Beaucoup de systèmes qui ont un certain degré de désordre ont des similaritésdans leur structure: le paysage énergétique est aléatoire et il a plusieursminima locaux de l’énergie. Quand on ajoute une petite perturbation externeau système à basse temprature, il est raisonnable d’attendre que la dynamiqueconduira le système d’un minimum à l’autre, et ça donne lieu à une réponsealéatoire et saccadé. Les sautes discontinus que l’on observe sont appelésavalanches, et l’intérêt de ce travail est le calcul de leur distribution. Undes résultats est en effet le développement d’un cadre pour calculer cettedistribution dans des systèmes en dimension infinie qui peuvent être décritsavec le replica symmetry breaking. Nous appliquons les résultats à l’un desmodèles les plus simples des verres structuraux, c’est à dire les empilementsdenses de sphères molles avec répulsion harmonique, avec une déformation(shear strain) du volume comme perturbation. Nous soutenons que, quandla déformation est suffisamment petite, une portion de la distribution desavalanches devient une loi de puissance, dont l’exposant peut être directementlié au paramètre d’ordre de la brisure de symétrie de replica. Cet exposant estégalement lié à la distribution des forces de contact (au moins entre certainessphères), dont le comportement asymptotique on sais que ne dpends pasfortement de la dimension spatiale; pour cette raison nous comparons lesprdictions de champ moyen en dimension infinie avec des simulation du mêmesystème en dimension trois et, remarquablement, on trouve un bon accord.Dans le reste de la thèse nous discutons aussi les similarités avec des travauxprécédents et quelques consquences que la distribution des avalanches donnesur les propriétés élastiques de la matière granulaire dense. / Many systems that are somehow characterized by a degree of disorder sharea similar structure: the energy landscape has many sample-dependent localenergy minima. When a small external perturbation is applied to the systemat low temperature, it is reasonable to expect that the dynamics will leadthe system from a minimum to another, thus displaying a random and jerkyresponse. The discontinuous jumps that one observes are called avalanches,and the focus of this work is the computation of their distribution. Oneof the results is indeed the development of a framework that allows thecomputation of this distribution in infinite-dimensional systems that canbe described within a replica symmetry breaking ansatz. We apply theresults to one of the simplest models of structural glasses, namely densepackings of (harmonic) soft spheres, either at jamming or at larger densities,subject to a shear transformation that induces jumps both in the totalenergy and in the shear stress of the system. We argue that, when theshear strain is small enough, the avalanche distribution develops a power-lawbehavior, whose exponent can be directly related to the functional orderparameter of the replica symmetry breaking solution. This exponent is alsorelated to the distribution of contact forces (or at least of the contact forcesbetween some of the spheres), whose asymptotic behavior is known not todepend strongly on the spatial dimension; for this reason, we compare theinfinite-dimensional prediction with three dimensional simulations of thesame systems and, remarkably, we find a good agreement. In the rest of thethesis we compare our results with previous works, and we also discuss someof the consequences that the avalanche distribution lead to, concerning thestatistical elastic properties of dense granular media.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'interfaces critiques bidimensionnelles par des méthodes d'évolutions de Schramm-Loewner (SLE) et de théories conformes. Nous étudions en particulier le cas de SLE(2) qui est la limite d'échelle des marches à boucles effacées. La solution explicite du problème d'enroulement sur des domaines doublement connexes est discutée. Nous établissons une généralisation de la formule de Schramm pour SLE(2) dans la géométrie doublement connexe et étendons la solution au cas de conditions mixtes Dirichlet-Neumann. L'analyse par la théorie conforme permet l'identification de l'opérateur de changement des conditions aux bords. De plus, à partir de l'étude des lignes de discontinuité du champ gaussien libre sur des domaines doublement connexes nous mettons en évidence une relation entre SLE(4) et les ponts browniens.<br /><br />Le sujet de la seconde partie est l'étude de deux exemples de systèmes désordonnés de basse dimension. D'un coté nous établissons les propriétés de localisation et spectrales d'un hamiltonien aléatoire unidimensionnel qui interpole entre les cas du modèle de Halperin et le modèle supersymétrique désordonné. Un lien avec la diffusion unidimensionnelle dans un potentiel aléatoire permet d'étudier la modification de la dynamique ultra-lente de Sinai en présence d'absorbeurs. De l'autre côté nous analysons la transition vitreuse d'ARN pour des séquences aléatoires à l'aide de la théorie des champs de Lässig-Wiese-David. L'application au cas d'ARN soumis à une force extérieure conduit à la prédiction de la caractéristique force-extension pour des séquences hétérogènes. L'étude de la phase vitreuse nous amène à considérer un modèle hiérarchique combinatoire dont nous déterminons les exposants et lois d'échelle exactes ainsi que les corrections de taille finie.

