construídos diagramas de bifurcação que exibiram a ocorrência da bifurcação de Hopf supercrítica, da bifurcação de forquilha supercrítica, e da bifurcação de Hopf dupla. Para alguns pontos de bifurcação de Hopf dupla, ressonantes e não ressonantes, foi calculada numericamente a série temporal, construído o espaço de fase e gerado o mapa de primeiro retorno para uma dada seção de Poincaré. Por fim, realizamos a discretização da equação do oscilador e fizemos uma breve análise da dinâmica da equação não linear de diferenças resultante. / The dynamics of the delay differential equation x 2 pontos + 2ax ponto + bx = f(x ), for the nonlinear function f(x) = tanh(x), has been analyzed as a function of the parameters a, b, and the delay , where x = x(t ). This model describes a damped harmonic oscillator subject to feedback with delay . Here, we have examined the cases of negative feedback (< 0) and positive feedback ( > 0). The method of steps have been used to show the property of solutions smoothing, for the nonlinear delay differential equation, for the increasing t. We have analyzed the local stability, made the stability charts, and showed that the spectrum of eigenvalues is discrete and at most enumerable. We have constructed the bifurcation diagrams that showed the occurrence of supercritical Hopf bifurcation, the supercritical pitchfork bifurcation and double Hopf bifurcation. For some points of resonant and non-resonant double Hopf bifurcation we have numerically calculated the time series, produced the phase space, and generated the first return map for a given Poincaré section. Finally, we have performed a discretization of the equation and made a brief analysis of the dynamics of the resulting nonlinear difference equation.

Nos últimos anos, uma míriade de modelos de propagação de opinião foram propostos, motivados pelo interesse crescente dos físicos por problemas interdisciplinares tanto em sociologia, quanto em economia e biologia. Um dos objetivos desse trabalho é unificar alguns desses modelos em uma mesma formulação. Para isso, generalizamos a noção de confiança limitada para o que chamamos de regras de confiança, que podem ser interpretadas como a introdução de viéses ou preconceitos nas interações de agentes com opiniões distintas. Munidos dessa formulação, nos propusemos a estudar como modelos que promovem localmente conformidade (o que está de acordo com experimentos para grupos pequenos conduzidos por psicólogos), poderiam gerar diversidade globalmente (explicando a persistência de pontos de vista distintos em sociedades, por exemplo). Nós estudamos o campo médio do modelo do votante e de variantes do modelo Sznajd. Aplicando ferramentas de sistemas dinâmicos, conseguimos resolver analiticamente o comportamento qualitativo dos modelos na ausência de ruído e desenvolvemos uma teoria de perturbação para o modelo Sznajd com ruído infinitesimal, que nos forneceu um retrato parcial do comportamento na presença de ruído. Na ausência de ruído, chegamos a conclusão que o modelo do votante se comporta de maneira completamente diferente, enquanto que os outros modelos tem essencialmente o mesmo comportamento. Também fizemos simulações em redes Barabási-Albert e Watts-Strogatz para os modelos votante e Sznajd e, em colaboração com o grupo de pesquisa do Institute for Complex Systems and Mathematical Biology da Universidade de Aberdeen, estudamos um modelo de biodiversidade que pode ser encarado como uma variante do modelo do votante em uma rede quadrada. As nossas conclusões apontam que os resultados de campo médio podem ser compreendidos através de conexões com teoria de grafos e que os diversos modelos simulados se comportam em um certo sentido da mesma maneira, reforçando a idéia de universalidade entre eles (na verdade é essencial que existam aspectos universais no comportamento humano para que a modelagem de sistemas sociais seja factível, dadas as dificuldades óbvias de se construir um modelo realista para uma pessoa ou uma sociedade). Grosso modo, em todos os sistemas estudados, a coexistência ou não de pontos de vista diferentes parece depender mais crucialmente da rede e do tipo de regra de confiança, do que de outros detalhes específicos do modelo. / In the recent years, a great number of opinion propagation models were proposed, motivated by the increasing interest among physicists in interdisciplinary problems, not only in sociology, but also in economics and biology. One of the goals of this work is to unify some of these models under a same formulation. In order to do that, we generalized the notion of bounded confidence to what we called confidence rules, that can be interpreted as the introduction of biases and prejudices in the interactions among agents holding differing points of view. Using this formulation, we decided to study how models that locally breed conformity (what is in accordance with experiments conducted by psichologists for small groups) could sustain diversity globally (explaining the persistence of different points of view in societies, for example). We studied the mean field version of the voter model and of variants of the Sznajd model. We used dynamical systems