La première partie de la thèse consiste en un tour d'horizon des principales méthodes de contrôle des erreurs d'arrondis. On y discute particulièrement les fondements des modèles probabilistes d'évaluation de cette erreur. La deuxième partie présente une nouvelle méthodologie: scalp d'analyse de la qualité arithmétique d'un logiciel. Après avoir défini de nouveaux indices théoriques de la qualité arithmétique on expose une methode logicielle d'estimation de ceux-ci

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Etude de la stabilité numérique de deux méthodes utilisées pour l'obtention de fonctions splines.

La stabilité d'un verre est liée à sa composition et l'environnement contrôle son altération. Pour les verres historiques, les polluants organiques émis par les vitrines en bois interviennent dans leur altération. Ce travail étudie les mécanismes d'altération des acides acétique et formique et du formaldéhyde sur des objets de musée et des verres vieillis artificiellement, de composition sodique. Après détermination de la composition par microsonde électronique, la décomposition des spectres Raman a servi à établir des corrélations entre composition et structure des verres, et à interpréter les variations de structure entre verre sain et altéré. La structure des objets altérés par les polluants est caractéristique d'une altération par lixiviation, où seuls les silicates liés aux alcalins sont transformés en silanols, qui polymérisent par la suite. Les profils de concentrations SIMS de verres vieillis en atmosphères artificielles et réelles ont permis de suivre l'altération en fonction du temps, l'humidité et la concentration en polluants. Le film d'eau formé à la surface par l'humidité et son acidité contrôlent l'altération par lixiviation des alcalins et hydratation du verre. Le formaldéhyde n'agit pas sur la réaction de lixiviation tandis que les acides l'accélèrent et l'amplifient. Quelques soient les proportions des polluants, les composés formates prédominent dans les produits cristallins, même en faible concentration d'acide formique. L'humidité et la température fluctuante des musées entretiennent la réaction de lixiviation. L'évidence du rôle néfaste des polluants organiques acides dans l'altération des verres sodiques permettra d'améliorer leur conservation.

Ce travail concerne la stabilité, face à un recuit ou à l'inclusion d'oxydes, des nanostructures formées par dépôt d'agrégats d'argent sur graphite et la possibilité de les organiser spontanément via les défauts de surface.<br />Les agrégats chimiquement hétérogènes sont produits par nucléation réactive et identifiés par spectrométrie de masses à haute résolution. Les dépôts sont imagés par microscopie électronique. Un facteur de forme est défini pour caractériser les morphologies. <br />La présence d'oxygène dans les agrégats provoque la décomposition de la forme fractale en une série de fragments monodisperses et équidistants. L'analogie avec les instabilités de Rayleigh est discutée. Cette relaxation diffère de celle obtenue par activation thermique bien qu'également pilotée par l'auto-diffusion de surface.<br />Lorsque MoO3 est ajouté à O2 pour la nucléation, la synthèse d'agrégats libres de molybdate d'argent est possible par recuit laser. Cette transition dans les spectres de masses se traduit sur le substrat par une diminution de plusieurs ordres de grandeur du coefficient de diffusion des agrégats et par une transition morphologique: les îles, appelées nanochaînes, présentent une anisotropie de croissance, une structure périodique et sont morphologiquement très stables face au recuit. Un mécanisme de croissance est proposé.<br />Le « morphodrome » des dépôts en fonction de la stœchiométrie est établi et la possibilité de piloter a priori les propriétés du film est démontrée. Cet effet s'ajoute à celui de défauts particuliers du graphite pour lesquels une corrélation entre dimension du défaut et diffusion des agrégats est mise en évidence pour la croissance et l'organisation des îles.

L'objectif de ce travail est d'étudier la stabilité des états d'équilibre d'un système<br /> dynamique simple en présence de contact unilatéral et de frottement de Coulomb. L'application<br /> des théorèmes classiques de stabilité n'étant pas possible pour ce type de problème, on revient<br /> à la définition de la stabilité en étudiant l'évolution en temps de la distance entre une solution <br />d'équilibre et la trajectoire solution d'un problème de Cauchy avec des données hors d'équilibre. <br />Par conséquent, les questions d'existence et d'unicité doivent être abordées au préalable.<br /> L'existence d'une solution au problème de Cauchy est obtenue sous l'hypothèse où la force <br />extérieure est intégrable. Se pose alors la question d'unicité de solution. Un contre-exemple <br />démontre que l'unicité n'est pas vraie en général. En revanche, on montre que le problème admet une unique solution<br /> si la force extérieure est analytique. On détermine ensuite l'ensemble des états d'équilibre <br />sous une force constante. Sachant que la dynamique est bien posée pour des données analytiques,<br /> toute la suite est consacrée à l'étude de la stabilité de ces états d'équilibre. Les caractéristiques<br /> de la dynamique dans l'espace des réactions conduisent alors à introduire de nouvelles notions de<br /> stabilité propres aux systèmes en présence de contact et de frottement.