Dans cette étude nous utilisons une méthode expérimentale novatrice, la mesure du bruit en 1/f, pour approfondir la compréhension des mécanismes de transport dans les compo-sites polymères conducteurs : polyaniline (PANI) - polyméthacrylate de méthyle (PMMA). Une description précise du dispositif utilisé pour ces mesures est présentée. L'influence de la forme de l'échantillon, de la position des contacts électriques et de la méthode de mesure (2 ou 4 contacts) sur le niveau de bruit enregistré est discutée. Puis nous montrons que les composites PANI-PMMA présentent un bruit en 1/f dont l'amplitude S_R, en fonction de la concentration et de la résistance R, suit les lois d'échelle de la percolation avec des exposants critiques kappa=2.19 et w=1.15. L'influence des défauts est testée par l'introduction intentionnelle de coupure dans le réseau conducteur de PANI. La plus forte sensibilité de S_R, comparée à R, est mise en évidence expérimentalement et par simulation numérique.

Cette thèse est consacrée à l'étude de la transition liquide/solide amorphe. Cette transition se retrouve dans des systèmes thermiques (par exemple dans les verres moléculaires) ou athermiques (avec entre autres les milieux granulaires), à l'équilibre thermodynamique ou hors équilibre. Nous montrons que la transition de blocage et la transition vitreuse sont deux phénomènes distincts. Nous avons pour cela construit un modèle de sphères dures sur réseau de Bethe où ces deux transitions cohabitent. Nous introduisons également un modèle de verre structural avec désordre gelé qui possède un aspect champ moyen contrôlable. Cela nous permet de suivre l'évolution de la transition vitreuse dynamique entre le champ moyen et la dimension finie. Nous montrons également que ce modèle réalise en champ moyen une approximation de la dynamique comparable, mais pas équivalente, à la théorie de couplage de modes. Enfin, nous présentons quelques remarques théoriques portant sur l'analyse des modes normaux de suspensions colloïdales près de leur transition de blocage.

Le sujet de cette thèse est l'étude du rôle du bruit dans les systèmes interagissants, avec en vue des applications dans les systèmes biologiques. Cette étude est basée sur le modèle de Kuramoto, qui est un modèle d'oscillateurs uni-dimensionnels interagissants admettant une transition de phase de synchronisation, ainsi que sur certaines de ses généralisations. Une première partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin, K. Pakdaman et X. Pellegrin) est consacrée au modèle des "Active Rotators", une généralisation du modèle de Kuramoto, dans lequel chaque oscillateur a une dynamique propre, qui est peut être choisie excitable. Nous démontrons de manière rigoureuse que le système global peut avoir une dynamique très différente de celle d'un oscillateur isolé, en réduisant le problème à un problème de phase. On peut en particulier voir l'apparition de phénomènes périodiques. La deuxième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et E. Luçon) est consacrée à l'étude du modèle de Kuramoto bruité, dans la limite du faible désordre. Nous démontrons en particulier, dans le cas où le désordre n'est pas symétrique, l'existence d'une solution périodique et donnons un développement de sa vitesse. La troisième partie (réalisée en collaboration avec G. Giacomin et L. Bertini) est consacrée au comportement du modèle de Kuramoto en temps long (proportionnel au nombre d'oscillateurs): les oscillateurs conservent un profil synchronisé qui se déplace dans la limite d'une infinité d'oscillateurs suivant un mouvement Brownien. Enfin dans la dernière partie je me suis intéressé à la problématique de réduction de phase dans le cas du problème de sortie de potentiel, pour des modèle proches de la réversibilité.