techniques and were able to solve analytically the qualitative behaviour of the models in the absence of noise and developed a perturbation theory for the Sznajd model with infinitesimal noise, that yielded a partial picture of the behaviour with noise. In the absence of noise, we found that the voter model has a completely different behaviour, while the other models have essentially the same behaviour. We also did simulations in Barabási-Albert and Watts-Strogatz networks for the voter and the Sznajd models and we collaborated with the research group of the Institute for Complex Systems and Mathematical Biology from the University of Aberdeen, studying a biodiversity model that can be seen as a modification of the voter model in a square lattice. Our conclusions point that the mean field results can be understood through connections with graph theory problems and that the different models that were simulated, in some sense, have the same behaviour, reinforcing the idea of universality for these models (due to the obvious difficulties in modelling human beings in a reliable and realistic way, some degree of universality in human behaviour is actually essential, in order for social modelling to be feasible). Roughly speaking, in all the systems that were studied, the coexistence or not of differing opinions, seems to depend more strongly on the network and on the type of confidence rule used, than in other specific details of the model.

O Texas Helimak é uma máquina toroidal de confinamento de plasma cujas linhas de campo magnético têm forma helicoidal e no qual parâmetros do plasma (como a densidade e a temperatura) são similares aos da borda e da região externa (scrape-off-layer) de um tokamak. Nesta tese foram analisados o equilíbrio e as flutuações do plasma no Texas Helimak. São apresentadas a análise e a interpretação do controle da turbulência eletrostática e do transporte turbulento de partículas pelo potencial elétrico, bias, aplicado externamente. As alterações na turbulência e no transporte causadas pela mudança do potencial elétrico externo foram investigadas em uma região do plasma com gradientes radiais uniformes. As flutuações em descargas com bias positivo ou nulo apresentam espectros de potência de banda larga e uma PDF com uma cauda acentuada que revela a ocorrência intermitente de eventos extremos. Por outro lado, as flutuações em descargas com bias negativo possuem um espectro de potência mais estreito, uma PDF mais Gaussiana e um diagrama de recorrência com mais estruturas. Um modelo de quatro ondas acopladas foi utilizado para relacionar a largura de banda da turbulência com o tempo de interação entre as ondas do modelo. Perfis radiais do transporte turbulento de partículas na direção radial foram calculados, como função do bias, e comparados com os perfis da velocidade do fluxo de plasma e seu cisalhamento. Foi mostrado que o transporte depende do perfil radial da velocidade de fluxo do plasma. Nas descargas em que essa velocidade apresenta um ponto de máximo em seu perfil radial, o perfil do transporte possui um mínimo que foi interpretado, utilizando um modelo Hamiltoniano de ondas de deriva, como sendo resultado de uma barreira de transporte onde o cisalhamento do fluxo é nulo. Em outras descargas, máximos no perfil radial do transporte foram relacionados a ressonâncias que ocorrem onde a velocidade de fase da onda é igual à velocidade do plasma. / The Texas Helimak is a toroidal confinement of plasma device with helically magnetic field lines and which plasma parameters (like the density and temperature) are similar to the edge and the scrape-off-layer of a tokamak. This thesis analyzed the equilibrium and fluctuations in the Helimak Texas plasma. We present the analysis and interpretation of electrostatic control of turbulence and turbulent particle transport by electrical potential, bias, applied externally. Changes in transport and turbulence caused by the change of external electric potential were investigated in a region of uniform radial gradients plasma. Fluctuations in discharges with positive or zero bias have broadband power spectra and a PDF with an accentuated tail that reveals the intermittent occurrence of extreme events. Moreover, fluctuations in discharges with negative bias have narrow power spectra, a more Gaussian PDF and more structures in the recurrence diagram. A four coupled wave model was used to relate the bandwidth of turbulence with the interaction time between the waves in the model. Radial profiles of turbulent transport of particles in the radial direction were calculated as a function of bias and compared to the profiles of the plasma flow velocity and its shear. It was shown that the transport depends on the radial profile of the plasma flow velocity. In that discharges where the velocity radial profile presents a point of maximum, the transport profile has a minimum which was interpreted, using a drift wave model Hamiltonian, as a result of a shearless flow transport barrier. In other discharges, the maxima in the transport radial profiles were related with resonances that occur where the wave phase velocity is equal to the plasma velocity.