Ce mémoire a pour objectif d'étudier la stabilité de systèmes dynamiques chaotiques à partir de la structure géométrique de leurs attracteurs dont une partie s'appuie sur une variété appelée variété lente. Dans ce but, une nouvelle approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle a été développée et a conduit à une interprétation géométrique et cinématique de l'évolution des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques au voisinage de la variété lente.<br /><br />L'utilisation du formalisme de la Mécanique du Point a permis, grâce à l'emploi des vecteurs, vitesse et accélération instantanées attachées à un point courant de la courbe trajectoire, de discriminer le domaine lent du domaine rapide et de situer la position de la variété lente à l'intérieur de l'espace des phases. <br /><br />Certaines notions de Géométrie Différentielle, comme la courbure, la torsion et le plan osculateur, ont fourni une équation analytique de la variété lente indépendante des vecteurs propres lents du système linéaire tangent, donc définie sur un plus grand domaine de l'espace des phases. <br /><br />La variété lente a alors été envisagée comme le lieu des points où la courbure des courbes trajectoires, intégrales de ces systèmes dynamiques, est minimum (en dimension deux ce minimum devient égal à zéro). Le signe de la torsion a permis, de caractériser son attractivité et, de discriminer la partie attractive de la partie répulsive de la variété lente et de statuer sur la stabilité de ces courbes trajectoires.<br /><br />Ainsi, la présence dans l'espace des phases d'une variété lente attractive qui contraint les courbes trajectoires, intégrales du système dynamique à visiter son voisinage permet d'étudier la structure de l'attracteur.<br /><br />Cette approche basée sur certains aspects du formalisme de la Mécanique du Point et de la Géométrie Différentielle et qui s'est accompagnée de l'élaboration de programmes numériques a permis de constituer un nouvel outil d'investigation des systèmes dynamiques chaotiques.<br /><br />Son application à des modèles de référence comme celui de B. Van der Pol, de L.O. Chua ou d'E.N. Lorenz a permis d'obtenir plus directement et avec précision l'équation analytique de leur variété lente. De plus, une étude détaillée des modèles de type prédateur-proie comme celui de Rosenzweig-MacArthur ou d'Hastings-Powell, a conduit d'une part à la détermination de leur variété lente et d'autre part à la conception d'un nouveau modèle de type prédateur-proie à trois espèces appelé Volterra-Gause dont l'attracteur chaotique a la forme d'un escargot (chaotic snail shell).

La première partie de ce travail est consacré à la démonstration d'un théorème d'existence et d'unicité de la solution du système de Maxwell dans le cas général, où les coefficients sont des tenseurs symétriques définis positifs, qui dépendent d'un façon non régulière de la variable d'espace. Dans ces conditions, le milieu de propagation pourrait être aussi bien isotrope qu'anisotrope. Dans la seconde partie, nous nous sommes intéressés à l'étude et au développpement de plusieurs méthodes numériques dans un domaine isotrope où les coefficients peuvent être discontinus; nous avons étudié deux méthodes de type volumes finies, une basé sur un calcul de flux décentrés, et l'autre basée sur un calcul de flux centrés. Nous avons également adapté une méthode d'éléments finis dite Galerkin Discontinue, et enfin une méthode hybride volumes finies / différences finies avec une étude de stabilité de cette dernière. Pour des raisons géométriques, nous avons choisi les éléments du maillage comme volumes d'intégration. De nombreuses validations et comparisons numériques ont montré que ces méthodes sont bien adaptées au cas hétérogène. Néanmoins, il semble que la méthode volumes finis avec flux centrés et une discrétisation temporelle de type saute-mouton est la plus optimale en terme de compromis entre qualité des résultats et le coût de calcul.

Cette recherche s'inscrit dans le cadre de la prévision des instabilités de flottement qui joue un rôle majeur dans la conception et la certification des avions civils. Les instabilités sont liées au couplage aéroélastique qui est dû aux efforts induits générés par les mouvements de la structure au sein de l'écoulement. On considère dans ce travail plus particulièrement l'influence de la turbulence atmosphérique qui apporte, elle aussi, une contribution aux forces aérodynamiques. Dans ce but, la turbulence est modélisée par un processus stochastique introduisant une excitation multiplicative dans le système aéroélastique. Il est alors nécessaire de développer des méthodologies permettant l'étude de la stabilité des aéronefs en présence d'un bruit aléatoire multiplicatif. On propose d'étudier la stabilité dans le cadre général des systèmes dynamiques aléatoires et plus précisément à l'aide des exposants de Lyapunov qui donnent les taux de (dé-)croissance des trajectoires. Ces derniers généralisent ainsi la notion de partie réelle des valeurs propres. Malgré le développement de modèles réduits, les systèmes couplés aéroélastïques restent relativement complexes et de dimension élevée. On opte alors pour un calcul du plus grand exposant de Lyapunov par des méthodes numériques. Néanmoins, la stabilité des systèmes aéroélastiques est également très sensible à la présence de non-linéarités structurales concentrées, comme un jeu dans la liaison aile-gouverne. On pro pose alors une méthode qui a recours d'une part à la formulation du problème par inclusions différentielles et d'autre part à une technique de sous-structuration permettant d'isoler les parties non régulières introduites par le jeu.

Deux problèmes concernant les milieux diphasiques du type liquide à bulles sont résolus. Premièrement, la stabilité linéaire de l'écoulement de Couette est établie dans l'approximation des ondes longues. Pour cela, le milieu est décrit par le modèle de Iordanski, Kogarko et Van Wijngaarden. Les spectres discret et continu sont déterminées. Le problème aux valeurs initiales est résolu. La deuxième est partie est consacrée aux interactions hydrodynamiques entre N bulles dans un liquide parfait. A l'aide des méthodes de la physique statistique, une fonction de partition est construite dans l'ensemble canonique: les bulles sont considérées comme un gaz de particules. Les potentiels effectifs d'interactions sont déterminés et exprimés analytiquement dans deux cas limites : la limite des sphères rigides et la limite des sphères immobiles oscillantes.