La théorie des matrices aléatoires a des applications dans des domaines variés : mathématiques, physique, finance, ... En physique, le concept de matrices aléatoires a été utilisé pour l'étude du transport électronique dans des structures mésoscopiques, de systèmes désordonnés, de l'intrication quantique, de modèles d'interfaces 1D fluctuantes en physique statistique, des atomes froids, ... Dans cette thèse, on s'intéresse au transport AC cohérent dans un point quantique, à des propriétés d'interfaces fluctuantes 1D sur un substrat et aux propriétés topologiques de fils quantiques multicanaux. La première partie commence par une introduction générale a la théorie des matrices aléatoires ainsi qu'a la principale méthode utilisée dans cette thèse : le gaz de Coulomb. Cette technique permet entre autres d'étudier la distribution d'observables qui prennent la forme de statistiques linéaires des valeurs propres, qui représentent beaucoup de quantités physiques pertinentes. Cette méthode est ensuite appliquée à des exemples concrets pour étudier le transport cohérent et les problèmes d'interfaces fluctuantes en physique statistique. La seconde partie se concentre sur un modèle de fil désordonné : l'équation de Dirac multicanale avec masse aléatoire. Nous étendons le puissant formalisme utilisé pour l'étude de systèmes unidimensionnels au cas quasi-1D, et établissons une connexion avec un modèle de matrices aléatoires. Nous utilisons ce résultat pour obtenir la densité d'états et les propriétés de localisation. Nous montrons également que ce système présente une série de transitions de phases topologiques (changement d'un nombre quantique de nature topologique, sans changement de symétrie), contrôlées par le désordre. / Random matrix theory has applications in various fields: mathematics, physics, finance, ... In physics, the concept of random matrices has been used to study the electronic transport in mesoscopic structures, disordered systems, quantum entanglement, interface models in statistical physics, cold atoms, ... In this thesis, we study coherent AC transport in a quantum dot, properties of fluctuating 1D interfaces on a substrate and topological properties of multichannel quantum wires. The first part gives a general introduction to random matrices and to the main method used in this thesis: the Coulomb gas. This technique allows to study the distribution of observables which take the form of linear statistics of the eigenvalues. These linear statistics represent many relevant physical observables, in different contexts. This method is then applied to study concrete examples in coherent transport and fluctuating interfaces in statistical physics. The second part focuses on a model of disordered wires: the multichannel Dirac equation with a random mass. We present an extension of the powerful methods used for one dimensional system to this quasi-1D situation, and establish a link with a random matrix model. From this result, we extract the density of states and the localization properties of the system. Finally, we show that this system exhibits a series of topological phase transitions (change of a quantum number of topological nature, without changing the symmetries), driven by the disorder.