Investigamos algumas capacidades computacionais de sistemas constituídos de mapas acoplados. Particularmente, exploramos o uso desses sistemas no tratamento de três problemas: a identificação de simetria de reflexão em imagens planas; a formação de clusters de elementos síncronos em redes com topologias do tipo small-worlds; e a construção de figuras que obedecem a uma regra de composição. Para a identificação de simetria, motivados por modelos biológicos construímos uma rede de mapas em que, acoplamentos locais e globais permitem verificar a simetria de reflexão de uma imagem plana através do sincronismo dos elementos do sistema. Em particular, esse sistema apresenta a habilidade de não requerer sua reinicialização para novas identificações e permite, assim, a identificação de simetrias em cenas que se modificam no tempo. Sistemas estendidos de mapas acoplados são, em geral, construídos conectando-se todos os elementos ou pela formação de uma malha uniforme de conexões. A dinâmica desses sistemas pode apresentar a formação de grupos de elementos síncronos. Esse comportamento de auto-organização pode ser encontrado em diversos sistemas complexos reais que, entretanto e mais comumente, exibem topologias de conexões não uniformes entre seus elementos. Mostramos aqui, a capacidade de mapas acoplados, em diferentes topologias de small-worlds, exibirem a formação de grupos de elementos síncronos com um número de conexões próximo ao das malhas com acoplamento local mas com uma significativa redução da distância média entre os elementos da rede. Por último consideramos o uso de sistemas de mapas como sistemas programáveis. Normalmente, para formação de padrões e figuras no plano, sistemas de funções iteradas são empregados com um conjunto fixo de contrações lineares no plano. Aqui, mostramos a possibilidade do uso de mapas mais gerais na produção de tais padrões e figuras, incluindo estruturas biológicas e fractais. Funções de troca são empregadas para alterar a dinâmica do sistema segundo ou o contexto ou o estado, e fornecem, desse modo, uma forma de programação. / We investigated some computational abilities of systems composed by coupled maps. Here, we explored the use of those systems in dealing with three problems: the identification of reflection symmetry in bidimensional images; the appearing of clusters of synchronous elements in networks with small-worlds topologies; and in constructing figures obeying a composition rule. For the symmetry identification problem, we were motivated by biological models to built a network of coupled maps, with local and global couplings, that verify reflection symmetry of plane images through the synchronism of the elements from the system. In matter, this system presents the ability to perform a new identification without re-initializing the system. This feature allows the identification of symmetries in scenes that can change during the time. In general extended coupled map systems have all elements connected, or the connections lying over a uniform lattice. The dynamics of these systems can present the formation of clusters with synchronous elements. Such auto-organization behavior can be found in several actual complex systems. However, more commonly, these systems do not exhibit uniform connections among their elements. Here, we investigated the capacity of coupled map systems, in different topologies of small-worlds, exhibiting the formation of clusters with synchronous elements, by using a number of connections close to the number in regular lattices but with a significant reduction of the mean distance among their elements. Last we considered the use of systems of maps as programmable systems. Usually, for formation of patterns and geometric figures in the plan, iterated function systems work with a fixed set of linear contractions in the plan. Here, we showed that is possible to use more general maps to the production of patterns and geometric figures, and biological patterns and fractals are generated. Shift functions are used to change the dynamics of the map system due to either the context or the state, giving a way of programming the system.