L'objectif de cette thèse est d'investiguer le comportement de la localisation d'Anderson en grande dimension. Dans la première partie nous étudions les Matrices de Lévy, un modèle de matrices aléatoires avec interactions à longue portée qui présente une forte analogie avec le problème de la localisation d'Anderson sur des structures en arbre, représentatives du comportement en dimension infinie. Nous établissons l'équation qui détermine la transition de localisation et nous obtenons le diagramme de phase. Nous investiguons en suite le comportement inhabituel de la phase délocalisée. Avec des arguments basés sur la méthode supersymmétrique et sur le mouvement brownien de Dyson, nous montrons que la distribution des écarts entre valeurs propres est la même que dans le cas GOE dans toute la phase délocalisée et elle est de type Poisson dans la phase localisée. Notre analyse numérique confirme ce résultat, valable dans la limite thermodynamique, et fournit des informations sur le comportement d'autres quantités comme la statistique des vecteurs propres. De plus, les résultats numériques révèlent que l'échelle caractéristique qui gouverne les effets de taille finie diverge beaucoup plus vite qu'une loi de puissance quand on s'approche de la transition, et elle est déjà très grande loin du point critique. Dans la seconde partie nous étudions numériquement le comportement du modèle d'Anderson en dimension de 3 à 6 en utilisant la méthode de la matrice de transfert, la diagonalisation exacte, et une technique approximée de Groupe de Renormalisation pour fort désordre. Les résultats suggèrent que la dimension critique supérieure de la localisation d'Anderson est infinie. Nous discutons aussi les implications possibles de ce scénario sur le comportement inhabituel de la phase délocalisée des modèles représentatifs de la limite de dimension infinie, comme les matrices de Lévy et le modèle d'Anderson sur des structures en arbre. / In this thesis, we investigate the behavior of Anderson Localization in high dimension. In the first part we study Lévy Matrices (LMs), a Random Matrix model with long-range hopping presenting strong analogy with the problem of Anderson Localization on tree-like structure, representative of the limit of infinite dimensionality. We establish the equation determining the localization transition and obtain the phase diagram. We investigate then the unusual behavior of the delocalized phase. Using arguments based on supersymmetric field theory and Dyson Brownian motion we show that the eigenvalue statistics is the same one as of the Gaussian orthogonal ensemble in the whole delocalized phase and is Poisson-like in the localized phase. Our numerical analysis confirms this result, valid in the limit of infinitely large LMs, and provides information on the behavior of other observables like the wave-functions statistics. At the same time, numerical results also reveal that the characteristic scale governing finite size effects diverges much faster than a power law approaching the transition and is already very large far from it. This leads to a very wide crossover region in which the system looks as if it were in a mixed phase. In the second part we study numerically the behavior of the Anderson Model in dimension from 3 to 6 through exact diagonalization, Transfer Matrix method and an approximate Strong Disorder Renormalization Group technique. The results we find suggest that the upper critical dimension of Anderson Localization is infinite. Finally, we discuss the possible implications of this scenario on the anomalous behavior of the delocalized phase of models representative of the limit of infinite dimension, like Lévy Matrices and the Anderson model on tree-like structures.

Durant cette thèse, je me suis intéressé à deux thématiques générales qui peuvent être explorées dans des systèmes d'atomes froids : d'une part, la dynamique hors-équilibre d'un système quantique isolé, et d'autre part l'influence du désordre sur un système fortement corrélé à basse température. Dans un premier temps, nous avons développé une méthode de champ moyen, qui permet de résoudre la dynamique unitaire dans un modèle à géométrie particulière, le réseau complètement connecté. Cette approche permet d'établir une correspondance entre la dynamique unitaire du système quantique et des équations du mouvement classique. Nous avons mis à profit cette méthode pour étudier le phénomène de transition dynamique qui se signale, dans des modèles de champ moyen, par une singularité des observables aux temps longs, en fonction des paramètres initiaux ou finaux de la trempe. Nous avons montré l'existence d'une transition dynamique quantique dans les modèle de Bose-Hubbard, d'Ising en champ transverse et le modèle de Jaynes-Cummings. Ces résultats confirment l'existence d'un lien fort entre la présence d'une transition de phase quantique et d'une transition dynamique.Dans un second temps, nous avons étudié un modèle de théorie des champs relativiste avec symétrie O(N) afin de comprendre l'influence des fluctuations sur ces singularités. À l'ordre dominant en grand N, nous avons montré que la transition dynamique s'apparente à un phénomène critique. En effet, à la transition dynamique, les fonctions de corrélations suivent une loi d'échelle à temps égaux et à temps arbitraires. Il existe également une longueur caractéristique qui diverge à l'approche du point de transition. D'autre part, il apparaît que le point fixe admet une interprétation en terme de particules sans masse se propageant librement. Enfin, nous avons montré que la dynamique asymptotique au niveau du point fixe s'apparente à celle d'une trempe d'un état symétrique dans la phase de symétrie brisée. Le troisième volet de cette thèse apporte des éléments nouveaux pour la compréhension du diagramme des phases du modèle de Bose-Hubbard en présence de désordre. Pour ce faire,nous avons utilisé et étendu la méthode de la cavité quantique en champ moyen de Ioffe et Mézard, qui doit être utilisée avec la méthode des répliques. De cette manière, il est possible d'obtenir des résultats analytiques pour les exposants des lois de probabilité de la susceptibilité.Nos résultats indiquent que dans les différents régimes de la transition de phase de superfluide vers isolant, les lois d'échelle conventionnelles sont tantôt applicables, tantôt remplacées par une loi d'activation. Enfin, les exposants critiques varient continûment à la transition conventionnelle.

Nous étudions l’influence du champ magnétique aléatoire et des interactions à longue portée sur le comportement critique du modèle d’Ising ; notre approche est basée sur une version non perturbative et fonctionnelle du groupe de renormalisation. Les concepts du groupe de renormalisation non perturbatif sont tout d’abord introduits, puis illustrés dans le cadre simple d’une théorie classique d’un champ scalaire. Nous discutons ensuite les propriétés critiques de cette dernière en présence d’un champ magnétique aléatoire gelé qui traduit le désordre dans le système. Celui-ci est distribué comme un bruit blanc gaussien dans l’espace. Nous insistons principalement sur la propriété de réduction dimensionnelle qui prédit un comportement critique identique pour le modèle en champ aléatoire à d dimensions et le modèle pur (c’est à dire sans champ aléatoire) en dimension d − 2. Bien que cette propriété soit démontrée à tous les ordres par la théorie de perturba- tion, on montre que celle-ci est brisée en dessous d’une dimension critique dDR = 5.13. La réduction dimensionnelle et sa brisure sont alors reliées aux caractéristiques d’échelle des grandes avalanches intervenant dans le système à température nulle. Nous considérons, dans un second temps, une généralisation du modèle d’Ising dans laquelle l’interaction ferromagnétique décroit désormais à longue portée comme r^−(d+σ) avec σ > 0 (d désigne toujours la dimension de l’espace). Dans un tel système, il est possible de travailler en dimension fixée (incluant la dimension d = 1) et de varier l’exposant σ afin de parcourir une gamme de comportements critiques similaire à celle obtenue entre les dimensions critiques inférieure et supérieure de la version à courte portée du modèle. Nous avons caractérisé la transition de phase dans le plan (σ, d), et notamment calculé les exposants critiques en fonction du paramètre σ pour les dimensions physiquement intéressantes d = 1, 2 et 3. Finalement, on s’intéresse aussi à la théorie en présence d’un champ magnétique aléatoire dont les corrélations décroissent à grande distance comme r^−d+ρ avec ρ > −d. Dans le cas particulier où ρ = 2 − σ, on montre que la propriété de réduction dimensionnelle est vérifiée lorsque σ est suffisamment petit, mais brisée à grand σ (en dimension inférieure à dDR ). En particulier, concernant le modèle tridimensionnel, nos résultats prédisent une brisure de réduction dimensionnelle lorsque σ > σDR = 0.71 / We study the influence of the presence of a random magnetic field and of long-ranged interactions on the critical behavior of the Ising model. Our approach is based on a nonperturbative and functional version of the renormalization group. The bases of the nonperturbative renormalization group are introduced first and then illustrated in the simple case of the classical scalar field theory. We next discuss the critical properties of the latter in the presence of a random magnetic field, which is associated with frozen disorder in the system. The distribution of the random field in space is taken as that of a gaussian white noise. We focus on the property of dimensional reduction that predicts identical critical behavior for the random-field model in dimension $d$ and the pure model, \textit{i.e.} in the absence of random field, in dimension d-2. Although this property is found at all orders of the perturbation theory, it is violated below a critical dimension $d_{DR} \approx 5.13$. We show that the dimensional reduction and its breakdown are related to the large-scale properties of the avalanches that are present in the system at zero temperature. We next consider a generalization of the Ising model in which the ferromagnetic interaction varies at large distance like $r^{-(d+\sigma)}$ with $\sigma > 0$ ($d$ being the spatial dimension). In this system, it is possible to obtain a range of critical behavior similar to that encountered in the short-ranged version of