Neste trabalho, são estudados os problemas de sincronismo de fase nas redes mestre-escravo de via única (OWMS), nas topologias Estrela Simples, Cadeia Simples e mista, através da Teoria Qualitativa de Equações Diferenciais, com ênfase no Teorema da Variedade Central. Através da Teoria das Bifurcações, analisa-se o comportamento dinâmico das malhas de sincronismo de fase (PLL) de segunda ordem que compõem cada rede, frente às variações nos seus parâmetros constitutivos. São utilizadas duas funções de excitação muito comuns na prática: o degrau e a rampa de fase, aplicadas pelo nó mestre. Em cada caso, discute-se a existência e a estabilidade do estado síncrono. A existência de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos, não permite uma aproximação linear, e nesses casos é aplicado o Teorema da Variedade Central. Através dessa rigorosa técnica de simplificação de sistemas dinâmicos é possível fazer uma aproximação homeomórfica em torno desses pontos, preservando a orientação no espaço de fases. Desse modo, é possível determinar, localmente, suas estabilidades. / This work presents stability analysis of the syncronous state for three types of one-way master-slave time distribution network topologies: single star, single chain and both of them, mixed. Using bifurcation theory, the dynamical behavior of second-order phase-locked loops employed to extract the syncronous state in each node is analyzed in function of the constitutive parameters. Two usual inputs, the step and the ramp phase pertubations, are supposed to appear in the master node and, in each case, the existence and stability of the syncronous state are studied. For parameter combinations resulting in non hyperbolic synchronous states, the linear approximation does not provide any information, even about the local behaviour of the system. In this case, the center manifold theorem permits the construction of an equivalent vector field representing the asymptotic behaviour of the original system in the neighborhood of these points. Thus, the local stability can be determined.

Orientadores: Marco Antonio Teixeira, Ketty Abaroa de Rezende / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-10T14:10:31Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Martins_RicardoMiranda_M.pdf: 921623 bytes, checksum: 8098f5c4875b6b586865b92ec6e474a0 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: A semelhança entre sistemas reversíveis e Hamiltonianos foi detectada nos primórdios do século passado por Birkhoff. Neste trabalho realizamos uma análise geométrica-qualitativa da dinâmica de um campo de vetores reversível em torno de um ponto de equilíbrio elíptico em R4. Especificamente, estudamos quando um campo reversível com tal tipo de equilíbrio é "equivalente" a um sistema Hamiltoniano. Como resultado, obtemos que tal sistema é Hamiltoniano, a menos de uma seqüência de mudanças de coordenadas e reescalonamentos do tempo. Prosseguindo a análise, impomos outra simetria ao campo e passamos a considerar sistemas bireversíveis. Classificamos completamente as possíveis simetrias que tornam um sistema bireversível por involuções gerando um grupo isomorfo a D4. Para tais sistemas, obtemos resultados um pouco mais fortes que os obtidos para sistemas reversíveis / Abstract: The similarity between reversible and Hamiltonian systems has been detected at the beginning of the past century by Birkhoff. In this project, we describe a geometrical-qualitative analysis of the dynamics of a reversible vector field around a elliptical singularity in R4. Specifically, we study when such a reversible vector field is "equivalent" to a Hamiltonian system. As a result, we obtain that such systems are always Hamiltonian, up to a sequence of changes of coordinates and time rescaling. Imposing another symmetry to the vector field, we work with bireversible systems. We completely classify all the possible symmetries which makes such systems bireversible by involutions generating a group isomorphic to D4. For these systems, we have obtained stronger results than in the reversible case / Mestrado / Sistemas Dinamicos / Mestre em Matemática