the model between the lower and the upper critical dimensions by varying the exponent $\sigma$ while keeping the dimension $d$ fixed (including the case $d=1$).We have characterized the phase transition of this long-ranged model in the plane $(\sigma,d)$ and computed the critical exponents as a function of the parameter $\sigma$ for the physically interesting dimensions, $d=1,2$ and $3$. Finally, we have also studied the long-ranged random-field Ising model when the correlations of the random magnetic field decrease at large distance as $r^{-d+\rho}$ with $\rho > -d$. In the special case where $\rho=2-\sigma$, we have shown that the dimensional-reduction property is satisfied when $\sigma$ is small enough but breaks down above a critical value (when the spatial dimension $d$ is less than $d_{DR}$). In particular, for $d=3$, we predict a breakdown of dimensional reduction for $\sigma_{DR}\approx 0.71$.

Le verre de spin est une phase de la matière dans laquelle le désordre magnétique est gelé. Étant considéré comme un système modèle des verres en général, il a fait l'objet de nombreux travaux théoriques et expérimentaux. Les recherches ont convergé vers deux principales descriptions de l'état fondamental du système diamétralement opposées. D'une part, la solution « champ-moyen » nécessite une brisure de symétrie non triviale, et l'état fondamental est composé de multiples états organisés en une structure hiérarchique. D'autre part, une approche de « gouttelettes », fondée sur la dynamique hors-équilibre d'un état fondamental unique. La validation expérimentale d'une de ces deux théories nécessite une observation détaillée de l'échantillon au niveau microscopique. La physique mésoscopique, basée sur les effets d'interférences électroniques, propose un outil unique pour accéder à cette configuration microscopique des impuretés: les fluctuations universelles de conductance. En effet, ces fluctuations représentent une empreinte unique du désordre dans l'échantillon. Ce travail présente la mise en œuvre de mesures de fluctuations de conductance universelles dans les verres de spin. Les effets d'interférences électroniques étant sensibles aux processus de décohérence du verre de spin, ils donnent accès expérimentalement à de nouvelles quantités concernant les excitations du système. La mesure des corrélations entre les empreintes du désordre permet quant à elle d'explorer sous un angle nouveau l'ordre non conventionnel de cet état vitreux. / The spin glass is a state of matter in which the magnetic disorder is quenched. Being considered as a model system for glasses in general, it has been extensively studied, both theoretically and experimentally. The research have converged towards two main descriptions of the fundamental state of the system that are clearly antagonist. On the one hand, the “mean-field” solution has a non trivial broken symmetry, and the ground state is composed of multiple valleys in a hierarchical structure. On the other hand, a magnetic “droplet” model, based on the off-equilibrium dynamics of a unique ground state. The experimental validation of one of these two theories requires a detailed observation of the sample at the microscopic level. Mesoscopic physics, which deals with interference effects of the electrons, proposes a unique tool to access to this microscopic configuration of the impurities: the universal conductance fluctuations. Indeed, these fluctuations represent a unique fingerprint of the sample disorder. This work presents the implementation of universal conductance fluctuations measurements in spin glasses. The electron interference effects being sensitive to the decoherence processes of the spin glass, they give access experimentally to new quantities related to the excitations of the system. The measurement of correlations between the disorder fingerprints allow to explore under a new perspective the non conventional order of this glassy state.